Se diseñaron dos instrumentos de medición: conocimientos previos de cálculo diferencial y aprendizaje

de derivadas en cálculo diferencial. Ambos instrumentos cuentan con validez de expertos y de contenido,

son pruebas de rendimiento máximo con reactivos de opción múltiple que miden conocimientos

operaciones de aritmética con signos, paréntesis y fracciones, así como también productos notables de

álgebra. Los temas de aprendizaje de cálculo diferencial con recurrencia de error son: el cálculo de

derivadas de funciones compuestas, derivadas de orden superior y cálculo de diferenciales, así como

conceptos de diferencial y derivada como límite y como razón de cambio. Los instrumentos se utilizarán

para validar un modelo que identifique a estudiantes en riesgo de reprobación en la materia de Cálculo

diferencial.

Palabras clave: aprendizaje de las matemáticas, conocimientos previos, validez, confiabilidad, prueba

Two measurement instruments were designed: prior knowledge of differential calculus and learning of

derivatives in differential calculus. Both instruments have expert and content validity, they are

maximum performance tests with multiple choice items that measure declarative and procedural

knowledge. Calculus prerequisites include topics in algebra, trigonometry, arithmetic, geometry, and

some concepts related to mathematics; The differential calculus learning instrument includes topics on

the definition of the derivative, differentials, chain rule differentiation, higher order and implicit. 893

students participate in 2 semesters. The prior knowledge instrument has reliability with a Cronbach's

alpha of 0.761 and the derivative learning instrument has a value of 0.722. The prior knowledge topics

with the highest recurrence of errors are: arithmetic operations with signs, parentheses and fractions, as

Keywords: mathematics learning, prior knowledge, validity, reliability, test

La evaluación está orientada hacia el futuro, centrándose en la capacidad de las personas a utilizar sus

hacia la evaluación para el aprendizaje que funciona para la retroalimentación, la participación de los

estudiantes al colaborar en este proceso no solo como evaluados, sino como evaluadores y que pueden

así los estudiantes autorregular y construir su aprendizaje. Los autores rescatan la importancia de la

alfabetización y formación específica para la evaluación tanto de docentes como de estudiantes.

Para lograr el aprendizaje de contenidos en matemáticas, se han utilizado diversas estrategias didácticas

como el aprendizaje basado en juegos utilizando rompecabezas (Bedoya, 2023), que fomenta el

aprendizaje colaborativo e incrementar su motivación. Pero es cuestionable este estudio, el mismo

instrumento sea aplicado como pre test y pos test, debido al efecto en la medición, además de que la

naturaleza del mismo instrumento, básicamente da las respuestas al ir armando el rompecabezas que no

implica un dominio del tema evaluado.

algebraicas, estadísticas y de resolución de problemas.

Una de las estrategias para evaluar el aprendizaje de cálculo diferencial más comunes, es el uso de

exámenes (Aguilar-Salinas, de las Fuentes-Lara, Justo-López y Martínez-Molina, 2020; Fuentes-Lara,

Aguilar-Salinas y Justo-López, 2021; Gutiérrez, 2017; Herrera, 2020; Liveworksheets, 2023; Quijano,

Chan, Amaya, Balan, Canepa, Hernández, Zavala, y Zetina, 2016; Rojas Maldonado, E. R., y Toscano

Galeana, J. 2021 y Villa, 2011), algunos de ellos elaborados de manera colegiada y alineados al

es el caso del manual de la materia Pensamiento Lógico-Matemático del semestre integral de

capacitación, además, se revisó el programa de la materia de cálculo diferencial y se hizo una búsqueda

y análisis de otros instrumentos que pudieran medir las variables de interés.

El instrumento de Aguilar-Salinas, de las Fuentes-Lara, Justo-López y Martínez-Molina, (2020),

considera los conocimientos previos necesarios para aprender cálculo diferencial como son: operaciones

algebraicas con fracciones, ley de exponentes, racionalizar, operaciones con polinomios, suma,

producto, división, despejes y productos notables. El instrumento es de opción múltiple y cuenta con

buenos distractores y criterios rigurosos de elaboración, pero no existe evidencia de intervenciones que

controlen las variables de conocimientos previos o aprendizaje de cálculo diferencial. Un caso similar,

es el de Rojas y Toscano, (2021), que diseñaron un instrumento debido a la necesidad de la enseñanza

de repaso, no como evaluación en una sola aplicación.

Perilla, Valencia, y Chacón, (2022) Analizaron los factores que afectan el desempeño en Cálculo

Diferencial en la Universidad Santo Tomás. En su examen diagnóstico los alumnos no dominaban todos

los temas necesarios para poder aprobar la materia, sus resultados indican que los temas con mayor

deficiencia son: manejo de ecuaciones cuadráticas, simplificar expresiones algebraicas y factorizar.

Incluso después de dar un taller de refuerzo la cantidad de respuestas incorrectas no disminuyó

cuestionable del diseño de este instrumento, es su extensión de 60 reactivos para resolver en 2 horas,

aunado al índice de dificultad de la prueba que tiene un 61% de reprobación. Los temas que indicaron

tener mayor incidencia de error por los estudiantes en la unidad de derivadas, se presentaba la derivada

de funciones compuestas, debido a que la actividad involucra procedimientos con múltiples reglas de

derivación. Los buenos predictores en el éxito de los estudiantes en Cálculo Diferencial, son los temas:

derivadas de orden superior, derivadas que contienen la regla del producto y la regla del cociente. El

estudio concluye que las tareas con alto grado de abstracción como representar funciones y el lenguaje

simbólico de la derivada suelen representar una dificultad trascendente para el estudiante de ingeniería.

Las dos variables de interés por medir en esta investigación son: los Conocimientos previos y el

El conocimiento previo es considerado por muchos investigadores como el factor más importante en el

proceso de aprendizaje de los estudiantes (Alexander y Judy, 1988; Ambrose, Bridges, Lovett, DiPietro

y Norman, 2010; Ausubel, Novak y Hanesian, 2006; Bloom, 1956; Carey, 1999; Chi, 2008; Chi y Ceci,

1987; Dochy, 1991; Dochy y Alexander, 1995; Goris y Dyrenfurth, 2010; Hailikari, 2009; Hattie, 2009;

Marzano, 2004; McClelland, 2013; McNeil, 2008; Meltzer, 2002; Roschelle, 1995; Sagastizabal, Perlo,

Pivetta y San Martín , 2009; Shapiro, 2004; Smith, diSessa y Roschelle, 1993; Thompson y Zamboanga,

estados (Carnegie Mellon University, s.f.; Dochy, 1991; Dochy y Alexander, 1995): conocimiento

declarativo, relativo a conceptos y definiciones; conocimiento procedimental que refiera a operaciones,

secuencias y acciones; y conocimiento condicional que considera las ubicaciones contextuales y

emociones.

Dochy y Alexander (1995) definen el conocimiento previo como un conjunto de información,

conocimientos, habilidades y capacidades que un estudiante lleva consigo antes del proceso de

aprendizaje, que abarca experiencias, creencias y memorias personales que le permiten aprender. Cabe

mencionar que recordar información que tiene un significado propio, no implica que el estudiante

autoevalúe el conocimiento que posee ni que evalúe el conocimiento que va a aprender. Algunas

características de los conocimientos previos es que son: dinámicos, es decir, cambian con el tiempo;

define a partir del modelo del procesamiento de la información, la relación de los conocimientos previos

con la información nueva que se aprende a través de la interacción de la memoria de largo plazo y la

memoria de corto plazo (Mustafa y Deris, 2009). El enfoque de elaboración de la teoría del

procesamiento de información establece que el conocimiento previo funciona como un medio para

construir nuevo conocimiento, de modo que el nuevo material es relacionado con él y,

consecuentemente, el conocimiento se incrementa y además es más fácil de recuperar debido al proceso

una persona y lo faculta para realizar una actividad; en otras palabras, es la capacidad de adquirir

conocimientos y/o habilidades. El aprendizaje es una variable inferida o constructo que, para poder ser

observada, se mide indirectamente por medio de indicadores, en el caso de este estudio se desarrolla una

prueba de rendimiento máximo. Ausubel sugiere que para lograr el aprendizaje significativo se debe

tomar la tarea de enfocar el aprendizaje a lo que el estudiante ya sabe y a lo que desconoce, para ayudarle

a ser consciente de los conceptos que requiere y aún no posee ni domina.

Es necesario entonces construir el aprendizaje a partir de los conocimientos previos del estudiante para

que él mismo le dé un significado propio a lo que aprende. Identificar los prerrequisitos de un nuevo

aprendizaje (Bloom, 1956) marca la pauta para diseñar instrumentos adecuados, que identifiquen los

representa un reto para las instituciones educativas tener instrumentos de evaluación idóneos.

Se eligió la materia de cálculo diferencial porque es una materia de primer semestre y es el semestre en

el que mayor índice de deserción se presenta, además de que es una materia común para todas las carreras

de ingeniería. Uno de los aspectos clave de la selección de esta materia, es que en todas las carreras de

ingeniería que oferta la institución, acreditar la materia de cálculo diferencial es prerrequisito para cursar

otras materias, entre 3 y 16 materias según la carrera. La reprobación de esta materia impacta en el

en contenidos de materias cuyo prerrequisito es acreditar cálculo diferencial y se requiere saber derivar

y calcular diferenciales en cálculo integral, cálculo vectorial y ecuaciones diferenciales.

La investigación busca atender a la necesidad de contar con un instrumento con validez de contenido y

de expertos, confiable, concreto en cuanto a la extensión y duración para resolverlo, además de que

responda a las preguntas de investigación: ¿Cuáles son los conocimientos previos de aritmética, álgebra,

trigonometría y geometría con mayor relación para el aprendizaje de cálculo diferencial? ¿Existe una

diferencia significativa entre los estudiantes que cursan la materia en enero-junio y los que cursan en

agosto-diciembre? ¿Cuáles son los temas de la unidad de derivadas que tienen mayor relación con el

desempeño académico en cálculo diferencial?¿Cuáles son las características que debe tener un

instrumento que mide los conocimientos previos y uno que mide el aprendizaje de cálculo diferencial?

algunos instrumentos existentes en la web (Varsity tutors, 2007; Simon Fraser University, 2017) y se

utilizaron manuales de diseño de instrumentos (AERA, 2014; Carreño, 2001). La aplicación de los

diferencial, se contó con una muestra del 75% en el semestre agosto-diciembre 2023 y 63% del semestre

enero-junio 2023 para el instrumento de conocimientos previos ya que se aplicó a un total de 893

estudiantes cursando en su gran mayoría por primera vez la materia de Cálculo Diferencial. El

instrumento de derivadas fue resuelto por 599 estudiantes de esa misma muestra.

Para el examen de conocimientos previos de Cálculo Diferencial, el instrumento final, consta de 6

reactivos de opción múltiple que miden conocimientos previos declarativos (ver figura 1 en anexos):

división igual a cero, definición de la función seno, elementos de una expresión algebraica, elementos

de una ecuación lineal, representación geométrica de una parábola y un círculo conocida su ecuación

semestre enero-junio 2023. Las respuestas correctas e incorrectas por reactivo se muestran en la figura

3, en cada reactivo, la barra de la izquierda representa la cantidad de respuestas correctas y la barra de

la derecha representa la cantidad de respuestas incorrectas. Los reactivos que miden conocimientos

previos declarativos son el 1 y del 3 al 7; los reactivos que miden conocimientos procedimentales son

el 2 y del 8 al 21. Los reactivos con mayor incidencia de error que miden conocimientos previos

declarativos, se encuentran: identificar los elementos de una ecuación lineal y la gráfica de un círculo;

Dentro del examen de Derivadas de Cálculo Diferencial, el instrumento está compuesto por 5 reactivos

de opción múltiple que miden conocimientos declarativos de derivadas (ver figura 4 en anexos):

representación geométrica de la derivada, la derivada como concepto, incremento, derivada como límite

y definición de diferencial dy; y 7 reactivos que miden conocimientos procedimentales de derivadas (ver

correctas y la barra de la derecha representa la cantidad de respuestas incorrectas. Los reactivos que

miden conocimientos declarativos son el 1, 3, 4, 5 y 8; los reactivos que miden conocimientos

procedimentales son el 2, 6, 7, 9, 10, 11 y 12. Los reactivos con mayor incidencia de error que miden

conocimientos previos procedimentales son: cálculo de derivadas utilizando regla de la cadena,

derivación implícita y cálculo de diferenciales; respecto a los reactivos que miden conocimientos previos

declarativos, se encuentran: la definición de derivada como límite y la definición matemática del

diferencial. No se identificaron diferencias significativas en la sensibilidad del instrumento al comparar

los grupos del semestre agosto-diciembre 2022 y enero-junio 2023.

promedio del índice de dificultad fue de 41.6%.

Una vez hecho el cálculo de los resultados, podemos observar de manera general el estudio y presentar

algunas conclusiones que se deriven del proceso del diseño, aplicación y validación de los instrumentos.

Se identifican algunas ventajas que se mencionan a continuación.

entre grupos y poder atenderlos según las características que se monitoreen.

El examen diagnóstico, puede ser aplicado de manera departamental, es decir, un examen estandarizado,

que es aprobado y validado por la academia, para aplicarlo de manera uniforme para todos los

estudiantes y tener un parámetro de medida que asegure que se cumplan ciertos criterios mínimos de

dominio de conocimientos previos y de la materia de Cálculo Diferencial.

La retroalimentación es inmediata para el profesor y para el estudiante, por lo que es posible tomar

acción y avanzar de manera más personalizada, por medio de un programa de nivelación, que se puede

implementar a futuro, como cursos remediales que permitan el avance de manera individual, que sea

acorde a las necesidades de cada estudiante.

Aunado a estos beneficios, el contar con un récord de los resultados por cohorte, podemos medirnos de

manera general a la institución, lo que permite conocer la estadística general de la población y realizar

evaluación al docente por parte de los estudiantes, la evaluación departamental al docente, la disposición

a enseñar, los métodos de enseñanza, entre otras, que pueden dar un panorama más claro de las variables

que impactan en el desempeño de los estudiantes.

La claridad que aporta la estratificación de evaluar el dominio clasificando los conocimientos en

declarativos y procedimentales, ayuda a observar datos que merecen ser diferenciados y considerados

para identificar el nivel de alcance de los estudiantes.

La aportación principal de estos instrumentos es la rastreabilidad oportuna de los estudiantes en riesgo

de reprobar por bajo desempeño académico previo y sugerir acciones para poder atender las

vulnerabilidades a las que se ven expuestos y que no necesariamente son de índole académica, lo cual

se combina con la investigación cualitativa utilizando entrevistas que permitan realizar un diálogo con

múltiple no da cabida a las respuestas erróneas de los estudiantes. Considerando también que el proceso

de evaluación tiene un efecto que produce por si mismo, un error al realizar una medición.

Los procesos de aplicación requieren de una supervisión adecuada, para evitar la posibilidad de copiar

por parte del estudiante o de utilizar herramientas que les resuelvan los ejercicios sin tener un esfuerzo

Otra actitud hacia la evaluación que representa una adversidad dentro de la institución, es que algunos

profesores consideran que la evaluación estandarizada anula la libertad de cátedra de los profesores, lo

cual es una falacia, pues la libertad de enseñar no debe de estar peleada con la evaluación del dominio

de los temas. El temor de algunos profesores de ser evidenciados o expuestos a sus áreas de oportunidad

es el reflejo de esta negación a la evaluación unificada o departamental. Es necesario trabajar contra la

resistencia por parte de algunos profesores en participar en la evaluación departamental.

Continuando con las actitudes hacia la evaluación, es importante rescatar que algunos de los profesores

indican: vamos a evaluar para que pasen? O para que reprueben? La respuesta debe de ser siempre:

vamos a evaluar para que aprendan. Una de las principales luchas en la aceptación de la evaluación es

cambiar con los conceptos que tenemos los docentes al evaluar a nuestros estudiantes. ¿Cómo

al hablar de un fenómeno multifactorial y sistémico como es el caso de los procesos de aprendizaje, es

necesario considerar en el análisis de un modelo propuesto, las variables que se relacionan con los

estudiantes y con los profesores. Este fenómeno a estudiar es complejo y no se pueden obviar muchas

conclusiones solo con la medición de las variables: conocimientos previos y aprendizaje. Pero al menos,

esto representa un acercamiento a la medición de las variables más relevantes según lo sugerido por la

revisión de literatura.

Aguilar-Salinas, W. E., de las Fuentes-Lara, M., Justo-López, A. C., & Martínez-Molina, A. D. (2020).

Instrumento de medición para diagnosticar las habilidades algebraicas de los estudiantes en el

Ausubel, D., Novak, J., y Hanesian, H. (2006). Psicología Educativa: un punto de vista cognitivo.

México, DF: Editorial Trillas, 70.

Baldor, A. (2008). Álgebra de Baldor (2 ed.). México: Patría.

Bedoya Rodríguez, F. J. (2023). El rompecabezas: estrategia didáctica para mejorar el aprendizaje del

cálculo en estudiantes de ingeniería. Tecné, Episteme y Didaxis: TED, (53), 162–180.

Bloom, B. S. (1956). Taxonomy of educational objectives: Cognitive domain. New York: McKay.

Carey, S. (1999). Knowledge acquisition: Enrichment or conceptual change. En: Margolis, E., y

Laurence, S. (1999). Concepts: core readings. Cambridge, MA: MIT Press, 459-487.

Carnegie Mellon University (s.f.). Prior Knowledge. Eberly Center for Teaching Excellence.

development. En: Reese, H.W. (Ed.), Advances in child development and behavior, 20. Orlando:

Academic Press, 91-142.

Crocker, Linda y James Algina (1986). Introduction to Classical and Modern Test Theory, Holt,

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