pág. 3509
MEDICIÓN DE PARÁMETROS
CARACTERÍSTICOS DE UN LÁSER CONTINÚO
CW
MEASUREMENTS OF CHARACTERISTICS PARAMETERS OF A
CW LASER
Beatriz Adriana Martínez Irivas
Universidad Autónoma de Coahuila, Facultad de Ciencias Físico Matemáticas.
Emma Vianey García Ramírez
Consejo Nacional de Ciencia, Humanidades y Tecnología, Benemérita Universidad Autonóma de Puebla,
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas.
Doralycia Carranza Zuñiga
Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y Eléctronica. Óptica
Athziri Zúniga Méndez
Benemérita Universidad Autonóma de Puebla, Facultad de Ciencias Físico Matemáticas.
Raúl Ochoa Valiente
Universidad Autónoma de Coahuila, Facultad de Ciencias Físico Matemáticas.
pág. 3510
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v9i1.16097
Medición de parámetros característicos de un láser continúo CW
Beatriz Adriana Martínez Irivas1
beatrizirivas@uadec.edu.mx
https://orcid.org/0000-0003-4857-2254
Universidad Autónoma de Coahuila, Facultad de
Ciencias Físico Matemáticas.
Saltillo Coahuila, México
Emma Vianey García Ramírez
egarcia@conacyt.mx
https://orcid.org/0000-0002-7630-1833
Consejo Nacional de Ciencia, Humanidades y
Tecnología, Benemérita Universidad Autonóma
de Puebla, Facultad de Ciencias Físico
Matemáticas.
Puebla, Pue, México
Doralycia Carranza Zuñiga
dora.carranza@inaoe.mx
https://orcid.org/0009-0007-1829-2629
Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y
Eléctronica. Óptica
Tonatzintla, Pue, México
Athziri Zúniga Méndez
fernicath@gmail.com
https://orcid.org/0009-0009-1026-5743
Benemérita Universidad Autonóma de Puebla,
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas.
Puebla, Pue, México
Raúl Ochoa Valiente
raul.ochoa.valiente@uadec.edu.mx
https://orcid.org/0000-0001-7965-0740
Universidad Autónoma de Coahuila, Facultad de
Ciencias Físico Matemáticas.
Saltillo Coahuila, México
RESUMEN
Actualmente, el láser (pulsado o continuo) es usado en diferentes investigaciones desde la explicación en
ciencia básica hasta su uso en ciencia de frontera en nuevas tecnologías. Por esta razón se requiere
caracterizarlos para conocer sus parámetros y sus especificaciones aplicando diferentes técnicas de
caracterización del haz láser. En este trabajo se presentan resultados experimentales de parámetros
característicos, de un haz Gaussiano de un haz láser continuo de iones de Argón de longitud de onda 514
nm, tales como: ancho del haz W(z), cintura del haz W0 y la distancia de Rayleigh z0, estos valores se
obtienen mediante el montaje de la técnica de la navaja. Los resultados obtenidos se pueden utilizar para
implementar la técnica de Z-scan y determinar parámetros no lineales de medios no lineales.
Palabras clave: láser, haz gaussiano, ancho del haz
1 Autor principal.
Correspondencia: beatrizirivas@uadec.edu.mx
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v9i1.16097
Medición de parámetros característicos de un láser continúo CW
Beatriz Adriana Martínez Irivas1
beatrizirivas@uadec.edu.mx
https://orcid.org/0000-0003-4857-2254
Universidad Autónoma de Coahuila, Facultad de
Ciencias Físico Matemáticas.
Saltillo Coahuila, México
Emma Vianey García Ramírez
egarcia@conacyt.mx
https://orcid.org/0000-0002-7630-1833
Consejo Nacional de Ciencia, Humanidades y
Tecnología, Benemérita Universidad Autonóma
de Puebla, Facultad de Ciencias Físico
Matemáticas.
Puebla, Pue, México
Doralycia Carranza Zuñiga
dora.carranza@inaoe.mx
https://orcid.org/0009-0007-1829-2629
Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y
Eléctronica. Óptica
Tonatzintla, Pue, México
Athziri Zúniga Méndez
fernicath@gmail.com
https://orcid.org/0009-0009-1026-5743
Benemérita Universidad Autonóma de Puebla,
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas.
Puebla, Pue, México
Raúl Ochoa Valiente
raul.ochoa.valiente@uadec.edu.mx
https://orcid.org/0000-0001-7965-0740
Universidad Autónoma de Coahuila, Facultad de
Ciencias Físico Matemáticas.
Saltillo Coahuila, México
RESUMEN
Actualmente, el láser (pulsado o continuo) es usado en diferentes investigaciones desde la explicación en
ciencia básica hasta su uso en ciencia de frontera en nuevas tecnologías. Por esta razón se requiere
caracterizarlos para conocer sus parámetros y sus especificaciones aplicando diferentes técnicas de
caracterización del haz láser. En este trabajo se presentan resultados experimentales de parámetros
característicos, de un haz Gaussiano de un haz láser continuo de iones de Argón de longitud de onda 514
nm, tales como: ancho del haz W(z), cintura del haz W0 y la distancia de Rayleigh z0, estos valores se
obtienen mediante el montaje de la técnica de la navaja. Los resultados obtenidos se pueden utilizar para
implementar la técnica de Z-scan y determinar parámetros no lineales de medios no lineales.
Palabras clave: láser, haz gaussiano, ancho del haz
1 Autor principal.
Correspondencia: beatrizirivas@uadec.edu.mx
pág. 3511
Measurements of characteristics parameters of a CW laser
ABSTRACT
Currently, lasers (pulsed or continuous) are used in various research areas, from basic science explanations
to frontier applications in new technologies. For this reason, it is necessary to characterize them to
understand their parameters and specifications using different laser beam characterization techniques. In
this work we present experimental results of characteristic parameters of a Gaussian beam from a
continuous Argon ion laser with a wavelength of 514 nm, such as: beam width W(z), beam waist W0,
and Rayleigh range z0. These values are obtained by setting up the knife-edge technique. The obtained
results can be used to implement the Z-scan technique and determine nonlinear parameters of nonlinear
media.
Key word: laser, gaussian beam, beam width
Artículo recibido 03 enero 2025
Aceptado para publicación: 09 febrero 2025
Measurements of characteristics parameters of a CW laser
ABSTRACT
Currently, lasers (pulsed or continuous) are used in various research areas, from basic science explanations
to frontier applications in new technologies. For this reason, it is necessary to characterize them to
understand their parameters and specifications using different laser beam characterization techniques. In
this work we present experimental results of characteristic parameters of a Gaussian beam from a
continuous Argon ion laser with a wavelength of 514 nm, such as: beam width W(z), beam waist W0,
and Rayleigh range z0. These values are obtained by setting up the knife-edge technique. The obtained
results can be used to implement the Z-scan technique and determine nonlinear parameters of nonlinear
media.
Key word: laser, gaussian beam, beam width
Artículo recibido 03 enero 2025
Aceptado para publicación: 09 febrero 2025
pág. 3512
INTRODUCCIÓN
Uno de los dispositivos ópticos más emblemáticos, tanto en la ciencia y ciencia ficción, es el láser (Aboites,
2012). Su popularidad abarca una emblemática representación cultural y también múltiples tecnologías
basadas en sus singulares propiedades. Se utiliza ya sea en la parte de información de datos o en
investigación como: el comportamiento de la luz estructurada (Buono & Forbes, 2022), propiedades ópticas
no lineales en materiales (Buono & Forbes, 2022; Henari, 2008), así como en la biofotónica (Bashkatov et
al., 2012). El éxito de su amplio uso es gracias a la distribución de la intensidad de tipo Gaussiano, a sus
propiedades únicas de propagación y a su focalización. Estas propiedades hacen del láser una herramienta
esencial para aplicaciones de alta precisión y tecnología de punta.
El láser es una fuente de luz cuasi-monocromática, coherente (espacial y temporal) y direccionable, que se
emite de manera continua (CW) o en forma de pulsos de luz. Su estructura se basa en tres elementos
fundamentales: un medio activo, un sistema de bombeo y una cavidad resonante. El medio activo se
encuentra contenido dentro de la cavidad y puede encontrarse en estado sólido, líquido o gaseoso (Svelto,
2010), lo que define la clasificación de los diversos tipos de láseres, además, la longitud de onda de la luz
emitida está determina por el medio activo y abarca gran parte del espectro electromagnético, desde el
infrarrojo (Ashkin et al., 1987) hasta los rayos X (Suckewer & Jaeglé, 2009). Las dimensiones físicas son
ampliamente variables ya que abarcan desde ~1 μm hasta 6 km, como los empleados en estudios geodésicos
(Smith et al., 2013). El haz con una distribución de intensidad Gaussiana tiene varias propiedades
importantes que lo convierten en una herramienta útil en aplicaciones de alta precisión. Por ejemplo, su
distribución es simétrica y concentrada en el centro, lo que implica que la mayor parte de la energía del haz
se encuentra en una pequeña región, característica ideal para focalizar el haz en un punto específico, lo que
es útil en aplicaciones como la cirugía. Otra propiedad es su baja divergencia angular que significa que al
propagarse grandes distancias sufre poca difracción, lo que es aplicable en comunicaciones ópticas de larga
distancia (Rodriguez Morales et al., 2009).
Además de conocer los elementos del láser, mencionados anteriormente, se requiere conocer la distribución
de intensidad, el ancho del haz W(z), la distancia de Rayleigh z0, y el ángulo de divergencia θ y la cintura
del haz w0, a partir de este pueden determinarse los demás atributos, para este propósito se utiliza la técnica
de la navaja (Gupta & Bhargava, 1988; Hanwell, n.d.), un método que mide cómo varia la intensidad del
INTRODUCCIÓN
Uno de los dispositivos ópticos más emblemáticos, tanto en la ciencia y ciencia ficción, es el láser (Aboites,
2012). Su popularidad abarca una emblemática representación cultural y también múltiples tecnologías
basadas en sus singulares propiedades. Se utiliza ya sea en la parte de información de datos o en
investigación como: el comportamiento de la luz estructurada (Buono & Forbes, 2022), propiedades ópticas
no lineales en materiales (Buono & Forbes, 2022; Henari, 2008), así como en la biofotónica (Bashkatov et
al., 2012). El éxito de su amplio uso es gracias a la distribución de la intensidad de tipo Gaussiano, a sus
propiedades únicas de propagación y a su focalización. Estas propiedades hacen del láser una herramienta
esencial para aplicaciones de alta precisión y tecnología de punta.
El láser es una fuente de luz cuasi-monocromática, coherente (espacial y temporal) y direccionable, que se
emite de manera continua (CW) o en forma de pulsos de luz. Su estructura se basa en tres elementos
fundamentales: un medio activo, un sistema de bombeo y una cavidad resonante. El medio activo se
encuentra contenido dentro de la cavidad y puede encontrarse en estado sólido, líquido o gaseoso (Svelto,
2010), lo que define la clasificación de los diversos tipos de láseres, además, la longitud de onda de la luz
emitida está determina por el medio activo y abarca gran parte del espectro electromagnético, desde el
infrarrojo (Ashkin et al., 1987) hasta los rayos X (Suckewer & Jaeglé, 2009). Las dimensiones físicas son
ampliamente variables ya que abarcan desde ~1 μm hasta 6 km, como los empleados en estudios geodésicos
(Smith et al., 2013). El haz con una distribución de intensidad Gaussiana tiene varias propiedades
importantes que lo convierten en una herramienta útil en aplicaciones de alta precisión. Por ejemplo, su
distribución es simétrica y concentrada en el centro, lo que implica que la mayor parte de la energía del haz
se encuentra en una pequeña región, característica ideal para focalizar el haz en un punto específico, lo que
es útil en aplicaciones como la cirugía. Otra propiedad es su baja divergencia angular que significa que al
propagarse grandes distancias sufre poca difracción, lo que es aplicable en comunicaciones ópticas de larga
distancia (Rodriguez Morales et al., 2009).
Además de conocer los elementos del láser, mencionados anteriormente, se requiere conocer la distribución
de intensidad, el ancho del haz W(z), la distancia de Rayleigh z0, y el ángulo de divergencia θ y la cintura
del haz w0, a partir de este pueden determinarse los demás atributos, para este propósito se utiliza la técnica
de la navaja (Gupta & Bhargava, 1988; Hanwell, n.d.), un método que mide cómo varia la intensidad del
pág. 3513
haz cambia cuando se obstruye progresivamente, lo que permite calcular 𝑤0, 𝑧0 y otros características
relacionados. El conocimiento de estos parámetros es esencial porque se utilizan en las expresiones que
permiten conocer la amplitud compleja del haz es decir el campo eléctrico dependiente de la posición. A
partir de la cual puede derivarse la distribución de intensidad Gaussiana del haz, fundamental para su
caracterización y uso en aplicaciones prácticas.
En este trabajo se determinan los valores de w0, z0 y θ para un láser CW, (Modu-Laser, Stellar-Pro-Select)
de iones de Argón multilínea de la marca MODULASER en el modo de propagación TEM00 perfil
transversal Gaussiano, para una longitud de onda de 514 nm, y potencia incidente de 15 mW, con una lente
convergente de una distancia focal de 3.5 cm.
Haz gaussiano
Una onda está descrita por una función real que depende de la posición y el tiempo, llamada función de
onda, está es una solución a la ecuación de onda. Por otro lado, la función de onda puede expresarse en
términos de una función compleja, cuya dependencia en el espacio es llamada amplitud compleja y satisface
la ecuación de Helmholtz, ecuación (2). Por otro lado, al considerar que en el haz láser las variaciones de
los campos electromagnéticos son muy pequeñas en la dirección transversal comparadas con la dirección
de propagación (Malacara, 2015). Se puede hacer uso de la aproximación paraxial.
Para construir una onda paraxial se inicia con un perfil de onda plana 𝐴 𝑒𝑥𝑝 (−𝑖𝑘𝑧) considerándola como
una onda “portadora” y modulando su amplitud de manera que dependa de la posición, así 𝐴(𝑟⃗ ) es llamada
envolvente compleja, así la amplitud compleja de la onda plana modulada es:
𝑈(𝑟⃗ ) = 𝐴(𝑟⃗ )𝑒𝑥𝑝 (−𝑖𝑘𝑧) (1)
Donde 𝐴(𝑟⃗ ) es una función lentamente variable respecto a 𝑧, la dirección de propagación, de modo que la
onda se mantenga con un frente de onda plano (Eugene Hecht, 2003).
Al sustituir la ecuación (1) en la ecuación de Helmholtz (2)
(𝛻2 + 𝑘2)𝑈(𝑟⃗ ) = 0 (2)
Al aplicar la aproximación de envolvente lentamente variable |𝜕2𝐴
𝜕2𝑧| << |𝜕𝐴
𝜕𝑧|.
La ecuación se reduce a la ecuación paraxial de Helmholtz
𝛻𝑇
2𝐴 − 2𝑖𝑘 𝜕𝐴
𝜕𝑧 = 0 (3)
haz cambia cuando se obstruye progresivamente, lo que permite calcular 𝑤0, 𝑧0 y otros características
relacionados. El conocimiento de estos parámetros es esencial porque se utilizan en las expresiones que
permiten conocer la amplitud compleja del haz es decir el campo eléctrico dependiente de la posición. A
partir de la cual puede derivarse la distribución de intensidad Gaussiana del haz, fundamental para su
caracterización y uso en aplicaciones prácticas.
En este trabajo se determinan los valores de w0, z0 y θ para un láser CW, (Modu-Laser, Stellar-Pro-Select)
de iones de Argón multilínea de la marca MODULASER en el modo de propagación TEM00 perfil
transversal Gaussiano, para una longitud de onda de 514 nm, y potencia incidente de 15 mW, con una lente
convergente de una distancia focal de 3.5 cm.
Haz gaussiano
Una onda está descrita por una función real que depende de la posición y el tiempo, llamada función de
onda, está es una solución a la ecuación de onda. Por otro lado, la función de onda puede expresarse en
términos de una función compleja, cuya dependencia en el espacio es llamada amplitud compleja y satisface
la ecuación de Helmholtz, ecuación (2). Por otro lado, al considerar que en el haz láser las variaciones de
los campos electromagnéticos son muy pequeñas en la dirección transversal comparadas con la dirección
de propagación (Malacara, 2015). Se puede hacer uso de la aproximación paraxial.
Para construir una onda paraxial se inicia con un perfil de onda plana 𝐴 𝑒𝑥𝑝 (−𝑖𝑘𝑧) considerándola como
una onda “portadora” y modulando su amplitud de manera que dependa de la posición, así 𝐴(𝑟⃗ ) es llamada
envolvente compleja, así la amplitud compleja de la onda plana modulada es:
𝑈(𝑟⃗ ) = 𝐴(𝑟⃗ )𝑒𝑥𝑝 (−𝑖𝑘𝑧) (1)
Donde 𝐴(𝑟⃗ ) es una función lentamente variable respecto a 𝑧, la dirección de propagación, de modo que la
onda se mantenga con un frente de onda plano (Eugene Hecht, 2003).
Al sustituir la ecuación (1) en la ecuación de Helmholtz (2)
(𝛻2 + 𝑘2)𝑈(𝑟⃗ ) = 0 (2)
Al aplicar la aproximación de envolvente lentamente variable |𝜕2𝐴
𝜕2𝑧| << |𝜕𝐴
𝜕𝑧|.
La ecuación se reduce a la ecuación paraxial de Helmholtz
𝛻𝑇
2𝐴 − 2𝑖𝑘 𝜕𝐴
𝜕𝑧 = 0 (3)
pág. 3514
Donde 𝑘 = 2 𝜋
𝜆 , 𝜆 representa la longitud de onda, y 𝛻𝑇 = 𝜕2
𝜕2𝑥 + 𝜕2
𝜕2𝑦 representa el operador laplaciano
transversal.
Una solución a esta ecuación es la onda paraboloidal
𝐴(𝑟) = 𝐴1
𝑧 𝑒𝑥𝑝 (−𝑖𝑘 𝜌2
2𝑧) (4)
Donde 𝜌 = 𝑥2 + 𝑦2 y A1 es una constante.
La ecuación (4) representa una onda paraboloidal centrada en el origen, al sustituir z por q(z)= (𝑧 − 𝜉)
donde 𝜉 es constante, se tiene
𝐴(𝑟) = 𝐴1
𝑞(𝑧) 𝑒𝑥𝑝 (−𝑗𝑘 𝜌2
2𝑞(𝑧)) (5)
Que sigue siendo una onda paraboloidal pero fuera del origen y por tanto solución a la ecuación (3). Para
el caso para cuando 𝜉 = −𝑖𝑧0 donde 𝑧0 𝜖 𝑅, ahora la envolvente compleja del haz Gaussiano se reescribe
en términos del parámetro 𝑞(𝑧) = 𝑧 + 𝑖𝑧0 y donde 𝑧0 es conocida como la distancia o rango de Rayleigh.
Para separar la amplitud y la fase de la envolvente compleja se definen dos nuevas funciones reales 𝑅(𝑧) y
𝑊(𝑧):
1
𝑞(𝑧) = 1
𝑅(𝑧) − 𝑖 𝜆
𝜋 𝑊2(𝑧) (6)
donde 𝑊(𝑧) es el ancho del haz, 𝑅(𝑧) el radio de curvatura del frente onda.
Sustituyendo la ecuación (6) en la ecuación (5) y usando la ecuación (1) se llega a la expresión para la
amplitud compleja U(r) del Haz Gaussiano:
𝑈(𝑟) = 𝐴0
𝑊0
𝑊(𝑧) 𝑒𝑥𝑝 [− 𝜌2
𝑊2(𝑧)] 𝑒𝑥𝑝 [−𝑗𝑘𝑧 − 𝑗𝑘 𝜌2
2𝑅(𝑧) + 𝑗𝜁(𝑧)] (7)
Donde 𝐴0 = 𝐴1
𝑗𝑧0
.
PROPIEDADES DEL HAZ GAUSSIANO
Las propiedades dependen de la posición transversal 𝜌 (ancho) y de la dirección de propagación 𝑧, como
se tiene en la Tabla 1.
Tabla 1 Propiedades del haz Gaussiano
Parámetro Ecuación
Cintura del haz 𝑤0 = (𝜆𝑧0
𝜋 )
1
2 (8)
Donde 𝑘 = 2 𝜋
𝜆 , 𝜆 representa la longitud de onda, y 𝛻𝑇 = 𝜕2
𝜕2𝑥 + 𝜕2
𝜕2𝑦 representa el operador laplaciano
transversal.
Una solución a esta ecuación es la onda paraboloidal
𝐴(𝑟) = 𝐴1
𝑧 𝑒𝑥𝑝 (−𝑖𝑘 𝜌2
2𝑧) (4)
Donde 𝜌 = 𝑥2 + 𝑦2 y A1 es una constante.
La ecuación (4) representa una onda paraboloidal centrada en el origen, al sustituir z por q(z)= (𝑧 − 𝜉)
donde 𝜉 es constante, se tiene
𝐴(𝑟) = 𝐴1
𝑞(𝑧) 𝑒𝑥𝑝 (−𝑗𝑘 𝜌2
2𝑞(𝑧)) (5)
Que sigue siendo una onda paraboloidal pero fuera del origen y por tanto solución a la ecuación (3). Para
el caso para cuando 𝜉 = −𝑖𝑧0 donde 𝑧0 𝜖 𝑅, ahora la envolvente compleja del haz Gaussiano se reescribe
en términos del parámetro 𝑞(𝑧) = 𝑧 + 𝑖𝑧0 y donde 𝑧0 es conocida como la distancia o rango de Rayleigh.
Para separar la amplitud y la fase de la envolvente compleja se definen dos nuevas funciones reales 𝑅(𝑧) y
𝑊(𝑧):
1
𝑞(𝑧) = 1
𝑅(𝑧) − 𝑖 𝜆
𝜋 𝑊2(𝑧) (6)
donde 𝑊(𝑧) es el ancho del haz, 𝑅(𝑧) el radio de curvatura del frente onda.
Sustituyendo la ecuación (6) en la ecuación (5) y usando la ecuación (1) se llega a la expresión para la
amplitud compleja U(r) del Haz Gaussiano:
𝑈(𝑟) = 𝐴0
𝑊0
𝑊(𝑧) 𝑒𝑥𝑝 [− 𝜌2
𝑊2(𝑧)] 𝑒𝑥𝑝 [−𝑗𝑘𝑧 − 𝑗𝑘 𝜌2
2𝑅(𝑧) + 𝑗𝜁(𝑧)] (7)
Donde 𝐴0 = 𝐴1
𝑗𝑧0
.
PROPIEDADES DEL HAZ GAUSSIANO
Las propiedades dependen de la posición transversal 𝜌 (ancho) y de la dirección de propagación 𝑧, como
se tiene en la Tabla 1.
Tabla 1 Propiedades del haz Gaussiano
Parámetro Ecuación
Cintura del haz 𝑤0 = (𝜆𝑧0
𝜋 )
1
2 (8)
pág. 3515
Ancho del haz
𝑊(𝑧) = 𝑤0 [1 + ( 𝑧
𝑧0
)2
]
1
2
(9)
Intensidad del haz 𝐼(𝜌, 𝑧) = 𝐼𝑜 [ 𝑤𝑜
𝑊(𝑧)]2
𝑒𝑥𝑝 [− 2𝜌2
𝑊2(𝑧)] (10)
Radio de curvatura 𝑅(𝑧) = 𝑧 [1 + (𝑧0
𝑧 )2
] (11)
Distancia de Rayleigh 𝑧0 = 𝜋 𝑤0
2
𝜆 (12)
Ángulo de divergencia 2𝜃0 = 4
𝜋
𝜆
2𝑊0
(13)
* Donde 𝐼0 = |𝐴0|2 .
Se observa de la tabla anterior que 𝑤0 está presente tanto de forma implícita como explícita en todos los
parámetros, por lo que es importante determinarlo, La Figura 1 muestra el comportamiento del ancho del
haz, ecuación (9). Para este propósito existen varias técnicas de caracterización (Arnaud et al., 1971;
Kimura & Munakata, 1988), sin embargo, como se escribió al principio, nos enfocaremos en la técnica de
la navaja que se explica en la siguiente sección.
Figura 1 Comportamiento del ancho del haz W (z) en función de la posición normalizada que alcanza su
valor mínimo, (indicado por la flecha) en z=0.
El objetivo de este trabajo es obtener 𝑤0, obteniendo datos experimentales que sigan la tendencia de la
curva mostrada en la Figura 1.
Ancho del haz
𝑊(𝑧) = 𝑤0 [1 + ( 𝑧
𝑧0
)2
]
1
2
(9)
Intensidad del haz 𝐼(𝜌, 𝑧) = 𝐼𝑜 [ 𝑤𝑜
𝑊(𝑧)]2
𝑒𝑥𝑝 [− 2𝜌2
𝑊2(𝑧)] (10)
Radio de curvatura 𝑅(𝑧) = 𝑧 [1 + (𝑧0
𝑧 )2
] (11)
Distancia de Rayleigh 𝑧0 = 𝜋 𝑤0
2
𝜆 (12)
Ángulo de divergencia 2𝜃0 = 4
𝜋
𝜆
2𝑊0
(13)
* Donde 𝐼0 = |𝐴0|2 .
Se observa de la tabla anterior que 𝑤0 está presente tanto de forma implícita como explícita en todos los
parámetros, por lo que es importante determinarlo, La Figura 1 muestra el comportamiento del ancho del
haz, ecuación (9). Para este propósito existen varias técnicas de caracterización (Arnaud et al., 1971;
Kimura & Munakata, 1988), sin embargo, como se escribió al principio, nos enfocaremos en la técnica de
la navaja que se explica en la siguiente sección.
Figura 1 Comportamiento del ancho del haz W (z) en función de la posición normalizada que alcanza su
valor mínimo, (indicado por la flecha) en z=0.
El objetivo de este trabajo es obtener 𝑤0, obteniendo datos experimentales que sigan la tendencia de la
curva mostrada en la Figura 1.
pág. 3516
Analizando la ecuación (10) se puede observar que para cualquier valor de 𝑧 la intensidad es una función
Gaussiana de la distancia radial 𝜌, como se muestra en la figura 2.
Figura 2 Intensidad del haz normalizado como función de la distancia radial para a) z=0, b) z=z0 y c) z= 3
z0.
TÉCNICA DE CARACTERIZACIÓN
Un método ampliamente utilizado para caracterizar los parámetros del láser es la técnica de la navaja.
Mediante este procedimiento experimental, se puede medir el ancho de un haz gaussiano. Este consiste en
enfocar el haz con una lente convergente y colocar un objeto rectangular y afilado (navaja, de ahí el nombre)
que obstruya el paso del haz sobre el eje de propagación 𝑧, como se muestra en la Figura 3.
Figura 3 Esquema experimental de la técnica de la navaja.
Para distancias cercanas al punto focal se colocará la navaja de manera que bloquee el spot del haz que se
encuentra en plano transversal 𝑥 − 𝑦, Posteriormente, la navaja se desplaza gradualmente, descubriendo el
haz de manera controlada y permitiendo el paso de una fracción creciente de la intensidad, como se muestra
en la Figura 4. En cada posición z de la navaja, se registra el cambio en la potencia detectada, la cual será
Analizando la ecuación (10) se puede observar que para cualquier valor de 𝑧 la intensidad es una función
Gaussiana de la distancia radial 𝜌, como se muestra en la figura 2.
Figura 2 Intensidad del haz normalizado como función de la distancia radial para a) z=0, b) z=z0 y c) z= 3
z0.
TÉCNICA DE CARACTERIZACIÓN
Un método ampliamente utilizado para caracterizar los parámetros del láser es la técnica de la navaja.
Mediante este procedimiento experimental, se puede medir el ancho de un haz gaussiano. Este consiste en
enfocar el haz con una lente convergente y colocar un objeto rectangular y afilado (navaja, de ahí el nombre)
que obstruya el paso del haz sobre el eje de propagación 𝑧, como se muestra en la Figura 3.
Figura 3 Esquema experimental de la técnica de la navaja.
Para distancias cercanas al punto focal se colocará la navaja de manera que bloquee el spot del haz que se
encuentra en plano transversal 𝑥 − 𝑦, Posteriormente, la navaja se desplaza gradualmente, descubriendo el
haz de manera controlada y permitiendo el paso de una fracción creciente de la intensidad, como se muestra
en la Figura 4. En cada posición z de la navaja, se registra el cambio en la potencia detectada, la cual será
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máxima siempre que la navaja no esté bloqueando el haz y será mínima cuando la navaja bloquee por
completo el haz.
Figura 4 Obstrucción transversal del spot
A medida que la navaja cubre o descubre el haz, se detectan cambios en la intensidad correspondientes a la
señal generada por la variación de la potencia debido al proceso de eclipsar el haz gaussiano, como se
muestra en la Figura 5.
Figura 5 Perfil de intensidad eclipsado por la navaja.
La potencia evidentemente también sufre variaciones a medida que la navaja cubre o descubre el haz. Los
cambios se detectan mediante el fotodetector y la curva resultante se muestra en la Figura 6.
máxima siempre que la navaja no esté bloqueando el haz y será mínima cuando la navaja bloquee por
completo el haz.
Figura 4 Obstrucción transversal del spot
A medida que la navaja cubre o descubre el haz, se detectan cambios en la intensidad correspondientes a la
señal generada por la variación de la potencia debido al proceso de eclipsar el haz gaussiano, como se
muestra en la Figura 5.
Figura 5 Perfil de intensidad eclipsado por la navaja.
La potencia evidentemente también sufre variaciones a medida que la navaja cubre o descubre el haz. Los
cambios se detectan mediante el fotodetector y la curva resultante se muestra en la Figura 6.
pág. 3518
Figura 6 Variación del ancho W con la potencia del haz.
Con el propósito de analizar los cambios producidos en la potencia del haz con mayor precisión, estos
cambios deben ajustarse a la función de error 𝑒𝑟𝑓(𝑥) mediante la siguiente expresión:
𝑃 (𝑥) = 𝑃
2 𝑒𝑟𝑓 ( √2𝑥
𝑊 (𝑧)) (14)
donde 𝑃 es la potencia del láser medida directamente por el fotodetector y 𝑊(𝑧) es el radio del haz medido
a la salida del láser. Ahora, recordando que para un haz gaussiano la intensidad en términos de la potencia
se puede expresar mediante las ecuaciones (15) y (16):
𝐼(𝜌, 𝑧) = 2𝑃
𝜋𝑊2(𝑧) 𝑒𝑥𝑝 [− 2𝜌2
𝑊2(𝑧)] (15)
𝐼(𝜌, 𝑧) = 2𝑃
𝜋𝑊2(𝑧) 𝑒𝑥𝑝 [− 2𝑥2
𝑊2(𝑧)] + 𝑒𝑥𝑝 [− 2𝑦2
𝑊2(𝑧)] (16)
Donde 𝑃 es la potencia total que decae a un valor de 1/𝑒2 y 𝑊(𝑧) es el radio del haz.
Si una obstrucción plana semi-infinita con una arista paralela al eje se coloca frente al haz cubriéndolo
parcialmente, como se muestra en la Figura 3, la potencia después de la obstrucción 𝑃𝑥 puede expresarse
por
𝑃𝑥 = 2𝑃
𝜋𝑊2(𝑧) ∫ 𝑒𝑥𝑝 (− 2𝑦2
𝑊2(𝑧))
∞
−∞ ∫ 𝑒𝑥𝑝 (− 2𝑥2
𝑊2(𝑧)) 𝑑𝑦𝑑𝑥
∞
𝑥 (17)
De donde se obtiene:
𝑃𝑥 = √2𝑃
√𝜋𝑊(𝑧) ∫ 𝑒𝑥𝑝 (− 2𝑥2
𝑊2(𝑧))
∞
𝑥 𝑑𝑥 (18)
Con lo que se llega a la siguiente ecuación para la potencia normalizada 𝑃𝑁 centrada en x = 0, en la cual
erf es la función error y 1 − 𝑒𝑟𝑓 (𝑥) es la función error complemento:
Figura 6 Variación del ancho W con la potencia del haz.
Con el propósito de analizar los cambios producidos en la potencia del haz con mayor precisión, estos
cambios deben ajustarse a la función de error 𝑒𝑟𝑓(𝑥) mediante la siguiente expresión:
𝑃 (𝑥) = 𝑃
2 𝑒𝑟𝑓 ( √2𝑥
𝑊 (𝑧)) (14)
donde 𝑃 es la potencia del láser medida directamente por el fotodetector y 𝑊(𝑧) es el radio del haz medido
a la salida del láser. Ahora, recordando que para un haz gaussiano la intensidad en términos de la potencia
se puede expresar mediante las ecuaciones (15) y (16):
𝐼(𝜌, 𝑧) = 2𝑃
𝜋𝑊2(𝑧) 𝑒𝑥𝑝 [− 2𝜌2
𝑊2(𝑧)] (15)
𝐼(𝜌, 𝑧) = 2𝑃
𝜋𝑊2(𝑧) 𝑒𝑥𝑝 [− 2𝑥2
𝑊2(𝑧)] + 𝑒𝑥𝑝 [− 2𝑦2
𝑊2(𝑧)] (16)
Donde 𝑃 es la potencia total que decae a un valor de 1/𝑒2 y 𝑊(𝑧) es el radio del haz.
Si una obstrucción plana semi-infinita con una arista paralela al eje se coloca frente al haz cubriéndolo
parcialmente, como se muestra en la Figura 3, la potencia después de la obstrucción 𝑃𝑥 puede expresarse
por
𝑃𝑥 = 2𝑃
𝜋𝑊2(𝑧) ∫ 𝑒𝑥𝑝 (− 2𝑦2
𝑊2(𝑧))
∞
−∞ ∫ 𝑒𝑥𝑝 (− 2𝑥2
𝑊2(𝑧)) 𝑑𝑦𝑑𝑥
∞
𝑥 (17)
De donde se obtiene:
𝑃𝑥 = √2𝑃
√𝜋𝑊(𝑧) ∫ 𝑒𝑥𝑝 (− 2𝑥2
𝑊2(𝑧))
∞
𝑥 𝑑𝑥 (18)
Con lo que se llega a la siguiente ecuación para la potencia normalizada 𝑃𝑁 centrada en x = 0, en la cual
erf es la función error y 1 − 𝑒𝑟𝑓 (𝑥) es la función error complemento:
pág. 3519
𝑃𝑁 = 𝑃𝑥
𝑃 = 1
2 (1 − 𝑒𝑟𝑓 ( √2𝑥
𝑊 (𝑧))) (19)
Como la ecuación (18) se encuentra centrada en x = 0, es conveniente utilizar una función centrada en un
punto arbitrario a.
𝑃𝑁 = 1
2 (1 − 𝑒𝑟𝑓 (√2(𝑥−𝑎)
𝑊 (𝑧) )) (20)
Para cada barrido de la navaja los resultados obtenidos se reproducen numéricamente con la ecuación (19)
para obtener el valor de 𝑊(𝑧). Los valores obtenidos para el ancho del haz en cada posición de la navaja
se grafican y ajustan a un polinomio de segundo orden con el objetivo de encontrar el ancho mínimo 𝑤0.
DESARROLLO EXPERIMENTAL Y RESULTADOS
Se implementó el arreglo experimental mostrado en la Figura 3, usando un láser de Argón para la longitud
de onda λ= 514 nm para determinar el 𝑤0 generado por una lente de distancia focal de 𝑓 = 35 𝑚𝑚. Se
realizaron diferentes barridos transversales de la navaja para diferentes posiciones en 𝑧 de esta, medidas a
partir de la posición de la lente y figura 7 se presentan algunas de las curvas obtenidas para diferentes
posiciones a lo largo del eje de propagación z.
Figura 7 Resultados experimentales (▪) obtenidos para diferentes z sobre el eje de propagación: a) z= 2.8
cm, b) z= 3. 4 cm y c) z= 3.8 cm, resultados numéricos a partir de la ecuación (20).
𝑃𝑁 = 𝑃𝑥
𝑃 = 1
2 (1 − 𝑒𝑟𝑓 ( √2𝑥
𝑊 (𝑧))) (19)
Como la ecuación (18) se encuentra centrada en x = 0, es conveniente utilizar una función centrada en un
punto arbitrario a.
𝑃𝑁 = 1
2 (1 − 𝑒𝑟𝑓 (√2(𝑥−𝑎)
𝑊 (𝑧) )) (20)
Para cada barrido de la navaja los resultados obtenidos se reproducen numéricamente con la ecuación (19)
para obtener el valor de 𝑊(𝑧). Los valores obtenidos para el ancho del haz en cada posición de la navaja
se grafican y ajustan a un polinomio de segundo orden con el objetivo de encontrar el ancho mínimo 𝑤0.
DESARROLLO EXPERIMENTAL Y RESULTADOS
Se implementó el arreglo experimental mostrado en la Figura 3, usando un láser de Argón para la longitud
de onda λ= 514 nm para determinar el 𝑤0 generado por una lente de distancia focal de 𝑓 = 35 𝑚𝑚. Se
realizaron diferentes barridos transversales de la navaja para diferentes posiciones en 𝑧 de esta, medidas a
partir de la posición de la lente y figura 7 se presentan algunas de las curvas obtenidas para diferentes
posiciones a lo largo del eje de propagación z.
Figura 7 Resultados experimentales (▪) obtenidos para diferentes z sobre el eje de propagación: a) z= 2.8
cm, b) z= 3. 4 cm y c) z= 3.8 cm, resultados numéricos a partir de la ecuación (20).