pág. 6554
MATEMÁTICA REALISTA EN ESTUDIANTES DE
EDUCACIÓN SECUNDARIA
REALISTIC MATHEMATICS IN SECONDARY SCHOOL
STUDENTS
José Luis Loyola Malqui
Universidad Nacional del Centro del Perú
Elida Huamán Vila
Universidad Nacional del Centro del Perú
Yolinda Isabel Quispe Garay
Universidad Católica de Trujillo
Aydee Luzmila Zárate Meza
Universidad Nacional de Huancavelica
Daniel Ángel Gamarra Castillo
Universidad Continental
pág. 6555
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v9i1.16357
Matemática realista en estudiantes de educación secundaria
José Luis Loyola Malqui1
drjoseloyola@gmail.com
https://orcid.org/0009-0002-8888-8763
Universidad Nacional del Centro del Perú
Perú
Elida Huamán Vila
elidahv580@gmail.com
https://orcid.org/0009-0001-7779-8685
Universidad Nacional del Centro del Perú
Perú
Yolinda Isabel Quispe Garay
Isabelq663@gmail.com
https://orcid.org/0009-0003-3473-9698
Universidad Católica de Trujillo
Perú
Aydee Luzmila Zárate Meza
Aydeecita_zm@hotmail.com
https://orcid.org/0009-0000-8891-1439
Universidad Nacional de Huancavelica
Perú
Daniel Ángel Gamarra Castillo
danielitogamarra1216@gmail.com
https://orcid.org/0009-0009-8525-7473
Universidad Continental
Perú
RESUMEN
El estudio se desarrolla en el ámbito pedagógico de la educación, con el objetivo de analizar la enseñanza
de las matemáticas desde la perspectiva didáctica de la educación matemática realista, fundamentada en la
filosofía de Hans Freudenthal. La investigación es del tipo básico y nivel descriptivo, emplea un diseño
transeccional descriptivo. La muestra estuvo compuesta por estudiantes de educación secundaria básica,
seleccionados mediante la técnica de observación sistemática. Para la recolección de datos se utilizaron
instrumentos como el análisis documental y cuestionario. Los resultados evidenciaron un amplio
conocimiento sobre la corriente didáctica de la educación matemática realista. Además, la investigación
destacó, entre otras conclusiones, la importancia de implementar mejoras en el logro de aprendizajes de los
estudiantes de secundaria, proponiendo repensar la enseñanza de las matemáticas desde un enfoque
didáctico que, a su vez, favorezca el aumento de la producción científica.
Palabras clave: matemática, educación matemática realista, logro de aprendizajes
1 Autor principal
Correspondencia: drjoseloyola@gmail.com
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v9i1.16357
Matemática realista en estudiantes de educación secundaria
José Luis Loyola Malqui1
drjoseloyola@gmail.com
https://orcid.org/0009-0002-8888-8763
Universidad Nacional del Centro del Perú
Perú
Elida Huamán Vila
elidahv580@gmail.com
https://orcid.org/0009-0001-7779-8685
Universidad Nacional del Centro del Perú
Perú
Yolinda Isabel Quispe Garay
Isabelq663@gmail.com
https://orcid.org/0009-0003-3473-9698
Universidad Católica de Trujillo
Perú
Aydee Luzmila Zárate Meza
Aydeecita_zm@hotmail.com
https://orcid.org/0009-0000-8891-1439
Universidad Nacional de Huancavelica
Perú
Daniel Ángel Gamarra Castillo
danielitogamarra1216@gmail.com
https://orcid.org/0009-0009-8525-7473
Universidad Continental
Perú
RESUMEN
El estudio se desarrolla en el ámbito pedagógico de la educación, con el objetivo de analizar la enseñanza
de las matemáticas desde la perspectiva didáctica de la educación matemática realista, fundamentada en la
filosofía de Hans Freudenthal. La investigación es del tipo básico y nivel descriptivo, emplea un diseño
transeccional descriptivo. La muestra estuvo compuesta por estudiantes de educación secundaria básica,
seleccionados mediante la técnica de observación sistemática. Para la recolección de datos se utilizaron
instrumentos como el análisis documental y cuestionario. Los resultados evidenciaron un amplio
conocimiento sobre la corriente didáctica de la educación matemática realista. Además, la investigación
destacó, entre otras conclusiones, la importancia de implementar mejoras en el logro de aprendizajes de los
estudiantes de secundaria, proponiendo repensar la enseñanza de las matemáticas desde un enfoque
didáctico que, a su vez, favorezca el aumento de la producción científica.
Palabras clave: matemática, educación matemática realista, logro de aprendizajes
1 Autor principal
Correspondencia: drjoseloyola@gmail.com
pág. 6556
Realistic mathematics in secondary school students
ABSTRACT
The study is developed in the pedagogical field of education, with the objective of analyzing the teaching
of mathematics from the didactic perspective of realistic mathematical education, based on the philosophy
of Hans Freudenthal. The investigation is of the type basic nature and descriptive level, uses a descriptive
transectional design. The sample was made up of basic secondary education students, selected through the
systematic observation technique. Instruments such as documentary analysis and questionnaire were used
to collect data. The results showed extensive knowledge about the didactic current of realistic mathematics
education. Furthermore, the research highlighted, among other conclusions, the importance of
implementing improvements in the learning achievement of secondary school students, proposing to rethink
the teaching of mathematics from a didactic approach that, in turn, favors the increase in scientific
production.
Keywords: mathematic, realistic mathematics education, learning achievement
Artículo recibido 06 enero 2025
Aceptado para publicación: 15 febrero 2025
Realistic mathematics in secondary school students
ABSTRACT
The study is developed in the pedagogical field of education, with the objective of analyzing the teaching
of mathematics from the didactic perspective of realistic mathematical education, based on the philosophy
of Hans Freudenthal. The investigation is of the type basic nature and descriptive level, uses a descriptive
transectional design. The sample was made up of basic secondary education students, selected through the
systematic observation technique. Instruments such as documentary analysis and questionnaire were used
to collect data. The results showed extensive knowledge about the didactic current of realistic mathematics
education. Furthermore, the research highlighted, among other conclusions, the importance of
implementing improvements in the learning achievement of secondary school students, proposing to rethink
the teaching of mathematics from a didactic approach that, in turn, favors the increase in scientific
production.
Keywords: mathematic, realistic mathematics education, learning achievement
Artículo recibido 06 enero 2025
Aceptado para publicación: 15 febrero 2025
pág. 6557
INTRODUCCIÓN
La educación, en todos sus niveles, constituye un motor fundamental para el cambio y desarrollo de las
sociedades, permitiendo a las personas transformarse a sí mismas y a su entorno social y natural, con el fin
de mejorar su calidad de vida. Por ello, uno de los objetivos prioritarios de cualquier nación es garantizar
una educación integral para sus habitantes.
No obstante, cuando alguno de los componentes del sistema educativo falla, surgen problemas que
requieren soluciones técnicas y científicas. La creciente relevancia de las competencias dentro del sistema
educativo, impulsada en parte por evaluaciones externas como PISA, evidencia la necesidad de introducir
cambios metodológicos en la enseñanza de las matemáticas en la Educación Secundaria. Además, se
requiere diseñar instrumentos innovadores que permitan desarrollar la competencia matemática, entendida
como la capacidad de los estudiantes para aplicar las matemáticas en situaciones reales.
La enseñanza de las matemáticas ha estado basada en metodologías tradicionales, como el uso de fichas,
libros y la memorización de reglas. En este modelo, los estudiantes a menudo resuelven problemas
matemáticos descontextualizados, donde el contexto real es ignorado o percibido como un obstáculo, lo
que los lleva a aplicar mecánicamente fórmulas y algoritmos sin considerar el significado del problema
(Zolkower, 2006).
Según Rabino (2001), los problemas matemáticos que se presentan en un contexto significativo permiten a
los estudiantes utilizar conocimientos previos, crear estrategias novedosas y asignar un sentido más
profundo a los números, operaciones y procedimientos matemáticos. Por el contrario, una enseñanza
descontextualizada genera confusión, desmotivación y un uso indiscriminado de reglas que carecen de
sentido para los estudiantes.
En el caso de los estudiantes de Educación Secundaria, se ha observado que la mayoría presenta dificultades
para formular problemas a partir de situaciones reales. Además, muestran carencias en la comprensión de
conceptos matemáticos y en la selección de procedimientos adecuados, como el cálculo mental, la
estimación y la medición. Esto dificulta su capacidad para establecer relaciones entre los distintos tipos de
números, sus propiedades y operaciones. Según Rabino (2012), para que los problemas matemáticos sean
un verdadero instrumento de aprendizaje, deben ser significativos y relacionarse con las experiencias
previas de los estudiantes, lo que despierta su interés por resolverlos.
INTRODUCCIÓN
La educación, en todos sus niveles, constituye un motor fundamental para el cambio y desarrollo de las
sociedades, permitiendo a las personas transformarse a sí mismas y a su entorno social y natural, con el fin
de mejorar su calidad de vida. Por ello, uno de los objetivos prioritarios de cualquier nación es garantizar
una educación integral para sus habitantes.
No obstante, cuando alguno de los componentes del sistema educativo falla, surgen problemas que
requieren soluciones técnicas y científicas. La creciente relevancia de las competencias dentro del sistema
educativo, impulsada en parte por evaluaciones externas como PISA, evidencia la necesidad de introducir
cambios metodológicos en la enseñanza de las matemáticas en la Educación Secundaria. Además, se
requiere diseñar instrumentos innovadores que permitan desarrollar la competencia matemática, entendida
como la capacidad de los estudiantes para aplicar las matemáticas en situaciones reales.
La enseñanza de las matemáticas ha estado basada en metodologías tradicionales, como el uso de fichas,
libros y la memorización de reglas. En este modelo, los estudiantes a menudo resuelven problemas
matemáticos descontextualizados, donde el contexto real es ignorado o percibido como un obstáculo, lo
que los lleva a aplicar mecánicamente fórmulas y algoritmos sin considerar el significado del problema
(Zolkower, 2006).
Según Rabino (2001), los problemas matemáticos que se presentan en un contexto significativo permiten a
los estudiantes utilizar conocimientos previos, crear estrategias novedosas y asignar un sentido más
profundo a los números, operaciones y procedimientos matemáticos. Por el contrario, una enseñanza
descontextualizada genera confusión, desmotivación y un uso indiscriminado de reglas que carecen de
sentido para los estudiantes.
En el caso de los estudiantes de Educación Secundaria, se ha observado que la mayoría presenta dificultades
para formular problemas a partir de situaciones reales. Además, muestran carencias en la comprensión de
conceptos matemáticos y en la selección de procedimientos adecuados, como el cálculo mental, la
estimación y la medición. Esto dificulta su capacidad para establecer relaciones entre los distintos tipos de
números, sus propiedades y operaciones. Según Rabino (2012), para que los problemas matemáticos sean
un verdadero instrumento de aprendizaje, deben ser significativos y relacionarse con las experiencias
previas de los estudiantes, lo que despierta su interés por resolverlos.
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La enseñanza descontextualizada de las matemáticas no solo limita el aprendizaje de los contenidos
curriculares, sino que también desmotiva a los estudiantes y aumenta la desconexión entre la matemática
escolar y la vida cotidiana. En contraposición, el enfoque de la Educación Matemática Realista (EMR), que
promueve una enseñanza contextualizada, facilita un aprendizaje más significativo y cercano a la realidad.
En este marco, se plantea la propuesta de “Educación Matemática Realista para la resolución de problemas
en Educación Secundaria”, cuyo objetivo es desarrollar estrategias que utilicen situaciones cotidianas para
mejorar la resolución de problemas matemáticos. Este enfoque, basado en la teoría de Hans Freudenthal,
destaca la necesidad de conectar la enseñanza de las matemáticas con la realidad de los estudiantes. Ante
esta problemática, surge la pregunta: ¿En qué consiste la corriente didáctica de la Educación Matemática
Realista? Este cuestionamiento será abordado mediante una investigación que permita analizar su contexto
basado en principios.
El principal propósito del estudio es describir la enseñanza de las matemáticas desde el enfoque de la EMR,
fundamentado en la filosofía de Freudenthal. Este enfoque cobra especial importancia al permitir investigar
los procesos de matematización que emergen durante la resolución de problemas en contextos realistas,
fortaleciendo así el corpus teórico de esta corriente didáctica. Asimismo, propicia nuevas líneas de
investigación que relacionen otras variables educativas y sociales, rompiendo con el paradigma tradicional
de la enseñanza mecanizada.
La investigación busca resolver problemas sociales específicos mediante la matematización de situaciones
reales, estableciendo conexiones entre el mundo cotidiano y el mundo matemático, promoviendo una
enseñanza más efectiva y significativa para los estudiantes.
Matemática realista.
La Educación Matemática Realista (EMR) se presenta como una propuesta pedagógica que surge en
respuesta al enfoque mecanicista dominante en la enseñanza de las matemáticas escolares en los Países
Bajos durante la segunda mitad del siglo XX (Monsalve-López, 2022). Esta corriente internacional, cuyo
principal impulsor fue Hans Freudenthal (1905-1990), matemático y educador alemán que desarrolló la
mayor parte de su labor en los Países Bajos, tuvo su origen en la década de 1960. Nace como una reacción
al método mecanicista que caracterizaba la enseñanza de la aritmética en ese país y al enfoque de la
"matemática moderna" o "teoría de conjuntos" implementado en las aulas (Bressan et al., 2023).
La enseñanza descontextualizada de las matemáticas no solo limita el aprendizaje de los contenidos
curriculares, sino que también desmotiva a los estudiantes y aumenta la desconexión entre la matemática
escolar y la vida cotidiana. En contraposición, el enfoque de la Educación Matemática Realista (EMR), que
promueve una enseñanza contextualizada, facilita un aprendizaje más significativo y cercano a la realidad.
En este marco, se plantea la propuesta de “Educación Matemática Realista para la resolución de problemas
en Educación Secundaria”, cuyo objetivo es desarrollar estrategias que utilicen situaciones cotidianas para
mejorar la resolución de problemas matemáticos. Este enfoque, basado en la teoría de Hans Freudenthal,
destaca la necesidad de conectar la enseñanza de las matemáticas con la realidad de los estudiantes. Ante
esta problemática, surge la pregunta: ¿En qué consiste la corriente didáctica de la Educación Matemática
Realista? Este cuestionamiento será abordado mediante una investigación que permita analizar su contexto
basado en principios.
El principal propósito del estudio es describir la enseñanza de las matemáticas desde el enfoque de la EMR,
fundamentado en la filosofía de Freudenthal. Este enfoque cobra especial importancia al permitir investigar
los procesos de matematización que emergen durante la resolución de problemas en contextos realistas,
fortaleciendo así el corpus teórico de esta corriente didáctica. Asimismo, propicia nuevas líneas de
investigación que relacionen otras variables educativas y sociales, rompiendo con el paradigma tradicional
de la enseñanza mecanizada.
La investigación busca resolver problemas sociales específicos mediante la matematización de situaciones
reales, estableciendo conexiones entre el mundo cotidiano y el mundo matemático, promoviendo una
enseñanza más efectiva y significativa para los estudiantes.
Matemática realista.
La Educación Matemática Realista (EMR) se presenta como una propuesta pedagógica que surge en
respuesta al enfoque mecanicista dominante en la enseñanza de las matemáticas escolares en los Países
Bajos durante la segunda mitad del siglo XX (Monsalve-López, 2022). Esta corriente internacional, cuyo
principal impulsor fue Hans Freudenthal (1905-1990), matemático y educador alemán que desarrolló la
mayor parte de su labor en los Países Bajos, tuvo su origen en la década de 1960. Nace como una reacción
al método mecanicista que caracterizaba la enseñanza de la aritmética en ese país y al enfoque de la
"matemática moderna" o "teoría de conjuntos" implementado en las aulas (Bressan et al., 2023).
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De acuerdo con Bressan (2004), la Educación Matemática Realista (EMR) se basa en los siguientes
principios fundamentales:
• Matematización: se concibe la matemática como una actividad propia de los seres humanos, lo
que implica la necesidad de garantizar el acceso a la matemática para todas las personas.
• Reinvención matemática: la comprensión de la matemática se estructura en distintos niveles,
donde los contextos y los modelos desempeñan un papel esencial.
• Fenomenología didáctica: se centra en explorar entornos y escenarios que demanden ser
organizados matemáticamente, ya sea por su historia o por las producciones realizadas por los estudiantes.
Principios de la Educación Matemática Realista
A partir de estas ideas, Freudenthal establece una serie de principios vinculados con la Educación
Matemática Realista y son los siguientes:
• Principio de actividad.
La matemática es una actividad inherente al ser humano, accesible para todos, y su aprendizaje se optimiza
a través de la práctica. Este aprendizaje se centra en la acción más que en el resultado, lo que resalta la
importancia del proceso de hacer matemáticas por encima del producto final. Asimismo, la matemática
posee un valor educativo que facilita la comprensión y la participación en el entorno social y natural tal
como está estructurado. Para desarrollar una actitud matemática adecuada, es esencial promover actitudes
sociales, emocionales, morales y cognitivas. Este enfoque implica reconocer que el proceso de matematizar
abarca formalizar (a través de modelar, representar, sintetizar y especificar) y generalizar, lo cual requiere
habilidades de razonamiento, tal como lo destaca Alsina (2009).
• Principio de realidad.
La matemática se manifiesta como un proceso de matematización de la realidad, por lo que su aprendizaje
debe seguir esta misma lógica. Este enfoque no solo incluye el mundo real, sino también aquello que es
alcanzable, imaginable o razonable para el estudiante. Los problemas se presentan de manera que los
estudiantes puedan visualizar la situación y recurrir al sentido común para resolverlos. En este proceso, el
contexto se convierte en un elemento esencial, permitiendo que los estudiantes tomen decisiones sobre las
estrategias utilizadas y las diversas soluciones posibles. Freudenthal también sugiere que, además de
De acuerdo con Bressan (2004), la Educación Matemática Realista (EMR) se basa en los siguientes
principios fundamentales:
• Matematización: se concibe la matemática como una actividad propia de los seres humanos, lo
que implica la necesidad de garantizar el acceso a la matemática para todas las personas.
• Reinvención matemática: la comprensión de la matemática se estructura en distintos niveles,
donde los contextos y los modelos desempeñan un papel esencial.
• Fenomenología didáctica: se centra en explorar entornos y escenarios que demanden ser
organizados matemáticamente, ya sea por su historia o por las producciones realizadas por los estudiantes.
Principios de la Educación Matemática Realista
A partir de estas ideas, Freudenthal establece una serie de principios vinculados con la Educación
Matemática Realista y son los siguientes:
• Principio de actividad.
La matemática es una actividad inherente al ser humano, accesible para todos, y su aprendizaje se optimiza
a través de la práctica. Este aprendizaje se centra en la acción más que en el resultado, lo que resalta la
importancia del proceso de hacer matemáticas por encima del producto final. Asimismo, la matemática
posee un valor educativo que facilita la comprensión y la participación en el entorno social y natural tal
como está estructurado. Para desarrollar una actitud matemática adecuada, es esencial promover actitudes
sociales, emocionales, morales y cognitivas. Este enfoque implica reconocer que el proceso de matematizar
abarca formalizar (a través de modelar, representar, sintetizar y especificar) y generalizar, lo cual requiere
habilidades de razonamiento, tal como lo destaca Alsina (2009).
• Principio de realidad.
La matemática se manifiesta como un proceso de matematización de la realidad, por lo que su aprendizaje
debe seguir esta misma lógica. Este enfoque no solo incluye el mundo real, sino también aquello que es
alcanzable, imaginable o razonable para el estudiante. Los problemas se presentan de manera que los
estudiantes puedan visualizar la situación y recurrir al sentido común para resolverlos. En este proceso, el
contexto se convierte en un elemento esencial, permitiendo que los estudiantes tomen decisiones sobre las
estrategias utilizadas y las diversas soluciones posibles. Freudenthal también sugiere que, además de
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emplear contextos cotidianos en los problemas, se introduzcan contextos matemáticos a través de juegos o
desafíos, fomentando así el desarrollo progresivo de conocimientos matemáticos.
• Principio de reinvención.
Según Freudenthal, la matemática puede entenderse como una forma estructurada de sentido común. La
"reinvención guiada" se basa en equilibrar la autonomía del estudiante para imaginar con la orientación
proporcionada por el docente. En este proceso, el estudiante no crea ni destruye, sino que redescubre
modelos, conceptos y estrategias ya existentes.
El rol del docente es fundamental y requiere habilidades de anticipación, observación y reflexión para
identificar y potenciar las destrezas de los estudiantes. Además, el docente actúa como mediador entre los
estudiantes, los problemas que enfrentan y el vínculo entre las elaboraciones informales de los alumnos y
las herramientas formales introducidas en el aprendizaje.
• Principio de niveles.
El proceso de reinvención planteado por Freudenthal se complementa con la matematización progresiva de
Treffers, que consiste en abordar un contenido o tema desde una perspectiva matemática y, posteriormente,
analizar la actividad matemática generada. Freudenthal profundiza este enfoque en dos dimensiones:
▪ Matematización horizontal: consiste en convertir un problema contextual en uno matemático,
apoyándose en la intuición, el sentido común, la observación, la aproximación empírica y la
experimentación.
▪ Matematización vertical: implica procesos como la reflexión, la esquematización, la
generalización, la prueba, la simbolización y la formalización, con el propósito de alcanzar niveles más
avanzados de comprensión.
En este marco, la Educación Matemática Realista (EMR) establece que los estudiantes atraviesan diferentes
niveles de comprensión definidos por Gravemeijer:
1. Nivel situacional: el más básico, donde las estrategias y conocimientos se aplican en el contexto
de la situación concreta.
2. Nivel referencial: se identifican patrones, descripciones, ideas y técnicas que esquematizan el
problema.
emplear contextos cotidianos en los problemas, se introduzcan contextos matemáticos a través de juegos o
desafíos, fomentando así el desarrollo progresivo de conocimientos matemáticos.
• Principio de reinvención.
Según Freudenthal, la matemática puede entenderse como una forma estructurada de sentido común. La
"reinvención guiada" se basa en equilibrar la autonomía del estudiante para imaginar con la orientación
proporcionada por el docente. En este proceso, el estudiante no crea ni destruye, sino que redescubre
modelos, conceptos y estrategias ya existentes.
El rol del docente es fundamental y requiere habilidades de anticipación, observación y reflexión para
identificar y potenciar las destrezas de los estudiantes. Además, el docente actúa como mediador entre los
estudiantes, los problemas que enfrentan y el vínculo entre las elaboraciones informales de los alumnos y
las herramientas formales introducidas en el aprendizaje.
• Principio de niveles.
El proceso de reinvención planteado por Freudenthal se complementa con la matematización progresiva de
Treffers, que consiste en abordar un contenido o tema desde una perspectiva matemática y, posteriormente,
analizar la actividad matemática generada. Freudenthal profundiza este enfoque en dos dimensiones:
▪ Matematización horizontal: consiste en convertir un problema contextual en uno matemático,
apoyándose en la intuición, el sentido común, la observación, la aproximación empírica y la
experimentación.
▪ Matematización vertical: implica procesos como la reflexión, la esquematización, la
generalización, la prueba, la simbolización y la formalización, con el propósito de alcanzar niveles más
avanzados de comprensión.
En este marco, la Educación Matemática Realista (EMR) establece que los estudiantes atraviesan diferentes
niveles de comprensión definidos por Gravemeijer:
1. Nivel situacional: el más básico, donde las estrategias y conocimientos se aplican en el contexto
de la situación concreta.
2. Nivel referencial: se identifican patrones, descripciones, ideas y técnicas que esquematizan el
problema.
pág. 6561
3. Nivel general: a través de la indagación y el razonamiento, se generalizan conceptos, superando la
dependencia del contexto original.
4. Nivel formal: se utilizan técnicas y notaciones matemáticas estandarizadas.
Estos niveles no son lineales; un estudiante puede encontrarse en distintos niveles según el contenido o la
parte específica de un problema. Los instrumentos clave para avanzar entre niveles son los modelos y la
reflexión colectiva.
▪ Modelos: representan la organización de la actividad matemática realizada por el estudiante y
surgen de su propio proceso de comprensión. Actúan como un puente entre la matemática informal y la
formal, promoviendo la matematización vertical y facilitando la transición hacia conceptos más
estructurados.
▪ Reflexión colectiva: permite analizar y discutir las soluciones planteadas, destacando momentos
clave que conducen hacia una mayor generalización.
Finalmente, este enfoque se centra en la investigación reflexiva del trabajo oral y escrito de los estudiantes,
fomentando discusiones que visibilicen el camino hacia niveles superiores de abstracción y comprensión
matemática.
• Principio de interacción.
El aprendizaje de la matemática se desarrolla como una actividad social que implica el intercambio de ideas
sobre la interpretación de los problemas, las técnicas utilizadas y las razones detrás de las soluciones. En
este contexto, la comunicación juega un papel clave, ya que orienta el razonamiento y facilita el acceso a
niveles superiores de comprensión.
Para que el aprendizaje sea más efectivo, cada estudiante sigue un recorrido propio, y las aulas se organizan
en grupos cooperativos heterogéneos. Dentro de este enfoque, factores como la negociación explícita, la
participación activa, la colaboración y la valoración mutua resultan esenciales para un proceso de
aprendizaje constructivo. Se fomenta que los estudiantes expresen sus ideas, argumenten, lleguen a
acuerdos, cuestionen alternativas y razonen colectivamente (Alsina, 2009).
• Principio de interconexión (estructuración)
La Educación Matemática Realista (EMR) fomenta una mayor cohesión en la enseñanza al permitir diversas
formas de matematizar los contextos, logrando así una conexión más sólida a través del currículo. Es
3. Nivel general: a través de la indagación y el razonamiento, se generalizan conceptos, superando la
dependencia del contexto original.
4. Nivel formal: se utilizan técnicas y notaciones matemáticas estandarizadas.
Estos niveles no son lineales; un estudiante puede encontrarse en distintos niveles según el contenido o la
parte específica de un problema. Los instrumentos clave para avanzar entre niveles son los modelos y la
reflexión colectiva.
▪ Modelos: representan la organización de la actividad matemática realizada por el estudiante y
surgen de su propio proceso de comprensión. Actúan como un puente entre la matemática informal y la
formal, promoviendo la matematización vertical y facilitando la transición hacia conceptos más
estructurados.
▪ Reflexión colectiva: permite analizar y discutir las soluciones planteadas, destacando momentos
clave que conducen hacia una mayor generalización.
Finalmente, este enfoque se centra en la investigación reflexiva del trabajo oral y escrito de los estudiantes,
fomentando discusiones que visibilicen el camino hacia niveles superiores de abstracción y comprensión
matemática.
• Principio de interacción.
El aprendizaje de la matemática se desarrolla como una actividad social que implica el intercambio de ideas
sobre la interpretación de los problemas, las técnicas utilizadas y las razones detrás de las soluciones. En
este contexto, la comunicación juega un papel clave, ya que orienta el razonamiento y facilita el acceso a
niveles superiores de comprensión.
Para que el aprendizaje sea más efectivo, cada estudiante sigue un recorrido propio, y las aulas se organizan
en grupos cooperativos heterogéneos. Dentro de este enfoque, factores como la negociación explícita, la
participación activa, la colaboración y la valoración mutua resultan esenciales para un proceso de
aprendizaje constructivo. Se fomenta que los estudiantes expresen sus ideas, argumenten, lleguen a
acuerdos, cuestionen alternativas y razonen colectivamente (Alsina, 2009).
• Principio de interconexión (estructuración)
La Educación Matemática Realista (EMR) fomenta una mayor cohesión en la enseñanza al permitir diversas
formas de matematizar los contextos, logrando así una conexión más sólida a través del currículo. Es
pág. 6562
fundamental que los diferentes contextos incluyan contenidos matemáticos interrelacionados (Alsina,
2009).
En este sentido, el conocimiento matemático se define como un conjunto de objetos matemáticos
interconectados, donde las relaciones entre ellos son esenciales. Dominar las matemáticas implica
comprender estos objetos, las conexiones entre ellos y los métodos propios de la disciplina, es decir,
entender las reglas que rigen el "juego" matemático.
Matematización
La matematización puede originarse a partir de actividades de exploración intuitiva en tareas matemáticas,
las cuales ofrecen a los estudiantes la posibilidad de modelar, estructurar, y representar tanto problemas
como soluciones (Dekker, 2020).
Según Freudenthal (2006), dentro del enfoque de la Educación Matemática Realista, la matematización se
entiende como una actividad humana que utiliza herramientas matemáticas para estructurar y organizar,
permitiendo comprender tanto el mundo como la propia matemática. En esta perspectiva, los procesos de
matematización incluyen todas aquellas actividades matemáticas que se emplean para interpretar, organizar
o estructurar diversos contextos. Por lo tanto, la actividad matemática abarca todas las acciones de
pensamiento que las personas utilizan para resolver un problema matemático.
Gravemeijer y Zapata (2020) afirman que la matematización es una forma de actividad matemática. En este
sentido, matematizar se relaciona con la actividad de organizar matemáticamente, la cual puede surgir de
una experiencia intuitiva expresada inicialmente en un lenguaje cotidiano y evolucionar hacia una
representación matemática. La Educación Matemática Realista fomenta la matematización progresiva a
partir de situaciones del mundo real (Gravemeijer & Doorman, 1999). Este enfoque implica un uso gradual
de herramientas matemáticas que avanzan a través de diferentes niveles de desarrollo. Estas herramientas,
como representaciones y descripciones (Freudenthal, 2002; Alagia et al., 2005), se aplican en contextos
específicos para evidenciar procesos de matematización. Los niveles de matematización que pueden
manifestarse al resolver tareas incluyen el situacional, referencial, general y formal (Alagia et al., 2005;
Freudenthal, 2006). A continuación, se presentan ejemplos de los procesos de matematización asociados a
estos niveles:
fundamental que los diferentes contextos incluyan contenidos matemáticos interrelacionados (Alsina,
2009).
En este sentido, el conocimiento matemático se define como un conjunto de objetos matemáticos
interconectados, donde las relaciones entre ellos son esenciales. Dominar las matemáticas implica
comprender estos objetos, las conexiones entre ellos y los métodos propios de la disciplina, es decir,
entender las reglas que rigen el "juego" matemático.
Matematización
La matematización puede originarse a partir de actividades de exploración intuitiva en tareas matemáticas,
las cuales ofrecen a los estudiantes la posibilidad de modelar, estructurar, y representar tanto problemas
como soluciones (Dekker, 2020).
Según Freudenthal (2006), dentro del enfoque de la Educación Matemática Realista, la matematización se
entiende como una actividad humana que utiliza herramientas matemáticas para estructurar y organizar,
permitiendo comprender tanto el mundo como la propia matemática. En esta perspectiva, los procesos de
matematización incluyen todas aquellas actividades matemáticas que se emplean para interpretar, organizar
o estructurar diversos contextos. Por lo tanto, la actividad matemática abarca todas las acciones de
pensamiento que las personas utilizan para resolver un problema matemático.
Gravemeijer y Zapata (2020) afirman que la matematización es una forma de actividad matemática. En este
sentido, matematizar se relaciona con la actividad de organizar matemáticamente, la cual puede surgir de
una experiencia intuitiva expresada inicialmente en un lenguaje cotidiano y evolucionar hacia una
representación matemática. La Educación Matemática Realista fomenta la matematización progresiva a
partir de situaciones del mundo real (Gravemeijer & Doorman, 1999). Este enfoque implica un uso gradual
de herramientas matemáticas que avanzan a través de diferentes niveles de desarrollo. Estas herramientas,
como representaciones y descripciones (Freudenthal, 2002; Alagia et al., 2005), se aplican en contextos
específicos para evidenciar procesos de matematización. Los niveles de matematización que pueden
manifestarse al resolver tareas incluyen el situacional, referencial, general y formal (Alagia et al., 2005;
Freudenthal, 2006). A continuación, se presentan ejemplos de los procesos de matematización asociados a
estos niveles:
pág. 6563
La metamorfosis del saber implica su transformación desde un objeto de conocimiento (en la comunidad
científica) hasta un objeto a enseñar y, posteriormente, un objeto de enseñanza (en la comunidad escolar),
lo que involucra dos tipos de transposición: externa e interna.
En el nivel situacional, el estudiante, dentro de contextos realistas, interpreta la situación del contexto y la
conecta con conocimientos previos y su creatividad (Trelles-Zambrano et al., 2019). El nivel referencial se
alcanza cuando el estudiante identifica el objeto matemático presente en el contexto realista, describe las
relaciones y conceptos que estructuran el problema concreto, y comienza a analizar los cambios implicados.
En el nivel de matematización general, el estudiante elabora esquemas, reconoce patrones, identifica
estructuras matemáticas, y realiza deducciones, construcciones o justificaciones que le permiten validar sus
razonamientos. Finalmente, el nivel de matematización formal surge cuando el estudiante emplea
propiedades comunes para formular reglas, realizar representaciones algebraicas, crear fórmulas, diseñar
procedimientos o hacer predicciones.
Los procesos de matematización facilitan tanto la traducción de un problema desde un contexto realista al
ámbito matemático como la identificación de las matemáticas involucradas en la organización y resolución
de tareas contextualizadas (Gravemeijer, 2020).
En la Educación Matemática Realista, la interacción es un principio fundamental, ya que la matemática se
entiende como una actividad social (Freudenthal, 2006). Esta interacción se refiere al intercambio de
conocimientos y estrategias entre estudiantes, entre grupos de estudiantes y el docente, o directamente entre
el docente y el estudiante. Es un factor clave que permite a los estudiantes, bajo la orientación del docente,
redescubrir objetos, modelos, operaciones y estrategias matemáticas en colaboración con sus compañeros
y el profesor (Zolkower et al., 2006).
La reflexión desempeña un papel esencial en el avance de los procesos de matematización, y esta reflexión
es posible gracias a la interacción (Heuvel & Drijvers, 2014). En este contexto, las preguntas del docente
son fundamentales, ya que los diferentes tipos de interrogantes promueven la interacción con los
estudiantes. Sin embargo, según Gravemeijer (2020), las normas socio-matemáticas establecidas pueden
influir y limitar las formas de actuar y explicar que se consideran aceptables en un aula específica.
Cuando un estudiante enfrenta un problema del mundo cotidiano (mundo real), debe traducirlo en
estructuras matemáticas que conoce (mundo matemático). A partir de ahí, utiliza los conceptos y
La metamorfosis del saber implica su transformación desde un objeto de conocimiento (en la comunidad
científica) hasta un objeto a enseñar y, posteriormente, un objeto de enseñanza (en la comunidad escolar),
lo que involucra dos tipos de transposición: externa e interna.
En el nivel situacional, el estudiante, dentro de contextos realistas, interpreta la situación del contexto y la
conecta con conocimientos previos y su creatividad (Trelles-Zambrano et al., 2019). El nivel referencial se
alcanza cuando el estudiante identifica el objeto matemático presente en el contexto realista, describe las
relaciones y conceptos que estructuran el problema concreto, y comienza a analizar los cambios implicados.
En el nivel de matematización general, el estudiante elabora esquemas, reconoce patrones, identifica
estructuras matemáticas, y realiza deducciones, construcciones o justificaciones que le permiten validar sus
razonamientos. Finalmente, el nivel de matematización formal surge cuando el estudiante emplea
propiedades comunes para formular reglas, realizar representaciones algebraicas, crear fórmulas, diseñar
procedimientos o hacer predicciones.
Los procesos de matematización facilitan tanto la traducción de un problema desde un contexto realista al
ámbito matemático como la identificación de las matemáticas involucradas en la organización y resolución
de tareas contextualizadas (Gravemeijer, 2020).
En la Educación Matemática Realista, la interacción es un principio fundamental, ya que la matemática se
entiende como una actividad social (Freudenthal, 2006). Esta interacción se refiere al intercambio de
conocimientos y estrategias entre estudiantes, entre grupos de estudiantes y el docente, o directamente entre
el docente y el estudiante. Es un factor clave que permite a los estudiantes, bajo la orientación del docente,
redescubrir objetos, modelos, operaciones y estrategias matemáticas en colaboración con sus compañeros
y el profesor (Zolkower et al., 2006).
La reflexión desempeña un papel esencial en el avance de los procesos de matematización, y esta reflexión
es posible gracias a la interacción (Heuvel & Drijvers, 2014). En este contexto, las preguntas del docente
son fundamentales, ya que los diferentes tipos de interrogantes promueven la interacción con los
estudiantes. Sin embargo, según Gravemeijer (2020), las normas socio-matemáticas establecidas pueden
influir y limitar las formas de actuar y explicar que se consideran aceptables en un aula específica.
Cuando un estudiante enfrenta un problema del mundo cotidiano (mundo real), debe traducirlo en
estructuras matemáticas que conoce (mundo matemático). A partir de ahí, utiliza los conceptos y
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herramientas matemáticas a su disposición para resolver el problema, y finalmente traduce los resultados
obtenidos de vuelta al contexto original, comunicando su solución. En el proyecto PISA, estos procesos se
representan en el "Ciclo de matematización," que consta de cinco etapas (OCDE, 2005, 40):
1. El ciclo comienza con una situación problemática vinculada al mundo real.
2. El estudiante identifica los conceptos matemáticos que pueden aplicarse al problema.
3. Se llevan a cabo procesos de abstracción en los que la realidad inicial se transforma
progresivamente en un problema matemático.
4. El problema matemático se resuelve utilizando las herramientas apropiadas.
5. Finalmente, las soluciones obtenidas deben interpretarse y validarse en el contexto real del
problema planteado.
El Ciclo de matematización corresponde:
El proceso de matematización incluye varias etapas interconectadas que conforman un ciclo continuo. En
primer lugar, se formula un modelo al pasar de un "problema contextualizado" a un "problema formulado
matemáticamente". Luego, se avanza al "uso de la matemática", que implica transformar el "problema
formulado matemáticamente" en "resultados matemáticos". Posteriormente, estos resultados se interpretan
para convertirlos en "resultados en contexto". A continuación, se validan los resultados contextualizados
en relación con el "problema contextualizado" inicial, cerrando el ciclo y regresando a la formulación de
un modelo para reiniciar el proceso.
Aunque la idea de matematización ocupa un lugar destacado en el proyecto PISA, no es nueva para
investigadores en educación matemática. Hans Freudenthal fue un precursor en subrayar la importancia de
conectar la enseñanza de las matemáticas con la realidad de los estudiantes. Como expresó: “...la imagen
de la matemática se enmarca dentro de la imagen del mundo, la imagen del matemático dentro de la del
hombre y la imagen de la enseñanza de la matemática dentro de la sociedad” (Freudenthal, 1991, 32).
El proceso de matematización se divide en dos etapas:
1. Matematización horizontal, donde el estudiante traduce el problema desde el mundo real al
matemático.
2. Matematización vertical, que implica la utilización de conceptos y habilidades matemáticas para
abordar el problema.
herramientas matemáticas a su disposición para resolver el problema, y finalmente traduce los resultados
obtenidos de vuelta al contexto original, comunicando su solución. En el proyecto PISA, estos procesos se
representan en el "Ciclo de matematización," que consta de cinco etapas (OCDE, 2005, 40):
1. El ciclo comienza con una situación problemática vinculada al mundo real.
2. El estudiante identifica los conceptos matemáticos que pueden aplicarse al problema.
3. Se llevan a cabo procesos de abstracción en los que la realidad inicial se transforma
progresivamente en un problema matemático.
4. El problema matemático se resuelve utilizando las herramientas apropiadas.
5. Finalmente, las soluciones obtenidas deben interpretarse y validarse en el contexto real del
problema planteado.
El Ciclo de matematización corresponde:
El proceso de matematización incluye varias etapas interconectadas que conforman un ciclo continuo. En
primer lugar, se formula un modelo al pasar de un "problema contextualizado" a un "problema formulado
matemáticamente". Luego, se avanza al "uso de la matemática", que implica transformar el "problema
formulado matemáticamente" en "resultados matemáticos". Posteriormente, estos resultados se interpretan
para convertirlos en "resultados en contexto". A continuación, se validan los resultados contextualizados
en relación con el "problema contextualizado" inicial, cerrando el ciclo y regresando a la formulación de
un modelo para reiniciar el proceso.
Aunque la idea de matematización ocupa un lugar destacado en el proyecto PISA, no es nueva para
investigadores en educación matemática. Hans Freudenthal fue un precursor en subrayar la importancia de
conectar la enseñanza de las matemáticas con la realidad de los estudiantes. Como expresó: “...la imagen
de la matemática se enmarca dentro de la imagen del mundo, la imagen del matemático dentro de la del
hombre y la imagen de la enseñanza de la matemática dentro de la sociedad” (Freudenthal, 1991, 32).
El proceso de matematización se divide en dos etapas:
1. Matematización horizontal, donde el estudiante traduce el problema desde el mundo real al
matemático.
2. Matematización vertical, que implica la utilización de conceptos y habilidades matemáticas para
abordar el problema.
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Según Freudenthal, Treffers analiza la educación matemática desde estas dos formas de matematización.
De esta manera, distingue tres enfoques:
• Un enfoque empírico, que se centra en la matematización horizontal.
• Un enfoque estructuralista, que prioriza la matematización vertical.
• Un enfoque mecanicista, donde no se desarrollan plenamente ninguna de las dos formas de
matematización.
La Educación Matemática Realista se caracteriza por integrar ambas formas de matematización, como lo
ilustra la tabla propuesta por Treffers en Freudenthal (2002).
Tabla 1 Clasificación de la matemática según Treffers
Fuente: Elaboración propia. (Freudenthal 2002, p. 133).
El uso de situaciones que permitan a los estudiantes aplicar tanto la matematización horizontal como la
vertical se diferencia de otros enfoques debido a la riqueza de los procesos implicados. En este sentido,
Rico (2005) destaca que la matematización horizontal se basa en actividades como identificar las
matemáticas relevantes para el problema, representar el problema de diversas maneras, comprender las
relaciones entre los lenguajes natural, simbólico y formal, detectar patrones y regularidades, reconocer
isomorfismos con problemas previamente conocidos, traducir el problema a un modelo matemático, y
utilizar herramientas y recursos adecuados.
Por su parte, la matematización vertical implica actividades como el uso de diferentes representaciones, el
empleo del lenguaje simbólico, formal y técnico junto con sus operaciones, el refinamiento y ajuste de
modelos matemáticos, la integración y combinación de modelos, así como la argumentación y
generalización (Rico, 2005, 16).
Es importante señalar que el mundo real incluye al mundo matemático, y la matematización horizontal se
produce al establecer conexiones entre problemas del mundo real y del mundo matemático. Por otro lado,
la matematización vertical ocurre dentro del ámbito matemático, entre problemas estructurados y
racionalizados.
Según Freudenthal, Treffers analiza la educación matemática desde estas dos formas de matematización.
De esta manera, distingue tres enfoques:
• Un enfoque empírico, que se centra en la matematización horizontal.
• Un enfoque estructuralista, que prioriza la matematización vertical.
• Un enfoque mecanicista, donde no se desarrollan plenamente ninguna de las dos formas de
matematización.
La Educación Matemática Realista se caracteriza por integrar ambas formas de matematización, como lo
ilustra la tabla propuesta por Treffers en Freudenthal (2002).
Tabla 1 Clasificación de la matemática según Treffers
Fuente: Elaboración propia. (Freudenthal 2002, p. 133).
El uso de situaciones que permitan a los estudiantes aplicar tanto la matematización horizontal como la
vertical se diferencia de otros enfoques debido a la riqueza de los procesos implicados. En este sentido,
Rico (2005) destaca que la matematización horizontal se basa en actividades como identificar las
matemáticas relevantes para el problema, representar el problema de diversas maneras, comprender las
relaciones entre los lenguajes natural, simbólico y formal, detectar patrones y regularidades, reconocer
isomorfismos con problemas previamente conocidos, traducir el problema a un modelo matemático, y
utilizar herramientas y recursos adecuados.
Por su parte, la matematización vertical implica actividades como el uso de diferentes representaciones, el
empleo del lenguaje simbólico, formal y técnico junto con sus operaciones, el refinamiento y ajuste de
modelos matemáticos, la integración y combinación de modelos, así como la argumentación y
generalización (Rico, 2005, 16).
Es importante señalar que el mundo real incluye al mundo matemático, y la matematización horizontal se
produce al establecer conexiones entre problemas del mundo real y del mundo matemático. Por otro lado,
la matematización vertical ocurre dentro del ámbito matemático, entre problemas estructurados y
racionalizados.