�ndices de estabilidad de voltaje
calculados a partir del flujo
de potencia continuado
Johonel Caceres Espinoza
Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco
Lucio Caceres Espinoza
Universidad Nacional Tecnol�gica de Lima Sur
RESUMEN
El prop�sito de esta investigaci�n consiste en determinar los �ndices de estabilidad de voltaje, ante perturbaciones que puedan ocurrir dentro de un sistema el�ctrico de potencia (incrementos de la demanda), los cuales son causantes de factores cr�ticos, que alteran la operaci�n de un sistema el�ctrico de potencia, debido a que provocan la salida intempestiva de los elementos de transmisi�n y generaci�n (accionamiento de los sistemas de protecci�n) por disminuci�n de los niveles de voltaje. Se utilizar� el m�todo de parametrizaci�n geom�trica para la determinaci�n de los �ndices de estabilidad, debido a que facilita el c�lculo del vector de estado (m�dulos y �ngulos de voltaje) y la eliminaci�n de la singularidad de la matriz Jacobiana, utilizados en la evaluaci�n de la inestabilidad de voltaje. Asimismo, se aplicar� dicha metodolog�a al sistema de prueba de la IEEE de 14 barras, con ayuda de un algoritmo programado en Matlab.
Palabras clave: �ndices de estabilidad; p�rdidas de potencia; matriz jacobiana; singularidad de matrices.
Voltage stability indices calculated from continuous power flow
ABSTRACT
The purpose of this research is to determine the voltage stability indices, in the face of disturbances that may occur within an electrical power system (increases in demand), which are the cause of critical factors that alter the operation of an electrical system. of power, because they cause the untimely output of the transmission and generation elements (actuation of the protection systems) due to the decrease in voltage levels. The geometric parametrization method will be used to determine the stability indices, because it facilitates the calculation of the state vector (modules and voltage angles) and the elimination of the singularity of the Jacobian matrix, used in the evaluation of the voltage instability. Likewise, this methodology will be applied to the IEEE 14-bar test system, with the help of an algorithm programmed in Matlab.
Keywords: stability indices; power losses; Jacobian matrix; matrix singularity
Art�culo recibido:� 05 octubre. 2021
Aceptado para publicaci�n: 02 noviembre 2021
Correspondencia: [email protected]
Conflictos de Inter�s: Ninguna que declarar
El crecimiento de los sistemas el�ctricos de potencia, debido al incremento de la demanda de energ�a el�ctrica, genera la necesidad de tener un mayor n�mero de interconexiones entre los diversos sistemas de generaci�n - carga. De esta manera, los sistemas interconectados son ventajosos en la medida que permiten atender a los usuarios con un menor costo de operaci�n. Asimismo, el mallar la red conduce al uso eficiente del parque de generaci�n, con el cual se puede atender variaciones de cargas s�bitas, compra y venta de energ�a y un mejor aprovechamiento de las diversidades hidrol�gicas existentes.
Desafortunadamente, aun se cuenta con un d�ficit de elementos de transmisi�n, sistemas interconectados, que se encuentran en sus l�mites de operaci�n, produciendo grandes p�rdidas de energ�a y demanda no atendidas. Asimismo, cualquier incremento sustancial de la demanda, ocasionar�a una disminuci�n en los m�rgenes de operaci�n (cargabilidad), al igual que una disminuci�n de los niveles de voltaje en las barras de un sistema el�ctrico de potencia, llevando muchas veces al sistema, a una inestabilidad de voltaje (caracterizado por una ca�da progresiva en los m�dulos de voltaje) y al accionamiento de los equipos de protecci�n, interrumpiendo de esta manera, el continuo servicio y generando grandes p�rdidas por falta de energ�a.
Es por ello, que se hace necesario el c�lculo de los �ndices de estabilidad de voltaje, debido a que se obtendr�n los m�rgenes de seguridad de voltaje y las cargabilidades de los elementos de transmisi�n (capacidad de soporte de potencia) ante incrementos de la demanda, de manera que se obtenga una respuesta r�pida de la operaci�n ante este tipo de perturbaciones.
Cabe mencionar, que el c�lculo de los �ndices de estabilidad de voltaje (que lo hace m�s dif�cil de entender y solucionar), es que es un fen�meno no lineal y cuanto mayor sea la cantidad de componentes (elementos de transmisi�n y transformaci�n), mayor ser� la dificultad de obtener los par�metros que definen la operaci�n de un sistema el�ctrico de potencia (m�dulos y �ngulos de voltaje de las barras del sistema), es por ello, la utilizaci�n de un m�todo que sea vers�til y practico, como es el caso de la utilizaci�n de m�todos geom�tricos, que eliminan la singularidad de las matrices que modelan un sistema el�ctrico de potencia, hasta llegar al grafico de la regi�n de inestabilidad.
2. ESTRATEGIAS METODOL�GICAS O MATERIALES Y M�TODOS
2.1. Parametrizaci�n Geom�trica, para el C�lculo de Flujo de Potencia Continuo
Este m�todo consiste, en incrementar la demanda de un sistema interconectado (partiendo de un caso base), y verificar como disminuye progresivamente el voltaje de las barras del sistema. Cabe mencionar que se llegar� a un l�mite de incremento de demanda (determinado margen de cargabilidad), donde se obtendr� un punto de colapso de voltaje (o punto de m�xima cargabilidad PMC) donde el voltaje puede disminuir r�pidamente (regi�n de inestabilidad de voltaje) y el sistema deja de funcionar.
Para la aplicaci�n de este m�todo, se debe incrementar
un nuevo sistema de ecuaciones, a las ecuaciones de flujo de potencia (ecuaciones
que determinan la operaci�n de un sistema el�ctrico de potencia), seg�n se
describe en la ecuaci�n (1), donde dicha ecuaci�n representa una l�nea recta,
que pasa por un punto escogido 
�inicial,
en el plano de voltaje � cargabilidad (plano 
),
con el fin de eliminar la singularidad de la matriz que define la operaci�n de un
sistema el�ctrico de potencia
Donde:
�
�es
el factor de cargabilidad, medido en pu (sistema en por unidad)
�
�es
la magnitud del voltaje de la barra bajo estudio, medido en pu (sistema en por
unidad)
Figura 1 - Grafica del voltaje en Funci�n de la Cargabilidad.
Adem�s, el par�metro 
�es
un coeficiente angular que disminuir� en un porcentaje constante, para crear n
puntos de operaci�n en los sistemas de transmisi�n. Como, una nueva ecuaci�n es
adicionada, �puede
ser tratado como una variable dependiente y �como
una variable independiente (pendiente de una recta), siendo este valor escogido,
como un par�metro de continuaci�n (su valor es fijado). As� mismo, el n�mero de
inc�gnitas es igual al n�mero de ecuaciones, esto es una condici�n necesaria
para que se obtenga una soluci�n al sistema de ecuaciones y de esta manera hace
que la matriz Jacobiana (J) no sea singular.
Con la soluci�n, de las variables de estado, del caso
base (
)
obtenida a partir de un flujo de potencia, se procede al c�lculo del primer
coeficiente angular 
�a
partir de un punto inicial escogido �y
de los respectivos valores obtenidos en el caso base 
En
seguida, el flujo de potencia continuo propuesto, se utiliza para calcular las
dem�s soluciones a trav�s de sucesivos decrementos 
�para
el valor de .
Para 
,
la soluci�n de las ecuaciones de flujo de potencia y la ecuaci�n (1) de forma
que el nuevo punto de operaci�n (
)
correspondiente a la intersecci�n de la trayectoria de soluciones (curva P-V)
haciendo que el nuevo valor del coeficiente angular (
)
sea calculado y luego especificado. Para 
,
representar� una soluci�n de convergencia cuando 
.
Una expansi�n al sistema de ecuaciones flujo de potencia tradicional y la
ecuaci�n (1) con respecto a la serie de Taylor, incluyendo solo los t�rminos de
primer orden y considerando un valor prefijado del valor del par�metro ,
el que fue calculado del caso base, resulta en:
D�nde:
�
�es
la matriz de las variables de estado
�
�es
la matriz Jacobiana tradicional de flujo de potencia.
�
�corresponde
a la derivada de 
�en
relaci�n a factor de cargabilidad .
Los valores de 
�representan
los factores de correcci�n (vector de errores) de las ecuaciones de flujo de
potencia y la ecuaci�n (1). Se debe observar que estos valores deben ser cero
(o pr�cticamente nulos, esto es con referencia a la tolerancia adoptada) para
que se diga que el caso base convergi�. Asimismo, el valor de 
�ser�
diferente de cero debido a las variaciones de �que
a su vez son afectadas por el incremento de 
.
Observe que las coordenadas del punto escogido ,
mostrado en la Figura 1, puede ser movido a otro punto del plano, dependiendo
entonces de la curva 
�de
la barra en estudio. La mudanza del punto escogido, es necesaria cuando se
excede el n�mero de iteraciones a un valor predefinido, o cuando el m�todo
diverge (an�lisis de errores). Un criterio para poder escoger el valor del
punto escogido es que no exceda a un n�mero base de iteraciones a lo largo de
todo el trazado de la curva. Es importante destacar que en los m�todos
existentes en la literatura, la mudanza de par�metros a lo largo del trazado de
la curva �es
necesaria, haciendo que la estructura de la matriz Jacobiana ()
sea modificada. En caso del m�todo propuesto, es muy importante la mudanza de par�metros
a lo largo de todo el trazado de la curva ,
la cual implica la mudanza de la matriz Jacobiana, en relaci�n al valor del
elemento, correspondiente a la derivada de 
�respecto
a �(valor
conocido como ).
2.2. �ndices Basados en los Niveles de Voltaje de cada Barra
Uno de los par�metros que se debe mantener dentro de los m�rgenes de seguridad, es el m�dulo de voltaje de las barras, debido a que esta variable de estado, es la responsable de definir la operaci�n de un sistema el�ctrico de potencia, y determinar la estabilidad de voltaje, por lo que es de inter�s, el poder controlar este par�metro.
Podemos observar, que cuando se incrementa la demanda, los m�dulos de voltaje disminuye, llegando a una inestabilidad de voltaje, cuando se presentan s�bitos incrementos de la demanda. Es por ello, que los niveles de voltajes, son considerados como buenos indicadores de estabilidad, pues tambi�n marcan el grado de capacidad, en la que se pueda entregar energ�a, antes de llegar al l�mite m�ximo de cargabilidad, donde el sistema deja de funcionar.
De acuerdo al m�todo de parametrizaci�n geom�trica, tambi�n podremos observar un comportamiento decreciente del voltaje, debido a un incremento progresivo de la demanda, este tipo de diagramas, ayudan a determinar hasta qu� punto se puede entregar energ�a, antes de llegar a la inestabilidad de voltaje.
2.3. �ndices Basados en las P�rdidas de Potencia Activa y Reactiva
Este �ndice de estabilidad, determinar la cantidad de p�rdidas que se puedan producir en los elementos de transmisi�n (l�neas de transmisi�n y transformadores), cuando se incrementa la demanda, debido a que, si un sistema el�ctrico produce grandes p�rdidas, ocasionar�a que el sistema se encuentre m�s cercano a la inestabilidad de voltaje.
Figura 2 � Direcci�n de los Flujos de Potencia en una L�nea de Transmisi�n
Para determinar este �ndice de estabilidad, se sumar�a la cantidad de potencia activa y reactiva que se entrega en ambos puntos de conexi�n de un elemento de transmisi�n, donde la diferencia de ambos flujos, se considera la cantidad de p�rdidas que se produce por transmisi�n de energ�a.
2.4.
�ndices Basados en los
Flujos de Potencia Activa y Reactiva (
)
Este �ndice de estabilidad, se basa en la cantidad de potencia activa y reactiva que se transmite a trav�s de los elementos de transmisi�n (l�neas de transmisi�n y transformadores), donde a mayor cantidad de demanda, mayor ser� la cantidad de potencia que deba atravesar los elementos de transmisi�n y por consiguiente, disminuir� la capacidad de transporte, produciendo adicionalmente que la p�rdidas se incrementen
Para determinar este �ndice, utilizaremos la ecuaci�n cuadr�tica del flujo de potencia, a trav�s de una l�nea de transmisi�n, en funci�n de los par�metros de estado, como son los m�dulos y �ngulos de voltaje, de las barras de un sistema el�ctrico de potencia, tal como se muestra en la ecuaci�n 6.
Donde:
�
�
� 
�
�
Como se observa, la ecuaci�n 6, representa una ecuaci�n de segundo grado, que se puede solucionar mediante el m�todo de bhaskara
Para obtener una soluci�n real, de este sistema de ecuaciones, se debe de considerar que el radical de como resultado valores reales y ello se cumple, siempre y cuando sea mayor a cero, tal como se muestra en la ecuaci�n 8
Estos
valores reales, representan un �ndice de estabilidad 
,
que muestran el grado de cargabilidad que se tiene en los elementos de
transmisi�n por cantidad de potencia que se transmite a trav�s de estos.
3. RESULTADOS Y DISCUSI�N
Para el an�lisis de los �ndices de estabilidad, se utiliz� el sistema de prueba de la IEEE de 14 barras, y el programa Matlab, debido a que constituye una herramienta �til, para el an�lisis de sistemas de potencia y por tener un alto grado de flexibilidad de simulaci�n e implementaci�n de algoritmos, para la soluci�n de nuevas tecnolog�as.
Figura 3 � Sistema de Prueba de la IEEE � 14 barras
De acuerdo a la Figura 4, se aplic� el m�todo de parametrizaci�n geom�trica, con el fin de obtener los m�rgenes de estabilidad de voltaje y los m�rgenes de cargabilidad del sistema de prueba, donde a incrementos de la demanda, en factores de por unidad (sistema adimensional) los voltajes en las 14 barras del sistema tienden a decrecer, llegando a valores mucho menores del margen de seguridad de voltaje. estas disminuciones, llegan a un punto (denominado Punto de M�xima cargabilidad), donde el sistema ya no funciona y las tensiones de las barras tienden a disminuir m�s r�pidamente; esta concavidad inferior se considera la regi�n inestable del sistema el�ctrico de potencia.
Asimismo, el sistema solo puede soportar una cargabilidad del 173.86% de su demanda nominal (1.7386 pu), antes de llegar a un colapso de voltaje
Figura
4 � Tendencia
de los voltajes en las barras del Sistema IEEE de 14 barras ante incrementos
del factor de cargabilidad
Respecto a la figura 5, se consider� como PLOSS, las p�rdidas de potencia activa y QLOSS, las p�rdidas de potencia reactiva, en los 20 elementos de transmisi�n, que conforma el sistema de prueba de la IEEE de 14 barras, donde se observa que a incremento de la demanda en valores por unidad (Lambda) las p�rdidas tienden a crecer, teniendo un comportamiento exponencial creciente. Si bien, las p�rdidas son consideradas variables de operaci�n propias del sistema (dependencia de las variables de estado) tienen una relaci�n directa con la estabilidad de voltaje, debido a que el sistema se encuentre m�s cargado, mayores ser�n las p�rdidas de potencia activa y reactiva, respecto a la cantidad de potencia transmisi�n en los elementos de transmisi�n.
Adicionalmente, las m�ximas magnitudes de p�rdidas son alcanzadas, cuando el sistema el�ctrico llega hasta el punto de m�xima cargabilidad (PCM) el cual representa el 173.86% de la demanda del sistema de prueba, teniendo como consecuencia, que el sistema deja de funcionar, una vez alcanzado el PCM.
En concordancia con la figura de las tendencias de voltaje, podemos indicar que las p�rdidas del sistema, alcanzan en la misma magnitud de cargabilidad, por lo que el sistema llega a perder su estabilidad de voltaje.
Por otro lado, aquellos elementos de transmisi�n que logren alcanzar magnitudes de p�rdidas elevadas, son los que contribuyen m�s, a la inestabilidad del sistema.
Figura 5 � (a) Comportamiento de las p�rdidas de potencia activa ante incrementos del factor de cargabilidad para el Sistema IEEE de 14 Barras (b) Comportamiento de las p�rdidas de potencia reactiva ante incrementos del factor de cargabilidad para el Sistema IEEE de 14 Barras
De la misma manera, el �ndice basado en los flujos de
potencia activa y reactiva, se calcula a partir de los flujos de potencia, que
atraviesan los elementos de transmisi�n. En la figura 6, se observa que las
magnitudes de 
,
puede tener valores negativos, y cuya tendencia es decreciente, esto respecto a
incrementos de la demanda. Asimismo, en dicha simulaci�n, se verifica, que
aquellos elementos de transmisi�n que llegan a tener valores negativos, son
considerados los elementos m�s cargados, por lo que su contribuci�n a la
inestabilidad es mayor, mientras que las l�neas de transmisi�n que obtengan
valores solamente valores positivos y con magnitudes elevadas, son considerados
elementos robustos, que pueden llegar a soportar estos incrementos de la
demanda.
Los valores ,
alcanzan sus valores m�nimos, cuando la cargabilidad alcanzada es del 173.86%
de la demanda del sistema de prueba (considerado caso base), por lo que podemos
concluir, que este �ndice tambi�n detecta los elementos de transmisi�n m�s
d�biles, respecto a la estabilidad de voltaje.
Figura 6 Comportamiento del �ndice de estabilidad de tensi�n Ipq para el Sistema IEEE 14 de Barras
4. CONCLUSI�N O CONSIDERACIONES FINALES
� El m�todo de flujo de potencia continuado mediante el m�todo de parametrizaci�n geom�trica, ayuda a determinar la estabilidad del sistema el�ctrico de potencia, incluyendo la m�xima demanda que pueda soportar el sistema antes de llegar a la inestabilidad de voltaje.
� Respecto a los �ndices basados en los niveles de voltajes en las barras, solamente determina, aquellas barras que se encontraran m�s cercanos a la inestabilidad de voltaje, llegando alcanzar una curvatura, que demuestra que el sistema ya no puede soportar m�s demanda y se lleg� a la inestabilidad de voltaje.
� Respecto a los �ndices de estabilidad, basados en las perdidas de potencia activa y reactiva, se tiene un comportamiento exponencial creciente, donde los elementos de transmisi�n que producen mayor cantidad de p�rdidas son considerados m�s propensos a contribuir a la inestabilidad de voltaje, pero tambi�n se debe tener en consideraci�n, que estos elementos pueden ser robustos (mayor capacidad de transmisi�n de energ�a), por las cuales podr�n soportar mayor cantidad de perdidas, esto significa que dicho �ndice no ofrece informaci�n completa.
�
Respecto al �ndice de estabilidad, basados
en los flujos de potencia activa y reactiva ,
tiene mayor ventaja en la detecci�n de aquellos elementos de transmisi�n que
son m�s d�biles o que tienen una mayor contribuci�n a la inestabilidad de
voltaje, debido a que en un solo sistema de ecuaciones, engloba a la cantidad
de potencia activa y reactiva, produciendo que el esfuerzo computacional sea
menor y con un mejor, teniendo en cuenta, que aquellos elementos que tengan menores
magnitudes, ser�n m�s sensibles a cambios s�bitos de la demanda
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