RESPUESTA AL IMPULSO PARA LA
OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA PULSO DE UN SISTEMA
DIGITAL DE PRIMER Y DE SEGUNDO
ORDEN.
IMPULSE RESPONSE FOR OBTAINING THE TRANSFER
FUNCTION OF A PULSE IN A FIRST-ORDER AND SECOND-
ORDER DIGITAL SYSTEM
Francisco Carlos Mejía Alanís
Tecnológico Nacional de México, Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Julio Cesar Gallo Sánchez
Tecnológico Nacional de México, Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
pág. 569
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v9i1.15746
Respuesta al impulso para la obtención de la función de transferencia pulso
de un sistema digital de primer y de segundo orden.
Francisco Carlos Mejía Alanís
1
fcarlos.malanis@lcardenas.tecnm.mx
https://orcid.org/0000-0001-9257-4009
Tecnológico Nacional de México, Instituto
Tecnológico de Lázaro Cárdenas
México
Julio Cesar Gallo Sánchez
jcesar.cesar@lcardenas.tecnm.mx
https://orcid.org/0000-0003-1034-1610
Tecnológico Nacional de México, Instituto
Tecnológico de Lázaro Cárdenas
México
RESUMEN
El presente trabajo se centra en la implementación de una estrategia para obtener las funciones de
transferencia en el dominio del tiempo discreto de sistemas de primer orden y sistemas de segundo orden
en tiempo continuo. La metodología empleada se basa en la simulación de la respuesta al impulso de
estos sistemas continuos y muestreando su respuesta con diferentes valores del tiempo de muestreo para
obtener diferentes funciones de transferencia pulso de los mismos sistemas, lo cual permite comprender
cómo la discretización afecta la respuesta del sistema y cómo se puede utilizar la respuesta al impulso
para derivar las funciones de transferencia pulso, que son esenciales para el diseño y análisis de sistemas
de control digital y filtros. Ademas, estas funciones de transferencia pulso permiten realizar un analisis
de las características de los sistemas discretos, como la estabilidad, el amortiguamiento y el tiempo de
respuesta.
Para llevar a cabo este análisis, se utiliza Python como herramienta de simulación, generando las
respuestas temporales de los sistemas discretos ante distintas entradas, tales como las señales escalón y
rampa. Estas respuestas permiten observar cómo evoluciona la salida del sistema en función del tiempo,
lo que proporciona información clave sobre las características dinámicas de los sistemas de primer y
segundo orden en su forma discreta.
Además, el trabajo presenta una comparación entre las respuestas obtenidas para los sistemas discretos
y las de sus versiones continuas correspondientes. Las respuestas de ambos sistemas, digitales y
continuos, se simulan también en Python y se contrastan, lo que permite evaluar las diferencias y
similitudes en el comportamiento de ambos tipos de sistemas bajo las mismas condiciones de entrada.
Palabras clave: función de transferencia pulso, sistema en tiempo discreto, respuesta al impulso, entrada
escalón y rampa
1
Autor principal.
Correspondencia: fcarlos.malanis@lcardenas.tecnm.mx
pág. 570
Impulse response for obtaining the transfer function of a pulse in a first-
order and second-order digital system
ABSTRACT
This work focuses on the implementation of a strategy to obtain the transfer functions in the discrete-
time domain for first-order systems and second-order continuous-time systems. The methodology used
is based on simulating the impulse response of these continuous systems and sampling their response
with different sampling times to obtain different pulse transfer functions of the same systems. This
approach allows for understanding how discretization affects the system's response and how the impulse
response can be used to derive pulse transfer functions, which are essential for the design and analysis
of digital control systems and filters. Furthermore, these pulse transfer functions enable the analysis of
the characteristics of discrete systems, such as stability, damping, and response time.
To carry out this analysis, Python is used as a simulation tool, generating the time-domain responses of
the discrete systems to different inputs, such as step and ramp signals. These responses allow for
observing how the system's output evolves over time, providing key information about the dynamic
characteristics of first- and second-order systems in their discrete form.
Additionally, the work presents a comparison between the responses obtained for the discrete systems
and those of their corresponding continuous versions. The responses of both digital and continuous
systems are also simulated in Python and contrasted, allowing for the evaluation of the differences and
similarities in the behavior of both types of systems under the same input conditions..
Keywords: pulse transfer function, discrete-time system, impulse response, step input and ramp
Artículo recibido 19 noviembre 2024
Aceptado para publicación: 24 diciembre 2024
pág. 571
INTRODUCCIÓN
El análisis de respuesta temporal tiene un papel clave en los sistemas de control para estudiar el
desempeño de un sistema (Analysis of Transient Response of First & Second Order System Using
EXPEYES, n.d.). Por este motivo es que el análisis de la respuesta transitoria y permanente de los
sistemas de primer y segundo orden es un tema fundamental en la asignatura de control digital o sistemas
de control en tiempo discreto. Estos sistemas son ampliamente utilizados en diversas aplicaciones, desde
la automatización industrial hasta el procesamiento de señales. Comprender cómo responden estos
sistemas a diferentes entradas es crucial para el diseño eficiente de controladores y filtros digitales. Uno
de los aspectos más relevantes en este campo es el diseño de controladores o compensadores digitales.
Aunque estos controladores son implementados en hardware digital, su diseño a menudo se realiza en
el dominio del tiempo continuo. Posteriormente, se aplican técnicas de discretización para adaptarlos al
entorno digital (Rabbath & Léchevin, 2014). Este enfoque permite aprovechar las herramientas
analíticas desarrolladas para sistemas continuos, asegurando que las características del controlador se
mantengan al ser llevadas al dominio discreto. El diseño de filtros digitales también es un componente
crítico dentro de esta disciplina. La discretización del filtro analógico previamente diseñado es esencial
para garantizar que el filtro mantenga su efectividad en el dominio discreto (Pérez et al., 2018).
Asimismo, es común realizar el diseño de controladores en el dominio de tiempo discreto. Por lo tanto,
es necesario realizar la transformación de un sistema en tiempo continuo a sistema en tiempo discreto
(Ádám et al., 2003). Para lograr esto, se utilizan diversas técnicas conocidas como transformaciones s a
z (Franklin et al., 1998). Estas técnicas incluyen la respuesta al impulso, la respuesta al escalón (Chen
& Francis, 1995), diferencias hacia atrás o hacia adelante, y la transformada bilineal o Tustin (Vadhavkar
et al., 2007). También, se tiene el método basado en la teoría del control H
∞
de datos muestreados
(Nagahara & Yamamoto, 2013). En este método se formula el problema de discretización como la
minimización de la norma H
∞
del sistema de error entre un filtro analógico objetivo con retardo y un
sistema digital que incluye un muestreador ideal, un retentor de orden cero y un filtro digital. El
problema se reduce a la optimización h∞ en tiempo discreto mediante el método de aproximación rápida
de muestreo/retención. Por otra parte, se tiene la técnica de identificación paramétrica por mínimos
cuadrados para obtener la función de transferencia discreta (Diaz, 2002).Cada una de estas metodologías
pág. 572
busca obtener un equivalente en tiempo discreto que represente adecuadamente la función de
transferencia del sistema en tiempo continuo. Sin embargo, a medida que aumenta el orden de los
sistemas, la complejidad para realizar estas transformaciones manualmente se incrementa. Esto se debe
a que las transformaciones s a z de orden superior requieren un conocimiento profundo sobre los
comportamientos dinámicos del sistema y las interacciones entre sus componentes. Muchos estudios
que abordan el método de la respuesta al impulso mencionan su utilidad para obtener la función de
transferencia de un sistema; sin embargo, frecuentemente omiten detallar los pasos necesarios para su
implementación. La implementación práctica de estas teorías se realiza comúnmente utilizando
herramientas computacionales como Python (Control.Matlab.C2d — Python Control Systems Library
0.10.1 Documentation, n.d.) o MATLAB (C2d, n.d.). Por ejemplo, MATLAB y Python Control Systems
Library ofrecen el comando c2d para convertir funciones de transferencia continuas a discretas
especificando un tiempo de muestreo T
s
adecuado. Esta capacidad permite validar teorías y observar
cómo las características dinámicas cambian con diferentes configuraciones y tiempos de muestreo. En
este trabajo se presenta una metodología que utiliza Python para simular la respuesta al impulso y
obtener funciones de transferencia pulso para sistemas de primer y segundo orden. Se generan respuestas
temporales ante distintas entradas (escalón y rampa), lo que proporciona información clave sobre las
características dinámicas del sistema en su forma discreta. Además, se realiza una comparación entre las
respuestas obtenidas para los sistemas discretos y sus versiones continuas correspondientes. Este análisis
no solo contribuye a una mejor comprensión teórica del comportamiento de los sistemas discretos, sino
que también proporciona herramientas prácticas para el diseño y análisis eficiente en aplicaciones reales.
Muestreo de señales analógicas
En el contexto de un sistema físico, una señal contiene la información que describe el comportamiento
o la naturaleza de un fenómeno. Por otro lado, en el contexto matemático, una señal se define como una
función de una o más variables. Típicamente se tienen dos tipos de señales: señales de tiempo continuo
o analógicas e(t), las cuales son definidas para todo instante de tiempo y las señales de tiempo discreto
e(nT
s
), las cuales son definidas solo en los instantes de tiempo t=nT
s
, siendo n un número entero y T
s
el
período de muestreo. Una señal en tiempo discreto puede representarse especificando una regla para
pág. 573
calcular el n-esimo valor de la secuencia
o enumerando de manera
explícita los valores de la secuencia
. En la representación de
una señal discreta mediante una secuencia, se usa una flecha o un distintivo para denotar el termino n=0.
Si no se indica la flecha o el distintivo entonces el primer elemento es el termino n=0 y todos los valores
de la secuencia son 0 para n<0 (Hsu et al., 2013).
Las señales en tiempo discreto son obtenidas mediante el proceso de muestreo de una señal continua en
el tiempo, a intervalos de tiempo T
s
. Esta señal discreta, vista como una secuencia x[n], puede describirse
como (Esparza Arellano María Elena & Avalos Briseño J. Benito, 2003):
s s s s
k
x nT x kT nT kT
=−
=−
(1)
En la ecuación (1),
describe la señal analógica evaluada en los instantes de tiempo kT
s
y la
función delta de Dirac
representa la función impulso desplazada kT
s
instantes de tiempo.
Una característica a tomar en cuenta en el proceso de muestreo es que se presenta una pérdida de
información en la señal x(t) (Pastor et al., 2004). Para evitar esto, el teorema del muestreo establece que
una señal x(t) con un espectro limitado a la frecuencia f
B
(|f|≤ f
B
) puede ser muestreada sin pérdida de
información si la frecuencia de muestreo f
S
=1/T
s
supera la cantidad 2f
B
, es decir f
S
≥ 2f
B
(Alexander
Cortés Osorio et al., n.d.). Si no se muestrea como mínimo a esa frecuencia tiene lugar el fenómeno
denominado “aliasing”. Sin embargo, en la práctica ω se elige como 6ω o 10ω, o se escoge un período
máximo de muestreo que sea entre dos y tres veces el tiempo de subida (Pastor et al., 2004).
Continuando con el proceso de muestreo, la aplicación de la transformada de Laplace a la ecuación (1)
, nos conduce a la expresión siguiente:
* kTs
k
x s x kT e
−
=−
=
(2)
Donde x
*
(s) es la transformada de Laplace de la señal muestreada x[nT]. Además, el reordenamiento de
la ecuación (2), proporciona la expresión siguiente:
( )
*
k
Ts
k
x s x kT e
−
=−
=
(3)
pág. 574
En la ecuación (3), si se realiza el cambio de variable dado por z=
, se tiene la definición de la
transformada Z bilateral, como se muestra en la expresión siguiente:
k
k
X z x kT z
−
=−
=
(4)
Si las muestras para k<0 son cero, entonces se tiene la transformada Z unilateral de una función discreta,
descrita mediante la expresión:
0 ( 1) ( 2)
0
[0] [1] [2]
k
k
X z x kT z x z x z x z
− − −
=
= = + + +
(5)
La transformada Z de una secuencia discreta x[n] es convergente solo para un conjunto de valores del
plano complejo z denominado región de convergencia ROC. La condición de ROC está dada por la
ecuación:
0
1
1
1
k
k
rr
r
=
=
−
(6)
Retenedor de orden cero
El retenedor más elemental y utilizado que convierte la señal muestreada en una señal que es constante
entre dos instantes de muestreo consecutivos es el retenedor de orden cero. La exactitud del retenedor
de orden cero en la reconstrucción de la señal depende de la magnitud del periodo de muestreo T
s
. La
salida del retenedor de orden cero se ve como una serie de pasos escalonados, donde cada escalón tiene
una duración igual al período de muestreo. La función de transferencia del retenedor de orden cero en
el dominio de Laplace es
( )
1
sT
e
Hs
s
−
−
=
(7)
donde T es el período de muestreo.
pág. 575
Función de transferencia pulso
La función de transferencia pulso es la relación de la transformada Z de la salida del sistema y la
transformada Z de la entrada del sistema como se representa en la siguiente expresión:
( )
( )
( )
Cz
Gz
Rz
=
(8)
Debe tenerse en cuenta que como la transformada Z depende del periodo de muestreo, entonces un
mismo sistema en tiempo continuo puede tener diferentes representaciones de su correspondiente
función de transferencia pulso debido a la elección del periodo de muestreo. Como se describió
previamente, existen varios métodos para obtener la función de transferencia pulso de un sistema en
tiempo continuo, uno de los métodos es mediante la respuesta al impulso. Debido a que la función de
transferencia de un sistema está dada por la ecuación:
( )
( )
( )
Cs
Gs
Rs
=
(9)
Entonces, de la ecuación (9), se tiene que la salida del sistema queda establecida por la ecuación:
( ) ( ) ( )
C s G s R s=
(10)
En este método se tiene que como la transformada de Laplace de la función impulso es la unidad,
entonces la función de transferencia del sistema queda determinada por la salida del sistema, como se
establece en la expresión:
( ) ( )
C s G s=
(11)
La función de transferencia de la ecuación (11) se le debe aplicar la transformada inversa de Laplace
para obtener la expresión en el dominio temporal, como se muestra en la ecuación (12), y poder obtener
la función de transferencia pulso.
pág. 576
( ) ( )
C t G t=
(12)
Finalmente, si se aplica la transformada Z a la ecuación (11) se podría obtener la función de transferencia
pulso del sistema, mediante la siguiente expresión:
0 ( 1) ( 2)
0
[0] [1] [2]
k
k
G z c kT z c z c z c z
− − −
=
= = + + +
(13)
Hay que tener en cuenta que la ecuación (13) debe ser dividida por la suma de los coeficientes de la
respuesta al impulso c[kT] para que G[z] corresponda con la respuesta al impulso unitario y la función
de transferencia analógica debe estar en su forma estándar para un sistema de primer orden y segundo
orden como se ilustra en las ecuaciones siguientes:
( )
1
1
G s K
Ts
=
+
(14)
( )
2
22
2
n
nn
G s K
ss
=
++
(15)
METODOLOGÍA
Obtención de la función de transferencia pulso de un sistema de primer orden mediante la
respuesta al impulso
El primer paso para obtener la función de transferencia pulso de la función de transferencia de un sistema
en tiempo continuo es obtener la respuesta al impulso de dicho sistema. Esta respuesta al impulso del
sistema de primer orden es obtenida mediante el código en Python mostrado en la figura 1. La función
de transferencia del sistema de primer orden es expresada por la ecuación:
( )
1
0.1 1
Gs
s
=
+
(16)
pág. 577
La grafica de la respuesta al impulso del sistema de primer orden, representado por la ecuación (16), es
mostrada en la figura 2. En ella puede observarse que la curva de respuesta alcanza su valor en estado
estacionario a los 0.6 segundos aproximadamente.
Figura 1. Código en Python para obtener la respuesta al impulso de un sistema de primer orden
Figura 2. Respuesta al impulso de un sistema de primer orden
Además, de acuerdo a (Pastor et al., 2004), se tiene que el tiempo de muestreo puede ser tres veces más
pequeño que el tiempo de subida, por consiguiente, se simula la respuesta al escalón del sistema de la
ecuación (16), como se ilustra en el código de la figura 3, para obtener el tiempo de subida.
pág. 578
Figura 3. Código en Python para obtener la respuesta al escalón de un sistema de primer orden
Conforme a la respuesta al escalón de la figura 4, se puede determinar que el tiempo de subida es de 6
segundos, por lo que el tiempo de muestreo podría ser de 2 segundos.
Figura 4. Respuesta al escalón de un sistema de primer orden
No obstante, se eligió un periodo de muestreo de 0.02 segundos para realizar la simulación de la
respuesta al impulso del sistema de la ecuación (19), la cual arrojó la secuencia c[nT] = [10, 8.18731,
6.7032, 5.48812, 4.49329, 3.67879, 3.01194, 2.46597, 2.01897, 1.65299, 1.35335, 1.10803, 0.90718,
0.742736, 0.608101, 0.497871, 0.407622, 0.333733, 0.273237, 0.223708, 0.183156, 0.149956,
0.122773, 0.100518, 0.0822975, 0.0673795, 0.0551656, 0.0451658, 0.0369786, 0.0302755]. Esta
secuencia posteriormente es dividida por la suma de todos los valores del vector c[nT] para que la
función de transferencia pulso corresponda con la respuesta al impulso unitario de un sistema discreto.
Por tanto, la función de transferencia pulso queda determinada por la transformada Z, indicada por la
ecuación (5), de la secuencia c[nT] multiplicada por el factor previamente mencionado, como se describe
en la ecuación siguiente:
( )
( )
1
G z c nT
sum c nT
=
(17)
pág. 579
Obtención de la función de transferencia pulso de un sistema de segundo orden mediante la
respuesta al impulso
Para obtener la función de transferencia pulso del sistema en tiempo continúo descrito por la ecuación:
( )
2
1
0.4 0.68
Gs
ss
=
++
(18)
es necesario reescribir la función de transferencia de segundo orden en su forma estándar, como se
muestra a continuación
( )
2
0.68
0.4 0.68
Gs
ss
=
++
(19)
Posteriormente, se simula la respuesta al impulso en Python, mediante el código mostrado en la figura
5, del sistema de segundo orden dado por la ecuación (19).
Figura 5. Código en Python para simular la respuesta al impulso de un sistema de segundo orden
El resultado de la simulación es mostrado en la gráfica de la figura 6, en la que se puede observar que
la salida alcanza su valor en estado estacionario en aproximadamente 30 segundos. Pero, de acuerdo a
pág. 580
(Pastor et al., 2004), el tiempo de muestreo puede ser tres veces más pequeño que el tiempo de subida,
por lo tanto, también se simula la respuesta al escalón del sistema de la ecuación (19), como se ilustra
en el código de la figura 7, para obtener el tiempo de subida. De acuerdo a la respuesta escalón de la
figura 8, el tiempo de subida es de 2.28 segundos, por lo que el tiempo de muestreo podría ser de 0.76
segundos.
Figura 6. Respuesta al impulso del sistema de segundo orden
Figura 7. Código en Python para simular la respuesta al escalón de un sistema de segundo orden
Figura 8. Respuesta al escalón del sistema de segundo orden.
Tomando un tiempo de muestreo de 0.8 segundos en la simulación de la respuesta al impulso del sistema
de la ecuación (19), se tiene que la secuencia c[nT] = [ 0, 0.432562, 0.591313, 0.494221, 0.24622, -
pág. 581
0.0222948, -0.20927, -0.269883, -0.216969, -0.100622, 0.0200012, 0.100408, 0.122735, 0.094867,
0.0405597, -0.0134424, -0.0478281, -0.05562, -0.0413023, -0.0160719, 0.00802132, 0.0226357,
0.0251184, 0.0179, 0.00622963, -0.00448216, -0.0106508, -0.0113049, -0.00771977, -0.0023439,
0.00240159, 0.00498499, 0.00507059, 0.00331165, 0.000845033, -0.00124959, -0.00232181, -
0.00226653 ]. Esta secuencia posteriormente es dividida por la suma de todos los valores del vector
c[nT], para que la función de transferencia pulso corresponda con la respuesta al impulso unitario del
sistema discreto. Posteriormente, debe multiplicarse por el factor 1/0.68, debido a que la función de
transferencia original, representada por la ecuación (18), fue transformada a la función de transferencia
en su forma estándar, representada por la ecuación (19). Por tanto, la función de transferencia pulso
queda determinada por la transformada Z, indicada por la ecuación (5), de la secuencia c[nT]
multiplicada por los factores previamente mencionados, como se describe en la ecuación siguiente:
( )
( )
11
0.68
G z c nT
sum c nT
=
(20)
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Respuesta escalón y rampa de la función de transferencia pulso obtenida del sistema de primer y
segundo orden
Para contrastar la respuesta del sistema en tiempo continuo con el sistema en tiempo discreto obtenido
se presenta la respuesta al escalón y a la rampa. En este sentido, en la figura 9 se muestra el código
Python para obtener la respuesta al escalón del sistema discreto de primer orden obtenido mediante la
respuesta al impulso. Adicionalmente, en la figura 10 se puede visualizar la respuesta del sistema
discreto de primer orden ante la entrada escalón. Con este resultado es posible comprobar que, con
respecto a la entrada escalón, las respuestas de los sistemas de primer orden en tiempo continuo, figura
4, y de primer orden en tiempo discreto, figura 10, son muy parecidas.
pág. 582
Figura 9. Código Python para obtener la respuesta al escalón del sistema discreto de primer orden.
Figura 10. Respuesta al escalón del sistema de primer orden.
pág. 583
Figura 11. Código Python para obtener la respuesta al escalón del sistema discreto de segundo orden.
Figura 12. Respuesta al escalón del sistema discreto de segundo orden.
pág. 584
Figura 13. Respuesta a la rampa del sistema discreto de segundo orden.
CONCLUSIONES
En la actualidad, los sistemas de control se implementan principalmente en hardware digital, lo que ha
llevado a una creciente necesidad de discretizar los controladores diseñados en el dominio del tiempo
continuo. Este proceso de discretización se realiza generalmente al finalizar la fase de diseño de los
sistemas, utilizando técnicas estándar que permiten la conversión de sistemas continuos a su versión
digital. Esta transformación es fundamental para implementar los controladores en sistemas
computacionales, ya que el hardware digital opera de forma discreta y no continua. Esta práctica es
común en el campo de la ingeniería de control, donde los sistemas continuos deben ser adaptados a
plataformas digitales para su implementación efectiva. Además, con frecuencia los sistemas continuos
son diseñados para ser posteriormente discretizados y utilizados como filtros digitales. En la materia de
control digital, es esencial realizar un análisis exhaustivo de la respuesta de los sistemas digitales, ya
que su comportamiento puede diferir significativamente de los sistemas continuos debido a la
discretización. Este análisis debe incluir la evaluación de la respuesta del sistema ante diferentes
entradas, como las señales escalón y rampa, y su comportamiento dinámico, que está influenciado por
el tiempo de muestreo. Un aspecto crucial a tener en cuenta es que la precisión de un sistema digital
pág. 585
depende en gran medida del tiempo de muestreo utilizado. Un tiempo de muestreo demasiado grande
puede provocar una pérdida significativa de información y reducir la precisión de la respuesta del
sistema, lo que afecta su desempeño. Por el contrario, un tiempo de muestreo demasiado pequeño puede
generar un mayor costo computacional sin aportar beneficios sustanciales en la precisión. Por tanto,
encontrar un equilibrio adecuado en el tiempo de muestreo es fundamental para garantizar que los
sistemas digitales ofrezcan un rendimiento óptimo. Este análisis es clave tanto para el diseño como para
la implementación de sistemas de control y filtros digitales en la práctica actual.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Ádám, T., Dadvandipour, S., & Futás, J. (2003). Influence of discretization method on the digital control
system performance. Acta Montanistica Slovaca Ročník, 8, 4.
Alexander Cortés Osorio, J., Baldomiro Cano Garzón, H., & Andrés Chaves Osorio, J. (n.d.).
FUNDAMENTOS Y APLICACIÓN DEL MUESTREO EN SEÑALES UBICADAS EN LAS
BANDAS ALTAS DEL ESPECTRO. Scientia et Technica Año XIV, 39. Retrieved May 19,
2024, from http://prof.usb.ve/tperez/docencia/2422/contenido/muestreo/
Analysis of Transient Response of First & Second Order System using EXPEYES. (n.d.). Retrieved
January 13, 2025, from
https://www.researchgate.net/publication/353447390_Analysis_of_Transient_Response_of_Fi
rst_Second_Order_System_using_EXPEYES
c2d. (n.d.). Retrieved January 13, 2025, from
https://la.mathworks.com/help/control/ref/dynamicsystem.c2d.html
Chen, T., & Francis, B. A. (1995). Optimal Sampled-Data Control Systems. Optimal Sampled-Data
Control Systems. https://doi.org/10.1007/978-1-4471-3037-6
control.matlab.c2d — Python Control Systems Library 0.10.1 documentation. (n.d.). Retrieved January
13, 2025, from
https://pythoncontrol.readthedocs.io/en/0.10.1/generated/control.matlab.c2d.html#control.matl
ab.c2d
pág. 586
Diaz, A. E. (2002). Identificación con Modelos Discretos para Sistemas Lineales. Modelo Matemático
y Aplicaciones. Ingeniería.
https://www.academia.edu/50810606/Identificaci%C3%B3n_con_Modelos_Discretos_para_Si
stemas_Lineales_Modelo_Matem%C3%A1tico_y_Aplicaciones
Esparza Arellano María Elena, & Avalos Briseño J. Benito. (2003). Reconocimiento de voz. Conciencia
Tecnológica, (22). https://www.redalyc.org/articulo.oa?id=94402206
Franklin, G. F., Powell, J. D., & Workman, M. L. (1998). Digital control of dynamic systems. 742.
Hsu, H. P., Mata Hernández, G., & Alatorre Miguel, E. (2013). Señales y sistemas.
Nagahara, M., & Yamamoto, Y. (2013). Optimal discretization of analog filters via sampled-data H ∞
control theory. Proceedings of the IEEE International Conference on Control Applications, 527–
532. https://doi.org/10.1109/CCA.2013.6662803
Pastor, L., Juan, S. F., Díaz De León, L., Cornelio, Y. M., & Charles, R. H. (2004). Cuantificación del
Error en las Mediciones Debido a la Frecuencia de Muestreo The Error’s Quantification in the
Measurements Due to Sampling Frequency. CIC-IPN, 8, 86–105.
Pérez, A. S. C., Rodríguez, G. Á., & Gómez, R. P. (2018). DISEÑO DE UN FILTRO DIGITAL PASA
BAJAS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN A PARTIR DE CIRCUITO RC. Pistas
Educativas, 38(120).
https://pistaseducativas.celaya.tecnm.mx/index.php/pistas/article/view/602
Rabbath, C. A., & Léchevin, N. (2014). Control Systems. In Discrete-Time Control System Design with
Applications (pp. 1–11). Springer New York. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-9290-0_1
Vadhavkar, P. R., Watkins, J. M., & Paarmann, L. D. (2007). Mapping a controller from the s-domain to
z-domain using Magnitude Invariance Method (MIM). 3rd Annual GRASP Symposium, 199–
200.
