DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v8i2.10549
Modelo de Proyección Poblacional con Series de Tiempo Difusas
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Jaqueline Jessica Cabello Blanco[1] https://orcid.org/0000-0002-7464-0305 Universidad Nacional José Faustino Sanchez Carrión Huacho - Perú
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RESUMEN
El
presente estudio es de alcance descriptivo – propositivo, la finalidad del
estudio es modelar la proyección poblacional con series de tiempo difusas, el
diseño de investigación empleado es no experimental. El modelo de proyección de
la población peruana (variable lingüística) obtenido fue: más
más
más
más
, este modelo de
proyección poblacional con series de tiempo difusas presenta una tasa media de
error de pronóstico de 0.106% frente a una tasa media de error de pronóstico
del modelo lineal de 4.06% y 1.40% de tasa media de error de pronóstico del
modelo logístico. Se concluye que el pronóstico de la población peruana con
series de tiempo difusas tiene mayor precisión tomando en cuenta en el proceso,
la tendencia de la población en estudio.
Palabras clave: proyección poblacional, series de tiempo difusas, conjuntos difusos
Population Projection Model With Fuzzy Time Series
ABSTRACT
The
present study is descriptive - propositional in scope, the purpose of the study
is to model the population projection with fuzzy time series, the research
design used is non-experimental. The projection model of the Peruvian
population (linguistic variable) obtained was: plus
, this population
projection model with fuzzy time series presents an average forecast error rate
of 0. 106% versus a mean forecast error rate of the linear model of 4.06% and
1.40% mean forecast error rate of the logistic model. It is concluded that the
forecast of the Peruvian population with fuzzy time series has greater accuracy
taking into account in the process, the trend of the population under study.
Keywords: population projection, fuzzy time series, fuzzy sets
Artículo recibido 20 febrero 2024
Aceptado para publicación: 26 marzo 2024
INTRODUCCIÓN
La población mundial está experimentando crecimientos drásticos, sus relaciones económicas y sociales son complejas, la función de los países es desarrollar, implementar y evaluar programas para mejorar la calidad de vida de sus ciudadanos, por lo que se necesita información del crecimiento demográfico, Rincón (1989) afirma que las proyecciones de población constituyen una de las bases fundamentales para fines de planificación de las actividades económicas y sociales de un país; en Perú, la metodología seguida para la elaboración de las proyecciones nacionales, consideran las recomendaciones, normativas y metodologías de las Naciones Unidas, que utiliza el método demográfico de los componentes (fecundidad, mortalidad y migración), método tradicional cuya principal fortaleza es su simplicidad, englobando los nacimientos y población migrante para después deducir las defunciones y emigraciones, el procesamiento de los datos lo realizan utilizando el PRODEX que es un programa en Excel preparado por la Comisión Económica para América Latina y el Caribe (CEPAL) del Centro Latinoamericano y Caribeño Demográfico (CELADE), el cual permite ingresar cada uno de los componentes elaborados en forma independiente, cuyo principio fundamental es la ecuación compensadora desarrollada por Pascal Whelpton en 1947, de esta forma la población total es proyectada por el método de componentes, que es resultado de la combinación de la fecundidad, la mortalidad y la migración, la precisión de estas proyecciones están sujetas a un determinado margen de error, la población se proyecta en el tiempo bajo supuestos del comportamiento de las tasas que regulan los niveles de crecimiento, por tanto el propósito de esta investigación es determinar el modelo de proyección poblacional con series de tiempo difusas que aproxime la realidad desde esta teoría, que proporcione mayor indice de precisión que el método existente, es necesario entender que la proyección poblacional es un fenómeno con incertidumbre en su ocurrencia. La importancia de esta investigación es cuantificar la incertidumbre que se relaciona a la proyección poblacional, este modelo de proyección poblacional servirá como instrumento científico que cuente con la coherencia, validez y veracidad científica. Los datos de esta investigación provienen del Boletín de Análisis Demográfico N° 38 del Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) y se presenta el modelo de proyección poblacional “desarrollo de la población” con series de tiempo difusas; diferentes autores han venido estudiando en este campo (Abbasov y Mamedova, 2003; Argote-Cusi, 2018; Chen y Hsu, 2004; Chen y Hwang, 2000; Jilani et al., 2008; Sasu, 2010; Song y Chissom, 1993, 1994; Stevenson y Porter, 1972) y otros campos de la dinámica social humana; Tabares y Hernández (2009) y Zadeh (1975) mencionan que la ciencia moderna no puede comprender un fenómeno si no está caracterizado en términos cuantitativos, al renunciar a la precisión se disponen a entender números inciertos (números difusos) para explorar el uso de las variables lingüísticas que son variables cuyos valores no son números sino palabras o frases en un lenguaje natural o artificial que son de utilidad en una amplia variedad de aplicaciones prácticas, Aluja (2000) menciona que la caracterización de estos números difusos son susceptibles de representarse en fenómenos con incertidumbre en su ocurrencia. Así el conjunto total de términos de la variable lingüística “desarrollo de la población” de esta investigación es: bajo crecimiento poblacional más invariante crecimiento poblacional más moderado crecimiento poblacional más alto crecimiento poblacional más muy alto crecimiento poblacional. En conclusión, la teoría de las series de tiempo difusas es útil en la modelación del crecimiento poblacional, que es un fenómeno no caracterizado en términos cuantitativos.
METODOLOGÍA
La investigación desarrollada es de enfoque cuantitativo, cuyo alcance es descriptivo – propositivo cuenta con un diseño no experimental de corte transeccional. Para desarrollar el modelo de proyección poblacional con series de tiempo difusas se utilizó el modelo de primer orden, se siguió una metodologia rigurosa que se describen a continuación:
1.
Definición del universo de discurso que
contiene el valor máximo y mínimo de la variación de población.
2.
Segmentación del universo de discurso en
intervalos
de igual longitud
3.
Descripción cualitativa de los valores de
variación de la población total como variable lingüística (conjunto
del conjunto difuso).
4.
Fuzzificación los datos de entrada o conversión
de los valores numéricos a valores difusos, mediante la fórmula:
5.
Definición del valor pronosticado en su
forma difusa .
Para definir el valor pronosticado se calcula la matriz de operaciones
y la matriz de criterios que mediante la operación min
se
determina la relación difusa
que
es modelo de primer orden de
.
6.
Defuzzificación (proceso inverso de
fuzzificar) de los resultados obtenidos. Se propone la fórmula:
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Primer
paso: Definición del universo de discurso que contiene el valor
máximo y mínimo de la variación de población, para definir el universo de
discurso
, primero se definen el
valor mínimo y máximo en la columna de variación de la población. Se encontró
el valor máximo que se denota por
y el valor mínimo
denotado con
, se define el universo
de discurso con la fórmula:
donde
y
son dos números
positivos, escogemos
y
. Luego el universo de
discurso es:
Segundo
paso: Segmentación del universo de discurso en
intervalos de igual
longitud,
se segmentó el universo de discurso
en
intervalos de igual
longitud:
, con
. Obteniendo los
intervalos:
;
;
;
;
. Tomando en cuenta que
el pronóstico con series de tiempo difusas presenta el menor error promedio, se
halló los puntos medios de cada uno de los intervalos:
,
,
,
,
.
Tercer
paso: Descripción cualitativa de los valores de variación de la población total
como variable lingüística (conjunto del conjunto
difuso).
A cada valor lingüístico le corresponde una variable difusa que, de acuerdo con
una regla, se asignará contra un conjunto difuso. Es importante comprender que
la noción de incertidumbre es distinta de la de probabilidad (Zadeh, 1975).
Tabla 1. Modelo de proyección de la población peruana
|
Conjunto difuso |
Variable lingüística “Desarrollo de la población” |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
La tabla 1
muestra los conjuntos difusos que están definidos sobre el universo de discurso
. En este caso el
“Desarrollo de la población” es una variable lingüística que asume los valores
lingüísticos
= Nivel bajo de
crecimiento poblacional (NBCP),
= Nivel invariante de
crecimiento poblacional (NICP),
= Nivel moderado de
crecimiento poblacional (NMCP),
= Nivel alto de
crecimiento poblacional (NACP),
= Nivel muy alto de
crecimiento poblacional (NMACP). A cada valor lingüístico le corresponde una
variable difusa que, según una regla determinada, se asigna a un conjunto
difuso correspondiente que determina el significado de dicha variable. Por ejemplo,
el valor lingüístico “nivel bajo de crecimiento poblacional” está dado por la
variable difusa
, donde
es un conjunto difuso
definido en el dominio
del universo de
discurso
.
Cuarto
paso: Fuzzificación los datos de entrada o conversión de los valores numéricos
a valores difusos, mediante la fórmula:
Donde:
variación poblacional
: puntos medio de los
intervalos
es una constante que
asegura la conversión de los valores definidos en los valores difusas o su
pertenencia al intervalo (
.
Si
se acepta el valor de como punto medio del
intervalo correspondiente, el conjunto difuso
, se define de la
siguiente manera:
|
|
|
(0.00010/ |
(0.00002/ |
(0.00001/ |
0.00001/ |
|
|
|
(1.00000/ |
(0.00010/ |
0.00002/ |
0.00001/ |
|
|
|
(0.00010/ |
(1.00000/ |
0.00010/ |
0.00002/ |
|
|
|
(0.00002/ |
(0.00010/ |
1.00000/ |
0.00010/ |
|
|
|
(0.00001/ |
(0.00002/ |
0.00010/ |
1.00000/ |
Figura 1. Función de pertenencia de los valores del conjunto difuso de la variable lingüística “Desarrollo de la población”
Quinto
paso: Definición del valor pronosticado en su forma difusa .
Se
calcula la matriz de relaciones difusas mediante el cual se da
un pronóstico del crecimiento de la población en el año siguiente. En este caso
se selecciona
y se define la matriz
de operaciones
(que es la matriz de
variación difusa en la población total sobre los años
,
,
,
) y la matriz de
criterios
(que es la matriz de
variación difusa para el año
). Así para
, se utiliza los datos
de los 6 años anteriores (se debe conocer la población total del año
para encontrar la
variación del año
.
Posterior
a esto se halla que es una relación
difusa y se denomina modelo de primer orden de
donde
es una operación
; luego se define el
valor pronosticado
para el año
en forma difusa:
,
Por ejemplo, para pronosticar la población total para el año 1956 se establecerá la matriz de operaciones:
|
|
0.026 |
0.064 |
0.005 |
0.002 |
0.001 |
|
|
|
0.021 |
0.088 |
0.006 |
0.002 |
0.001 |
|
|
|
0.017 |
0.138 |
0.006 |
0.002 |
0.001 |
|
|
|
0.014 |
0.263 |
0.007 |
0.002 |
0.001 |
|
La matriz de criterios:
|
|
0.012 |
0.644 |
0.009 |
0.002 |
0.001 |
|
Se
calcula la matriz de relaciones difusas ;
es una operación min
, que es el modelo de
primer orden de
.
|
|
0.012 |
0.064 |
0.005 |
0.002 |
0.001 |
|
|
0.012 |
0.088 |
0.006 |
0.002 |
0.001 |
|
|
0.012 |
0.138 |
0.006 |
0.002 |
0.001 |
|
|
0.012 |
0.263 |
0.007 |
0.002 |
0.001 |
Luego
se define el valor pronosticado para el año 1956 en
forma difusa:
|
|
0.012 |
0.263 |
0.007 |
0.002 |
0.001 |
Sexto paso: Defuzzificación (proceso inverso de fuzzificar).
Para
defuzzificar los resultados obtenidos o conversión de los valores difusos en
valores numéricos se propone la fórmula: (crecimiento esperado
de la población).
Donde:
: es el valor calculado
de función de pertenencia para el año de pronóstico
.
: son los puntos medios
de los intervalos.
Para
estimar la población total pronosticada para el año 1956, se calcula el
crecimiento esperado: (según la figura 1, se
interpreta que para el año 1956 el nivel de crecimiento poblacional peruano fue
invariante con un grado de pertenencia de 0.90). Luego se calcula la población
pronosticada para el año 1956:
millones.
Finalmente
los pronósticos de la población peruana obtenidos con series de tiempo difusas
(STD) se compara con el modelo lineal (ML): y el modelo logístico
(MLOGI):
. Los resultados se
muestra en la tabla 2.
Tabla 2. Comparación de pronóstico de la población peruana entre los modelos de proyección poblacional: series de tiempo difusas (STD), modelo lineal (ML) y el modelo logístico (MLOGI).
|
Año |
Población observada |
Población pronosticada con series de tiempo difusas (STD) |
Población pronosticada con el modelo lineal (ML) |
Población pronosticada con el modelo logistico (MLOGI) |
Error relativo (STD) |
Error relativo (ML) |
Error relativo (MLOGI) |
|
1956 |
9098885 |
9098746.7 |
9519545.85 |
9228338.84 |
0.000015199 |
0.04623213 |
0.01422744 |
|
1960 |
10153262 |
10127507.2 |
10908233.8 |
10383666.8 |
0.002536607 |
0.07435756 |
0.02269269 |
|
1970 |
13453692 |
13429789.6 |
14379953.7 |
13681000.9 |
0.001776641 |
0.06884814 |
0.01689565 |
|
1980 |
17531898 |
17535319.7 |
17851673.5 |
17473695.9 |
0.000195169 |
0.01823964 |
0.00331978 |
|
1990 |
22031627 |
22018655.3 |
21323393.4 |
21558828.5 |
0.000588778 |
0.03214622 |
0.02145999 |
|
2000 |
26390142 |
26448748.9 |
24795113.3 |
25659112.7 |
0.002220788 |
0.06044032 |
0.02770085 |
|
2010 |
28692915 |
28681410.3 |
28266833.2 |
29493196.6 |
0.000400959 |
0.01484972 |
0.02789126 |
|
2020 |
32625948 |
32658503.8 |
31738553 |
32848109.9 |
0.00099785 |
0.02719906 |
0.00680936 |
|
2030 |
35792079 |
35803032.3 |
35210272.9 |
35617428.9 |
0.000306026 |
0.01625516 |
0.00487957 |
|
2040 |
38023290 |
38058262.2 |
38681992.8 |
37795402 |
0.000919757 |
0.01732367 |
0.00599338 |
|
2050 |
39363351 |
39431252.8 |
42153712.6 |
39444028 |
0.001725001 |
0.0708873 |
0.00204955 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Tasa media de error de pronóstico (TMEP) |
0.00106207 |
0.04061627 |
0.01399268 |
||||
|
Tasa media de error de pronóstico porcentual (TMEP %) |
0.106207048 |
4.06162663 |
1.39926845 |
||||
Donde
se observa que la tasa media de error de pronóstico porcentual con series de
tiempo difusas es de 0.106 %, la población pronosticada con el modelo lineal presenta una tasa media
de error de pronóstico porcentual de 4.06% y el modelo logístico
tiene una tasa media de
error de pronóstico porcentual de 1.40%, concluyendo que el método de
pronóstico con series de tiempo difusas presenta una mayor precisión con una
tasa media de error de pronóstico porcentual de 0.106%.
los resultados del pronóstico de la población peruana con series de tiempo difusas han demostrado que tienen una buena aproximación a diferencia del modelo lineal y el modelo logístico, el modelo de proyección poblacional con series de tiempo difusas, toma en cuenta la tendencia de población en estudio, logrando una mayor precisión frente al modelo lineal y el modelo logístico, demostrando que el pronóstico de la población con las series de tiempo difusas logra pronósticos más precisos para cualquier horizonte lejano, coincidiendo con Stevenson y Porter (2009), quienes concluyen que el método de series de tiempo difusas da como resultado una mayor precisión en los pronósticos que los modelos existentes. Song y Chissom (1993) mencionan la superioridad en los pronósticos con series de tiempo difusas, Abbasov y Mamedova, 2003; Argote-Cusi, 2018, observan que las series de tiempo difusas permiten tener en cuenta la tendencia, la no linealidad de la población y tasas de crecimiento, logrando pronósticos más precisos, Sasu (2010) concluye que las series de tiempo difusas ayudan a realizar cálculos de pronóstico para cualquier perspectiva lejana, concordando con los resultados obtenidos en este estudio.
CONCLUSIONES
Se
concluye que se logró el propósito de esta investigación que es modelar la
proyección poblacional con series de tiempo difusas obteniendo el modelo de
proyección de la población peruana (variable lingüística):
, definiendo el
universo de discurso
, este modelo de
proyección poblacional presenta mayor precisión y se concluye que es posible
realizar un pronóstico más preciso dado que el modelo toma en cuenta las
tendencias de la población analizada.
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