MÉTODO DE LAS FUERZAS PARA VIGAS
HIPERESTÁTICAS DE HORMIGÓN
CONSIDERANDO LAS DEFORMACIONES
POR CORTANTE
FORCE METHOD FOR HYPERSTATIC CONCRETE
BEAMS CONSIDERING SHEAR DEFORMATIONS
Carlos Enrique Villarroel Bejarano
Universidad Privada del Valle, Bolivia
pág. 1599
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v8i3.12226
Método de las Fuerzas para Vigas Hiperestáticas de Hormigón
Considerando las Deformaciones por Cortante
Carlos Enrique Villarroel Bejarano1
cvillarroelb@univalle.edu
https://orcid.org/0009-0003-4561-8074
Universidad Privada del Valle
Bolivia
RESUMEN
El objetivo de la investigación fue calcular la variación de las fuerzas internas de vigas hiperestáticas
de hormigón mediante el método de las fuerzas, considerando el aporte de las deformaciones por
cortante. Se planteó un modelo genérico de viga hiperestática de hormigón con vanos iguales, sometido
a cargas concentradas en el centro de cada vano. Aplicando el método de las fuerzas se determinó el
sistema de ecuaciones que gobierna el modelo, con lo que se obtuvieron las fuerzas internas. El modelo
se trabajó con base en tres elementos fundamentales: la deformación por cortante, la deformación por
flexión y las propiedades del material. Se determinó que las vigas de hormigón sufren un incremento
importante en los momentos flectores cuando se consideran las deformaciones por cortante, llegando a
un incremento máximo del 14% para vanos muy cortos. Finalmente, esta investigación plantea que para
vanos con longitudes superiores a 2 metros la influencia de la deformación por cortante puede
considerarse insignificante.
Palabras clave: deformación por cortante, método de las fuerzas, viga hiperestática de hormigón
1
Autor principal.
Correspondencia: cvillarroelb@univalle.edu
pág. 1600
Force Method for Hyperstatic Concrete Beams Considering Shear
Deformations
ABSTRACT
The objective of the research was to calculate the variation of the internal forces of hyperstatic concrete
beams using the force method, considering the contribution of shear deformations. A generic model of
hyperstatic concrete beam was proposed, with equal spans, subjected to concentrated loads in the center
of each span. By applying the force method, the system of equations that governs the model was
determined, with which the internal forces were obtained. The model was based on three fundamental
elements: shear deformation, flexural deformation and material properties. It was determined that
concrete beams suffer a significant increase in bending moments when shear deformations are
considered, reaching a maximum increase of 14% for very short spans. Finally, this research states that
for spans with lengths greater than 2 meters, the influence of shear deformation can be considered
insignificant.
Keywords: shear deformation, force method,hyperstatic concrete beams
Artículo recibido 10 mayo 2024
Aceptado para publicación: 28 junio 2024
pág. 1601
INTRODUCCIÓN
El método de las fuerzas es una herramienta importante dentro de la ingeniería estructural debido a la
poca cantidad de variables que se necesitan para resolver problemas de vigas hiperestáticas. Este método
se basa en las formulaciones propuestas por Mhor y Müller-Breslau el cual consiste en “escribir las
ecuaciones que satisfacen los requisitos de compatibilidad y de fuerza-desplazamiento para la estructura
con el fin de determinar las fuerzas redundantes” (Gonzáles et al., 2017). Esas fuerzas redundantes son
las que representan a los apoyos que aportan grados de hiperestaticidad a las vigas y deben tratarse
como cargas desconocidas o incógnitas para realizar el análisis estructural. Las fuerzas redundantes
deben “producir deformaciones compatibles con los apoyos originales” (Beer et al., 2010) los cuales
generalmente se asumen indesplazables facilitando el proceso de cálculo que puede realizarse desde 2
enfoques diferentes dentro de los métodos denominados “clásicos”: Métodos de Fuerzas y Métodos de
desplazamientos como lo sugiere McCormac (2011).
El método de las fuerzas además se puede utilizar como base para la resolución de problemas más
complejos como la discretización de estructuras casi regulares y su modelación por elementos finitos,
soluciones avanzadas que se aprecian en los trabajos propuestos por Kaveh & Ebrahimi (2012) y Kaveh
et al. (2014).
Aunque se trata de un método de análisis clásico, el método de las fuerzas es utilizado, por ejemplo,
para realizar cálculo optimizado de estructuras bajo la metodología de Análisis y Diseño simultáneo
(SAND, por sus siglas en inglés) como los realizados por Kaveh & Malakouti (2010) y más
específicamente trabajos de aplicación de esta metodología en tipologías específicas de estructuras
como las cerchas tridimensionales resueltas mediante análisis matricial (Descamps & Filomeno Coelho,
2014). Por otro lado, el método de las fuerzas se enseña comúnmente en programas de Ingeniería Civil,
estructural y mecánica en universidades de todo el mundo, por ello la pertinencia de la presente
investigación. Dada la versatilidad del método de las fuerzas, éste puede aplicarse para el análisis de
edificios de hormigón con el propósito de encontrar las solicitaciones o fuerzas internas de sus
elementos estructurales como es el caso de las vigas hiperestáticas.
Las vigas hiperestáticas son de uso común en edificios por lo que su diseño principalmente es realizado
para soportar cargas gravitacionales que provocan flexión en el miembro estructural. Aunque la fuerza
pág. 1602
cortante también aparece en este tipo de elementos estructurales, se considera una solicitación
“secundaria” ya que no es indispensable para equilibrar las cargas externas y por esta razón tiende a
despreciarse o calcularse solamente en casos particulares (Prato & Massa, 2020). Sabemos que los
momentos flectores están directamente relacionados a la deformación longitudinal de la viga, sin
embargo, la deformación transversal por fuerza cortante puede tener un efecto amplificador de dichos
momentos, tal como lo sugiere Luévanos (2011).
Las solicitaciones que actúan sobre vigas de edificios pueden ser de Flexión, tracción, compresión,
cortante, torsión, además de efectos térmicos y asentamientos diferenciales. Sin embargo, la solicitación
que gobierna el diseño en casi todos los casos es la flexión por lo que tiende a despreciarse el efecto
que puedan causar las otras solicitaciones. El efecto de la deformación por cortante puede despreciarse
en el análisis de la mayoría de las estructuras corrientes, sin embargo, en el caso de vanos muy cortos
de vigas y cargas considerables, el efecto de la fuerza cortante tendrá un valor significativo (Sussekind,
1980).
Las técnicas de análisis estructural de vigas continuas basadas en el principio de trabajo virtual, que es
sustento del método de las fuerzas, tienden a despreciar el aporte de las deformaciones por cortante en
el cálculo de las solicitaciones. Como referencia se tienen los resultados obtenidos por Luévanos (2012)
quien aplicando el método de desplazamientos o Pendiente – Deflexión a vigas hiperestáticas de acero
encontró que los momentos flectores se incrementan en el orden del 9% para vanos de 3 metros cuando
se toman en cuenta las deformaciones por cortante.
El presente trabajo pretende demostrar la influencia de las deformaciones por cortante en las
solicitaciones de vigas hiperestáticas de hormigón, utilizando el método de las Fuerzas para su análisis.
METODOLOGÍA
El método con el que se plantea el siguiente modelo consiste en resolver las integrales que definen las
fuerzas internas o solicitaciones de vigas hiperestáticas de hormigón. Estas solicitaciones, que son
causadas a partir de la variación de las longitudes de vanos o distancia entre apoyos y la posición de la
carga, “consisten en una fuerza normal, una fuerza cortante y un momento flexionante” (Hibbeler,
2012). Al ser el momento flexionante la solicitación principal en vigas hiperestáticas, el método plantea
realizar el análisis a flexión incorporando y sin incorporar las deformaciones por cortante de la viga
pág. 1603
asumiendo que esta “es causada por la respuesta de un material elástico lineal” (Hibbeler, 2012). No se
incluye en este trabajo la deformación por fuerza normal.
Bajo este marco la presente investigación incorpora en el modelo de análisis propuesto 3 elementos
fundamentales: La deformación por cortante, la deformación por flexión y las propiedades del material,
que se explican a continuación.
Deformación por Cortante
La deformación por cortante se define como el “desplazamiento relativo de dos secciones separadas a
una distancia debido a ” (Sussekind, 1980). Observe la Figura 1. Si se toma un elemento diferencial
de viga sometida a fuerza cortante , se producirá un incremento en la deformación por fuerza
cortante :
Figura 1 Incremento de deformación debida a la fuerza cortante
Nota. Adaptada de Alemán (2022). Estructuras Hiperestáticas (p.27)
El incremento de la deformación por fuerza cortante puede calcularse con la ecuación (1):
(1)
Donde:
Factor de forma para cortante
Fuerza cortante
pág. 1604
Diferencial de longitud
Módulo de elasticidad a cortante
Área de la sección transversal
El factor de forma para cortante representa la variación del esfuerzo cortante a lo largo de la sección
transversal y puede tomarse de la tabla 1:
Tabla 1 Factor de forma para cortante
Nota. Adaptado de Gere & Timoshenko (1986). Mecánica de materiales. (2da. Ed.)
Como se registra en la tabla 1, el factor es igual a 6/5 y se emplearán con 3 vigas rectangulares de
distinta sección transversal que se utilizarán en el modelo, en adelante llamadas especímenes. Aunque
la deformación por cortante, objeto de análisis en este trabajo, teóricamente ejerce influencia pequeña
en las solicitaciones de vigas hiperestáticas y puede ser despreciada como lo sugiere (Sussekind, 1980),
será añadida a la deformación por flexión para calcular las fuerzas internas de la viga.
Deformación por flexión
Siguiendo con la metodología planteada para determinar las solicitaciones de vigas hiperestáticas por
el método de las fuerzas, es necesario calcular las deformaciones por flexión. Según McCormac (2011)
la deflexión en cualquier parte de una viga, aplicando la ley de conservación de la energía y el principio
de trabajos virtuales puede calcularse con la ecuación (2):
pág. 1605
(2)
Donde:
Ecuaciones de momento flector del sistema real
Ecuaciones de momento flector del sistema virtual
Módulo de elasticidad longitudinal del material
Momento de inercia de la sección
De forma análoga, si se desea añadir el efecto de la fuerza cortante en el cálculo de la deflexión deberá
sumarse la ecuación (3) sabiendo que es válido el principio de superposición de efectos:
(3)
Donde:
Ecuaciones de fuerza cortante del sistema real
Ecuaciones de fuerza cortante del sistema virtual
Módulo de elasticidad transversal del material
Área de la sección
Factor de forma para cortante (Tabla 1)
Al sumar ambos efectos, la deformación por flexión y la deformación por cortante, tendremos la
posibilidad de aplicar las propiedades del material para el cálculo de las reacciones redundantes de la
viga hiperestática y por tanto las solicitaciones o fuerzas internas.
Propiedades del material
El modelo se entiende como una viga hiperestática de hormigón, por lo que resulta indispensable
establecer las propiedades físico-mecánicas de este material. Para calcular el módulo de elasticidad
longitudinal de hormigones de peso normal, se indica la siguiente expresión (Comité ACI 318, 2019):
Para un hormigón convencional con resistencia a la compresión de 21 MPa tenemos.
pág. 1606
Diferentes autores como Wight & MacGregor (2012) o McCormac & Brown (2016) sugieren el valor
del coeficiente de Poisson del hormigón .
El módulo de elasticidad transversal puede calcularse mediante la siguiente expresión (Gere & Goodno,
2009):
Ambos parámetros, el módulo de elasticidad longitudinal y el módulo de elasticidad transversal
serán incorporados en el modelo propuesto a continuación.
Modelo propuesto
Se desarrolló el análisis estructural del modelo genérico de viga hiperestática con 3 vanos iguales y
cargas puntuales de 1 tonelada en el centro de cada vano que se muestra en la figura 2. Los insumos
para resolver este modelo de viga hiperestática utilizando el método de las fuerzas se mencionaron en
los acápites 2.1, 2.2 y 2.3. La longitud se ha ido variando entre 1 hasta 10 metros, para obtener las
solicitaciones.
Figura 2 Viga hiperestática
Nota. Elaboración propia
Datos:
Propiedades del material para la viga de hormigón
pág. 1607
A partir de estos datos, se realizó variantes del análisis para 3 vigas de hormigón armado (especímenes),
de diferente sección transversal con la finalidad de visualizar la diferencia en las solicitaciones. Las
secciones transversales de los 3 especímenes se muestran en la tabla 2:
Tabla 2 Secciones transversales de 3 especímenes analizados
Especimen
b (m) base de la viga
h (m) altura de la viga
I
0.20
0.40
II
0.25
0.50
III
0.30
0.60
Si bien pueden existir muchas variaciones en las secciones de vigas, las secciones propuestas para estos
3 especímenes son típicas en edificios de hormigón por su facilidad constructiva. Estos han sido
analizados mediante el método de las fuerzas para el mismo modelo.
Resolución por el método de las fuerzas
Los apoyos redundantes de la viga hiperestática se convierten en las incógnitas X1 y X2 y se aplican
como fuerzas puntuales en los nudos correspondientes, convirtiéndose en un sistema isostático
equivalente de fácil resolución debido a que el sistema se considera isostático “si todas las reacciones
de sus apoyos se pueden establecer resolviendo las ecuaciones de equilibrio estático” (Kassimali, 2015).
La Figura 3 muestra el modelo propuesto para este análisis.
Figura 3 Sistema isostático equivalente
Nota. Elaboración propia
El sistema isostático equivalente debe resolverse eliminando las incógnitas X1 y X2 con lo que obtienen
las solicitaciones debidas a las cargas externas , el cual llamaremos sistema “real”.
Siguiendo la metodología se aplica una fuerza unitaria en lugar de las incógnitas X1 y X2 con lo que se
las fuerzas internas por separado de lo que llamaremos sistemas “auxiliares”.
pág. 1608
El método de las fuerzas permite relacionar las solicitaciones y deformaciones mediante ecuaciones de
compatibilidad que aplican los principios de proporcionalidad y superposición de efectos. Esto se
traduce en el sistema de ecuaciones (4):
(4)
Aplicando las ecuaciones (2) y (3) en función de una variable de longitud con los correspondientes
límites de integración obtenemos las deformaciones expresadas mediante las ecuaciones (5), (6),
(7), (8) y (9):
(5)
(6)
(7)
pág. 1609
(8)
pág. 1610
(9)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (4) hallamos las incógnitas X1 y X2 mostradas en la ecuación (10)
(10)
Donde:
Solicitaciones de la viga hiperestática
La Figura (4) esquematiza las solicitaciones de la viga hiperestática obtenida del análisis previo. Estas
incluyen los momentos flectores y las fuerzas cortantes que serán aplicadas a los 3 especímenes en
estudio.
Figura 4 Esquema de momentos flectores y fuerzas cortantes en la viga
Nota. Elaboración propia
pág. 1611
Los valores de solicitación en cada tramo de la viga se pueden determinar con las ecuaciones de
equilibrio estático. A partir de ese análisis se determinaron expresiones matemáticas que representan las
fuerzas internas en cada punto o tramo de la viga y se resumen en la Tabla 3:
Tabla 3 Fuerzas internas de la viga hiperestática
Momentos
Cortantes
Las fuerzas internas halladas nos permiten, mediante la incorporación de datos de los 3 especímenes y
la variación de la longitud de vanos, calcular un factor de solicitación considerando y sin considerar la
fuerza cortante. Los resultados se presentan a continuación.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Se realizó el análisis de la viga hiperestática para los tres especímenes de hormigón armado
considerando y sin considerar la fuerza cortante, obteniéndose un factor que relaciona la solicitación
máxima (
. Los resultados se muestran
para el momento flector máximo y la fuerza cortante máxima en las figuras (5), (6) y (7):
pág. 1612
Figura 5 Solicitaciones del espécimen I (20x40cm.)
Figura 6 Solicitaciones del espécimen II (25x50cm.)
0,980
0,990
1,000
1,010
1,020
1,030
1,040
1,050
1,060
1,070
012345678910 11
FACTOR DE SOLICITACIÓN MÁXIMA
LONGITUD LDEL VANO (m)
M 20x40cm
Q 20x40cm
0,960
0,980
1,000
1,020
1,040
1,060
1,080
1,100
1,120
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
FACTOR DE SOLICITACIÓN MÁXIMA
LONGITUD LDEL VANO (m)
M 25x50cm
Q 25x50cm
pág. 1613
Figura 7 Solicitaciones del espécimen III (30x60cm.)
Como se registra en las Figuras (5), (6) y (7) en las que se aplica el modelo para los tres especímenes
(I, II y III) el mayor efecto se aprecia en los momentos flectores (M) donde ocurren incrementos
importantes del momento máximo a medida que la longitud del vano disminuye. Los resultados se
resumen en la tabla 4:
Tabla 4 Momento máximo considerando y sin considerar el aporte del cortante
L
(m)
ESPECIMEN I (20x40cm)
ESPECIMEN II (25x50cm)
ESPECIMEN III (30x60cm)
CONa
SINb
Factor
CONa
SINb
Factor
CONa
SINb
Factor
Mmax
(t*m)
Mmax
(t*m)
Mmax
(t*m)
Mmax
(t*m)
Mmax
(t*m)
Mmax
(t*m)
1,00
0,107
0,100
1,066
0,110
0,100
1,101
0,114
0,100
1,141
1,50
0,155
0,150
1,030
0,157
0,150
1,047
0,160
0,150
1,066
2,00
0,203
0,200
1,017
0,205
0,200
1,027
0,208
0,200
1,038
2,50
0,253
0,250
1,011
0,254
0,250
1,017
0,256
0,250
1,024
3,00
0,302
0,300
1,008
0,304
0,300
1,012
0,305
0,300
1,017
3,50
0,352
0,350
1,006
0,353
0,350
1,009
0,354
0,350
1,013
4,00
0,402
0,400
1,004
0,403
0,400
1,007
0,404
0,400
1,010
4,50
0,452
0,450
1,003
0,452
0,450
1,005
0,453
0,450
1,008
5,00
0,501
0,500
1,003
0,502
0,500
1,004
0,503
0,500
1,006
6,00
0,601
0,600
1,002
0,602
0,600
1,003
0,603
0,600
1,004
7,00
0,701
0,700
1,001
0,702
0,700
1,002
0,702
0,700
1,003
10,0
0
1,001
1,000
1,001
1,001
1,000
1,001
1,002
1,000
1,002
(a) considerando el aporte del cortante en el análisis estructural
(b) sin considerar el aporte del cortante en el análisis estructural
0,960
0,980
1,000
1,020
1,040
1,060
1,080
1,100
1,120
1,140
1,160
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
FACTOR DE SOLICITACIÓN MÁXIMA
LONGITUD LDEL VANO (m)
M 30x60cm
Q 30x60cm
pág. 1614
Según las figuras (5), (6) y (7) una situación muy diferente se aprecia en la fuerza cortante (Q) donde
su valor máximo disminuye levemente a medida que la longitud del vano se acorta. Esto hace
innecesario un mayor análisis, toda vez que resulta conservador no incluir la deformación por cortante
en cualquier diseño posterior.
A partir de toda la metodología de análisis aplicada al modelo propuesto se ha encontrado que mientras
mayor sea el momento de inercia de la viga, mayor será la influencia de la deformación por cortante en
las fuerzas internas de la viga. Esto se evidencia al observar los resultados de los 3 especímenes en la
tabla 4, donde se tiene que el espécimen III arroja los mayores factores de solicitación .
La fuerza cortante máxima en vigas hiperestáticas de hormigón disminuye si se consideran las
deformaciones debidas al cortante. Esta disminución de fuerza cortante máxima está en el orden del 2%
y corresponde al espécimen III para longitudes de vano muy cortas. Al ser un resultado conservador el
no considerar las deformaciones por cortante en el análisis, se genera mayor seguridad en el posterior
diseño del miembro estructural.
Por otro lado, el mayor incremento del momento flector está en el orden del 14% y corresponde al
espécimen III para longitud del vano de 1 metro. Nótese que, en función de los resultados presentados
en las figuras (5), (6) y (7), la influencia de las deformaciones por cortante tiende a incrementar los
momentos flectores abruptamente para longitudes cortas y disminuir levemente la fuerza cortante. Estos
resultados guardan relación con otras investigaciones como las realizadas por Luévanos (2012) quien
aplicando el método Pendiente – Deflexión a vigas hiperestáticas de acero encontró comportamientos
similares cuando se toman en cuenta las deformaciones por cortante.
La normativa americana para elementos de hormigón estructural ACI 318 indica que el efecto de los
desplazamientos en estructuras puede ser ignorado cuando la variación de la respuesta estructural no
excede del 5% (Comité ACI 318, 2019). En ese marco, para los 3 especímenes estudiados se observa
que en vanos de 2 metros o mayores el incremento en los momentos flectores máximos es inferior al
4%, cayendo dentro del rango mencionado. En otras palabras, si las vigas de un edificio de hormigón
tienen longitudes entre apoyos mayores a 2 metros, el efecto de la deformación por cortante en las
fuerzas internas es tan pequeño que se puede ignorar.
pág. 1615
CONCLUSIONES
El método de las fuerzas, a pesar de ser “clásico”, es un método válido para encontrar las solicitaciones
de vigas hiperestáticas incorporando las deformaciones por cortante. El hecho de incluir las
deformaciones por cortante en el análisis de vigas continuas de hormigón afecta a sus solicitaciones,
especialmente en lo que se refiere al momento flector, encontrándose incrementos importantes de hasta
el 14% para vanos de 1 metro. En términos prácticos, si la longitud entre apoyos supera los 2 metros,
el efecto de las deformaciones por cortante en las solicitaciones puede ignorarse.
En el caso de la fuerza cortante, la variación tiene un valor conservador y está por debajo del 2% por lo
que puede considerarse despreciable su efecto para cualquier longitud de vano.
Este trabajo fue orientado al análisis de vigas de sección transversal típicas en edificios de hormigón,
específicamente 3 tamaños o especímenes y se encontró que a medida que aumenta la rigidez, la
influencia de la deformación por cortante en las solicitaciones es mayor. Este análisis no es válido para
vigas de sección variable y tampoco considera propiedades especiales de la sección transversal como la
inercia agrietada o secciones compuestas, que bien podrían ser sujeto de otros trabajos de investigación.
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