pág. 3172
MODELO DE CAMPO ORBITAL DE LOS
NÚMEROS PRIMOS Y NATURALES
ORBITAL FIELD MODEL OF NATURAL AND PRIME
NUMBERS
Ing. John Edwar Castro Gonzalez
Investigador Independiente
Otilia Hernández Panduro
Universidad Nacional de Ucayali
Geni Llerme Tafur Flores
Universidad Nacional de Ucayali
Isabel Esteban Robladillo
Universidad Nacional de Ucayali
Jenny Paola Zeña Rubio
Universidad Nacional de Ucayali
pág. 3173
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v9i3.17935
Modelo de campo orbital de los números primos y naturales
Ing. John Edwar Castro Gonzalez1
jcastro@edificiosinteligentes.com.mx
https://orcid.org/0009-0005-1785-762X
Investigador Independiente
Monterrey, México
RESUMEN
La naturaleza de los números primos siempre ha marcado uno de los grandes retos de las matemáticas,
detrás de la aparente simplicidad de la recta numérica natural, aparecen estos números que muestran
un comportamiento altamente complejo y que responden a una aparente estructura inherente oculta
que hace intuir que detrás de los números naturales existe una distribución que va mas allá de una
generación continua lineal; en este documento explicamos esta estructura inherente que se presenta en
forma de orbitas cíclicas que se repiten en periodos que se van ampliando en capas cada vez más
grandes que van hasta el infinito siguiendo la misma regla periódica; el rango de la primera capa
orbital asemeja a una estructura fractal en grupos de 8 números que al ir emergiendo van agrupando en
8 ejes a todos los números naturales, como resultado de estas orbitas y ejes, todos los números primos
se alinean en solo 2 ejes hasta el infinito, revelando así que estos números que antes aparecían de
forma casi aleatoria en la recta numérica, ahora en esta estructura orbital se puedan encontrar en estos
2 ejes numéricos, volviéndolos así en predecibles y calculables, facilitando saber donde y cuando van
a aparecer en las secuencias de números naturales; aquí explicaremos como se plantea esta estructura
geométrica de campo orbital que modela la forma de esta distribución numérica, tras de la cual se van
desvelando las propiedades de la generación de los números primos y de muchos de los
comportamientos que anteriormente se consideraban aleatorios o altamente complejos y que aparecen
de manera natural en esta estructura, como la alineación de los números primos de la forma (6x±1), los
números de Mersenne y la forma de calcular la cantidad de números primos en cualquier intervalo
especifico.
Palabras clave: números primos, números naturales, estructura de los números naturales, generación
de números primos
1 Autor principal
Correspondencia: jcastro@edificiosinteligentes.com.mx
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v9i3.17935
Modelo de campo orbital de los números primos y naturales
Ing. John Edwar Castro Gonzalez1
jcastro@edificiosinteligentes.com.mx
https://orcid.org/0009-0005-1785-762X
Investigador Independiente
Monterrey, México
RESUMEN
La naturaleza de los números primos siempre ha marcado uno de los grandes retos de las matemáticas,
detrás de la aparente simplicidad de la recta numérica natural, aparecen estos números que muestran
un comportamiento altamente complejo y que responden a una aparente estructura inherente oculta
que hace intuir que detrás de los números naturales existe una distribución que va mas allá de una
generación continua lineal; en este documento explicamos esta estructura inherente que se presenta en
forma de orbitas cíclicas que se repiten en periodos que se van ampliando en capas cada vez más
grandes que van hasta el infinito siguiendo la misma regla periódica; el rango de la primera capa
orbital asemeja a una estructura fractal en grupos de 8 números que al ir emergiendo van agrupando en
8 ejes a todos los números naturales, como resultado de estas orbitas y ejes, todos los números primos
se alinean en solo 2 ejes hasta el infinito, revelando así que estos números que antes aparecían de
forma casi aleatoria en la recta numérica, ahora en esta estructura orbital se puedan encontrar en estos
2 ejes numéricos, volviéndolos así en predecibles y calculables, facilitando saber donde y cuando van
a aparecer en las secuencias de números naturales; aquí explicaremos como se plantea esta estructura
geométrica de campo orbital que modela la forma de esta distribución numérica, tras de la cual se van
desvelando las propiedades de la generación de los números primos y de muchos de los
comportamientos que anteriormente se consideraban aleatorios o altamente complejos y que aparecen
de manera natural en esta estructura, como la alineación de los números primos de la forma (6x±1), los
números de Mersenne y la forma de calcular la cantidad de números primos en cualquier intervalo
especifico.
Palabras clave: números primos, números naturales, estructura de los números naturales, generación
de números primos
1 Autor principal
Correspondencia: jcastro@edificiosinteligentes.com.mx
pág. 3174
Orbital field model of natural and prime numbers
ABSTRACT
The nature of prime numbers has always been one of the greatest challenges in mathematics. Behind
the apparent simplicity of the natural number line, these numbers appear, displaying highly complex
behavior and responding to an apparent hidden inherent structure that suggests that behind the natural
numbers there is a distribution that goes beyond continuous linear generation. In this document, we
explain this inherent structure, which appears in the form of cyclical orbits that repeat themselves in
periods that expand into increasingly larger layers that go to infinity, following the same periodic rule.
the range of the first orbital layer resembles a fractal structure in groups of 8 numbers that as they
emerge group all the natural numbers into 8 axes, as a result of these orbits and axes, all prime
numbers align in only 2 axes to infinity, thus revealing that these numbers that previously appeared
almost randomly on the number line, now in this orbital structure can be found on these 2 numerical
axes, thus making them predictable and calculable, making it easier to know where and when they will
appear in the sequences of natural numbers; Here we will explain how this geometric structure of the
orbital field that models the shape of this numerical distribution is proposed, after which the properties
of the generation of prime numbers and many of the behaviors that were previously considered
random or highly complex and that appear naturally in this structure are revealed, such as the
alignment of prime numbers of the form (6x±1), the Mersenne numbers and how to calculate the
amount of prime numbers in any specific interval.
Keywords: prime numbers, natural numbers, structure of natural numbers, generation of prime
numbers
Artículo recibido 09 mayo 2025
Aceptado para publicación: 11 junio 2025
Orbital field model of natural and prime numbers
ABSTRACT
The nature of prime numbers has always been one of the greatest challenges in mathematics. Behind
the apparent simplicity of the natural number line, these numbers appear, displaying highly complex
behavior and responding to an apparent hidden inherent structure that suggests that behind the natural
numbers there is a distribution that goes beyond continuous linear generation. In this document, we
explain this inherent structure, which appears in the form of cyclical orbits that repeat themselves in
periods that expand into increasingly larger layers that go to infinity, following the same periodic rule.
the range of the first orbital layer resembles a fractal structure in groups of 8 numbers that as they
emerge group all the natural numbers into 8 axes, as a result of these orbits and axes, all prime
numbers align in only 2 axes to infinity, thus revealing that these numbers that previously appeared
almost randomly on the number line, now in this orbital structure can be found on these 2 numerical
axes, thus making them predictable and calculable, making it easier to know where and when they will
appear in the sequences of natural numbers; Here we will explain how this geometric structure of the
orbital field that models the shape of this numerical distribution is proposed, after which the properties
of the generation of prime numbers and many of the behaviors that were previously considered
random or highly complex and that appear naturally in this structure are revealed, such as the
alignment of prime numbers of the form (6x±1), the Mersenne numbers and how to calculate the
amount of prime numbers in any specific interval.
Keywords: prime numbers, natural numbers, structure of natural numbers, generation of prime
numbers
Artículo recibido 09 mayo 2025
Aceptado para publicación: 11 junio 2025
pág. 3175
INTRODUCCION
En la historia, el origen de los números ha planteado muchas preguntas que buscan desentrañar si los
números son una creación humana o son un descubrimiento, ya que se ha visto que al avanzar en el
desarrollo de las matemáticas para explicar los fenómenos naturales se ha podido confirmar que estas
finalmente pueden reflejar con mucha precisión el comportamiento de la naturaleza, que estos modelos
(el natural y el matemático) reflejan el mismo resultado desde idiomas diferentes pero que
inherentemente tienen la misma raíz estructural, y esta raíz que estamos descubriendo es una
estructura intrínseca de comportamiento y evolución que controla todo el universo conocido, pero que
como en su día con los jeroglíficos egipcios que desconocíamos su significado, pero sabíamos que
reflejaban todo un universo cultural desconocido, poco a poco al buscar las relaciones y lógicas de su
mecanismo de lenguaje y con ayuda de relaciones con nuestro lenguaje moderno se pudo descubrir
como traducir todos sus mensajes culturales; así el universo tiene un lenguaje estructurado con una
lógica inherente y compuesto de partes pequeñas que al interactuar evolucionan a la complejidad que
vemos en nuestro universo, y que estas reglas de evolución, de comportamiento y de estructura, son
las mismas que vamos descubriendo con cada avance de las matemáticas haciendo la traducción a
nuestro lenguaje de todo lo que vemos y así como una traducción de un lenguaje desconocido poco a
poco se van depurando errores de interpretación para que el resultado sea más exacto y refleje a la
perfección lo que vemos en nuestro universo, por esta razón el descubrimiento matemático va
evolucionando, ajustando sus reglas para que sea cada vez más fiel a los comportamientos naturales.
Una de esas estructuras naturales mostradas en nuestras matemáticas son las que organizan los
números primos, estos números que tienen una estructura hasta ahora desconocida cuyas reglas
estamos todavía ajustando haciendo evolucionar nuestras teorías, para que podamos reflejar con
perfección su comportamiento en toda la recta numérica hasta el infinito; así desde hace muchos años
buscamos explicar el comportamiento de su naturaleza en toda su complejidad en la teoría de números
y las matemáticas de los números primos (Eratóstenes, Mersenne, Euler, Fermat, Gauss, Goldbach,
Riemann, Ulam, Ramanujan Hardy, etc…)1[1]-[16], todos ellos han podido demostrar que los números
primos tal como los conocemos, llevan inherentes una complejidad, que refleja una estructura
emergente que son como las costuras de la organización numérica entera y que al unir esas costuras
INTRODUCCION
En la historia, el origen de los números ha planteado muchas preguntas que buscan desentrañar si los
números son una creación humana o son un descubrimiento, ya que se ha visto que al avanzar en el
desarrollo de las matemáticas para explicar los fenómenos naturales se ha podido confirmar que estas
finalmente pueden reflejar con mucha precisión el comportamiento de la naturaleza, que estos modelos
(el natural y el matemático) reflejan el mismo resultado desde idiomas diferentes pero que
inherentemente tienen la misma raíz estructural, y esta raíz que estamos descubriendo es una
estructura intrínseca de comportamiento y evolución que controla todo el universo conocido, pero que
como en su día con los jeroglíficos egipcios que desconocíamos su significado, pero sabíamos que
reflejaban todo un universo cultural desconocido, poco a poco al buscar las relaciones y lógicas de su
mecanismo de lenguaje y con ayuda de relaciones con nuestro lenguaje moderno se pudo descubrir
como traducir todos sus mensajes culturales; así el universo tiene un lenguaje estructurado con una
lógica inherente y compuesto de partes pequeñas que al interactuar evolucionan a la complejidad que
vemos en nuestro universo, y que estas reglas de evolución, de comportamiento y de estructura, son
las mismas que vamos descubriendo con cada avance de las matemáticas haciendo la traducción a
nuestro lenguaje de todo lo que vemos y así como una traducción de un lenguaje desconocido poco a
poco se van depurando errores de interpretación para que el resultado sea más exacto y refleje a la
perfección lo que vemos en nuestro universo, por esta razón el descubrimiento matemático va
evolucionando, ajustando sus reglas para que sea cada vez más fiel a los comportamientos naturales.
Una de esas estructuras naturales mostradas en nuestras matemáticas son las que organizan los
números primos, estos números que tienen una estructura hasta ahora desconocida cuyas reglas
estamos todavía ajustando haciendo evolucionar nuestras teorías, para que podamos reflejar con
perfección su comportamiento en toda la recta numérica hasta el infinito; así desde hace muchos años
buscamos explicar el comportamiento de su naturaleza en toda su complejidad en la teoría de números
y las matemáticas de los números primos (Eratóstenes, Mersenne, Euler, Fermat, Gauss, Goldbach,
Riemann, Ulam, Ramanujan Hardy, etc…)1[1]-[16], todos ellos han podido demostrar que los números
primos tal como los conocemos, llevan inherentes una complejidad, que refleja una estructura
emergente que son como las costuras de la organización numérica entera y que al unir esas costuras
pág. 3176
podremos ver como en realidad es la organización de los números naturales que sirven como base al
universo para toda la complejidad de las leyes físicas que encierran a nuestro propio universo y que
estamos plasmando e interpretando con estos grafos numéricos.
Para vislumbrar un poco de esta propiedad inherente oculta del universo y siguiendo este
planteamiento que refleja los comportamientos observados en los números, es necesario prestar mucha
atención a los patrones que los propios números nos están mostrando en sus elementos básicos, que
revelan su propia estructura interna.
Tomando en cuenta lo anterior y sabiendo que los números primos son los bloques que constituyen
todos los números [2], (y como en cualquier construcción los patrones básicos son los más importantes
ya que son los que constituyen el todo), analizaremos los patrones que forman estos para poder
desvelar sus propiedades; y sabiendo que la factorización determina un paso importante en su
formación, las secuencias de factorización de los números naturales son la base de su estructura, lo que
nos lleva a analizar la secuencia exponencial de la base de factorización más pequeña que es el
numero 2.[4]
METODOLOGÍA
Secuencia de factorización
La recta numérica básica consiste en la secuencia de los números naturales enteros de la forma N+1, y
siguiendo esta estructura se organizan todos los números enteros hasta el infinito, pero como sabemos
y si observamos un poco la aparición de los números pares, reconocemos que todos estos son factores
exponenciales del numero 2 multiplicado por un numero primo, así vamos notando que el numero 2
aparece en todos los números pares enteros con un exponente y un primo multiplicando, ahora si
aislamos solo esta parte de factorización de base 2 de los números pares veremos que la secuencia del
exponente del numero 2 comienza a presentar un patrón de repetición base cada 3 números pares,
comenzando con la base 1,2,1 y en el cuarto numero par esta secuencia avanza una unidad, pasando a
una siguiente capa de ciclo anidado más amplia que repite la secuencia base de 1,2,1 dos veces
anidada, para continuar con esta segunda capa 3,4,3 dando asi a una secuencia de capas que se van
ampliando desde la base del 1,2,1 siguiendo con el 3, 4, 3, después 5, 6, 5 etc… continuando en
expansión exponencial hasta el infinito, esto nos vislumbra que hay un ciclo cerrado de 3 unidades
podremos ver como en realidad es la organización de los números naturales que sirven como base al
universo para toda la complejidad de las leyes físicas que encierran a nuestro propio universo y que
estamos plasmando e interpretando con estos grafos numéricos.
Para vislumbrar un poco de esta propiedad inherente oculta del universo y siguiendo este
planteamiento que refleja los comportamientos observados en los números, es necesario prestar mucha
atención a los patrones que los propios números nos están mostrando en sus elementos básicos, que
revelan su propia estructura interna.
Tomando en cuenta lo anterior y sabiendo que los números primos son los bloques que constituyen
todos los números [2], (y como en cualquier construcción los patrones básicos son los más importantes
ya que son los que constituyen el todo), analizaremos los patrones que forman estos para poder
desvelar sus propiedades; y sabiendo que la factorización determina un paso importante en su
formación, las secuencias de factorización de los números naturales son la base de su estructura, lo que
nos lleva a analizar la secuencia exponencial de la base de factorización más pequeña que es el
numero 2.[4]
METODOLOGÍA
Secuencia de factorización
La recta numérica básica consiste en la secuencia de los números naturales enteros de la forma N+1, y
siguiendo esta estructura se organizan todos los números enteros hasta el infinito, pero como sabemos
y si observamos un poco la aparición de los números pares, reconocemos que todos estos son factores
exponenciales del numero 2 multiplicado por un numero primo, así vamos notando que el numero 2
aparece en todos los números pares enteros con un exponente y un primo multiplicando, ahora si
aislamos solo esta parte de factorización de base 2 de los números pares veremos que la secuencia del
exponente del numero 2 comienza a presentar un patrón de repetición base cada 3 números pares,
comenzando con la base 1,2,1 y en el cuarto numero par esta secuencia avanza una unidad, pasando a
una siguiente capa de ciclo anidado más amplia que repite la secuencia base de 1,2,1 dos veces
anidada, para continuar con esta segunda capa 3,4,3 dando asi a una secuencia de capas que se van
ampliando desde la base del 1,2,1 siguiendo con el 3, 4, 3, después 5, 6, 5 etc… continuando en
expansión exponencial hasta el infinito, esto nos vislumbra que hay un ciclo cerrado de 3 unidades
pág. 3177
formando una especie de orbital espiral que se va perpetuando para crear todos los números enteros.
Si revisamos el comportamiento de la secuencia de exponentes de la factorización de base 2 de la recta
numérica, se genera un patrón en los exponentes factorizados, tal como se muestra en la figura 1.
Fig. 1. Patrón de secuencia de exponentes de factorización del 2, revelando secuencia en capas
correspondiente a capa cero o básica 1-2-1, primera capa 3-4-3 segunda capa 5-6-5 y siguiendo así en
toda la recta numérica.
Los exponentes de factorización del 2, presentan un patrón en capas que se repiten en una secuencia
infinita en factor de m+2 (m=valor del exponente) de la capa siguiente de exponentes, esto significa
que en la capa cero la secuencia siempre es 1-2-1, a continuación, se presenta la primera capa como 3-
4-3, y la siguiente 5-6-5 y así hasta continuar por toda la progresión de los números naturales.
Esto que parece tan lógico e intuitivo tiene un trasfondo mucho más profundo que desvela una
característica de estas propiedades ocultas del sistema numérico, primero se ve claramente que los
patrones se repiten en grupos de 3 y que en los puntos intermedios a estos se encuentran los números
primos.
Modelo de capas de exponentes orbitales
Si seguimos este patrón de agrupación de 3 elementos y lo representamos geométricamente por la
forma básica de mayor estabilidad y menor complejidad que es el triangulo, y enrollamos la recta
numérica en su contorno desde el primer vértice con el numero 2 y agrupando sus vértices según el
ciclo básico de secuencia de capa cero de exponentes 1(2)-2(4)-1(6), quedara como se muestra en la
figura 2.
formando una especie de orbital espiral que se va perpetuando para crear todos los números enteros.
Si revisamos el comportamiento de la secuencia de exponentes de la factorización de base 2 de la recta
numérica, se genera un patrón en los exponentes factorizados, tal como se muestra en la figura 1.
Fig. 1. Patrón de secuencia de exponentes de factorización del 2, revelando secuencia en capas
correspondiente a capa cero o básica 1-2-1, primera capa 3-4-3 segunda capa 5-6-5 y siguiendo así en
toda la recta numérica.
Los exponentes de factorización del 2, presentan un patrón en capas que se repiten en una secuencia
infinita en factor de m+2 (m=valor del exponente) de la capa siguiente de exponentes, esto significa
que en la capa cero la secuencia siempre es 1-2-1, a continuación, se presenta la primera capa como 3-
4-3, y la siguiente 5-6-5 y así hasta continuar por toda la progresión de los números naturales.
Esto que parece tan lógico e intuitivo tiene un trasfondo mucho más profundo que desvela una
característica de estas propiedades ocultas del sistema numérico, primero se ve claramente que los
patrones se repiten en grupos de 3 y que en los puntos intermedios a estos se encuentran los números
primos.
Modelo de capas de exponentes orbitales
Si seguimos este patrón de agrupación de 3 elementos y lo representamos geométricamente por la
forma básica de mayor estabilidad y menor complejidad que es el triangulo, y enrollamos la recta
numérica en su contorno desde el primer vértice con el numero 2 y agrupando sus vértices según el
ciclo básico de secuencia de capa cero de exponentes 1(2)-2(4)-1(6), quedara como se muestra en la
figura 2.
pág. 3178
Fig. 2. Enrollamiento de la recta numérica, según patrón triangular encontrado en la secuencia de
factorización en la capa cero de exponentes 1-2-1.
Siguiendo este patrón encontrado y considerando que esta secuencia se repite y se enrolla en orbitas
triangulares cíclicas consecutivas y sobrepuestas, se va formando una estructura de números que va
agrupando los números primos y todos los demás números en grupos consecutivos de elementos n+6.
Para poder ver esta formación más claramente después de la primer orbita triangular (números del 2-7)
se continua con el numero 8 pero considerándolo en una segunda orbita separada de la primera con
una unidad, y sin olvidar que a este número 8 (primer número de la primera capa 3-4-3) le
corresponde posicionalmente el mismo vértice del numero 2, este primer ciclo de la primera capa
termina en el número 32 (primer número de la segunda capa 5-6-5). En general se puede ver que la
capa cero o base 1-2-1, crea las orbitas triangulares de todo el campo numérico y los múltiplos del 8
marca los puntos de las capas, así se genera una espiral de orbitas triangulares alrededor del primer
generador, manteniendo el patrón de secuencia encontrado a largo de todos los números, como se ve
en la Figura 3.
Fig. 2. Enrollamiento de la recta numérica, según patrón triangular encontrado en la secuencia de
factorización en la capa cero de exponentes 1-2-1.
Siguiendo este patrón encontrado y considerando que esta secuencia se repite y se enrolla en orbitas
triangulares cíclicas consecutivas y sobrepuestas, se va formando una estructura de números que va
agrupando los números primos y todos los demás números en grupos consecutivos de elementos n+6.
Para poder ver esta formación más claramente después de la primer orbita triangular (números del 2-7)
se continua con el numero 8 pero considerándolo en una segunda orbita separada de la primera con
una unidad, y sin olvidar que a este número 8 (primer número de la primera capa 3-4-3) le
corresponde posicionalmente el mismo vértice del numero 2, este primer ciclo de la primera capa
termina en el número 32 (primer número de la segunda capa 5-6-5). En general se puede ver que la
capa cero o base 1-2-1, crea las orbitas triangulares de todo el campo numérico y los múltiplos del 8
marca los puntos de las capas, así se genera una espiral de orbitas triangulares alrededor del primer
generador, manteniendo el patrón de secuencia encontrado a largo de todos los números, como se ve
en la Figura 3.
pág. 3179
Fig. 3. Estructura de los primeros ciclos orbitales de las 2 primeras capas numéricas del patrón de
exponentes 1-2-1, 3-4-3.
Propiedades emergentes de números primos
Se puede ver en la figura 3, que comienzan a emerger propiedades auto-organizadas; de las más
evidentes, la primera es que los números se alinean en 6 ejes que tienen una secuencia coherente de 6
en 6, y se puede notar que en el eje de números del 5 y del 7 se comienzan a ubicar todos los números
primos alternadamente en una y en la otra recta; esto es muy importante ya que con esta propiedad
emergente se valida la conjetura de que todos los primos se pueden escribir de la forma y = 6x + 1, y =
6x – 1, (que ya es conocida anteriormente en la teoría de números primos), así comprobamos con esta
estructura que en el eje del numero 5 se alinean todos los números primos de la forma y=6x-1, y en el
eje del numero 7 se alinean todos los números primos de la forma y=6x+1, y esto continua en estos
ejes hasta el infinito. Como se puede ver con más detalle en la figura 4.
Fig. 3. Estructura de los primeros ciclos orbitales de las 2 primeras capas numéricas del patrón de
exponentes 1-2-1, 3-4-3.
Propiedades emergentes de números primos
Se puede ver en la figura 3, que comienzan a emerger propiedades auto-organizadas; de las más
evidentes, la primera es que los números se alinean en 6 ejes que tienen una secuencia coherente de 6
en 6, y se puede notar que en el eje de números del 5 y del 7 se comienzan a ubicar todos los números
primos alternadamente en una y en la otra recta; esto es muy importante ya que con esta propiedad
emergente se valida la conjetura de que todos los primos se pueden escribir de la forma y = 6x + 1, y =
6x – 1, (que ya es conocida anteriormente en la teoría de números primos), así comprobamos con esta
estructura que en el eje del numero 5 se alinean todos los números primos de la forma y=6x-1, y en el
eje del numero 7 se alinean todos los números primos de la forma y=6x+1, y esto continua en estos
ejes hasta el infinito. Como se puede ver con más detalle en la figura 4.
pág. 3180
Fig. 4. Detalle de la estructura de los números primos alineados en los 2 ejes de la forma (6x±1), un
eje corresponde al 5 y el otro eje corresponde al 7.
Primos de Mersenne
Siguiendo con este patrón de la estructura básica y de su secuencia de ordenación, se observa en la
figura 3, que la primer capa del ciclo (3-4-3)(marcados en rojo), tiene su primer miembro en el número
8 (3), el siguiente aparece en el numero 16 (4) y su ultimo aparece en el numero 24 (3) completando el
primer ciclo orbital de la primer capa numérica; cada uno de estos elementos se han ubicado en un
vértice de la orbital triangular correspondiente y avanzando en sentido horario (+) de las manecillas
del reloj, este ciclo orbital de primer capa termina en el numero 32, que corresponde al primer número
de la segunda capa (5-6-5)(marcado en verde), esta secuencia se repite a todo lo largo de la estructura
y de esto emerge un patrón para poder calcular el miembro inicial de cada primer ciclo de cada capa
que aparece, con la siguiente formula (1).
N = 8 [4ᶜ ־¹] (1)
N - primer número de la capa de exponentes
c - capa de exponentes (con c ≥ 1)
Resolviendo la ecuación (1), para la primera capa de exponente tenemos que N es 8, para la segunda
capa N es 32, y así se obtienen los siguientes números para la ubicación del primer miembro de todas
las capas; en la Tabla I, se colocan los N de las 15 primeras capas.
Fig. 4. Detalle de la estructura de los números primos alineados en los 2 ejes de la forma (6x±1), un
eje corresponde al 5 y el otro eje corresponde al 7.
Primos de Mersenne
Siguiendo con este patrón de la estructura básica y de su secuencia de ordenación, se observa en la
figura 3, que la primer capa del ciclo (3-4-3)(marcados en rojo), tiene su primer miembro en el número
8 (3), el siguiente aparece en el numero 16 (4) y su ultimo aparece en el numero 24 (3) completando el
primer ciclo orbital de la primer capa numérica; cada uno de estos elementos se han ubicado en un
vértice de la orbital triangular correspondiente y avanzando en sentido horario (+) de las manecillas
del reloj, este ciclo orbital de primer capa termina en el numero 32, que corresponde al primer número
de la segunda capa (5-6-5)(marcado en verde), esta secuencia se repite a todo lo largo de la estructura
y de esto emerge un patrón para poder calcular el miembro inicial de cada primer ciclo de cada capa
que aparece, con la siguiente formula (1).
N = 8 [4ᶜ ־¹] (1)
N - primer número de la capa de exponentes
c - capa de exponentes (con c ≥ 1)
Resolviendo la ecuación (1), para la primera capa de exponente tenemos que N es 8, para la segunda
capa N es 32, y así se obtienen los siguientes números para la ubicación del primer miembro de todas
las capas; en la Tabla I, se colocan los N de las 15 primeras capas.
pág. 3181
Tabla I. N De Las 15 Primeras Capas De Exponente
En la Figura 5, podemos ver en el eje del 2, los puntos donde aparecen los 3 primeros puntos
calculados N, el inicio de la primera capa (en rojo, 8), segunda capa (en verde, 32), tercera capa (en
azul, 128) y así consecutivamente aparecerán sobre este eje todos los demás N hasta el infinito. Otra
característica que surge es que el campo de orbitales de la capa básica cero (1-2-1), se complementa
con el orbital de los puntos de los múltiplos de 8, que marcan los puntos de todas las capas y sus
límites en todo el campo orbital.
Siguiendo el patrón observado, podemos ver que todos estos primeros números de capa de exponente
surgen alineados en el eje del 2.
Comparando más a fondo estos números resultantes, vemos emerger una propiedad que nos permite
validar la secuencia de los números primos de la forma de Mersenne del tipo (2p -1), (si a N le
restamos 1 para ubicarlo en el eje del 7) el resultado es que todos los N-1 de la tabla concuerdan con
los números de Mersenne, a continuación se colocan los primeros 11 primos de Mersenne y a su
correspondiente capa de exponente N-1: capa 1(mersenne 7), 2(31), 3(127), 6(8191), 8(131071),
9(524287), 15(2147483647), 30(2.30584300E+18), 44(6.18970019 E+26), 53(1.62259276 E+32)[7];
por lo anterior se puede afirmar que los números primos de Mersenne corresponden a números
iníciales de las capas de exponente menos 1, y que también estos corresponden a los números primos
de la forma 6x+1 y se encontraran todos en el eje del 7.
C N
1 8
2 32
3 128
4 512
5 2048
6 8192
7 32768
8 131072
9 524288
10 2097152
11 8388608
12 33554432
13 134217728
14 536870912
15 2147483648
Tabla I. N De Las 15 Primeras Capas De Exponente
En la Figura 5, podemos ver en el eje del 2, los puntos donde aparecen los 3 primeros puntos
calculados N, el inicio de la primera capa (en rojo, 8), segunda capa (en verde, 32), tercera capa (en
azul, 128) y así consecutivamente aparecerán sobre este eje todos los demás N hasta el infinito. Otra
característica que surge es que el campo de orbitales de la capa básica cero (1-2-1), se complementa
con el orbital de los puntos de los múltiplos de 8, que marcan los puntos de todas las capas y sus
límites en todo el campo orbital.
Siguiendo el patrón observado, podemos ver que todos estos primeros números de capa de exponente
surgen alineados en el eje del 2.
Comparando más a fondo estos números resultantes, vemos emerger una propiedad que nos permite
validar la secuencia de los números primos de la forma de Mersenne del tipo (2p -1), (si a N le
restamos 1 para ubicarlo en el eje del 7) el resultado es que todos los N-1 de la tabla concuerdan con
los números de Mersenne, a continuación se colocan los primeros 11 primos de Mersenne y a su
correspondiente capa de exponente N-1: capa 1(mersenne 7), 2(31), 3(127), 6(8191), 8(131071),
9(524287), 15(2147483647), 30(2.30584300E+18), 44(6.18970019 E+26), 53(1.62259276 E+32)[7];
por lo anterior se puede afirmar que los números primos de Mersenne corresponden a números
iníciales de las capas de exponente menos 1, y que también estos corresponden a los números primos
de la forma 6x+1 y se encontraran todos en el eje del 7.
C N
1 8
2 32
3 128
4 512
5 2048
6 8192
7 32768
8 131072
9 524288
10 2097152
11 8388608
12 33554432
13 134217728
14 536870912
15 2147483648
pág. 3182
Espirales de múltiplos primos
Siguiendo con la Figura 5, también vemos que, en los ejes de los números primos, tanto en el eje del 5,
como el eje del 7
Fig. 5. Campo orbital hasta el inicio de la capa 3 (7-8-7) azul num.128; el inicio de la capa 2 (5-6-5)
verde num.32; inicio capa 1 (3-4-3) rojo num.8
comienzan a aparecer intercalados entre los números primos emergentes, números compuestos, que
son el resultado de la multiplicación de los números primos previos que aparecen en los ejes, (estos se
marcan en la Figura 5, como puntos negros entre los puntos azules primos de los ejes del 5 y del 7), su
secuencia de aparición en los ejes primos tiene relación con la espiral de generación de los múltiplos
de los primos y el momento que esta intercepta los ejes primos, en la Figura 6, se puede ver un detalle
de la espiral de múltiplos de los primos 5 y 7.
Espirales de múltiplos primos
Siguiendo con la Figura 5, también vemos que, en los ejes de los números primos, tanto en el eje del 5,
como el eje del 7
Fig. 5. Campo orbital hasta el inicio de la capa 3 (7-8-7) azul num.128; el inicio de la capa 2 (5-6-5)
verde num.32; inicio capa 1 (3-4-3) rojo num.8
comienzan a aparecer intercalados entre los números primos emergentes, números compuestos, que
son el resultado de la multiplicación de los números primos previos que aparecen en los ejes, (estos se
marcan en la Figura 5, como puntos negros entre los puntos azules primos de los ejes del 5 y del 7), su
secuencia de aparición en los ejes primos tiene relación con la espiral de generación de los múltiplos
de los primos y el momento que esta intercepta los ejes primos, en la Figura 6, se puede ver un detalle
de la espiral de múltiplos de los primos 5 y 7.
pág. 3183
Fig. 6. Detalle de espiral de múltiplos de los primos 5 (línea azul) y 7 (línea roja), lo que genera los
números compuestos en cada eje primo interceptado.
De estas espirales emerge otra propiedad la que muestra que las espirales del eje primo del 5 giran en
sentido - (anti horario) y las espirales del eje primo del 7 giran en sentido + (horario).
En la siguiente Figura 7, podemos ver las espirales de múltiplos de los primos 5, 7, 11 y 13, para
observar esta propiedad emergente extendida.
Fig. 7. Espiral de múltiplos de los primos 5 (línea azul), 7 (línea roja), 11 (línea cian), 13 (línea
magenta) observando los sentidos de giro - (eje del 5 y 11) y giro + (eje del 7 y 13).
Fig. 6. Detalle de espiral de múltiplos de los primos 5 (línea azul) y 7 (línea roja), lo que genera los
números compuestos en cada eje primo interceptado.
De estas espirales emerge otra propiedad la que muestra que las espirales del eje primo del 5 giran en
sentido - (anti horario) y las espirales del eje primo del 7 giran en sentido + (horario).
En la siguiente Figura 7, podemos ver las espirales de múltiplos de los primos 5, 7, 11 y 13, para
observar esta propiedad emergente extendida.
Fig. 7. Espiral de múltiplos de los primos 5 (línea azul), 7 (línea roja), 11 (línea cian), 13 (línea
magenta) observando los sentidos de giro - (eje del 5 y 11) y giro + (eje del 7 y 13).
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Cálculo de números compuestos de los ejes primos
Tomando en cuenta las características de las espirales de múltiplos de los primos generados de la
forma (6x±1), y sabiendo que estas espirales comienzan con el numero primo o compuesto generado
de esta forma y cruza los ejes de primos del 5 y del 7 en una proporción de repetición que cumple
también la forma (6x±1); esta propiedad emergente nos permite saber cuántos números compuestos
hay en un intervalo de números especifico sobre los ejes de primos, así restando estos números
compuestos del total de los números alineados en estos 2 ejes primos podemos saber cuántos números
primos en total hay en este intervalo especifico.
Con lo dicho anteriormente podemos formular un proceso para extraer todos los números primos en un
intervalo especifico, (tomando en cuenta que en cada orbita se generan 2 números primos o
compuestos en el eje 5 y eje 7) y para conocer el numero de orbitas en un intervalo especifico desde
X1 a X2, primero calculamos σ1 = X1/6 y σ2 = X2/6, y el numero entero obtenido corresponde al orbital
σ de cada uno, después aplicamos (2), (3)
X1´= 6σ1-1 (2)
X2´= 6σ2+1 (3)
Así se obtienen, el número normalizado más pequeño y el más grande del intervalo estudiado.
Después encontraremos el número más grande M de la forma (6x+1) que cruzara los ejes primos en
este intervalo normalizado con la ecuación (4), sin que se repitan los cruces o que sea un numero
compuesto.
M = (X2´) 1/2 (4)
Este número M corresponde al último multiplicador que cruza los ejes primos que se tendrá en el
intervalo normalizado seleccionado. Por lo cual M y todos los números previos a M de la forma
(6x±1), serán las espirales de múltiplos que cruzan los ejes primos creando los compuestos que se
alinean en estos ejes.
Para determinar el número de cruces que hace cada espiral en los 2 ejes primos, dividimos X1´ y X2´
por cada uno de los números de la forma (6x±1) desde 5 hasta M; cada par de resultados de las
divisiones obtenidas en X1´ y X2´, genera un intervalo con los enteros del resultado de las divisiones (i,
j), este intervalo corresponde a todos los números que multiplican a los numero iguales y previos al
Cálculo de números compuestos de los ejes primos
Tomando en cuenta las características de las espirales de múltiplos de los primos generados de la
forma (6x±1), y sabiendo que estas espirales comienzan con el numero primo o compuesto generado
de esta forma y cruza los ejes de primos del 5 y del 7 en una proporción de repetición que cumple
también la forma (6x±1); esta propiedad emergente nos permite saber cuántos números compuestos
hay en un intervalo de números especifico sobre los ejes de primos, así restando estos números
compuestos del total de los números alineados en estos 2 ejes primos podemos saber cuántos números
primos en total hay en este intervalo especifico.
Con lo dicho anteriormente podemos formular un proceso para extraer todos los números primos en un
intervalo especifico, (tomando en cuenta que en cada orbita se generan 2 números primos o
compuestos en el eje 5 y eje 7) y para conocer el numero de orbitas en un intervalo especifico desde
X1 a X2, primero calculamos σ1 = X1/6 y σ2 = X2/6, y el numero entero obtenido corresponde al orbital
σ de cada uno, después aplicamos (2), (3)
X1´= 6σ1-1 (2)
X2´= 6σ2+1 (3)
Así se obtienen, el número normalizado más pequeño y el más grande del intervalo estudiado.
Después encontraremos el número más grande M de la forma (6x+1) que cruzara los ejes primos en
este intervalo normalizado con la ecuación (4), sin que se repitan los cruces o que sea un numero
compuesto.
M = (X2´) 1/2 (4)
Este número M corresponde al último multiplicador que cruza los ejes primos que se tendrá en el
intervalo normalizado seleccionado. Por lo cual M y todos los números previos a M de la forma
(6x±1), serán las espirales de múltiplos que cruzan los ejes primos creando los compuestos que se
alinean en estos ejes.
Para determinar el número de cruces que hace cada espiral en los 2 ejes primos, dividimos X1´ y X2´
por cada uno de los números de la forma (6x±1) desde 5 hasta M; cada par de resultados de las
divisiones obtenidas en X1´ y X2´, genera un intervalo con los enteros del resultado de las divisiones (i,
j), este intervalo corresponde a todos los números que multiplican a los numero iguales y previos al
pág. 3185
número M y que son de la forma (6X±1) estos deben ser mayores a i, y menores iguales a j y que están
dentro de este intervalo (i, j).
Así obtenemos todos los puntos de cruce de todas las espirales de múltiplos (CE) que pasan por los ejes
primos en todo el intervalo indicado, por X1´ y X2´; ahora se deben encontrar todos los números del eje
del intervalo que multiplicados entre ellos (CM) han generado un cruce en los ejes primos; para esto
teniendo los puntos de cruce de cada espiral de múltiplos, seleccionamos solo los múltiplos que sean
mayores iguales al número de la espiral, y que no sean múltiplos entre ellos y esto lo hacemos en
todas las espirales con lo cual tendremos todos los puntos de multiplicación que están en el eje de los
primos.
Para saber cuántos primos en total (nP) hay en el intervalo X1´ y X2´, aplicamos (5).
nP = [2 [(σ2- σ1) + 1]] – (CE - CM ) (5)
Con la anterior ecuación (5) determinamos cuantos números primos hay en el intervalo X1´ y X2´, y
para determinar cuántos números compuestos (nCc) hay en ese mismo intervalo, aplicamos (6)
nCc = (CE - CM ) (6)
Para conocer cuáles son estos números compuestos, se debe multiplicar cada uno de los números
desde 5 a M por cada uno de los números de la forma (6x±1), encontrados en cada intervalo (i,j), y así
se obtienen todos los números compuestos entre el intervalo X1´ y X2´.
RESULTADOS
Después de lo expuesto anteriormente se puede confirmar que en general la estructura en que se
organizan todos los números enteros son orbitales en espiral ascendente hexagonal con 6 vértices, que
cada orbital comprende 6 números agrupados en capas que se repiten en ciclos que se amplían
exponencialmente y que van dando lugar a periodos cada vez más grandes, que todos los números
primos se organizan en 2 ejes (del numero 5 y del numero 7) confirmando gráficamente la conjetura
de 6X +- 1 ; esto siendo muy importante ya que solo aparecerán los números primos alineados en
estos ejes hasta el infinito y que una vez se crea un numero primo en la secuencia de este eje, parte una
espiral de múltiplos propios que según el ciclo de cada uno va cruzándose en estos 2 ejes para generar
los coprimos cuya frecuencia de aparición en estos ejes va determinada por cada múltiplo con el
siguiente primo generado, y así podemos determinar cuántos números primos aparecen en un rango
número M y que son de la forma (6X±1) estos deben ser mayores a i, y menores iguales a j y que están
dentro de este intervalo (i, j).
Así obtenemos todos los puntos de cruce de todas las espirales de múltiplos (CE) que pasan por los ejes
primos en todo el intervalo indicado, por X1´ y X2´; ahora se deben encontrar todos los números del eje
del intervalo que multiplicados entre ellos (CM) han generado un cruce en los ejes primos; para esto
teniendo los puntos de cruce de cada espiral de múltiplos, seleccionamos solo los múltiplos que sean
mayores iguales al número de la espiral, y que no sean múltiplos entre ellos y esto lo hacemos en
todas las espirales con lo cual tendremos todos los puntos de multiplicación que están en el eje de los
primos.
Para saber cuántos primos en total (nP) hay en el intervalo X1´ y X2´, aplicamos (5).
nP = [2 [(σ2- σ1) + 1]] – (CE - CM ) (5)
Con la anterior ecuación (5) determinamos cuantos números primos hay en el intervalo X1´ y X2´, y
para determinar cuántos números compuestos (nCc) hay en ese mismo intervalo, aplicamos (6)
nCc = (CE - CM ) (6)
Para conocer cuáles son estos números compuestos, se debe multiplicar cada uno de los números
desde 5 a M por cada uno de los números de la forma (6x±1), encontrados en cada intervalo (i,j), y así
se obtienen todos los números compuestos entre el intervalo X1´ y X2´.
RESULTADOS
Después de lo expuesto anteriormente se puede confirmar que en general la estructura en que se
organizan todos los números enteros son orbitales en espiral ascendente hexagonal con 6 vértices, que
cada orbital comprende 6 números agrupados en capas que se repiten en ciclos que se amplían
exponencialmente y que van dando lugar a periodos cada vez más grandes, que todos los números
primos se organizan en 2 ejes (del numero 5 y del numero 7) confirmando gráficamente la conjetura
de 6X +- 1 ; esto siendo muy importante ya que solo aparecerán los números primos alineados en
estos ejes hasta el infinito y que una vez se crea un numero primo en la secuencia de este eje, parte una
espiral de múltiplos propios que según el ciclo de cada uno va cruzándose en estos 2 ejes para generar
los coprimos cuya frecuencia de aparición en estos ejes va determinada por cada múltiplo con el
siguiente primo generado, y así podemos determinar cuántos números primos aparecen en un rango
pág. 3186
especifico de enteros, ya que podemos conocer cuántos NO primos hay en cada en cada eje primo y
así filtrar solo los primos de un intervalo especifico. También siguiendo la estructura de CAPAS se
pudo observar que el inicio de cada capa orbital corresponde a los llamados PRIMOS de
MERSENNE, y que se determino una formula con la cual podemos encontrar todos estos números
primos determinando los siguientes hasta el infinito. Y que respecto a las espirales que se van
generando y el sentido de giro de sus múltiplos se observa un balance de sentidos positivos, negativos
y neutros, que demuestran un fragmento más profundo de la creación de la naturaleza que indica que
este tipo de estructura geométrica es usada como base para la formación de todos los elementos
complejos como en la organización de los hadrones que conforman los átomos, de cómo se crean los
elementos químicos y sus isotopos, la conformación de las moléculas como el ADN, las estructuras
cristalinas de los compuestos orgánicos y muchas otras áreas que revelan esta estructura primaria de la
naturaleza.
CONCLUSIONES
Con la estructura de campo orbital que se propone, se demuestra que el patrón de enrollamiento
triangular de los números es correcto y que corresponde a la organización real de los números primos
y naturales con sus características ocultas que forman patrones secuenciales y que se pueden explorar
para explicar sus propiedades. En este escrito analizamos algunas de esas propiedades que emergen de
esta estructura, pero se vislumbran otros patrones como los sentidos de giro de las espirales de
múltiplos, la forma en que se crean las alineaciones de los ejes que no son los vértices del triangulo
(que corresponden a los ejes primos) y otras características que trataremos con más detalle en un
siguiente artículo, en donde se explora la posibilidad de que este modelo refleje también estructuras de
la física cuántica de campos de energía y de partículas.
Al final lo que se puede observar es que la naturaleza no se complica, que todas las propiedades
emergentes del universo surgen de un patrón básico establecido con unas pocas pautas sencillas que
sirven de molde para generar las leyes físicas que conocemos hasta el momento. Y aunque este
planteamiento no es nuevo, la diferencia es el punto de vista, ya que hasta hoy se parte de buscar el
patrón en lo más complejo cuando ya después de muchas interacciones los sistemas ya están en una
dinámica completa y caótica, y que hacen que la búsqueda de patrones sea demasiado compleja, por lo
especifico de enteros, ya que podemos conocer cuántos NO primos hay en cada en cada eje primo y
así filtrar solo los primos de un intervalo especifico. También siguiendo la estructura de CAPAS se
pudo observar que el inicio de cada capa orbital corresponde a los llamados PRIMOS de
MERSENNE, y que se determino una formula con la cual podemos encontrar todos estos números
primos determinando los siguientes hasta el infinito. Y que respecto a las espirales que se van
generando y el sentido de giro de sus múltiplos se observa un balance de sentidos positivos, negativos
y neutros, que demuestran un fragmento más profundo de la creación de la naturaleza que indica que
este tipo de estructura geométrica es usada como base para la formación de todos los elementos
complejos como en la organización de los hadrones que conforman los átomos, de cómo se crean los
elementos químicos y sus isotopos, la conformación de las moléculas como el ADN, las estructuras
cristalinas de los compuestos orgánicos y muchas otras áreas que revelan esta estructura primaria de la
naturaleza.
CONCLUSIONES
Con la estructura de campo orbital que se propone, se demuestra que el patrón de enrollamiento
triangular de los números es correcto y que corresponde a la organización real de los números primos
y naturales con sus características ocultas que forman patrones secuenciales y que se pueden explorar
para explicar sus propiedades. En este escrito analizamos algunas de esas propiedades que emergen de
esta estructura, pero se vislumbran otros patrones como los sentidos de giro de las espirales de
múltiplos, la forma en que se crean las alineaciones de los ejes que no son los vértices del triangulo
(que corresponden a los ejes primos) y otras características que trataremos con más detalle en un
siguiente artículo, en donde se explora la posibilidad de que este modelo refleje también estructuras de
la física cuántica de campos de energía y de partículas.
Al final lo que se puede observar es que la naturaleza no se complica, que todas las propiedades
emergentes del universo surgen de un patrón básico establecido con unas pocas pautas sencillas que
sirven de molde para generar las leyes físicas que conocemos hasta el momento. Y aunque este
planteamiento no es nuevo, la diferencia es el punto de vista, ya que hasta hoy se parte de buscar el
patrón en lo más complejo cuando ya después de muchas interacciones los sistemas ya están en una
dinámica completa y caótica, y que hacen que la búsqueda de patrones sea demasiado compleja, por lo
pág. 3187
que el planteamiento actual es partir del inicio del patrón y buscar el patrón original en las primeras
fases de creación de las estructuras y decantar las pautas básicas que son las que al final crean toda la
complejidad posterior y así dar explicación a los fenómenos complejos que observamos a nivel
experimental.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Burton W. Jones: Teoría de los números, Editorial Trillas. México D. F.
Niven- Zuckerman. Introducción a la teoría de números
Crandall, Richard (2001). Prime numbers, a computational perspective. Nueva York: Springer-
Verlag.
Hans Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. New York: Springer (1994)
Niven Zuckerman. Introducción a la teoría de numeros, (1991-1996). «Vol. II, libro IX, proposición
20.», Madrid, Editorial Gredos.
Wikipedia, encyclopedia libre online, Numeros Primos, 4 Abril 2021:
http://www.wikipedia.org/numero primo
Wikipedia, encyclopedia libre online, Numeros Primos de Mersenne, 4 Abril 2021:
http://www.wikipedia.org/primos de Mersenne
The Prime Pages: prime numbers research & records, Numeros Primos, 4 Abril 2021:
http://www.primes.utm.edu/
The Planet Math, 11 number theory, prime numbers, Numeros Primos, 4 Abril 2021:
http://www.planetmath.org/
W. H. Mills, A prime-representing function (1947) (en inglés)
Nicholas Anderson, Andrew J. Havens, Brian Hydefrost, Sean Murphy y Steve Sarasin. «Prime
Numbers and the Riemann Hypothesis»
G.N. Berman: Un paseo por la teoría de los números, Editorial URSS, Moscú 2007, pág. 207
I.S. Sominski «Método de inducción matemática» Editorial Mir, Moscú (1985) segunda edición
Arnaldez, Roger y otros (1988). Las antiguas ciencias del Oriente. Barcelona: Ediciones Orbis S.A.
Planetmath.org. «History of prime numbers.»
que el planteamiento actual es partir del inicio del patrón y buscar el patrón original en las primeras
fases de creación de las estructuras y decantar las pautas básicas que son las que al final crean toda la
complejidad posterior y así dar explicación a los fenómenos complejos que observamos a nivel
experimental.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Burton W. Jones: Teoría de los números, Editorial Trillas. México D. F.
Niven- Zuckerman. Introducción a la teoría de números
Crandall, Richard (2001). Prime numbers, a computational perspective. Nueva York: Springer-
Verlag.
Hans Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. New York: Springer (1994)
Niven Zuckerman. Introducción a la teoría de numeros, (1991-1996). «Vol. II, libro IX, proposición
20.», Madrid, Editorial Gredos.
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http://www.wikipedia.org/numero primo
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http://www.wikipedia.org/primos de Mersenne
The Prime Pages: prime numbers research & records, Numeros Primos, 4 Abril 2021:
http://www.primes.utm.edu/
The Planet Math, 11 number theory, prime numbers, Numeros Primos, 4 Abril 2021:
http://www.planetmath.org/
W. H. Mills, A prime-representing function (1947) (en inglés)
Nicholas Anderson, Andrew J. Havens, Brian Hydefrost, Sean Murphy y Steve Sarasin. «Prime
Numbers and the Riemann Hypothesis»
G.N. Berman: Un paseo por la teoría de los números, Editorial URSS, Moscú 2007, pág. 207
I.S. Sominski «Método de inducción matemática» Editorial Mir, Moscú (1985) segunda edición
Arnaldez, Roger y otros (1988). Las antiguas ciencias del Oriente. Barcelona: Ediciones Orbis S.A.
Planetmath.org. «History of prime numbers.»
pág. 3188
Guy, Richard K. (1981), Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag., problema A3, pp.
7–8.
Guy, Richard K. (1981), Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag., problema A3, pp.
7–8.