MODELADO DE UN ROBOT HUMANOIDE DE
18 GDL MEDIANTE TÉCNICAS RESURSIVAS
MODELLING OF A 18 DOF HUMANOID ROBOT USING
RECURSIVE TECHNIQUES
Miguel Angel Ortega-Palacios
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, México
Amparo Palomino-Merino
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, México
Fernando Reyes-Cortés
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, México
pág. 8650
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v9i2.17593
Modelado de un Robot Humanoide de 18 GDL mediante Técnicas
Resursivas
Miguel Angel Ortega-Palacios1
miguel.ortegap@alumno.buap.mx
https://orcid.org/0000-0002-7384-4453
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
México
Amparo Palomino-Merino
amparo.palomino@correo.buap.mx
https://orcid.org/0000-0002-2150-7762
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
México
Fernando Reyes-Cortés
fernando.reyes@correo.buap.mx
https://orcid.org/0000-0001-5200-7632
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
México
RESUMEN
Los robots humanoides han sido ampliamente estudiados en la comunidad científica, con el objetivo de
poder comprender y replicar los movimientos que ejecuta el ser humano cuando realiza una tarea
específica. Por lo cual, a lo largo de los últimos años se han propuesto diversos métodos y estrategias
para analizar y obtener un modelo matemático que permita resolver esta problemática; esto implica
analizar y modelar la dinámica de robots humanoides. Entre los métodos más utilizados en la literatura
para modelar un robot, son los analíticos, geométricos y mediante la convención de Denavit-Hartenberg.
Por lo tanto, en el presente estudio se propone utilizar un método recursivo basado en la mecánica
analítica de Euler para resolver el problema de cinemática directa, cinemática diferencial, rapidez lineal
y energía cinética de un robot bípedo de 18 grados de libertad (GDL).
Palabras clave: robot humanoide, cinemática directa, matriz antisimétrica, recursivo, modelo dinámico
1
Autor principal.
Correspondencia: miguel.ortegap@alumno.buap.mx
pág. 8651
Modelling of a 18 DOF Humanoid Robot using Recursive Techniques
ABSTRACT
Humanoid robots have been widely studied in the scientific community, with the goal of understanding
and replicating the movements that humans execute when performing a specific task. Therefore, in
recent years, various methods and strategies have been proposed to analyze and obtain a mathematical
model that allows solving this problem; this involves analyzing and modeling the dynamics of humanoid
robots. Among the most widely used methods in the literature for robot modeling are analytical,
geometric, and the Denavit-Hartenberg convention. Therefore, in the present study, we propose using a
recursive method based on Euler analytical mechanics to solve the problems of forward kinematics,
differential kinematics, linear speed, and kinetic energy of a 18-degree-of-freedom (DOF) humanoid
robot.
Keywords: humanoid robot, forward kinematics, antisymmetric matrix, recursive, dynamics model
Artículo recibido 13 marzo 2025
Aceptado para publicación: 19 abril 2025
pág. 8652
INTRODUCCIÓN
El problema de estudio relacionado con la dinámica de los robots bípedos ha sido ampliamente estudiado
en la comunidad científica. En la literatura se han encontrado varias limitaciones en los modelos de
robots bípedos, esto impulsa la necesidad de aplicar un modelo diferente, basado en la mecánica analítica
de Euler. El cual permitirá resolver el problema de cinemática y dinámica mediante un análisis recursivo,
esto es importante en el área computacional, ya que en un futuro se pretende desarrollar un algoritmo
recursivo que permita obtener el modelo dinámico de cualquier robot bípedo empleando esta
metodología.
Cuando se analiza el modelo dinámico de un robot bípedo en la literatura, generalmente se plantea el
desarrollo y la solución del modelo del tren inferior en robots bípedos, la mayoría de estos emplean la
metodología de Denavit-Hartenberg. Debido al alto número de grados de libertad y la complejidad
involucrada en el cálculo de las ecuaciones, la mayoría de los autores tienen el objetivo de modelar sólo
el tren inferior de los robots, ya sea utilizando robots comerciales como Nao con 12 GDL (Fierro,
Pámanes, Santibanez, Ruiz, & Ollervides, 2014), HYDROïD con 8 GDL en cada pierna (Bertrand,
Bruneau, Ouezdou, & Alfayad, 2012), Scout (Ruiz, 2014) y NWPUBR-1 (Zhang, y otros, 2020) con 12
GDL y Ostrich Bionic con 13 GDL (Che, Pan, Yan, & Yu, Kinematics Analysis of Leg Configuration
of An Ostrich Bionic Biped Robot, 2021), Cassie con 20 GDL (Gong, y otros, 2019). También se han
modelado robots bípedos con diseño propio del autor, con 12 GDL (Che, 2022; Hu, 2021; Yılmazlar,
2021), 10 GDL (Huy, 2013; Bharadwaj, 2019; Cherfouh, 2022), 9 GDL (Vivas, 2009), 5 GDL (Tang, y
otros, 2023). Todos estos trabajos de investigación solo modelan el tren inferior, tomando uno de los
pies del robot como referencia.
En otros trabajos es posible obtener la solución de cinemática directa tanto para piernas como para
brazos, utilizando el robot HRP-2 con 12 GDL en las piernas (Kajita, Hirukawa, Harada, & Yokoi,
2014), DARwIn-OP con 6 GDL en cada pierna (Franco & Guerrero, 2018), AXIS con 12 GDL en
piernas (Williams, 2012), NAO con 21 GDL (Kofinas, Orfanoudakis, & Lagoudakis, 2013), robot Digit
con 20 GDL (Castillo, Weng, Zhang, & Hereid, 2021), robot AZAD-16 con 16 GDL (Khan & Mandava,
2023) y robot L04 con 17 GDL (Mou, y otros, 2024); estos modelos proponen el torso o la pelvis del
robot como referencia, pero lo hacen mediante los métodos tradicionales, tales como el modelado de
pág. 8653
Euler-Lagrange.
El robot Bioloid también ha sido utilizado por la comunidad científica para realizar varios estudios
relacionados con cinemática, dinámica y control. La mayoría de los trabajos obtienen el modelo
cinemático de las piernas, teniendo en cuenta un solo pie como marco de referencia inicial. (Meggiolaro,
2016; Reyes, 2018; Krishnan, 2014; Cerritos-Jasso, 2013; Chiang, 2011; Domínguez, 2017; Arias,
Olvera, J. A., & Núñez, 2014); mientras que en (Montenegro, 2016) se toma el torso como referencia.
Por otro lado (Nunez, Briseno, Rodriguez, Ibarra, & Rodriguez, 2012) obtienen el modelo cinemático
de las piernas y brazos del robot, pero toman el torso y la pelvis como referencia. En (Gonçalves,
Ribeiro, Ribeiro, Lopes, & Flores, 2022) se emplea un algoritmo recursivo basado en los ángulos de
Euler para resolver la cinemática directa del robot antropomórfico móvil CHARMIE.
A partir de este análisis, se propone como objetivo de estudio el robot Bioloid Premium con 18 GDL.
La principal motivación de este artículo es desarrollar una metodología basada en la mecánica analítica
de Euler, para que en un futuro trabajo se obtenga el modelo dinámico de un robot bípedo siguiendo esta
metodología. Esto será atractivo desde el punto de vista computacional, para desarrollar un algoritmo
recursivo que pueda tener mejor desempeño.
En el presente trabajo se propone dar solución al problema de cinemática directa, cinemática diferencial,
rapidez lineal, y energía cinética del robot Bioloid Premium, considerando una metodología recursiva
para modelar sus cuatro extremidades, tomando la pelvis como sistema de referencia inicial del robot.
El documento está organizado de la siguiente manera. En la sección 1 se exponen del desarrollo de la
metodología analítica de Euler para obtener el modelo de cinemática directa del robot. Las cinemáticas
diferencial recursiva del robot se expone en la sección 2. El cálculo de la rapidez lineal recursiva se
propone en la sección 3. La sección 4 presenta la metodología para obtener la matriz de inercia de forma
recursiva. Finalmente las conclusiones y trabajo a futuro se presentan en la sección 5.
Cinemática directa recursiva del robot bioloid premium
Se propone generar cuatro cadenas cinemáticas abiertas para describir la posición y orientación de cada
uno de los eslabones del robot Bioloid Premium, considerando la pelvis del robot como sistema de
referencia inicial . A partir del sistema inicial, la primera cadena cinemática considera
como sistema de referencia final el pie derecho , la segunda cadena cinemática toma
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como sistema de referencia final la pierna izquierda , la tercera cadena tiene a
como sistema de referencia final, que corresponde al brazo derecho, y la cuarta
cadena pertenece al brazo izquierdo. En la figura 1 se representan los sistemas de
referencia asignados a cada una de las articulaciones del robot.
Figura 1. Sistemas de referencia asignados a las articulaciones del robot Bioloid.
Las medidas del robot son las siguientes:
.
Empleando la convención de Denavit-Hartenberg y la transformación de coordenadas correspondiente
(Siciliano, Sciavicco, Villani, & Oriolo, 2009), se toma y como los vectores de posición de los
sistemas de referencia e , respectivamente; y denotan las matrices de rotación de cada
eslabón, y el vector de desplazamiento que tiene coordenadas cartesianas (. Para obtener los
vectores de cinemática directa de cada eslabón del robot, se propone la ecuación recursiva (1):
(1)
pág. 8655
donde . El número de eslabones está denotado por . Siguiendo como ejemplo los
parámetros de las tablas 1 y 2, se obtiene las cinemáticas directa de cada eslabón del robot. Dependiendo
de la configuración del robot, es importante tomar en cuenta los centros de masa en el parámetro ,
cuando sea necesario. Es importante señalar que los parámetros de corresponden a la transformación
de coordenadas que va desde la pelvis hacia el primer eslabón de cada extremidad del robot.
Tabla 1. Parámetros para calcular la cinemática directa de cada eslabón de la pierna derecha.
Posición
Matriz
Matriz
Desplazamiento
Tabla 2. Parámetros para calcular la cinemática directa de cada eslabón del brazo derecho.
Posición
Matriz
Matriz
Desplazamiento
Para cacular la cinemática directa de la pierna izquierda, se cambia el signo de los parámetros
y . En el caso del brazo izquierdo, se cambia el sigo de . Con el objetivo de
validar las ecuaciones de cinemática directa, se propusieron dos ejemplos para ubicar las extremidades
del robot en diferentes posturas. Por lo cual, se empleó la liibrería Robotics Toolbox de MATLAB para
comprobar los resultados mediante un modelo 3D del robot. En la ¡Error! No se encuentra el origen
de la referencia. y 3 se presenta los modelos 3D de la pierna y brazo derechos del robot,
respectivamente. Los valores articulares asignados a cada que se muestran en la parte izquierda de
las imágenes corresponden a las posiciones de casa del robot; es un parámetro fijo que se incluye en
el desplazamiento de a ; los valores de denotan las coordenadas espaciales del extremo final
de cada extremidad del robot.
pág. 8656
Figura 2 Posición de casa de la pierna derecha del robot.
Figura 3. Posición de casa del brazo derecho del robot.
Posteriormente se propone llevar el brazo derecho a una postura donde alcance su altura máxima, tal
como se aprecia en la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., donde se cambia el valor
de a 90°, de esta forma el valor de la coordenada alcanza un valor de 308 mm, sin tener cambio en
las coordenadas e .
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Figura 4 Postura del robot para llevar el brazo derecho a su altura máxima.
En la figura se propone otra postura para la pierna derecha, donde solo se cambian los valores:
, de esta forma el extremo final obtiene las siguientes coordenadas
espaciales: , sin tener cambios en la coordenada .
Figura 5. Posición de casa del brazo y pierna izquierda del robot.
Como se pudo ver en la representación de los modelos virtuales, las coordenadas cartesianas
muestran la ubicación del extremo final de cada extremidad del robot, de esta forma es posible validar
las ecuaciones de cinemática directa del robot mediante el método recursivo.
pág. 8658
Cinemática diferencial recursiva
La cinemática diferencial del robot se obtiene al derivar , para ello se emplea la matriz ,
la cual es una matriz antisimétrica (Siciliano, Sciavicco, Villani, & Oriolo, 2009). Entonces la primera
derivada de una matriz de rotación con respecto al tiempo se denota en (2):
(2)
Considerando la relación entre y es posible calcular = , por lo cual se considera la ecuación
(3) para obtener las velocidades recursivas de cada eslabón:
(3)
donde:
• es la velocidad del -ésimo eslabón.
• es la velocidad lineal del eslabón .
• es la matriz de rotación alrededor del eje del eslabón
• es la matriz de rotación alrededor del eje del eslabón
• es la matriz de antisimétrica.
• es el vector de posición entre el eslabón y el , considerando los desplazamientos
Con condición inicial:
Rapidez lineal recursiva
Para determinar la rapidez lineal de cada eslabón del robot se procede a obtener el vector transpuesto de
la ecuación (3). La rapidez lineal se obtiene elevando al cuadrado cada una de las velocidades
desarrollando este término se tiene la expresión (4):
(4)
pág. 8659
Matriz de inercia recursiva
La energía cinética se determina empleando la ecuación (5):
(5)
donde:
es la velocidad lineal de la i-ésima articulación.
es la velocidad angular de la i-ésima articulación.
es el tensor de inercia de la i-ésima articulación.
es la masa de la i-ésima articulación.
es el número de articulaciones del robot.
La cual puede ser expresada con una estructura matemática de forma cuadrática, tal como en (6).
(6)
donde:
Vector de velocidades articulares.
es la matriz de inercia, la cual es simétrica y definida positiva.
Para calcular la matriz de inercia del robot, en la ecuación (6), primero se determinan los
ésimos jacobianos
donde es el número de eslabones del robot, toma valores desde 1
hasta . Para esto, es importante determinar una expresión general, donde se emplean las matrices de
rotación y , el vector de desplazamiento y la matriz . Cada
se puede expresar
con la ecuación (8).
(7)
pág. 8660
donde puede ser una matriz o un vector de ceros, según sea el caso, que se emplea para
que todos los jacobianos
sean del mismo tamaño. Cada término
se puede calcular como se
presenta en (9):
(8)
Donde es una matriz que suma términos a cada columna de
, donde la columna de
se denota como (9):
(9)
Además, si , entonces el término
es la matriz identidad.
Por lo tanto:
(10)
Al multiplicar el jacobiano de velocidad lineal transpuesto por el mismo jacobiano
,
se obtiene la ecuación (11):
(11)
Posteriormente se procede a obtener los jacobianos de velocidad angular de cada eslabón del robot, pero
primero es necesario tomar en cuenta las matrices rotacionales
que contienen los elementos de las
velocidades angulares, por lo cual se emplea la ecuación (12):
(12)
pág. 8661
donde
y indica el número eslabones del robot. Después se procede a extraer las velocidades
angulares
que se presentan alrededor del eje , multiplicando la matriz resultante
por el vector
. De esta manera se determinan los vectores de velocidad angular de cada eslabón
con respecto al eje , esta expresión se visualiza en (13).
(13)
donde
. Luego se consideran cada uno de los vectores
obtenidos para construir los
jacobianos de velocidad angular
para cada eslabón. Entonces la expresión (14) denota la matriz de
jacobiano de velocidad angular:
(14)
donde
. Para establecer matrices
del mismo tamaño, se define un elemento
, el cual puede ser matriz o vector, dependiendo del ésimo jacobiano angular a calcular, esto
garantiza que todas las matrices sean del mismo tamaño y puedan sumarse para obtener el jacobiano
total.
La posición de cada eslabón depende de la configuración del robot, por lo cual el tensor de inercia
también depende de este parámetro. Se considera como el tensor de inercia del ésimo eslabón con
respecto al sistema de referencia inicial, donde es el tensor de inercia con respecto al centro de masa
del eslabón, el cual está en un sistema local, por lo cual es necesario transformarlo a un sistema global
a partir de la expresión (15):
(15)
Empleando las ecuaciones (7), (14) y (15) se define la expresión (16) para determinar la matriz de inercia
del robot.
pág. 8662
(16)
donde es la masa del ésimo eslabón;
es la matriz que incluye los parámetros de
velocidad lineal;
es la matriz que tiene los parámetros de velocidad angular; es el tensor
de inercia con respecto al sistema de referencia inicial. Además, la matriz , es simétrica y
definida positiva.
CONCLUSIONES
El método analítico de Euler permitió resolver el problema de cinemática directa, cinemática diferencial,
raidez lineal y energía del robot Bioloid Premium, de manera recursiva; esta metodología tiene la ventaja
de reducir la complejidad de los cálculos computacionales para obtener dichos modelos. De esta manera,
no es necesario emplear derivadas analíticas a las ecuaciones de cinemática directa, ya que las
propiedades de la matriz ayudan a calcular la cinemática diferencial del robot, por lo tanto, es
posible conocer la relación entre las velocidades articulares, las velocidades lineales de movimiento y
las velocidades angulares de los eslabones del robot para obtener un método recursivo para modelar las
matriz de inercia del robot. Es importante mencionar que esta metodología puede extenderse a otros
robots bípedos, además, tiene gran importancia en el área computacional, debido a que se emplean
ecuaciones recursivas para obtener dichos modelos matemáticos, esto puede ser un aporte significativo
para que en un trabajo futuro puedan desarrollarse algoritmos recursivos que reduzcan el costo
computacional para el modelado de robots humanoides.
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