PRONÓSTICO DEL PRECIO DE BARRIL DE
PETRÓLEO EN MÉXICO PARA EL PERIODO
FEBRERO DE 2023 A ENERO DE 2024 MEDIANTE
UN MODELO ARIMA EN RSTUDIO
FORECAST OF THE PRICE OF A BARREL OF OIL IN MEXICO
FOR THE PERIOD FEBRUARY 2023 TO JANUARY 2024 USING
AN ARIMA MODEL IN RSTUDIO
César Ángel Fierro Torres
Tecnológico Nacional de México, México
Arturo Woocay Prieto
Tecnológico Nacional de México, México
Claudia Irene Torres Saucedo
Centro de Bachillerato Tecnológico Industrial y de Servicios 128, México
Laura Isela Gómez Palma
Centro de Bachillerato Tecnológico Industrial y de Servicios 128, México
Natalia Idaly Barraza Ramírez
Centro de Bachillerato Tecnológico Industrial y de Servicios 128, México
pág. 1147
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v8i3.11326
Pronóstico del Precio de Barril de Petróleo en México para el Periodo
Febrero de 2023 a Enero de 2024 Mediante un Modelo ARIMA en RStudio
César Ángel Fierro Torres1
M21110218@cdjuarez.tecnm.mx
https://orcid.org/0000-0003-4962-4618
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de Ciudad Juárez
México
Arturo Woocay Prieto
arturo.wp@cdjuarez.tecnm.mx
https://orcid.org/0000-0001-9235-0494
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de Ciudad Juárez
México
Claudia Irene Torres Saucedo
claudiairene.torres.cb128@dgeti.sems.gob.mx
https://orcid.org/0000-0002-9375-5976
Centro de Bachillerato Tecnológico Industrial
y de Servicios 128
Chihuahua, México
Laura Isela Gómez Palma
laura.gomez@cbtis128.edu.mx
https://orcid.org/0009-0008-0653-9513
Centro de Bachillerato Tecnológico Industrial
y de Servicios 128
Chihuahua, México
Natalia Idaly Barraza Ramírez
natalia.barraza@cbtis128.edu.mx
https://orcid.org/0009-0005-6174-9861
Centro de Bachillerato Tecnológico Industrial
y de Servicios 128
Chihuahua, México
RESUMEN
El objetivo del presente trabajo de investigación fue desarrollar un caso práctico de pronóstico de series
temporales para el precio del barril de petróleo en México, para el periodo febrero de 2023 a enero de
2024. El precio del barril de petróleo se modeló como una serie de tiempo y se pronosticó utilizando un
modelo de promedios móviles autorregresivos integrados (ARIMA). Bajo un enfoque estocástico, se
define que una serie temporal es la secuencia de valores de una variable a lo largo del tiempo, cuyo
comportamiento está dado por la aleatoriedad a partir de un proceso que es totalmente desconocido o
difícil de modelar matemáticamente. En el caso del precio del petróleo, este se ve afectado por una gran
variedad de variables, factores y sucesos geopolíticos, como es el caso de la guerra en Ucrania en la
actualidad, por lo que el enfoque estocástico mediante un modelo ARIMA resulta una opción pertinente.
Los resultados comparados con los datos de prueba muestran que el modelo tuvo un error MAPE de
6.33% y un RMSE de 6.106, por lo que se considera que el modelo generó pronósticos precisos, a pesar
de que se consideró un horizonte a largo plazo de 12 meses para su evaluación.
Palabras clave: ARIMA, pronósticos, series temporales, proceso estocástico
1
Autor principal
Correspondencia: M21110218@cdjuarez.tecnm.mx
pág. 1148
Forecast of the Price of a Barrel of Oil in Mexico for the Period February
2023 to January 2024 Using an ARIMA Model in RStudio
ABSTRACT
The objective of this research was to develop a case study of forecasting time series for the price of a
barrel of oil in Mexico, for the period February 2023 to January 2024. The price of a barrel of oil was
modeled as a time series and forecast using a model of self-regressive integrated moving averages
(ARIMA). Under a stochastic approach, a time series is defined as the sequence of values of a variable
over time, whose behavior is given by randomness from a process that is totally unknown or difficult
to model mathematically. In the case of oil prices, oil prices are affected by a wide variety of geopolitical
variables, factors and events, such as the war in Ukraine at present, making the stochastic approach
using an ARIMA model a relevant option. The results compared with the test data show that the model
had a MAPE error of 6.33% and an RMSE of 6.106, so it is considered that the model generated accurate
forecasts, although it was considered a long-term horizon of 12 months for its evaluation.
Keywords: ARIMA, forecasts, time series, stochastic process
Artículo recibido 10 abril 2024
Aceptado para publicación: 20 mayo 2024
pág. 1149
INTRODUCCIÓN
Una serie de tiempo es un conjunto de datos organizados de forma secuencial en el tiempo en intervalos
regulares y bajo una misma escala (días, semanas, meses, etc.) y que sirven para representar cualquier
tipo de variable que se busque medir a lo largo del tiempo.
De acuerdo con Render y Heizer (2014), una serie temporal puede descomponerse en sus componentes
estacional, tendencia, ciclo y aleatoria, cuyas definiciones son las siguientes:
Estacionalidad
Patrón que siguen los datos que se repite en periodos de tiempo de corto plazo: días, semanas,
meses, trimestres, semestres, etc. Por ejemplo, los negocios de entretenimiento presentan
estaciones semanales donde el fin de semana es su periodo de mayor venta.
Tendencia
Es el movimiento que sigue la serie de tiempo de forma sucesiva y continua hacia arriba o hacia
abajo y que suele representarse como una recta (es la componente de los modelos de regresión
lineal).
Ciclos
Son patrones en los datos, mayores de un año, debidos a factores distintos a los generados por
la estacionalidad. Los intervalos de tiempo de las variaciones cíclicas no son fijos ya que no
siguen ninguna estacionalidad. Los ciclos suelen mostrar periodos de auge, desaceleración o
declive de las economías y suelen ser difíciles de predecir, dadas sus múltiples causas que
corresponden a cuestiones geopolíticas.
Variaciones aleatorias
Son valores obtenidos por casualidad o situaciones fuera de lo común y que no pueden ser
predecibles ya que no siguen ningún patrón de comportamiento.
En la figura 1 se muestra un ejemplo de serie de tiempo de la demanda de un producto. Incluye las
componentes de la serie que son: la tendencia, la línea de la demanda, la demanda promedio, los picos
estacionales y la variación aleatoria.
pág. 1150
Figura 1. Componentes de una serie de tiempo
Fuente: (Render y Heizer, 2014, p. 109)
De acuerdo con García Díaz (2016), una serie temporal puede descomponerse en sus componentes:
estacional, tendencia, ciclo y aleatoria, en tres esquemas diferentes: aditivo, multiplicativo y mixto. En
el esquema aditivo, la serie de tiempo es el resultado de la suma de sus cuatro componentes, lo cual
implica que son independientes entre sí. La serie de tiempo está dada por la ecuación:
(1)
Donde corresponde a la serie temporal, a la componente de la tendencia (trend), a la
componente cíclica (Cycle), a la componente estacional (Seasonal) e a la componente de
aleatoriedad (Irregular). Cuando algunas de las componentes no sean independientes y tengan alguna
relación, se trata de un esquema multiplicativo de series de tiempo. Cuando todas las componentes son
dependientes, la serie de tiempo está dada por la ecuación:
(2)
Para identificar visualmente la interacción aditiva o multiplicativa entre las componentes de tendencia
y estacionalidad en el patrón de datos, es de ayuda la clasificación realizada por Carl Pegels en 1969
(Fullana Fuster, 2020). En la figura 2 se presentan los nueve posibles casos del comportamiento de los
datos de una serie de tiempo.
pág. 1151
Figura 2. Conducta de series de tiempo según la clasificación de Pegels.
Fuente: (Fullana Fuster, 2020)
De acuerdo con la clasificación de Pegels, se puede observar que la tendencia no afecta la serie de
tiempo cuando esta no tiene ninguna inclinación, es decir, tiene un comportamiento horizontal. Cuando
se aprecia un comportamiento lineal, se trata de una tendencia aditiva; mientras que cuando es
multiplicativa tiene un comportamiento exponencial.
Cuando no hay un patrón en el comportamiento de los datos de la serie de tiempo, se puede inferir que
no hay una afectación por la estacionalidad. Cuando hay un patrón en el comportamiento de los datos
que se mantiene constante en el tiempo, se trata de una estacionalidad aditiva. Por último, cuando el
patrón se expande en el tiempo, se puede considerar como una estacionalidad multiplicativa.
Sin embargo, en series de tiempo más complejas puede darse el caso de que no es posible detectar a
simple vista la naturaleza de las componentes de tendencia y estacionalidad, por lo que se recomienda
probar modelos aditivos y multiplicativos por separado y elegir el que tenga menor error de pronóstico,
también llamado bondad de ajuste.
En las últimas décadas del siglo XX, hubo un cambio de paradigma en la modelación de las series de
tiempo. El enfoque clásico determinista explica que el valor de la variable dependiente (el pronóstico)
Zt, está dado por las componentes (tendencia, ciclo, estacionalidad y aleatoriedad) que actúan en el
tiempo, estas son las variables independientes. Ejemplos de dicha modelación clásica se encuentran en
las ecuaciones 1 y 2 explicadas anteriormente. La desventaja del enfoque determinista es que la
aleatoriedad o también llamado ruido o residuo es una componente no modelable y por lo tanto se
considera como error de pronóstico. Entre más aleatoria sea una serie de tiempo, más difícil es para un
pág. 1152
modelo determinista encontrar una función matemática que realice la predicción (Aguirre, 1994). En
el caso de estudios de fenómenos sociales, económicos o en el área de la salud, donde la aleatoriedad
es una constante que no se puede ajustar como en las ciencias experimentales o la ingeniería, la
modelación clásica se vio limitada en sus alcances.
Ante esta problemática, se empezó a proponer un tratamiento estocástico de las series de tiempo, es
decir, que la variable de estudio es resultado de la aleatoriedad a partir de un proceso que es totalmente
desconocido (o difícil de modelar matemáticamente). Por lo tanto, la modelación estocástica de series
de tiempo busca identificar el modelo probabilístico que interprete de mejor manera el comportamiento
de la variable a lo largo del tiempo. Una de las ventajas del enfoque estocástico es la flexibilidad para
modelar distintos fenómenos bajo una clase general de modelos (Cortés Patiño, 2011).
En la década de los años 1970, hubo un avance notable en la modelación estocástica de series de tiempo,
gracias al trabajo realizado por los estadísticos norteamericanos George Edward Pelham Box (1919-
2013) y Gwilym Jenkins (1932-1982). Ambos crearon una metodología a partir del modelo de promedio
móvil autorregresivo integrado, ARIMA por sus siglas en ingles. También se le conoce como
metodología de Box-Jenkins en honor a sus autores (Makridakis, Wheelwright y Hyndman, 2005).
metodología de Box Jenkins sigue el procedimiento que se muestra en el diagrama de flujo de la figura3.
Figura 3. Metodología de Box-Jenkins para modelos ARIMA.
Fuente: (Hanke y Wichern, 2010, p. 400)
pág. 1153
1. Selección de un modelo inicial
En la identificación del modelo es necesario verificar la autocorrelación y la autocorrelación parcial de
los valores en la serie de tiempo para identificar si se tratan de modelos autorregresivos (AR), modelos
de promedio móvil (MA) o modelos de promedio móvil autorregresivos (ARMA). Existen dos tipos de
procesos estocásticos: estacionarios, que al tener una distribución de probabilidad constante el tiempo
permite realizar pronósticos, y los no estacionarios cuya función de probabilidad no es constante y por
lo tanto es impredecible. Cuando se trabaja con series de tiempo no estacionarias es necesario
transformarlas, generalmente por diferenciación, generando un modelo ARIMA (p,d,q), siendo p el
número de autorregresivos, d el número de diferenciaciones y q el número de medias móviles.
2. Estimación de los coeficientes del modelo
Son los valores de los coeficientes de las ecuaciones del modelo y que pueden ser estimadas
empíricamente mediante la observación del ajuste de la serie del tiempo o bien utilizando métodos
numéricos para asegurar el mejor ajuste.
3. Verificación del modelo
Se utiliza el modelo planteado con base en un conjunto de datos de entrenamiento o ajuste para realizar
pronósticos a un periodo de prueba que pueda ser comparado con el valor real.
4. Diagnóstico del modelo
Se utilizan distintas métricas para evaluar los residuos en los datos de prueba (la diferencia entre el
valor histórico y el valor del modelo) y si este es aceptable, se procede a realizar los pronósticos para n
periodos de tiempo deseados (Olvera Vázquez, 2020).
MÉTODO
Hoy en día, con la ayuda de herramientas estadísticas potentes como R, es posible seguir un método
más riguroso para la validación y realización de pronósticos de series temporales utilizando los modelos
ARIMA con ayuda de pruebas de hipótesis estadísticas más especializadas, en comparación con las
tradicionales hojas de cálculo u otros softwares comerciales.
R es un lenguaje de programación creado en 1993 por los profesores Robert Gentleman y Ross Ihaka
para enseñar estadística en la Universidad de Auckland, tomando el nombre de las iniciales de sus
creadores. Es utilizado para el análisis, procesamiento y visualización de datos. RStudio es un entorno
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de desarrollo integrado (IDE), que consiste en una interfaz gráfica para utilizar de forma más amigable
y accesible el lenguaje R, que facilita la escritura, depuración y ejecución de código (Vargas y Mesa-
Fúquen, 2021). R funciona a partir de librerías con distintas funciones para un propósito en específico.
Con base en la literatura consultada se expone el método utilizado para el pronóstico del precio del
barril del petróleo en México mediante RStudio en la figura 4.
Figura 4. Metodología propuesta para pronósticos ARIMA.
Fuente: Elaboración propia.
1. Separación de datos de prueba y entrenamiento
Para poder realizar y posteriormente validar un modelo de pronósticos es necesario separar los datos en
grupos de entrenamiento, que son aquellos con los que se ajusta el modelo, y los de prueba, con los que
se realiza la comparación de las estimaciones. Los datos obtenidos a través del Sistema de Información
Energética y el Banco de México, permiten elaborar una serie de tiempo mensual desde enero de 1990
a enero de 2024 del precio del barril del petróleo mexicano en dólares, misma que se representa
gráficamente en la figura 5.
1. Separación de
datos de prueba y
entrenamiento
2. Comprobación
de
estacionariedad
3. Análisis de
autocorrelación
4. Selección del
modelo
5. Análisis de los
residuos.
6. Realizar
pronósticos.
7. Evaluar modelo
pág. 1155
Figura 5. Precio del barril de petróleo mexicano de enero de 1990 a enero de 2024
Fuente: Elaboración propia con datos del Sistema de Información Energética y el Banco de México.
De esta serie de tiempo se tomará como el grupo de entrenamiento los datos de los meses de enero de
1990 a enero de 2023, mientras que los datos de prueba serán desde febrero de 2023 a enero de 2024,
es decir, 12 meses.
2. Comprobación de la estacionariedad
El primer paso para plantear un modelo ARIMA, es determinar si la serie es estacionaria o no,
definiendo que el concepto de estacionariedad implica que la serie tiene un comportamiento estable a
través del tiempo, lo cual se ve reflejado gráficamente con una forma de “ruido blanco”. Si bien la
estacionariedad puede comprobarse de forma visual, detectando si la serie de tiempo tiene tendencia o
no, una manera formal de identificarla es mediante la prueba de hipótesis de Dickey-Fuller con la
distribución t (Roza, Violita y Aktivani, 2022).
La hipótesis nula es que el modelo de predicción tiene raíz unitaria (tendencia impredecible en un
proceso estocástico), la hipótesis alternativa es que la serie de tiempo no tiene raíz unitaria. A la raíz
unitaria también se le conoce como la caminata aleatoria, ya que implica que los valores de la variable
dependiente no están dados solamente por las mediciones en el tiempo, sino por otras variables
aleatorias independientes y con media igual a cero. Por lo tanto, se busca rechazar la hipótesis nula de
que la serie de tiempo tiene raíz unitaria, lo que implica que es estacionaria. Los resultados realizados
en R, mostrados en la figura 6 muestran un valor P de 0.367, por lo tanto, no se puede rechazar Ho, lo
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que significa que la varianza y la media no son constantes a lo largo del tiempo, sino que son cambiantes
y probablemente hay una tendencia.
Figura 6. Test de Dickey-Fuller para la estacionaeriedad
Fuente: Elaboración propia.
Como es de suponerse, es muy común que, dada la naturaleza de ciertas series de tiempo, el requisito
de la estacionariedad se incumpla, por lo que para poder trabajar con los modelos ARIMA es necesario
transformar la serie de tiempo para volverla estacionaria. Los tres métodos más populares para
transformar la serie de tiempo son los logaritmos naturales, la raíz cuadrada y la diferenciación. El
primer método consiste en sacar el logaritmo natural de los valores de la serie; en el segundo método
se saca la raíz cuadrada de los valores, mientras que en el método de diferenciación se trabaja con las
diferencias secuenciadas de los valores.
Es necesario que una vez realizada la transformación se vuelva a realizar la prueba de hipótesis de
Dickey-Fuller para confirmar la estacionariedad, si en la primera transformación no se ha podido
rechazar Ho, es necesario repetir el procedimiento hasta lograr la estacionariedad. En la figura 7 se
representa el proceso de transformación de la serie de
tiempo del precio de petróleo.
Figura 7. Transformación de la serie de tiempo.
Fuente: Elaboración propia.
pág. 1157
Se comparan dos métodos, el de la transformación logarítmica y el de transformación con diferencias.
Al realizar la primera transformación logarítmica, la raíz unitaria, lo que es igual a la tendencia, se ve
incrementada, tal como indica el aumento del valor p; por lo que este método logra lo opuesto a la
estacionariedad. Con el método de diferencias, al realizar la primera transformación, visualmente se
observa un cambio de la serie temporal hacia la estacionariedad y el valor p de la prueba de hipótesis
(0.01), menor a 0.05, por lo que se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa de que
la serie de tiempo es estacionaria. Por lo tanto, para este ejemplo, se trata de un modelo ARIMA con
una diferencia (d).
3. Análisis de la autocorrelación
Es común que cuando se mide una variable a lo largo del tiempo, los valores estén correlacionados en
diferentes periodos. Esta correlación se mide a través del coeficiente de autocorrelación. “La
autocorrelación es la correlación que existe entre una variable retrasada uno o más periodos consigo
misma” (Hanke y Wichern, 2010).
Los retardos son el número de veces que han sido desfasados los datos en la escala de tiempo. En la
tabla 1 se muestra el ejemplo de un conjunto de datos con retardos k= 0,1,2,3,4 del precio del petróleo
de enero a octubre de 1990. En el primer retardo se busca encontrar una correlación del dato t (siendo t
el periodo de tiempo) con respecto al dato t-1; en el retardo dos se busca encontrar la correlación del
dato t con respecto al dato t-2, y así sucesivamente. Por ejemplo, para el dato del precio del mes de
junio con retardo igual a 4, significa que se buscara la autocorrelación el precio del mes de febrero (4
meses atrás).
Tabla 1. Retardos a cuatro meses de la serie de tiempo (enero a octubre de 1990)
Fuente: Elaboración propia.
Mes Precio
Retardo=0
Yt
Retardo=1
Yt-1
Retardo=2
Yt-2
Retardo=3
Yt-3
Retardo=4
Yt-4
ene-90 16.6 16.6
feb-90 15.8 15.8 16.6
mar-90 14.2 14.2 15.8 16.6
abr-90 12.4 12.4 14.2 15.8 16.6
may-90 12.1 12.1 12.4 14.2 15.8 16.6
jun-90 11.3 11.3 12.1 12.4 14.2 15.8
jul-90 14.5 14.5 11.3 12.1 12.4 14.2
ago-90 22.8 22.8 14.5 11.3 12.1 12.4
sep-90 29.1 29.1 22.8 14.5 11.3 12.1
oct-90 28.4 28.4 29.1 22.8 14.5 11.3
pág. 1158
A partir de los k retardos de los datos se pueden calcular el coeficiente de autocorrelación de la variable
(Montgomery, Jennings y Kulahci, 2015).
Donde:
(3)
Una de las características de la función de autocorrelación es que el coeficiente calculado para un
retardo k incluye el efecto de autocorrelación acumulado de los retardos anteriores. Para saber el efecto
puro de autocorrelación del retardo k es necesario calcular la función de autocorrelación parcial. Por
ejemplo, el coeficiente de correlación para un desfase de k=6, es únicamente la correlación que no
explican los desfases del 1 al 5. Para poder obtener los coeficientes de autocorrelación parcial es
necesario realizar operaciones matriciales dadas por la ecuación 4, que forma parte del conjunto de
ecuaciones de Yule-Walker (Montgomery, Jennings y Kulahci, 2015).
Donde:
(4)
pág. 1159
A través del cálculo de autocorrelaciones, distintos softwares estadísticos como R, permiten crear las
gráficas de autocorrelación (ACF) y de autocorrelación parcial (PACF), donde los valores fuera de los
limites indican una autocorrelación estadísticamente significativa. Es de esperarse que, en los gráficos
de autocorrelación, el comportamiento tienda a cero rápidamente conforme aumenta el número de
retardos.
Por ejemplo, el precio del mes de febrero mostrará una correlación estadísticamente significativa con
el precio de enero (retardo k=1), mientras que el precio de abril comparado con el de enero mostraran
una correlación por debajo de los limites (retardo k=3). En los modelos ARIMA los valores del ACF
que están fuera de los limites indican el número de términos de promedio móvil del modelo (q), mientras
que los valores del PACF fuera de los limites indican el número de términos autorregresivos (p).
En la figura 8 se muestran los gráficos de autocorrelación y autocorrelación parcial del precio del
petróleo con los datos de entrenamiento. En el gráfico de autocorrelación ACF se observan seis valores
fuera de los límites, lo que indica que el modelo ARIMA tiene 6q (medias móviles ponderadas de los
errores pasados del pronóstico MA), y en el gráfico de autocorrelación parcial ACP, hay un valor fuera
de los límites, por lo tanto, el modelo ARIMA tiene 1p (auto regresión de la variable contra valores
pasados de ella misma).
Figura 8. Gráficos de autocorrelación (ACF) y autocorrelación parcial (ACP).
Fuente: Elaboración propia.
pág. 1160
4. Selección del modelo
Recordando que se realizó una diferencia, el modelo de pronóstico para el precio del petróleo mexicano
se trata de un ARIMA (1,1,6). En la práctica, es raro que los valores de p y q excedan a 2, ya que
implicarían una fuerte autocorrelación de dos periodos del tiempo que están alejados, por lo que un q=6
implica una correlación semestral en el precio del petróleo mexicano. En la figura 9 se muestra el
resumen de los resultados arrojados por R donde se arrojan cada uno de los coeficientes de la ecuación
del modelo ARIMA. Dentro de los resultados es importante destacar el criterio de información de
Akaike (AIC)= 2146.72.
Figura 9. Modelo ARIMA (1,1,6)
Fuente: Elaboración propia.
El criterio de información de Akaike (AIC) es una medida de la calidad de un modelo en relación con
otros modelos. Se utiliza para la selección del modelo. Cuanto menor sea el valor del AIC, mejor será
el modelo (Jaramillo y Llamuca, 2022). El AIC es una función del número de parámetros k en un modelo
y el valor máximo de la función de verosimilitud (L):
(5)
5. Análisis de los residuos
Una vez planteado el modelo es necesario analizar los residuos, es decir, la diferencia entre el pronóstico
del dato de prueba realizado por el modelo ARIMA y el valor real. Este análisis debe hacerse con las
series de tiempo ajustadas mediante diferencias a fin de evitar alteraciones por la escala original. Se
espera que los residuos tengan un comportamiento aleatorio, también conocido como ruido blanco. Otra
herramienta de análisis de bondad de ajuste es la gráfica de autocorrelación de los residuos (ACF). La
ACF muestra la autocorrelación de los residuos en diferentes rezagos, es decir, compara la
autocorrelación de un mes con otro.
pág. 1161
En un modelo ARIMA con un buen ajuste de parámetros, los residuos deberían ser ruido blanco, lo que
significa que no debería haber ninguna correlación entre ellos. Por lo tanto, en una gráfica ACF para
los residuos de un modelo ARIMA bien ajustado, se espera ver picos estadísticamente significativos
solo en el rezago 0 (la autocorrelación con sí mismo, que es siempre 1) y cero en los demás rezagos.
En la figura 10 se aprecian las gráficas de los residuos estandarizados y de autocorrelación de los
residuos, donde se observa el ruido blanco y el pico de autocorrelación solo en el rezago 0, por lo que
se asume que el modelo tiene un buen ajuste.
Figura 10. Gráficos de los residuos del modelo ARIMA.
Fuente: Elaboración propia.
Existen pruebas estadísticas específicas para el análisis de los residuos en series de tiempo. Dentro de
las más populares se encuentran el test Box-Pierce y su adaptación en el Ljung-Box test, el test de
Durbin-Watson y la prueba Breusch–Godfrey (Uyanto 2020). Para este estudio se hace uso de las
pruebas Box-Pierce y Ljung-Box test. En ambos casos la hipótesis nula Ho es que no hay
autocorrelación en la serie de tiempo, es decir, que los residuos se distribuyen de forma independiente
(tienen ruido blanco). La hipótesis alternativa es que hay una autocorrelación en los residuos.
Cabe recordar que la autocorrelación, que en la práctica no son más que tendencias estacionales, pueden
llegar a afectar significativamente los modelos de pronósticos, por lo que se espera que los valores p
sean mayor a 0.05 y de esta forma aceptar la hipótesis nula de que los residuos se comportan de manera
independiente y por lo tanto no hay autocorrelación. En la figura 11 se muestran los resultados de
pág. 1162
ambas pruebas de independencia donde el valor p es mayor a 0.05 y por lo tanto no se puede rechazar
Ho. El test de Ljung-Box se muestra de forma gráfica y el de Box-Pierce de forma numérica.
Figura 11. Test de Ljung-Box y Box-Pierce de los residuos del modelo ARIMA
.
Fuente: Elaboración propia.
RESULTADOS
6. Realización de pronósticos
En la figura 12, se muestran los pronósticos tal cual fueron arrojados por RStudio. Una de las ventajas
de R, es que calcula automáticamente intervalos de confianza para los pronósticos a un nivel de
confiabilidad del 80% y 95%.
Figura 12. Pronósticos de febrero de 2023 a enero 2024 arrojados por RStudio.
Fuente: Elaboración propia.
pág. 1163
7. Evaluación del modelo
Para validar el modelo es necesario comprobarlo con los datos de prueba, en este caso se harán los
pronósticos del precio del barril del petróleo de febrero de 2023 a enero de 2024. En la tabla 2 se
muestran los valores reales y los pronósticos para dichos meses, también se muestra el error porcentual
en cada mes y el error porcentual absoluto medio (MAPE) de todos los meses.
Tabla 2. Evaluación de los pronósticos del precio de barril de petróleo.
Pronósticos precio del barril de petróleo mexicano
MODELO ARIMA (1,1,6)
(Febrero 2023 a Enero 2024)
Fecha
Real
Pronóstico
Error
feb-23
67.10
66.41
1.0%
mar-23
63.32
66.64
5.2%
abr-23
70.51
67.63
4.1%
may-23
63.55
68.39
7.6%
jun-23
64.61
69.52
7.6%
jul-23
70.91
70.27
0.9%
ago-23
78.03
70.81
9.3%
sep-23
85.58
71.20
16.8%
oct-23
81.34
71.48
12.1%
nov-23
73.58
71.68
2.6%
dic-23
67.93
71.83
5.7%
ene-24
69.74
71.93
3.1%
MAPE
6.339%
Fuente: Elaboración propia.
Un método popular para evaluar los pronósticos es el error porcentual absoluto medio (MAPE),
representado en la ecuación 6. El MAPE tiene la ventaja de evaluar los errores en términos de
porcentajes. Se calcula primero dividendo cada valor absoluto del error de pronóstico entre el valor real
de la serie de tiempo en cada periodo, posteriormente se promedian todos los errores porcentuales
absolutos y se multiplican por 100. La desventaja de la métrica MAPE es que, dada la formula, no se
pueden tener valores de la serie de tiempo iguales a cero.
(6)
pág. 1164
Por su parte, Lewis (1982) propuso una tabla para la evaluación de los valores MAPE típicos en datos
industriales. Los intervalos y su interpretación se muestran en la tabla 2.4, misma que se ha vuelto una
referencia popular hasta la fecha para la evaluación de pronósticos.
Tabla 3. Interpretación de los valores típicos del error MAPE en datos industriales.
MAPE
Interpretación
Pronóstico preciso
10-20
Buen pronóstico
20-50
Pronóstico razonable
Pronóstico inexacto
Fuente: Lewis (1982)
Tomando como referencia la tabla de Lewis, se evalúa el modelo y se considera que genera pronósticos
precisos al presentar un error MAPE de 6.339%. En la figura 13 se muestran las series de tiempo de los
valores reales y los pronósticos del precio del petróleo.
Figura 12. Comparación del pronóstico y el precio real del barril de petróleo.
El modelo pronosticó un comportamiento estable durante todo el año, sin embargo, al observar el
comportamiento real, se aprecia un aumento lineal de los meses junio a septiembre, mismo mes en que
se obtuvo el mayor error MAPE (16.8%). Al consultar las fuentes especializadas que expliquen dicho
fenómeno, se tiene como una de las explicaciones que “los precios internacionales del petróleo
repuntaron hasta 34% en el tercer trimestre de este año (2023), debido principalmente a los recortes de
Arabia Saudita y Rusia, dos de los principales productores y exportadores de la materia prima en el
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
feb-23 mar-23 abr-23 may-23 jun-23 jul-23 ago-23 sept-23 oct-23 nov-23 dic-23 ene-24
Precio en dolares
Precio del barril de petróleo mexicano
Real Pronóstico
pág. 1165
mundo, anunciados en junio y que provocaron un déficit en la oferta” (Díaz Mora, 2023). De manera
directa la mezcla mexicana repunto de igual forma un 34.54%. Al estabilizarse los precios de petróleo
para fines de 2024, Rusia y su aliado Arabia Saudita decidieron continuar con los recortes de oferta de
producción de petróleo hasta mediados de 2024 a fin de impulsar los precios nuevamente, meta que se
ha propuesto Rusia cuya economía está orientada a apoyar la ofensiva militar en Ucrania (Banca y
Negocios, 2024). Lo anterior es un ejemplo de que los modelos de pronósticos de series de tiempo en
el área de la economía se ven afectados por sucesos aleatorios imprevistos que responden, más que a
variables cuantitativas externas, a decisiones y factores geopolíticos que influyen directamente en el
comportamiento de la serie.
Una de las funciones disponibles dentro de R, y que sirven para comprobar la pertinencia de la
metodología propuesta, es la función “autoarima”, dentro de la librería “forecast”, la cual realiza de
forma automática una serie de iteraciones para encontrar el modelo que mejor se ajuste al criterio a
especificar, como puede ser el criterio de información de Akaike (Awan y Aslam, 2020). En la figura
13 se muestran las iteraciones realizadas por el algoritmo automático, que arroja el modelo con el menor
AIC. El resultado es un modelo ARIMA (2,1,1).
Figura 13. Elección del modelo mediante la función autoarima.
Fuente: Elaboración propia.
pág. 1166
Una vez elegido el modelo de forma automática, se proceden a realizar los pronósticos, los cuales se
muestran en la figura 14, con sus respectivos intervalos de confianza al 80% y 95%.
Figura 14. Pronósticos realizados por el modelo autoarima.
Fuente: Elaboración propia.
Posteriormente, se procede a hacer la evaluación con los datos de prueba, detalla en la tabla 4, a fin de
comparar la metodología propuesta con el modelo automático. Los resultados muestran que el error
MAPE obtenido en el modelo automático (6.345%) es prácticamente igual que el modelo propuesto
(6.339%), por lo que se confirma la consistencia metodológica seguida para el pronóstico del precio del
barril de petróleo mexicano.
Tabla 4. Evaluación de pronósticos del modelo automático ARIMA (2,1,1).
Pronósticos precio del barril de petróleo mexicano
MODELO ARIMA (2,1,1)
(Febrero 2023 a Enero 2024)
Fecha
Real
Pronóstico
Error
feb-23
67.10
66.87
0.3%
mar-23
63.32
67.51
6.6%
abr-23
70.51
68.59
2.7%
may-23
63.55
69.74
9.7%
jun-23
64.61
70.77
9.5%
jul-23
70.91
71.59
1.0%
ago-23
78.03
72.19
7.5%
sep-23
85.58
72.60
15.2%
oct-23
81.34
72.86
10.4%
nov-23
73.58
73.00
0.8%
dic-23
67.93
73.07
7.6%
ene-24
69.74
73.09
4.8%
MAPE
6.345%
pág. 1167
DISCUSIÓN
Con más de cincuenta años desde su creación, el modelo ARIMA se ha mantenido como una alternativa
confiable de realización de pronósticos. En el caso de la industria petrolera se ha utilizado con buenos
resultados en distintas investigaciones como la de Sokkalingam y otros (2022), donde se propone el uso
del modelo ARIMA para pronosticar el precio volátil del petróleo en Malasia, tras el cambio de un
mecanismo automático de precios a un sistema de flotación administrada en 2016.
Gasper y Mbwambob (2023) hicieron lo propio para pronosticar los precios del petróleo en Tanzania.
Al igual que el presente estudio, dictaminaron que la guerra de Ucrania fue uno de los factores que tuvo
un fuerte impacto en el aumento de los precios del petróleo, sin embargo, concluyen que los modelos
ARIMA, con sus limitaciones, pueden continuar pronosticando con efectividad el comportamiento del
precio del combustible.
De acuerdo con Purohit y Panigrahi (2024), una de las deficiencias de los modelos ARIMA es que estos
asumen la serie temporal como el resultado de un fenómeno lineal, lo que proporciona pronósticos
deficientes para las series temporales complejas, no lineales y no gaussianas. Lo anterior se comprueba
con los resultados de los pronósticos realizados del precio del petróleo mexicano, donde el modelo
ARIMA tuvo un comportamiento lineal, lo que no ajustó correctamente el comportamiento de los datos
reales.
Si bien, en la presente investigación se ha utilizado como parámetro de evaluación el MAPE, existen
otros parámetros para la evaluación de pronósticos, como el error cuadrático medio (MSE). En este
método, los errores se elevan al cuadrado y luego se promedian con el total de observaciones. Esta
técnica “castiga” a los errores grandes, ya que los eleva al cuadrado y los maximiza, sin embargo, esto
es útil para evaluar si un modelo de pronósticos no es homogéneo en sus residuos (es preferible un
modelo con errores moderados, a un modelo con errores bajos y altos, aunque en promedio sean
iguales).
(7)
Nótese que la ecuación 7 es similar a la fórmula de la varianza poblacional, por lo que en pocas
palabras el MSE es la varianza del error de pronóstico. A partir de la MSE se puede calcular la raíz
pág. 1168
cuadrada del error cuadrático medio (RMSE), representada en la ecuación 8. El RMSE equivale a la
desviación estándar del error de pronóstico. Tanto MSE y RMSE sancionan a los errores de pronóstico
grandes, sin embargo, el RMSE tiene la ventaja de que esta en las mismas unidades que la variable de
la serie de tiempo, lo que facilita su interpretación, por lo que es una de las métricas más populares para
la evaluación del error de pronóstico.
(8)
En la tabla 5 se muestran los cálculos del MSE y RMSE de los pronósticos realizados durante el periodo
febrero del año 2023 a enero de 2024 de la mezcla de petróleo mexicana.
Tabla 5. Evaluación de pronósticos con las métricas MSE y RMSE.
Fecha
Valor Real
Yt
Pronóstico
Error
feb-23
67.10
66.41
1.0%
0.47242018
mar-23
63.32
66.64
5.2%
10.9733144
abr-23
70.51
67.63
4.1%
8.24159737
may-23
63.55
68.39
7.6%
23.3492996
jun-23
64.61
69.52
7.6%
24.147656
jul-23
70.91
70.27
0.9%
0.40683732
ago-23
78.03
70.81
9.3%
52.0928878
sep-23
85.58
71.20
16.8%
206.775869
oct-23
81.34
71.48
12.1%
97.2998246
nov-23
73.58
71.68
2.6%
3.59995506
dic-23
67.93
71.83
5.7%
15.1956302
ene-24
69.74
71.93
3.1%
4.79398191
MSE
37.279
RMSE
6.106
Fuente: Elaboración propia.
Chen, Twycross y Garibaldi (2017) sugieren que, aunque las métricas MAPE y RMSE son las más
utilizadas dentro del campo de las series temporales, estas muestran deficiencias y sesgos particulares
para evaluar los modelos de pronósticos, sobre todo cuando se presentan valores atípicos que afectan la
evaluación dependiendo de la escala de la variable o si se ven implicados valores cercanos a cero. En
su estudio, los autores analizan toda una variedad de métricas para evaluar modelos de predicción y
pág. 1169
concluyen proponiendo una nueva medida de evaluación denominada Error Absoluto Relativo Limitado
Medio No Escalado (UMBRAE), que combina las mejores características de varias medidas
alternativas, para abordar los problemas comunes de las métricas ya existentes. A la fecha, no ha habido
un consenso académico sobre el uso de la métrica UMBRAE y los propios autores reconocen que sus
propiedades estadísticas no han sido bien estudiadas.
A partir de la realización de competencias de modelos de pronósticos, se ha llegado a la aseveración
empírica de que la combinación de componentes de distintos modelos, tanto estadísticos tradicionales,
como los que utilizan modernas técnicas de inteligencia artificial, genera mejores resultados que utilizar
los modelos de forma separada. El futuro de la investigación de pronósticos se encuentra en la creación
de modelos híbridos, mismos que contienen características obtenidas de los modelos estadísticos, como
es el caso de ARIMA, por lo que su aplicación se mantiene vigente (Fierro, Castillo y Torres, 2022).
CONCLUSIONES
ARIMA son las siglas en ingles del modelo autorregresivo integrado de media móvil. Es un método
popular de pronóstico de series de tiempo utilizado en estadística para la evaluación de variables
económicas con fluctuación en el tiempo. Los modelos ARIMA son capaces de capturar un conjunto
de diferentes estructuras temporales en datos de series temporales, incluidas tendencias, estacionalidad
y autocorrelación. Una de las mayores limitantes es que debido a su modelación sencilla, los modelos
ARIMA asumen la linealidad en la autoregresión (valores pasados). A pesar de que las series temporales
pueden ser generalmente no lineales, en muchos casos, los patrones pueden ser capturados de manera
efectiva mediante ARIMA sobre todo cuando se presentan tendencias marcadas. En el presente estudio,
el modelo generó pronósticos precisos del precio del petróleo mexicano, lo que se ve reflejado en un
error MAPE de 6.339%, y que fue comprobado con la función autoarima en R, al no encontrar mejor
resultado de forma iterativa.
A pesar de esto último, hubo un mayor error de pronóstico de julio a noviembre de 2023, debido a las
tenciones geopolíticas provocadas por la guerra de Ucrania que ocasionaron un aumento inesperado en
el precio del petróleo. Lo anterior refleja la importancia de la capacidad del analista de pronósticos para
realizar los ajustes en las estimaciones, con base en su experiencia e información disponible del contexto
en el que actúa la variable y que no puede ser representada matemáticamente mediante un modelo. Esta
pág. 1170
forma de previsión se le conoce como “pronósticos cualitativos”, basados generalmente en la opinión
de un grupo de expertos. Trabajar a la par ambos enfoques: cualitativo y cuantitativo, garantizaran el
éxito de un sistema de pronósticos.
Contribuciones a futuras líneas de investigación
El presente trabajo de investigación constituye un caso práctico del uso de la metodología de pronósticos
con un enfoque didáctico e informativo del análisis de series de tiempo y la previsión estadística
mediante un modelo ARIMA. Dicha propuesta metodológica puede ser replicada en el análisis de
cualquier variable que se analice en un periodo de tiempo determinado. La gratuidad y acceso a
documentación sobre R y Rstudio, permite el uso de dicha herramienta para el análisis potente de datos,
en este caso, series de tiempo. Si bien, el software cuenta con una función automática para crear e
implementar distintos modelos, como ARIMA, se recomienda en un principio diseñar el algoritmo a
cuenta propia para comprender el funcionamiento de un modelo de pronósticos. Por último, se alienta
a que una vez utilizado y dominado el modelo ARIMA, el analista o investigador se adentre al uso de
otras alternativas, como lo son las redes neuronales y posteriormente a la hibridación de dichos modelos,
a fin de buscar aquellas metodologías que generen mayor precisión en las previsiones a futuro de las
variables de estudio.
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