SIMULACIÓN EN MATLAB DE LA DIFRACCIÓN
DE FRESNEL
MATLAB SIMULATION OF FRESNEL DIFFRACTION
Mauricio Ortíz Gutiérrez
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, México
Alberto Martínez Hernández
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, México
Mary Carmen Peña Gomar
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, México
Mario Pérez Cortés
Universidad Autónoma de Yucatán, México
pág. 4755
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v8i6.15592
Simulación en Matlab de la Difracción de Fresnel
Mauricio Ortíz Gutiérrez1
mauricio.ortiz@umich.mx
https://orcid.org/0000-0001-7403-3815
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
Universidad Michoacana
de San Nicolás de Hidalgo
Morelia Michoacán México. C.P. 58060
Alberto Martínez Hernández
1630419k@umich.mx
https://orcid.org/0009-0006-4323-1206
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
Universidad Michoacana
de San Nicolás de Hidalgo
Morelia Michoacán México. C.P. 58060
Mary Carmen Peña Gomar
mgomar@umich.mx
https://orcid.org/0000-0003-2132-7830
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
Universidad Michoacana
de San Nicolás de Hidalgo
Morelia Michoacán México. C.P. 58060
Mario Pérez Cortés
mperez.cortez@correo.uady.mx
https://orcid.org/0000-0003-0281-4449
Facultad de Ingeniería
Universidad Autónoma de Yucatán
México
RESUMEN
La difracción es un fenómeno físico que se presenta cuando un haz de luz monocromática incide en una
apertura, o en un obstáculo, de forma y tamaño arbitrarios se desvía de su trayectoria rectilínea hacia
direcciones discretas produciendo sobre una pantalla un patrón de difracción. Si la distancia entre la
apertura y la pantalla es pequeña, la difracción es de campo cercano o de Fresnel; si la distancia es muy
grande, entonces se llama difracción de campo lejano o de Fraunhofer. Para conocer la forma que tiene los
patrones de difracción se resuelve la integral que corresponda a cada caso. En este trabajo se presenta un
algoritmo para resolver la integral de difracción de Fresnel de manera indirecta haciendo uso de la
transformada de Fourier y sus propiedades y la convolución de funciones. Las funciones necesarias para
resolver la integral de difracción son la función de transmitancia que define la forma de la apertura u
obstáculo que difracta la luz, y la función de respuesta al impulso que caracteriza a la propagación libre de
la luz. Se presentan resultados de los patrones de difracción obtenidos con el código desarrollado.
Palabras clave: integral de difracción de fresnel, transformada de Fourier, convolución, función de
respuesta al impulso
1 Autor principal
Correspondencia: m.perez.cortes@correo.uady.mx
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v8i6.15592
Simulación en Matlab de la Difracción de Fresnel
Mauricio Ortíz Gutiérrez1
mauricio.ortiz@umich.mx
https://orcid.org/0000-0001-7403-3815
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
Universidad Michoacana
de San Nicolás de Hidalgo
Morelia Michoacán México. C.P. 58060
Alberto Martínez Hernández
1630419k@umich.mx
https://orcid.org/0009-0006-4323-1206
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
Universidad Michoacana
de San Nicolás de Hidalgo
Morelia Michoacán México. C.P. 58060
Mary Carmen Peña Gomar
mgomar@umich.mx
https://orcid.org/0000-0003-2132-7830
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
Universidad Michoacana
de San Nicolás de Hidalgo
Morelia Michoacán México. C.P. 58060
Mario Pérez Cortés
mperez.cortez@correo.uady.mx
https://orcid.org/0000-0003-0281-4449
Facultad de Ingeniería
Universidad Autónoma de Yucatán
México
RESUMEN
La difracción es un fenómeno físico que se presenta cuando un haz de luz monocromática incide en una
apertura, o en un obstáculo, de forma y tamaño arbitrarios se desvía de su trayectoria rectilínea hacia
direcciones discretas produciendo sobre una pantalla un patrón de difracción. Si la distancia entre la
apertura y la pantalla es pequeña, la difracción es de campo cercano o de Fresnel; si la distancia es muy
grande, entonces se llama difracción de campo lejano o de Fraunhofer. Para conocer la forma que tiene los
patrones de difracción se resuelve la integral que corresponda a cada caso. En este trabajo se presenta un
algoritmo para resolver la integral de difracción de Fresnel de manera indirecta haciendo uso de la
transformada de Fourier y sus propiedades y la convolución de funciones. Las funciones necesarias para
resolver la integral de difracción son la función de transmitancia que define la forma de la apertura u
obstáculo que difracta la luz, y la función de respuesta al impulso que caracteriza a la propagación libre de
la luz. Se presentan resultados de los patrones de difracción obtenidos con el código desarrollado.
Palabras clave: integral de difracción de fresnel, transformada de Fourier, convolución, función de
respuesta al impulso
1 Autor principal
Correspondencia: m.perez.cortes@correo.uady.mx
pág. 4756
Matlab Simulation of Fresnel Diffraction
ABSTRACT
Diffraction is a physical phenomenon that occurs when a beam of monochromatic light incident on an
aperture, or an obstacle, of arbitrary shape and size deviates from its rectilinear path towards discrete
directions, producing a diffraction pattern on a screen. If the distance between the aperture and the screen
is small, the diffraction is near-field or Fresnel; If the distance is considerable, it is called far-field or
Fraunhofer diffraction. The integral corresponding to each case is solved to know the shape of the
diffraction patterns. This work presents an algorithm to indirectly solve the Fresnel diffraction integral
using the Fourier transform and its properties and the convolution of functions. The functions necessary to
solve the diffraction integral are the transmittance function that defines the shape of the aperture or obstacle
that diffracts the light and the impulse response function that characterizes the free propagation of light.
Furthermore, this work presents the results obtained with the developed code.
Keywords: fresnel diffraction integral, fourier transform, convolution, impulse response function
Artículo recibido 05 enero 2025
Aceptado para publicación: 10 febrero 2025
Matlab Simulation of Fresnel Diffraction
ABSTRACT
Diffraction is a physical phenomenon that occurs when a beam of monochromatic light incident on an
aperture, or an obstacle, of arbitrary shape and size deviates from its rectilinear path towards discrete
directions, producing a diffraction pattern on a screen. If the distance between the aperture and the screen
is small, the diffraction is near-field or Fresnel; If the distance is considerable, it is called far-field or
Fraunhofer diffraction. The integral corresponding to each case is solved to know the shape of the
diffraction patterns. This work presents an algorithm to indirectly solve the Fresnel diffraction integral
using the Fourier transform and its properties and the convolution of functions. The functions necessary to
solve the diffraction integral are the transmittance function that defines the shape of the aperture or obstacle
that diffracts the light and the impulse response function that characterizes the free propagation of light.
Furthermore, this work presents the results obtained with the developed code.
Keywords: fresnel diffraction integral, fourier transform, convolution, impulse response function
Artículo recibido 05 enero 2025
Aceptado para publicación: 10 febrero 2025
pág. 4757
INTRODUCCIÓN
El primero en observar el efecto de difracción fue el matemático, físico y astrónomo italiano Francesco
Maria Grimaldi (R. Cecchin2i & G. Pelosi,, 1990) y es a quien se le atribuye el uso de la palabra difracción
que proviene del latin diffringere (dis y frangere) que se puede interpretar como romper en pedazos o
romper en diferentes direcciones. Su trabajo fue publicado en el libro De Lumine en Bologna en 1665 dos
años después de su muerte. Posterior a los trabajos de Grimaldi, diversos personajes importantes han
contribuido al desarrollo de la teoría de la difracción tal como Issac Newton, Thomas Young, Christiaan
Huygens, entre otros.
La difracción de la luz es un fenómeno que ocurre cuando las ondas de luz encuentran un obstáculo o
abertura y se desvían al pasar a través o alrededor de él. Cuando esto sucede, los frentes de onda de las
ondas de luz se alteran, lo que hace que la luz se doble y se propague en varias direcciones (E. Hecht, 2012).
El tamaño del obstáculo o de la abertura en relación con la longitud de onda de la luz influye en la
difracción. Supóngase que el obstáculo o la abertura es mucho mayor que la longitud de onda de la onda
que se difracta. En ese caso, los efectos de difracción son mínimos y la luz se comporta más como rayo y
la óptica geométrica puede predecir su comportamiento. Sin embargo, la difracción se vuelve significativa
cuando el obstáculo o la apertura es del orden de la longitud de onda. Cuando esto sucede el
comportamiento ondulatorio se vuelve evidente.
La difracción también es responsable del comportamiento de la luz en diversos instrumentos ópticos como
microscopios y telescopios. La difracción puede imponer limitaciones al poder de resolución de los
dispositivos ópticos, afectando su capacidad para distinguir entre objetos muy cercanos. Hay dos tipos de
difracción: la difracción de campo cercano, conocida como difracción de Fresnel y, la difracción de campo
lejano, también llamada difracción de Fraunhofer ( J. W. Goodman, 2005; Fred Lytle, 1999; Lytle, Fred,
1999).
Uno de los ejemplos típicos de difracción de Fresnel es el experimento de la doble abertura o experimento
de Young. Cuando un haz de luz esférico ilumina la doble abertura, aparece en una pantalla distante un
patrón de interferencia modulado por efectos de difracción. Es necesario resolver la integral de difracción
de Fresnel para la doble abertura para encontrar la expresión matemática que describa este patrón. Abedin,
Islam y Haider (K. Abedin et al, 2007), Abedin y Rahman (K. M. Abedin & S. M. Rahman, 2012) y Dauger
INTRODUCCIÓN
El primero en observar el efecto de difracción fue el matemático, físico y astrónomo italiano Francesco
Maria Grimaldi (R. Cecchin2i & G. Pelosi,, 1990) y es a quien se le atribuye el uso de la palabra difracción
que proviene del latin diffringere (dis y frangere) que se puede interpretar como romper en pedazos o
romper en diferentes direcciones. Su trabajo fue publicado en el libro De Lumine en Bologna en 1665 dos
años después de su muerte. Posterior a los trabajos de Grimaldi, diversos personajes importantes han
contribuido al desarrollo de la teoría de la difracción tal como Issac Newton, Thomas Young, Christiaan
Huygens, entre otros.
La difracción de la luz es un fenómeno que ocurre cuando las ondas de luz encuentran un obstáculo o
abertura y se desvían al pasar a través o alrededor de él. Cuando esto sucede, los frentes de onda de las
ondas de luz se alteran, lo que hace que la luz se doble y se propague en varias direcciones (E. Hecht, 2012).
El tamaño del obstáculo o de la abertura en relación con la longitud de onda de la luz influye en la
difracción. Supóngase que el obstáculo o la abertura es mucho mayor que la longitud de onda de la onda
que se difracta. En ese caso, los efectos de difracción son mínimos y la luz se comporta más como rayo y
la óptica geométrica puede predecir su comportamiento. Sin embargo, la difracción se vuelve significativa
cuando el obstáculo o la apertura es del orden de la longitud de onda. Cuando esto sucede el
comportamiento ondulatorio se vuelve evidente.
La difracción también es responsable del comportamiento de la luz en diversos instrumentos ópticos como
microscopios y telescopios. La difracción puede imponer limitaciones al poder de resolución de los
dispositivos ópticos, afectando su capacidad para distinguir entre objetos muy cercanos. Hay dos tipos de
difracción: la difracción de campo cercano, conocida como difracción de Fresnel y, la difracción de campo
lejano, también llamada difracción de Fraunhofer ( J. W. Goodman, 2005; Fred Lytle, 1999; Lytle, Fred,
1999).
Uno de los ejemplos típicos de difracción de Fresnel es el experimento de la doble abertura o experimento
de Young. Cuando un haz de luz esférico ilumina la doble abertura, aparece en una pantalla distante un
patrón de interferencia modulado por efectos de difracción. Es necesario resolver la integral de difracción
de Fresnel para la doble abertura para encontrar la expresión matemática que describa este patrón. Abedin,
Islam y Haider (K. Abedin et al, 2007), Abedin y Rahman (K. M. Abedin & S. M. Rahman, 2012) y Dauger
pág. 4758
(D. E. Dauger, 1996) resolvieron este problema y demostraron que la solución depende de las conocidas
funciones denominadas integrales de Fresnel (K. D. Mielenz, 1997) . Se requiere utilizar software
especializado como Mathematica o Matlab, entre otros, para visualizar el patrón generado por la doble
abertura (K. M. Abedin & S. M. Rahman, 2015). El problema se complica si existen tres o más aberturas
con formas arbitrarias (S. Trester, 1999, Gröber, S., et. al., 2014; Cui, Y., et. al., 2015; Sheppard, C. J. R.,
2015) por lo que los métodos propuestos en la literatura no ofrecen una solución adecuada.
Los efectos de la difracción son evidentes en la vida diaria principalmente a través de dispositivos cuyo
funcionamiento es regido por difracción. Por ejemplo, los espectrómetroORCIDs usan una rejilla de
difracción para separar las líneas espectrales de un haz de luz; la difracción también se usa para conocer la
estructura de materiales a través de los rayos X; entre otros.
Este trabajo resuelve este problema gráficamente utilizando un código escrito en Matlab. El código
proporciona la solución gráfica de la integral de difracción de Fresnel utilizando la transformada de Fourier
(Goodman, 2005; Trester, 1999). Sólo es necesario introducir la imagen de las aberturas para proporcionar
el resultado gráficamente. Este programa es útil en los cursos universitarios de óptica porque ayuda a
profesores y estudiantes a visualizar los patrones de difracción generados con las aberturas deseadas.
METODOLOGÍA
Para comprender el comportamiento en la propagación libre de un campo de luz que emite una fuente
puntual, conocido como teoría escalar de difracción se parte del teorema de Green y la ecuación de
Helmholtz. Usando estas dos herramientas matemáticas y la expresión de una onda esférica se demuestra (
J. W. Goodman, 2005) que los valores de un campo propagado dependen de los valores que tenga sobre
una superficie arbitraria. Kirchhoff propuso el uso de una pantalla opaca que contenía una pequeña apertura
de forma arbitraria y estableció las condiciones de frontera. Con ello, se encontró que los valores del campo
propagado una distancia arbitraria que pasa a través de una abertura dependen de la forma geométrica de
esta.
También contribuyeron al desarrollo de la teoría escalar de difracción científicos como Jonh William Strutt
conocido como Lord Rayleigh (1842-1919) y Arnold Sommerfeld (1868-1951), sin embargo, es a Augustin
Fresnel a quien se le atribuye el análisis de un campo de luz difractado por una abertura en distancias
(D. E. Dauger, 1996) resolvieron este problema y demostraron que la solución depende de las conocidas
funciones denominadas integrales de Fresnel (K. D. Mielenz, 1997) . Se requiere utilizar software
especializado como Mathematica o Matlab, entre otros, para visualizar el patrón generado por la doble
abertura (K. M. Abedin & S. M. Rahman, 2015). El problema se complica si existen tres o más aberturas
con formas arbitrarias (S. Trester, 1999, Gröber, S., et. al., 2014; Cui, Y., et. al., 2015; Sheppard, C. J. R.,
2015) por lo que los métodos propuestos en la literatura no ofrecen una solución adecuada.
Los efectos de la difracción son evidentes en la vida diaria principalmente a través de dispositivos cuyo
funcionamiento es regido por difracción. Por ejemplo, los espectrómetroORCIDs usan una rejilla de
difracción para separar las líneas espectrales de un haz de luz; la difracción también se usa para conocer la
estructura de materiales a través de los rayos X; entre otros.
Este trabajo resuelve este problema gráficamente utilizando un código escrito en Matlab. El código
proporciona la solución gráfica de la integral de difracción de Fresnel utilizando la transformada de Fourier
(Goodman, 2005; Trester, 1999). Sólo es necesario introducir la imagen de las aberturas para proporcionar
el resultado gráficamente. Este programa es útil en los cursos universitarios de óptica porque ayuda a
profesores y estudiantes a visualizar los patrones de difracción generados con las aberturas deseadas.
METODOLOGÍA
Para comprender el comportamiento en la propagación libre de un campo de luz que emite una fuente
puntual, conocido como teoría escalar de difracción se parte del teorema de Green y la ecuación de
Helmholtz. Usando estas dos herramientas matemáticas y la expresión de una onda esférica se demuestra (
J. W. Goodman, 2005) que los valores de un campo propagado dependen de los valores que tenga sobre
una superficie arbitraria. Kirchhoff propuso el uso de una pantalla opaca que contenía una pequeña apertura
de forma arbitraria y estableció las condiciones de frontera. Con ello, se encontró que los valores del campo
propagado una distancia arbitraria que pasa a través de una abertura dependen de la forma geométrica de
esta.
También contribuyeron al desarrollo de la teoría escalar de difracción científicos como Jonh William Strutt
conocido como Lord Rayleigh (1842-1919) y Arnold Sommerfeld (1868-1951), sin embargo, es a Augustin
Fresnel a quien se le atribuye el análisis de un campo de luz difractado por una abertura en distancias
pág. 4759
cercanas al plano que contiene la abertura. Los resultados obtenidos por Fresnel se concentran en la
conocida integral de difracción de Fresnel o de campo cercano. Finalmente, Joseph von Fraunhofer analizó
el campo de luz en distancias lejanas al plano de la abertura encontrando que el campo difractado está dado
por la transformada de Fourier de la función de la abertura, y es a quien se le atribuye la integral de
difracción de Fraunhofer o de campo lejano. Esta última no es analizada en este trabajo.
La Figura 1 muestra el esquema que representa la difracción de campo cercano. El campo de luz pasa a
través de la abertura (colocada en el plano xy) y produce un patrón de difracción en el plano (x1,y1). La
integral de difracción de Fresnel está representada en la ec. (1)
𝑢(𝑥1, 𝑦1) = 𝑒𝑖𝑘𝑧
𝑖𝜆𝑧 ∫∞
−∞ ∫∞
−∞ 𝑢0(𝑥, 𝑦)𝑒𝑥𝑝 {𝑖 𝑘
2𝑧 [(𝑥1 − 𝑥)2 + (𝑦1 − 𝑦)2]} 𝑑𝑥𝑑𝑦 , (1)
donde k=2π/λ, u0(x,y) es la función de transmitancia de la abertura y z es la distancia de propagación que
existe entre el plano de la abertura y el plano de observación (ver Fig.1).
Otra forma de expresar la ec. (1) es mediante la convolución de dos funciones, es decir
𝑢(𝑥1, 𝑦1) = 𝑢0(𝑥1, 𝑦1) ∗ ℎ(𝑥1, 𝑦1) = ∫∞
−∞ ∫∞
−∞ 𝑢0(𝑥, 𝑦)ℎ(𝑥1 − 𝑥, 𝑦1 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 , (2)
donde el símbolo ∗ representa la convolución de las funciones u0(x1,y1) y h(x1,y1), siendo h la función de
respuesta al impulso (FRI) dada por
ℎ(𝑥1, 𝑦1) = 𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑘𝑧)
𝑖𝜆𝑧 𝑒𝑥𝑝 [𝑖𝑘
2𝑧 (𝑥12 + 𝑦12)] . (3)
cercanas al plano que contiene la abertura. Los resultados obtenidos por Fresnel se concentran en la
conocida integral de difracción de Fresnel o de campo cercano. Finalmente, Joseph von Fraunhofer analizó
el campo de luz en distancias lejanas al plano de la abertura encontrando que el campo difractado está dado
por la transformada de Fourier de la función de la abertura, y es a quien se le atribuye la integral de
difracción de Fraunhofer o de campo lejano. Esta última no es analizada en este trabajo.
La Figura 1 muestra el esquema que representa la difracción de campo cercano. El campo de luz pasa a
través de la abertura (colocada en el plano xy) y produce un patrón de difracción en el plano (x1,y1). La
integral de difracción de Fresnel está representada en la ec. (1)
𝑢(𝑥1, 𝑦1) = 𝑒𝑖𝑘𝑧
𝑖𝜆𝑧 ∫∞
−∞ ∫∞
−∞ 𝑢0(𝑥, 𝑦)𝑒𝑥𝑝 {𝑖 𝑘
2𝑧 [(𝑥1 − 𝑥)2 + (𝑦1 − 𝑦)2]} 𝑑𝑥𝑑𝑦 , (1)
donde k=2π/λ, u0(x,y) es la función de transmitancia de la abertura y z es la distancia de propagación que
existe entre el plano de la abertura y el plano de observación (ver Fig.1).
Otra forma de expresar la ec. (1) es mediante la convolución de dos funciones, es decir
𝑢(𝑥1, 𝑦1) = 𝑢0(𝑥1, 𝑦1) ∗ ℎ(𝑥1, 𝑦1) = ∫∞
−∞ ∫∞
−∞ 𝑢0(𝑥, 𝑦)ℎ(𝑥1 − 𝑥, 𝑦1 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 , (2)
donde el símbolo ∗ representa la convolución de las funciones u0(x1,y1) y h(x1,y1), siendo h la función de
respuesta al impulso (FRI) dada por
ℎ(𝑥1, 𝑦1) = 𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑘𝑧)
𝑖𝜆𝑧 𝑒𝑥𝑝 [𝑖𝑘
2𝑧 (𝑥12 + 𝑦12)] . (3)
pág. 4760
Figura 1. Esquema de la difracción de Fresnel. El haz de luz incide desde la izquierda de la figura (no
representado).
La ventaja de utilizar esta forma de la integral de difracción de Fresnel radica en que se puede usar el
teorema de la transformada de Fourier de la convolución de dos funciones. Este teorema establece que la
transformada de Fourier de la convolución de dos funciones es el producto de la transformada de Fourier
de cada función (P. Hsu Hwei, 1976). Por tanto, la transformada de Fourier, U(ν,μ), de la ec. (2) está dada
por
𝑈(𝜈, 𝜇) = 𝐹{𝑢(𝑥1, 𝑦1)} = 𝐹{𝑢0(𝑥, 𝑦)}𝐹{ℎ(𝑥1, 𝑦1)} , (4)
donde F representa la transformada de Fourier y se tienen las relaciones siguientes
𝐹{𝑢0(𝑥, 𝑦)} = ∬−∞
∞ 𝑢(𝑥, 𝑦)𝑒𝑥𝑝{−𝑖2𝜋[(𝜈 − 𝑥)2 + (𝜇 − 𝑦)2]}𝑑𝑥𝑑𝑦 , (5)
𝐹{ℎ(𝑥1, 𝑦1)} = ∬−∞
∞ ℎ(𝑥1, 𝑦1)𝑒𝑥𝑝{−𝑖2𝜋[(𝜈 − 𝑥)2 + (𝜇 − 𝑦)2]}𝑑𝑥𝑑𝑦. (6)
Por tanto, el campo difractado se obtiene por la transformada inversa de Fourier de la ec. (4) y se representa
en la ec. (7)
𝑢(𝑥1, 𝑦1) = 𝐹−1{𝑈(𝜈, 𝜇)} = ∬−∞
∞ 𝑈0(𝜈, 𝜇)𝐻(𝜈, 𝜇)𝑒𝑥𝑝{𝑖2𝜋[(𝜈 − 𝑥)2 + (𝜇 − 𝑦)2]}𝑑𝜈𝑑𝜇 . (7)
La ec. (7) es el campo difractado y es analizado en un plano cercano a la abertura. Sin embargo, lo que es
posible observar mediante una cámara, sensor electrónico o con el ojo humano es la irradiancia, que se
relaciona con la energía contenida en el campo de luz y se puede calcular según la ec. (8).
𝐼(𝑥1, 𝑦1) = |𝑢(𝑥1, 𝑦1)|2 = 𝑢(𝑥1, 𝑦1)𝑢∗(𝑥1, 𝑦1) . (8)
Figura 1. Esquema de la difracción de Fresnel. El haz de luz incide desde la izquierda de la figura (no
representado).
La ventaja de utilizar esta forma de la integral de difracción de Fresnel radica en que se puede usar el
teorema de la transformada de Fourier de la convolución de dos funciones. Este teorema establece que la
transformada de Fourier de la convolución de dos funciones es el producto de la transformada de Fourier
de cada función (P. Hsu Hwei, 1976). Por tanto, la transformada de Fourier, U(ν,μ), de la ec. (2) está dada
por
𝑈(𝜈, 𝜇) = 𝐹{𝑢(𝑥1, 𝑦1)} = 𝐹{𝑢0(𝑥, 𝑦)}𝐹{ℎ(𝑥1, 𝑦1)} , (4)
donde F representa la transformada de Fourier y se tienen las relaciones siguientes
𝐹{𝑢0(𝑥, 𝑦)} = ∬−∞
∞ 𝑢(𝑥, 𝑦)𝑒𝑥𝑝{−𝑖2𝜋[(𝜈 − 𝑥)2 + (𝜇 − 𝑦)2]}𝑑𝑥𝑑𝑦 , (5)
𝐹{ℎ(𝑥1, 𝑦1)} = ∬−∞
∞ ℎ(𝑥1, 𝑦1)𝑒𝑥𝑝{−𝑖2𝜋[(𝜈 − 𝑥)2 + (𝜇 − 𝑦)2]}𝑑𝑥𝑑𝑦. (6)
Por tanto, el campo difractado se obtiene por la transformada inversa de Fourier de la ec. (4) y se representa
en la ec. (7)
𝑢(𝑥1, 𝑦1) = 𝐹−1{𝑈(𝜈, 𝜇)} = ∬−∞
∞ 𝑈0(𝜈, 𝜇)𝐻(𝜈, 𝜇)𝑒𝑥𝑝{𝑖2𝜋[(𝜈 − 𝑥)2 + (𝜇 − 𝑦)2]}𝑑𝜈𝑑𝜇 . (7)
La ec. (7) es el campo difractado y es analizado en un plano cercano a la abertura. Sin embargo, lo que es
posible observar mediante una cámara, sensor electrónico o con el ojo humano es la irradiancia, que se
relaciona con la energía contenida en el campo de luz y se puede calcular según la ec. (8).
𝐼(𝑥1, 𝑦1) = |𝑢(𝑥1, 𝑦1)|2 = 𝑢(𝑥1, 𝑦1)𝑢∗(𝑥1, 𝑦1) . (8)
pág. 4761
Como puede verse, la ec. (8) está dada por el producto del campo difractado y el complejo conjugado del
mismo. De esta manera cualquier cámara o sensor registra la energía del campo difractado dada por la
irradiancia.
La forma de resolver la integral de difracción de campo cercano (ec. 1) fue propuesta por Goodman ( J. W.
Goodman, 2005) y es un procedimiento que puede ser simulado en una computadora.
Simulación y resultados
En este trabajo se creó un algoritmo para resolver la integral de difracción de Fresnel siguiendo el método
detallado en la sección anterior. En la Figura 2 se presenta el algoritmo para generar el código en Matlab
que resuelve gráficamente la integral de Fresnel.
Figura 2. Algoritmo para simular de difracción de Fresnel.
Como se aprecia en el algoritmo mostrado en la Figura 2, el primer paso es la introducción de la imagen de
las aberturas. El formato del archivo puede ser jpg, png, bmp, etc., de cualquier tamaño. La forma de las
aberturas también puede ser arbitrario. En el paso 2 se introduce la función de respuesta al impulso (FRI)
mostrada en la ec. (3). En los pasos 3 y 4 se calcula la transformada de Fourier de la imagen de la abertura
y de la FRI. Una vez que se tengan calculadas las transformadas se multiplican ambos resultados en el paso
Como puede verse, la ec. (8) está dada por el producto del campo difractado y el complejo conjugado del
mismo. De esta manera cualquier cámara o sensor registra la energía del campo difractado dada por la
irradiancia.
La forma de resolver la integral de difracción de campo cercano (ec. 1) fue propuesta por Goodman ( J. W.
Goodman, 2005) y es un procedimiento que puede ser simulado en una computadora.
Simulación y resultados
En este trabajo se creó un algoritmo para resolver la integral de difracción de Fresnel siguiendo el método
detallado en la sección anterior. En la Figura 2 se presenta el algoritmo para generar el código en Matlab
que resuelve gráficamente la integral de Fresnel.
Figura 2. Algoritmo para simular de difracción de Fresnel.
Como se aprecia en el algoritmo mostrado en la Figura 2, el primer paso es la introducción de la imagen de
las aberturas. El formato del archivo puede ser jpg, png, bmp, etc., de cualquier tamaño. La forma de las
aberturas también puede ser arbitrario. En el paso 2 se introduce la función de respuesta al impulso (FRI)
mostrada en la ec. (3). En los pasos 3 y 4 se calcula la transformada de Fourier de la imagen de la abertura
y de la FRI. Una vez que se tengan calculadas las transformadas se multiplican ambos resultados en el paso
pág. 4762
5. Posteriormente, se calcula la transformada inversa de Fourier (paso 6) y se obtiene el conjugado del
campo (paso 7), y finalmente, en el paso 8 se calcula la irradiancia del campo dada por el producto de los
pasos 6 y 7. En el apéndice A se presenta el código completo en Matlab.
Como ejemplo del funcionamiento del código en Matlab, en la Figura 3 se muestra su uso para un caso
típico que se presenta al estudiar la difracción de Fresnel que corresponde a una abertura con borde recto
(Fig. 3(a)). El patrón que se obtiene corresponde a lo reportado en la literatura (S. George, 1972).
Figura 3. Patrón de difracción de Fresnel simulado de una abertura con borde recto. (a) abertura utilizada,
(b) patrón difractado y (c) perfil del patrón. La difracción se analiza a la distancia z=0.6 u. a.
(a)
(b)
(c)
5. Posteriormente, se calcula la transformada inversa de Fourier (paso 6) y se obtiene el conjugado del
campo (paso 7), y finalmente, en el paso 8 se calcula la irradiancia del campo dada por el producto de los
pasos 6 y 7. En el apéndice A se presenta el código completo en Matlab.
Como ejemplo del funcionamiento del código en Matlab, en la Figura 3 se muestra su uso para un caso
típico que se presenta al estudiar la difracción de Fresnel que corresponde a una abertura con borde recto
(Fig. 3(a)). El patrón que se obtiene corresponde a lo reportado en la literatura (S. George, 1972).
Figura 3. Patrón de difracción de Fresnel simulado de una abertura con borde recto. (a) abertura utilizada,
(b) patrón difractado y (c) perfil del patrón. La difracción se analiza a la distancia z=0.6 u. a.
(a)
(b)
(c)
pág. 4763
En la Figura 4 se muestra otro caso de difracción de Fresnel de una abertura con dos bordes rectos. La
abertura utilizada es similar a la mostrada en la Figura 3, y también se puede interpretar como una función
rectángulo ( J. W. Goodman, 2005) unidimensional.
Figura 4. Patrón de difracción de Fresnel simulado de una abertura con dos bordes rectos. (a) imagen de la
abertura (b) patrón difractado y (c) perfil del patrón. La distancia de observación es z=0.6 u. a.
(a)
(b)
(c)
En la figura 5 se muestra el ejemplo típico de la difracción de dos fuentes puntuales equidistantes del centro
de la imagen. Dos aberturas cuadradas separadas una distancia producen un patrón de interferencia
modulado por difracción que depende de la forma geométrica de las aberturas. En el centro de la Figura
3(a) se observa una zona de interferencia rodeada de otras zonas de interferencia de menor intensidad. Esto
En la Figura 4 se muestra otro caso de difracción de Fresnel de una abertura con dos bordes rectos. La
abertura utilizada es similar a la mostrada en la Figura 3, y también se puede interpretar como una función
rectángulo ( J. W. Goodman, 2005) unidimensional.
Figura 4. Patrón de difracción de Fresnel simulado de una abertura con dos bordes rectos. (a) imagen de la
abertura (b) patrón difractado y (c) perfil del patrón. La distancia de observación es z=0.6 u. a.
(a)
(b)
(c)
En la figura 5 se muestra el ejemplo típico de la difracción de dos fuentes puntuales equidistantes del centro
de la imagen. Dos aberturas cuadradas separadas una distancia producen un patrón de interferencia
modulado por difracción que depende de la forma geométrica de las aberturas. En el centro de la Figura
3(a) se observa una zona de interferencia rodeada de otras zonas de interferencia de menor intensidad. Esto
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es debido a la modulación provocada por la forma de las aberturas, esta imagen se capturó a la distancia
z=0.2 unidades arbitrarias (u.a.). En las Figuras 3(c) y 3(d) se muestran los patrones difractados 0.6 y 1 u.a.
respectivamente.
Figura 5. Imágenes para mostrar el funcionamiento del código propuesto (a) un par de aberturas cuadradas
y el campo difractado (b) 0.2, (c) 0.6 y (d) 1 unidades arbitrarias.
(a) (b)
(c) (d)
Finalmente, en la Figura 6 se muestra un ejemplo de la difracción de Fresnel de dos fuentes puntuales
colocadas una detrás de la otra separadas una distancia z arbitraria. Es conocido que esta forma de la
disposición de las fuentes es similar al interferómetro de Michelson (E. Hecht, 2012) que produce franjas
circulares, tal como se muestra en la figura 6.
Figura 6. Patrón de interferencia modulado por difracción de dos fuentes puntuales colocadas una detrás
de la otra.
es debido a la modulación provocada por la forma de las aberturas, esta imagen se capturó a la distancia
z=0.2 unidades arbitrarias (u.a.). En las Figuras 3(c) y 3(d) se muestran los patrones difractados 0.6 y 1 u.a.
respectivamente.
Figura 5. Imágenes para mostrar el funcionamiento del código propuesto (a) un par de aberturas cuadradas
y el campo difractado (b) 0.2, (c) 0.6 y (d) 1 unidades arbitrarias.
(a) (b)
(c) (d)
Finalmente, en la Figura 6 se muestra un ejemplo de la difracción de Fresnel de dos fuentes puntuales
colocadas una detrás de la otra separadas una distancia z arbitraria. Es conocido que esta forma de la
disposición de las fuentes es similar al interferómetro de Michelson (E. Hecht, 2012) que produce franjas
circulares, tal como se muestra en la figura 6.
Figura 6. Patrón de interferencia modulado por difracción de dos fuentes puntuales colocadas una detrás
de la otra.
pág. 4765
CONCLUSIONES
En este trabajo se desarrolló y presentó un código computacional escrito en Matlab, diseñado
específicamente para simular el patrón de difracción de Fresnel. Este fenómeno es un caso particular de la
difracción, y su análisis es fundamental en el estudio de la óptica ondulatoria. El código implementado
utiliza herramientas matemáticas, como la convolución y la transformada de Fourier, para abordar la
solución de la integral de difracción de Fresnel, que describe la propagación de ondas electromagnéticas
bajo ciertas condiciones. Estas técnicas permiten obtener resultados precisos y eficientes, facilitando el
estudio y análisis de diferentes configuraciones experimentales.
Como parte del análisis y validación del código, se seleccionó como caso de estudio el fenómeno de
difracción en una doble rendija, también conocido como el experimento de Young. Este experimento es un
hito histórico en la física, ya que demuestra de manera evidente la naturaleza ondulatoria de la luz. En la
simulación, se reprodujeron las condiciones típicas del experimento, y los resultados obtenidos fueron
comparados con los patrones de interferencia esperados teóricamente.
Los resultados mostraron que el código es capaz de reproducir adecuadamente los patrones de interferencia
característicos del experimento de Young, validando así su efectividad y precisión. Esto confirma que las
herramientas computacionales utilizadas son apropiadas para resolver problemas de óptica basados en el
enfoque de Fresnel. Además, el uso de Matlab proporcionó un entorno versátil y eficiente para realizar
simulaciones, lo que abre la posibilidad de extender este trabajo a otros casos más complejos. En
conclusión, el código desarrollado no solo es una herramienta útil para entender y estudiar el patrón de
difracción de Fresnel, sino que también contribuye a la enseñanza y la investigación en el campo de la
óptica.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Cui, Y., Zhang, W., Wang, J., Zhang, M., & Teng, S. (2015). Fresnel diffraction of aperture with rough
edge. Journal of Optics, 17(6), 065607. https://doi.org/10.1088/2040-8978/17/6/065607.
D. E. Dauger, (1996). “Simulation and study ofFresnel diffraction for arbitrary two-dimensional apertures”,
Computers in physics, 10(6), 591-604. https://doi.org/10.1063/1.168584.
E. Hecht, (2012). “Optics”, Pearson Education India.
CONCLUSIONES
En este trabajo se desarrolló y presentó un código computacional escrito en Matlab, diseñado
específicamente para simular el patrón de difracción de Fresnel. Este fenómeno es un caso particular de la
difracción, y su análisis es fundamental en el estudio de la óptica ondulatoria. El código implementado
utiliza herramientas matemáticas, como la convolución y la transformada de Fourier, para abordar la
solución de la integral de difracción de Fresnel, que describe la propagación de ondas electromagnéticas
bajo ciertas condiciones. Estas técnicas permiten obtener resultados precisos y eficientes, facilitando el
estudio y análisis de diferentes configuraciones experimentales.
Como parte del análisis y validación del código, se seleccionó como caso de estudio el fenómeno de
difracción en una doble rendija, también conocido como el experimento de Young. Este experimento es un
hito histórico en la física, ya que demuestra de manera evidente la naturaleza ondulatoria de la luz. En la
simulación, se reprodujeron las condiciones típicas del experimento, y los resultados obtenidos fueron
comparados con los patrones de interferencia esperados teóricamente.
Los resultados mostraron que el código es capaz de reproducir adecuadamente los patrones de interferencia
característicos del experimento de Young, validando así su efectividad y precisión. Esto confirma que las
herramientas computacionales utilizadas son apropiadas para resolver problemas de óptica basados en el
enfoque de Fresnel. Además, el uso de Matlab proporcionó un entorno versátil y eficiente para realizar
simulaciones, lo que abre la posibilidad de extender este trabajo a otros casos más complejos. En
conclusión, el código desarrollado no solo es una herramienta útil para entender y estudiar el patrón de
difracción de Fresnel, sino que también contribuye a la enseñanza y la investigación en el campo de la
óptica.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Cui, Y., Zhang, W., Wang, J., Zhang, M., & Teng, S. (2015). Fresnel diffraction of aperture with rough
edge. Journal of Optics, 17(6), 065607. https://doi.org/10.1088/2040-8978/17/6/065607.
D. E. Dauger, (1996). “Simulation and study ofFresnel diffraction for arbitrary two-dimensional apertures”,
Computers in physics, 10(6), 591-604. https://doi.org/10.1063/1.168584.
E. Hecht, (2012). “Optics”, Pearson Education India.