MODELO DE PROYECCIÓN POBLACIONAL
CON SERIES DE TIEMPO DIFUSAS
POPULATION PROJECTION MODEL WITH FUZZY
TIME SERIES
Jaqueline Jessica Cabello Blanco
Universidad Nacional del Santa-Nuevo Chimbote , Perú
pág. 1059
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v8i2.10549
Modelo de Proyección Poblacional con Series de Tiempo Difusas
Jaqueline Jessica Cabello Blanco1
jcabello@unjfsc.edu.pe
https://orcid.org/0000-0002-7464-0305
Universidad Nacional del Santa-Nuevo Chimbote
Perú
RESUMEN
El presente estudio es de alcance descriptivo – propositivo, la finalidad del estudio es modelar la
proyección poblacional con series de tiempo difusas, el diseño de investigación empleado es no
experimental. El modelo de proyección de la población peruana (variable lingüística) obtenido fue:
más más
más más
, este modelo de proyección poblacional con series de tiempo difusas
presenta una tasa media de error de pronóstico de 0.106% frente a una tasa media de error de pronóstico
del modelo lineal de 4.06% y 1.40% de tasa media de error de pronóstico del modelo logístico. Se
concluye que el pronóstico de la población peruana con series de tiempo difusas tiene mayor precisión
tomando en cuenta en el proceso, la tendencia de la población en estudio.
Palabras clave: proyección poblacional, series de tiempo difusas, conjuntos difusos
1
Autor principal.
Correspondencia: jcabello@unjfsc.edu.pe
pág. 1060
Population Projection Model With Fuzzy Time Series
ABSTRACT
The present study is descriptive - propositional in scope, the purpose of the study is to model the
population projection with fuzzy time series, the research design used is non-experimental. The
projection model of the Peruvian population (linguistic variable) obtained was:
plus , this population projection
model with fuzzy time series presents an average forecast error rate of 0. 106% versus a mean forecast
error rate of the linear model of 4.06% and 1.40% mean forecast error rate of the logistic model. It is
concluded that the forecast of the Peruvian population with fuzzy time series has greater accuracy taking
into account in the process, the trend of the population under study.
Keywords: population projection, fuzzy time series, fuzzy sets
Artículo recibido 20 febrero 2024
Aceptado para publicación: 26 marzo 2024
pág. 1061
INTRODUCCIÓN
La población mundial está experimentando crecimientos drásticos, sus relaciones económicas y sociales
son complejas, la función de los países es desarrollar, implementar y evaluar programas para mejorar
la calidad de vida de sus ciudadanos, por lo que se necesita información del crecimiento demográfico,
Rincón (1989) afirma que las proyecciones de población constituyen una de las bases fundamentales
para fines de planificación de las actividades económicas y sociales de un país; en Perú, la metodología
seguida para la elaboración de las proyecciones nacionales, consideran las recomendaciones,
normativas y metodologías de las Naciones Unidas, que utiliza el método demográfico de los
componentes (fecundidad, mortalidad y migración), método tradicional cuya principal fortaleza es su
simplicidad, englobando los nacimientos y población migrante para después deducir las defunciones y
emigraciones, el procesamiento de los datos lo realizan utilizando el PRODEX que es un programa en
Excel preparado por la Comisión Económica para América Latina y el Caribe (CEPAL) del Centro
Latinoamericano y Caribeño Demográfico (CELADE), el cual permite ingresar cada uno de los
componentes elaborados en forma independiente, cuyo principio fundamental es la ecuación
compensadora desarrollada por Pascal Whelpton en 1947, de esta forma la población total es proyectada
por el método de componentes, que es resultado de la combinación de la fecundidad, la mortalidad y la
migración, la precisión de estas proyecciones están sujetas a un determinado margen de error, la
población se proyecta en el tiempo bajo supuestos del comportamiento de las tasas que regulan los
niveles de crecimiento, por tanto el propósito de esta investigación es determinar el modelo de
proyección poblacional con series de tiempo difusas que aproxime la realidad desde esta teoría, que
proporcione mayor indice de precisión que el método existente, es necesario entender que la proyección
poblacional es un fenómeno con incertidumbre en su ocurrencia. La importancia de esta investigación
es cuantificar la incertidumbre que se relaciona a la proyección poblacional, este modelo de proyección
poblacional servirá como instrumento científico que cuente con la coherencia, validez y veracidad
científica. Los datos de esta investigación provienen del Boletín de Análisis Demográfico N° 38 del
Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) y se presenta el modelo de proyección
poblacional “desarrollo de la población” con series de tiempo difusas; diferentes autores han venido
estudiando en este campo (Abbasov y Mamedova, 2003; Argote-Cusi, 2018; Chen y Hsu, 2004; Chen
pág. 1062
y Hwang, 2000; Jilani et al., 2008; Sasu, 2010; Song y Chissom, 1993, 1994; Stevenson y Porter, 1972)
y otros campos de la dinámica social humana; Tabares y Hernández (2009) y Zadeh (1975) mencionan
que la ciencia moderna no puede comprender un fenómeno si no está caracterizado en términos
cuantitativos, al renunciar a la precisión se disponen a entender números inciertos (números difusos)
para explorar el uso de las variables lingüísticas que son variables cuyos valores no son números sino
palabras o frases en un lenguaje natural o artificial que son de utilidad en una amplia variedad de
aplicaciones prácticas, Aluja (2000) menciona que la caracterización de estos números difusos son
susceptibles de representarse en fenómenos con incertidumbre en su ocurrencia. Así el conjunto total
de términos de la variable lingüística “desarrollo de la población” de esta investigación es: bajo
crecimiento poblacional más invariante crecimiento poblacional más moderado crecimiento
poblacional más alto crecimiento poblacional más muy alto crecimiento poblacional. En conclusión, la
teoría de las series de tiempo difusas es útil en la modelación del crecimiento poblacional, que es un
fenómeno no caracterizado en términos cuantitativos.
METODOLOGÍA
La investigación desarrollada es de enfoque cuantitativo, cuyo alcance es descriptivo – propositivo
cuenta con un diseño no experimental de corte transeccional. Para desarrollar el modelo de proyección
poblacional con series de tiempo difusas se utilizó el modelo de primer orden, se siguió una metodologia
rigurosa que se describen a continuación:
1. Definición del universo de discurso que contiene el valor máximo y mínimo de la variación de
población.
2. Segmentación del universo de discurso en intervalos de igual longitud
3. Descripción cualitativa de los valores de variación de la población total como variable lingüística
(conjunto del conjunto difuso).
4. Fuzzificación los datos de entrada o conversión de los valores numéricos a valores difusos,
mediante la fórmula:
pág. 1063
5. Definición del valor pronosticado en su forma difusa . Para definir el valor pronosticado se
calcula la matriz de operaciones y la matriz de criterios que mediante la operación min se
determina la relación difusa que es modelo de primer orden de .
6. Defuzzificación (proceso inverso de fuzzificar) de los resultados obtenidos. Se propone la fórmula:
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Primer paso: Definición del universo de discurso que contiene el valor máximo y mínimo de la
variación de población, para definir el universo de discurso , primero se definen el valor mínimo y
máximo en la columna de variación de la población. Se encontró el valor máximo que se denota por
y el valor mínimo denotado con , se define el universo de discurso con
la fórmula: donde y son dos números positivos, escogemos
y . Luego el universo de discurso es:
Segundo paso: Segmentación del universo de discurso en intervalos de igual longitud, se
segmentó el universo de discurso en intervalos de igual longitud:
, con
. Obteniendo los intervalos: ;
; ; ;
. Tomando en cuenta que el pronóstico con series de tiempo difusas presenta el
menor error promedio, se halló los puntos medios de cada uno de los intervalos: ,
, , , .
Tercer paso: Descripción cualitativa de los valores de variación de la población total como
variable lingüística (conjunto del conjunto difuso). A cada valor lingüístico le corresponde una
variable difusa que, de acuerdo con una regla, se asignará contra un conjunto difuso. Es importante
comprender que la noción de incertidumbre es distinta de la de probabilidad (Zadeh, 1975).
pág. 1064
Tabla 1. Modelo de proyección de la población peruana
Conjunto difuso
Variable lingüística “Desarrollo de
la población”
= Nivel bajo de crecimiento poblacional (NBCP)
= Nivel invariante de crecimiento poblacional (NICP)
= Nivel moderado de crecimiento poblacional (NMCP)
= Nivel alto de crecimiento poblacional (NACP)
= Nivel muy alto de crecimiento poblacional (NMACP)
La tabla 1 muestra los conjuntos difusos que están definidos sobre el universo de discurso . En este
caso el “Desarrollo de la población” es una variable lingüística que asume los valores lingüísticos =
Nivel bajo de crecimiento poblacional (NBCP), = Nivel invariante de crecimiento poblacional
(NICP), = Nivel moderado de crecimiento poblacional (NMCP), = Nivel alto de crecimiento
poblacional (NACP), = Nivel muy alto de crecimiento poblacional (NMACP). A cada valor
lingüístico le corresponde una variable difusa que, según una regla determinada, se asigna a un conjunto
difuso correspondiente que determina el significado de dicha variable. Por ejemplo, el valor lingüístico
“nivel bajo de crecimiento poblacional” está dado por la variable difusa ,
donde es un conjunto difuso definido en el dominio del universo de discurso .
Cuarto paso: Fuzzificación los datos de entrada o conversión de los valores numéricos a valores
difusos, mediante la fórmula:
Donde:
variación poblacional
: puntos medio de los intervalos
es una constante que asegura la conversión de los valores definidos en los valores difusas o su
pertenencia al intervalo ( .
Si se acepta el valor de como punto medio del intervalo correspondiente, el conjunto difuso
, se define de la siguiente manera:
pág. 1065
1.00000/
(0.00010/
(0.00002/
(0.00001/
0.00001/
0.00010/
(1.00000/
(0.00010/
0.00002/
0.00001/
0.00002/
(0.00010/
(1.00000/
0.00010/
0.00002/
0.00001/
(0.00002/
(0.00010/
1.00000/
0.00010/
0.00001/
(0.00001/
(0.00002/
0.00010/
1.00000/
Figura 1. Función de pertenencia de los valores del conjunto difuso de la variable lingüística
“Desarrollo de la población”
Quinto paso: Definición del valor pronosticado en su forma difusa .
Se calcula la matriz de relaciones difusas mediante el cual se da un pronóstico del crecimiento de
la población en el año siguiente. En este caso se selecciona y se define la matriz de operaciones
(que es la matriz de variación difusa en la población total sobre los años , , ,
) y la matriz de criterios (que es la matriz de variación difusa para el año ). Así para ,
se utiliza los datos de los 6 años anteriores (se debe conocer la población total del año para
encontrar la variación del año .
Posterior a esto se halla que es una relación difusa y se denomina modelo de
primer orden de donde es una operación ; luego se define el valor pronosticado para
el año en forma difusa:
0,00000
0,10000
0,20000
0,30000
0,40000
0,50000
0,60000
0,70000
0,80000
0,90000
1,00000
140000 190000 240000 290000 340000 390000 440000 490000 540000
función de pertenencia
puntos medios de los intervalos
A1
A2
A3
A4
A5
pág. 1066
,
Por ejemplo, para pronosticar la población total para el año 1956 se establecerá la matriz de operaciones:
0.026
0.064
0.005
0.002
0.001
0.021
0.088
0.006
0.002
0.001
0.017
0.138
0.006
0.002
0.001
0.014
0.263
0.007
0.002
0.001
La matriz de criterios:
0.012
0.644
0.009
0.002
0.001
Se calcula la matriz de relaciones difusas ; es una operación min , que es el modelo de primer
orden de .
0.012
0.064
0.005
0.002
0.001
0.012
0.088
0.006
0.002
0.001
0.012
0.138
0.006
0.002
0.001
0.012
0.263
0.007
0.002
0.001
Luego se define el valor pronosticado para el año 1956 en forma difusa:
0.012
0.263
0.007
0.002
0.001
Sexto paso: Defuzzificación (proceso inverso de fuzzificar).
Para defuzzificar los resultados obtenidos o conversión de los valores difusos en valores numéricos se
propone la fórmula:
(crecimiento esperado de la población).
Donde:
: es el valor calculado de función de pertenencia para el año de pronóstico .
: son los puntos medios de los intervalos.
pág. 1067
Para estimar la población total pronosticada para el año 1956, se calcula el crecimiento esperado:
(según la figura 1, se interpreta que para el año 1956 el nivel de crecimiento
poblacional peruano fue invariante con un grado de pertenencia de 0.90). Luego se calcula la población
pronosticada para el año 1956:
millones.
Finalmente los pronósticos de la población peruana obtenidos con series de tiempo difusas (STD) se
compara con el modelo lineal (ML): y el modelo logístico
(MLOGI):
. Los resultados se muestra en la tabla 2.
Tabla 2. Comparación de pronóstico de la población peruana entre los modelos de proyección
poblacional: series de tiempo difusas (STD), modelo lineal (ML) y el modelo logístico (MLOGI).
Donde se observa que la tasa media de error de pronóstico porcentual con series de tiempo difusas es
de 0.106 %, la población pronosticada con el modelo lineal presenta una tasa media de error de
pronóstico porcentual de 4.06% y el modelo logístico tiene una tasa media de error de pronóstico
porcentual de 1.40%, concluyendo que el método de pronóstico con series de tiempo difusas presenta
Año
Población
observada
Población
pronosticada
con series de
tiempo difusas
(STD)
Población
pronosticada
con el modelo
lineal
(ML)
Población
pronosticada
con el modelo
logistico
(MLOGI)
Error
relativo
(STD)
Error
relativo
(ML)
Error
relativo
(MLOGI)
1956
9098885
9098746.7
9519545.85
9228338.84
0.000015199
0.04623213
0.01422744
1960
10153262
10127507.2
10908233.8
10383666.8
0.002536607
0.07435756
0.02269269
1970
13453692
13429789.6
14379953.7
13681000.9
0.001776641
0.06884814
0.01689565
1980
17531898
17535319.7
17851673.5
17473695.9
0.000195169
0.01823964
0.00331978
1990
22031627
22018655.3
21323393.4
21558828.5
0.000588778
0.03214622
0.02145999
2000
26390142
26448748.9
24795113.3
25659112.7
0.002220788
0.06044032
0.02770085
2010
28692915
28681410.3
28266833.2
29493196.6
0.000400959
0.01484972
0.02789126
2020
32625948
32658503.8
31738553
32848109.9
0.00099785
0.02719906
0.00680936
2030
35792079
35803032.3
35210272.9
35617428.9
0.000306026
0.01625516
0.00487957
2040
38023290
38058262.2
38681992.8
37795402
0.000919757
0.01732367
0.00599338
2050
39363351
39431252.8
42153712.6
39444028
0.001725001
0.0708873
0.00204955
Tasa media de error de pronóstico (TMEP)
0.00106207
0.04061627
0.01399268
Tasa media de error de pronóstico porcentual (TMEP %)
0.106207048
4.06162663
1.39926845
pág. 1068
una mayor precisión con una tasa media de error de pronóstico porcentual de 0.106%.
los resultados del pronóstico de la población peruana con series de tiempo difusas han demostrado que
tienen una buena aproximación a diferencia del modelo lineal y el modelo logístico, el modelo de
proyección poblacional con series de tiempo difusas, toma en cuenta la tendencia de población en
estudio, logrando una mayor precisión frente al modelo lineal y el modelo logístico, demostrando que
el pronóstico de la población con las series de tiempo difusas logra pronósticos más precisos para
cualquier horizonte lejano, coincidiendo con Stevenson y Porter (2009), quienes concluyen que el
método de series de tiempo difusas da como resultado una mayor precisión en los pronósticos que los
modelos existentes. Song y Chissom (1993) mencionan la superioridad en los pronósticos con series de
tiempo difusas, Abbasov y Mamedova, 2003; Argote-Cusi, 2018, observan que las series de tiempo
difusas permiten tener en cuenta la tendencia, la no linealidad de la población y tasas de crecimiento,
logrando pronósticos más precisos, Sasu (2010) concluye que las series de tiempo difusas ayudan a
realizar cálculos de pronóstico para cualquier perspectiva lejana, concordando con los resultados
obtenidos en este estudio.
CONCLUSIONES
Se concluye que se logró el propósito de esta investigación que es modelar la proyección poblacional
con series de tiempo difusas obteniendo el modelo de proyección de la población peruana (variable
lingüística):
, definiendo el universo de
discurso , este modelo de proyección poblacional presenta mayor precisión y se
concluye que es posible realizar un pronóstico más preciso dado que el modelo toma en cuenta las
tendencias de la población analizada.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Abbasov, A., y Mamedova, M. (2003). Application of fuzzy time series to population forecasting.
Vienna University of Technology, 12, 545-552.
Aluja, J. (2000). Génesis de una teoría de la incertidumbre. Fundación General de la Universidad
Autónoma de Madrid.
pág. 1069
Argote-Cusi, M. (2018). El uso de lógica difusa en proyecciones de población: el caso de México.
Papeles de población, 24(95), 273-301.
Chen, S.-M., y Hsu, C.-C. (2004). A new method to forecast enrollments using fuzzy time series.
International Journal of Applied Science and Engineering, 2(3), 234-244.
Chen, S.-M., y Hwang, J.-R. (2000). Temperature prediction using fuzzy time series. IEEE Transactions
on Systems, Man, and Cybernetics, Part B (Cybernetics), 30(2), 263-275.
García, J., Sánchez, A., Hidalgo, N., y Benavides, H. (2019). Perú: Estimaciones y proyecciones de la
población Nacional, 1950-2070. Boletín de Análisis Demográfico(38).
Jilani, T., Burney, S., y Ardil, C. (2008). Multivariate high order fuzzy time series forecasting for car
road accidents. International Journal of Computer and Information Engineering, 2(6), 2038-
2043.
López Vargas, G., & Rodríguez García, J. C. (2021). Enfermería en Contexto de Trabajo en Salud
Pública en América Latina. Revista Científica De Salud Y Desarrollo Humano, 2(1), 51–66.
https://doi.org/10.61368/r.s.d.h.v2i1.14
Mathews, J. y Fink, K. (2000). Métodos Numéricos. Madrid: Prentice Hall.
Martínez Pérez , S. I. (2022). La Protección de la Propiedad Intelectual y la Piratería en Línea. Estudios
Y Perspectivas Revista Científica Y Académica , 2(1), 74–95.
https://doi.org/10.61384/r.c.a.v2i1.10
Rincón, M. (1989). Teoria y metodos para la preparacion de estimaciones y proyecciones de poblacion:
insumos para la planificacion.
Sasu, A. (2010). An application of fuzzy time series to the Romanian population. Bulletin of the
Transilvania University of Brasov. Mathematics, Informatics, Physics. Series III, 3, 125.
Abbasov, A., y Mamedova, M. (2003). Application of fuzzy time series to population forecasting.
Vienna University of Technology, 12, 545-552.
Aluja, J. (2000). Génesis de una teoría de la incertidumbre. Fundación General de la Universidad
Autónoma de Madrid.
Argote-Cusi, M. (2018). El uso de lógica difusa en proyecciones de población: el caso de México.
Papeles de población, 24(95), 273-301.
pág. 1070
Chen, S.-M., y Hsu, C.-C. (2004). A new method to forecast enrollments using fuzzy time series.
International Journal of Applied Science and Engineering, 2(3), 234-244.
Chen, S.-M., y Hwang, J.-R. (2000). Temperature prediction using fuzzy time series. IEEE Transactions
on Systems, Man, and Cybernetics, Part B (Cybernetics), 30(2), 263-275.
Cruz Rosas, J., & Oseda Gago, D. (2022). Design thinking en la creatividad de los estudiantes de
administración de empresas, en una universidad de Trujillo – 2020. Emergentes - Revista
Científica, 2(1), 57–70. https://doi.org/10.37811/erc.v1i2.13
Chavarría Oviedo, F. A., & Avalos Charpentier, K. (2022). English for Specific Purposes Activities to
Enhance Listening and Oral Production for Accounting . Sapiencia Revista Científica Y
Académica , 2(1), 72–85. https://doi.org/10.61598/s.r.c.a.v2i1.31
García, J., Sánchez, A., Hidalgo, N., y Benavides, H. (2019). Perú: Estimaciones y proyecciones de la
población Nacional, 1950-2070. Boletín de Análisis Demográfico(38).
Jilani, T., Burney, S., y Ardil, C. (2008). Multivariate high order fuzzy time series forecasting for car
road accidents. International Journal of Computer and Information Engineering, 2(6), 2038-
2043.
Mathews, J. y Fink, K. (2000). Métodos Numéricos. Madrid: Prentice Hall.
Rincón, M. (1989). Teoria y metodos para la preparacion de estimaciones y proyecciones de poblacion:
insumos para la planificacion.
Sasu, A. (2010). An application of fuzzy time series to the Romanian population. Bulletin of the
Transilvania University of Brasov. Mathematics, Informatics, Physics. Series III, 3, 125.
Sethi, P., Sonawane, S., Khanwalker, S., Keskar, R. B. (2017). Automatic text summarization of news
articles. 2017 International Conference on Big Data, IoT and Data Science (BID), pp. 23–29.
Song, Q., y Chissom, B. (1993). Forecasting enrollments with fuzzy time series—Part I. Fuzzy sets and
systems, 54(1), 1-9.
Song, Q., y Chissom, B. (1994). Forecasting enrollments with fuzzy time series—Part II. Fuzzy sets
and systems, 62(1), 1-8.
Stevenson, M., Porter, J. (1972). Fuzzy time series forecasting using percentage change as the universe
of discourse. Change, 1971(3.89), 464-467.
pág. 1071
Stevenson, M., Porter, J. (1972). Fuzzy time series forecasting using percentage change as the universe
of discourse. Change, 1971(3.89), 464-467.
Tabares, H., y Hernández, J. (2009). Aproximación por lógica difusa de la serie de tiempo: demanda
diaria de energía eléctrica. Revista Facultad de Ingeniería Universidad de Antioquia(47), 209-
217.
Trinidad, A. (2014). Modelos de crecimiento en biología, su significado biológico y selección del
modelo por su ajuste. Universidad Auntónoma Metropolitana-Iztapalapa.
Zadeh, L. (1965). Fuzzy sets. Information and control, 8(3), 338-353.
Zadeh, L. (1975). The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning—I.
Information sciences, 8(3), 199-249.
