pág. 0
SUPERGRAVEDAD CUÁNTICA RELATIVISTA.
TEORIZACIÓN INICIAL
RELATIVISTIC QUANTUM SUPERGRAVITY. INITIAL
THEORIZATION
Manuel Ignacio Albuja Bustamante
Investigador independiente
pág. 1
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v9i4.18474
Supergravedad cuántica relativista. Teorización inicial
Manuel Ignacio Albuja Bustamante1
ignaciomanuelalbujabustamante@gmail.com
Investigador independiente
RESUMEN
La supergravedad cuántica, en contraposición a la gravedad cuántica, es un estado del espacio – tiempo
cuántico, en el que, una partícula oscura o una partícula estrella, deforman hipergeométricamente el
referido espacio, provocando agujeros negros cuánticos, a razón de su aniquilación o colapso
gravitacional, o en su defecto o simultáneamente, provocando D – dimensiones, en los que es
perfectamente posible la transformación y desplazamiento de materia y energía, de un punto a otro, en
dimensiones distintas, es decir, por fuera de la dimensión en ℝ4. En este punto, la dimensión del tiempo
es maleable a razón de la supergravedad. La dualidad holográfica, es una de las principales
características de este fenómeno, en la medida en que, si bien se tratan de desdoblamientos espaciales,
las leyes de la física no son las mismas, lo que al contrario ocurre con la gravedad cuántica. En este
artículo, me propongo sentar bases formales de la supergravedad cuántica, la misma que, puede ser
endógena o exógena, al tenor de las premisas fundamentales contenidas en la Teoría Cuántica de
Campos Relativistas o Curvos, formulada por este autor en trabajos anteriores. Este trabajo, al igual que
los anteriores y paralelos, se conciben como un intento de unificación.
Palabras clave: supergravedad cuántica, partícula estrella, partícula oscura, supermembranas,
supersimetría de gauge, supersimetría de Yang – Mills
1 Autor principal
Correspondencia: ignaciomanuelalbujabustamante@gmail.com
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v9i4.18474
Supergravedad cuántica relativista. Teorización inicial
Manuel Ignacio Albuja Bustamante1
ignaciomanuelalbujabustamante@gmail.com
Investigador independiente
RESUMEN
La supergravedad cuántica, en contraposición a la gravedad cuántica, es un estado del espacio – tiempo
cuántico, en el que, una partícula oscura o una partícula estrella, deforman hipergeométricamente el
referido espacio, provocando agujeros negros cuánticos, a razón de su aniquilación o colapso
gravitacional, o en su defecto o simultáneamente, provocando D – dimensiones, en los que es
perfectamente posible la transformación y desplazamiento de materia y energía, de un punto a otro, en
dimensiones distintas, es decir, por fuera de la dimensión en ℝ4. En este punto, la dimensión del tiempo
es maleable a razón de la supergravedad. La dualidad holográfica, es una de las principales
características de este fenómeno, en la medida en que, si bien se tratan de desdoblamientos espaciales,
las leyes de la física no son las mismas, lo que al contrario ocurre con la gravedad cuántica. En este
artículo, me propongo sentar bases formales de la supergravedad cuántica, la misma que, puede ser
endógena o exógena, al tenor de las premisas fundamentales contenidas en la Teoría Cuántica de
Campos Relativistas o Curvos, formulada por este autor en trabajos anteriores. Este trabajo, al igual que
los anteriores y paralelos, se conciben como un intento de unificación.
Palabras clave: supergravedad cuántica, partícula estrella, partícula oscura, supermembranas,
supersimetría de gauge, supersimetría de Yang – Mills
1 Autor principal
Correspondencia: ignaciomanuelalbujabustamante@gmail.com
pág. 2
Relativistic quantum supergravity. Initial theorization
ABSTRACT
Quantum supergravity, as opposed to quantum gravity, is a state of quantum space-time, in which a dark
particle or a star particle hypergeometrically deforms the aforementioned space, causing quantum black
holes, due to their annihilation or gravitational collapse, or failing that or simultaneously, causing D-
dimensions, in which the transformation and displacement of matter and energy is perfectly possible.
from one point to another, in different dimensions, that is, outside the dimension in ℝ4. At this point,
the dimension of time is malleable due to supergravity. Holographic duality is one of the main
characteristics of this phenomenon, insofar as, although they are spatial splittings, the laws of physics
are not the same, which is the opposite of quantum gravity. In this article, I propose to lay the formal
foundations of quantum supergravity, which can be endogenous or exogenous, according to the
fundamental premises contained in the Quantum Theory of Relativistic or Curved Fields, formulated by
this author in previous works. This work, like the previous and parallel ones, is conceived as an attempt
at unification.
Keywords: quantum supergravity, star particle, dark particle, supermembranes, gauge supersymmetry,
yang-mills supersymmetry.
Artículo recibido 07 mayo 2025
Aceptado para publicación: 11 junio 2025
Relativistic quantum supergravity. Initial theorization
ABSTRACT
Quantum supergravity, as opposed to quantum gravity, is a state of quantum space-time, in which a dark
particle or a star particle hypergeometrically deforms the aforementioned space, causing quantum black
holes, due to their annihilation or gravitational collapse, or failing that or simultaneously, causing D-
dimensions, in which the transformation and displacement of matter and energy is perfectly possible.
from one point to another, in different dimensions, that is, outside the dimension in ℝ4. At this point,
the dimension of time is malleable due to supergravity. Holographic duality is one of the main
characteristics of this phenomenon, insofar as, although they are spatial splittings, the laws of physics
are not the same, which is the opposite of quantum gravity. In this article, I propose to lay the formal
foundations of quantum supergravity, which can be endogenous or exogenous, according to the
fundamental premises contained in the Quantum Theory of Relativistic or Curved Fields, formulated by
this author in previous works. This work, like the previous and parallel ones, is conceived as an attempt
at unification.
Keywords: quantum supergravity, star particle, dark particle, supermembranes, gauge supersymmetry,
yang-mills supersymmetry.
Artículo recibido 07 mayo 2025
Aceptado para publicación: 11 junio 2025
pág. 3
INTRODUCCIÓN.
Existe una diferencia sustancial entre gravedad cuántica y supergravedad cuántica, pues la primera (GC)
consiste esencialmente en la deformación del espacio – tiempo cuántico, a propósito de las interacciones
y simetría fija o corregida de una partícula supermasiva que a razón de su masa y energía, esto es, de su
centro de materia – energía, curva geométricamente el plano cuántico en el que se propaga
vectorialmente y lo torsiona o tuerce, cuya matematización es puramente tensorial y geométrica, esto, a
raíz de un espacio de Hilbert – Einstein y una superficie de Riemann, sin que por esto, se produzcan
pluridimensiones de gauge. Asimismo, la gravedad cuántica (GC), se desarrolla o cumple los parámetros
anteriores, cuando una hiperpartícula, con o sin masa, se aproxima, iguala o supera la velocidad de la
luz (momentum), por lo que, en cualquiera de los casos anteriores, el resultado es la formación de la
curvatura de Dirac del espacio – tiempo cuántico en el que interactúa, lo que sería el caso del taquión,
partícula hipotética que cumple esta descripción. En cuanto a la gravedad cuántica se refiere, la dualidad
holográfica se tiene por inexistente, lo que implica, que para el espacio – tiempo cuántico deformado
geométricamente, operan las mismas leyes de la física cuántica, pues se trata de la misma dimensión en
ℝ4. Ahora bien, la supergravedad cuántica, en contrario a la gravedad cuántica, comporta las siguientes
características: 1) el espacio – tiempo cuántico se deforma hipergeométricamente; 2) comporta la
existencia de D – dimensiones, esto es, supermembranas y por ende, superespacios; 3) comporta la
existencia de agujeros negros cuánticos masivos o supermasivos, según sea el caso; provocados por
aniquilación entre dos partículas supermasivas, una partícula supermasiva y otra partícula repercutida o
por colisión, según las categorías antes referidas; 4) comporta la existencia de supersimetrías de gauge
en invariancia o covariancia; 5) comporta la existencia de dualidad holográfica; 6) la deformación del
espacio – tiempo cuántico opera por una partícula oscura o una partícula estrella, siendo la primera,
aquella que es extremadamente densa pero su energía – momentum es inferior, en tanto que la segunda,
es aquella cuya masa es extremadamente densa al igual que su energía – momentum, por lo que, su
colapso o aniquilación, genera radiación. Sin perjuicio de lo anterior, ambos tipos de gravedad, surgen
de forma endógena o exógena, según corresponda. En este artículo, abordaremos específicamente la
supergravedad cuántica.
INTRODUCCIÓN.
Existe una diferencia sustancial entre gravedad cuántica y supergravedad cuántica, pues la primera (GC)
consiste esencialmente en la deformación del espacio – tiempo cuántico, a propósito de las interacciones
y simetría fija o corregida de una partícula supermasiva que a razón de su masa y energía, esto es, de su
centro de materia – energía, curva geométricamente el plano cuántico en el que se propaga
vectorialmente y lo torsiona o tuerce, cuya matematización es puramente tensorial y geométrica, esto, a
raíz de un espacio de Hilbert – Einstein y una superficie de Riemann, sin que por esto, se produzcan
pluridimensiones de gauge. Asimismo, la gravedad cuántica (GC), se desarrolla o cumple los parámetros
anteriores, cuando una hiperpartícula, con o sin masa, se aproxima, iguala o supera la velocidad de la
luz (momentum), por lo que, en cualquiera de los casos anteriores, el resultado es la formación de la
curvatura de Dirac del espacio – tiempo cuántico en el que interactúa, lo que sería el caso del taquión,
partícula hipotética que cumple esta descripción. En cuanto a la gravedad cuántica se refiere, la dualidad
holográfica se tiene por inexistente, lo que implica, que para el espacio – tiempo cuántico deformado
geométricamente, operan las mismas leyes de la física cuántica, pues se trata de la misma dimensión en
ℝ4. Ahora bien, la supergravedad cuántica, en contrario a la gravedad cuántica, comporta las siguientes
características: 1) el espacio – tiempo cuántico se deforma hipergeométricamente; 2) comporta la
existencia de D – dimensiones, esto es, supermembranas y por ende, superespacios; 3) comporta la
existencia de agujeros negros cuánticos masivos o supermasivos, según sea el caso; provocados por
aniquilación entre dos partículas supermasivas, una partícula supermasiva y otra partícula repercutida o
por colisión, según las categorías antes referidas; 4) comporta la existencia de supersimetrías de gauge
en invariancia o covariancia; 5) comporta la existencia de dualidad holográfica; 6) la deformación del
espacio – tiempo cuántico opera por una partícula oscura o una partícula estrella, siendo la primera,
aquella que es extremadamente densa pero su energía – momentum es inferior, en tanto que la segunda,
es aquella cuya masa es extremadamente densa al igual que su energía – momentum, por lo que, su
colapso o aniquilación, genera radiación. Sin perjuicio de lo anterior, ambos tipos de gravedad, surgen
de forma endógena o exógena, según corresponda. En este artículo, abordaremos específicamente la
supergravedad cuántica.
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RESULTADOS Y DISCUSIÓN.
Supergravedad cuántica. Modelo Matemático.
Cálculos preliminares para campos superplanckianos.
𝑚2 = 𝐽
𝛼′
𝑠 = −(𝑝1 + 𝑝2)2 , 𝑡 = −(𝑝2 + 𝑝3)2 , 𝑢 = −(𝑝1 + 𝑝3)2
𝐴𝐽(𝑠, 𝑡) ∼ (−𝑠)𝐽
𝑡 − 𝑀2
𝐴(𝑠, 𝑡) = Γ(−𝛼(𝑠))Γ(−𝛼(𝑡))
Γ(−𝛼(𝑠) − 𝛼(𝑡))
𝛼(𝑠) = 𝛼(0) + 𝛼′𝑠
𝐴(𝑠, 𝑡) = − ∑
∞
𝑛=0
(𝛼(𝑠) + 1) … (𝛼(𝑠) + 𝑛)
𝑛!
1
𝛼(𝑡) − 𝑛
1
𝑀Planck
4 ∫
Λ
0
𝑑𝐸𝐸3 ∼ Λ4
𝑀Planck
4
Partícula Supermasiva. Comportamiento de campo.
𝑆 = 𝑚 ∫
𝑠𝑓
𝑠𝑖
𝑑𝑠 = 𝑚 ∫
𝜏1
𝜏0
𝑑𝜏√−𝜂𝜇𝜈𝑥˙ 𝜇𝑥˙ 𝜈
𝑝𝜇 = − 𝛿𝐿
𝛿𝑥˙ 𝜇 = 𝑚𝑥˙𝜇
√−𝑥˙ 2
𝜕𝜏 ( 𝑚𝑥˙𝜇
√−𝑥˙ 2) = 0
𝑝2 + 𝑚2 = 0
𝐻𝑐𝑎𝑛 = 𝜕𝐿
𝜕𝑥˙ 𝜇 𝑥˙ 𝜇 − 𝐿
𝐻 = 𝑁
2𝑚 (𝑝2 + 𝑚2)
𝑥˙ 𝜇 = {𝑥𝜇, 𝐻} = 𝑁
𝑚 𝑝𝜇 = 𝑁𝑥˙ 𝜇
√−𝑥˙ 2
𝑥˙ 2 = −𝑁2
RESULTADOS Y DISCUSIÓN.
Supergravedad cuántica. Modelo Matemático.
Cálculos preliminares para campos superplanckianos.
𝑚2 = 𝐽
𝛼′
𝑠 = −(𝑝1 + 𝑝2)2 , 𝑡 = −(𝑝2 + 𝑝3)2 , 𝑢 = −(𝑝1 + 𝑝3)2
𝐴𝐽(𝑠, 𝑡) ∼ (−𝑠)𝐽
𝑡 − 𝑀2
𝐴(𝑠, 𝑡) = Γ(−𝛼(𝑠))Γ(−𝛼(𝑡))
Γ(−𝛼(𝑠) − 𝛼(𝑡))
𝛼(𝑠) = 𝛼(0) + 𝛼′𝑠
𝐴(𝑠, 𝑡) = − ∑
∞
𝑛=0
(𝛼(𝑠) + 1) … (𝛼(𝑠) + 𝑛)
𝑛!
1
𝛼(𝑡) − 𝑛
1
𝑀Planck
4 ∫
Λ
0
𝑑𝐸𝐸3 ∼ Λ4
𝑀Planck
4
Partícula Supermasiva. Comportamiento de campo.
𝑆 = 𝑚 ∫
𝑠𝑓
𝑠𝑖
𝑑𝑠 = 𝑚 ∫
𝜏1
𝜏0
𝑑𝜏√−𝜂𝜇𝜈𝑥˙ 𝜇𝑥˙ 𝜈
𝑝𝜇 = − 𝛿𝐿
𝛿𝑥˙ 𝜇 = 𝑚𝑥˙𝜇
√−𝑥˙ 2
𝜕𝜏 ( 𝑚𝑥˙𝜇
√−𝑥˙ 2) = 0
𝑝2 + 𝑚2 = 0
𝐻𝑐𝑎𝑛 = 𝜕𝐿
𝜕𝑥˙ 𝜇 𝑥˙ 𝜇 − 𝐿
𝐻 = 𝑁
2𝑚 (𝑝2 + 𝑚2)
𝑥˙ 𝜇 = {𝑥𝜇, 𝐻} = 𝑁
𝑚 𝑝𝜇 = 𝑁𝑥˙ 𝜇
√−𝑥˙ 2
𝑥˙ 2 = −𝑁2
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𝑆 = − 1
2 ∫ 𝑑𝜏𝑒(𝜏)(𝑒−2(𝜏)(𝑥˙ 𝜇)2 − 𝑚2)
𝑆 = − 1
2 ∫ 𝑑𝜏√det𝑔𝜏𝜏(𝑔𝜏𝜏𝜕𝜏𝑥 ⋅ 𝜕𝜏𝑥 − 𝑚2)
𝛿𝑥𝜇(𝜏) = 𝑥𝜇(𝜏 + 𝜉(𝜏)) − 𝑥𝜇(𝜏) = 𝜉(𝜏)𝑥˙ 𝜇 + 𝒪(𝜉2)
𝛿𝑆 = 1
2 ∫ 𝑑𝜏 ( 1
𝑒2(𝜏) (𝑥˙ 𝜇)2 + 𝑚2) 𝛿𝑒(𝜏)
𝑒−2𝑥2 + 𝑚2 = 0 → 𝑒 = 1
𝑚 √−𝑥˙ 2
𝛿𝑆 = 1
2 ∫ 𝑑𝜏𝑒(𝜏)(𝑒−2(𝜏)2𝑥˙ 𝜇)𝜕𝜏𝛿𝑥𝜇
𝜕𝜏(𝑒−1𝑥˙ 𝜇) = 0
⟨𝑥 ∣ 𝑥′⟩ = 𝑁 ∫
𝑥(1)=𝑥′
𝑥(0)=𝑥
𝐷𝑒𝐷𝑥𝜇exp (1
2 ∫
1
0
(1
𝑒 (𝑥˙ 𝜇)2 − 𝑒𝑚2) 𝑑𝜏)
𝛿𝑒 = 𝜕𝜏(𝜉𝑒)
𝐿 = ∫
1
0
𝑑𝜏√det𝑔𝜏𝜏 = ∫
1
0
𝑑𝜏𝑒
⟨𝑥 ∣ 𝑥′⟩ = 𝑁 ∫
∞
0
𝑑𝐿 ∫
𝑥(1)=𝑥′
𝑥(0)=𝑥
𝐷𝑥𝜇exp (− 1
2 ∫
1
0
(1
𝐿 𝑥˙ 2 + 𝐿𝑚2) 𝑑𝜏)
𝑥𝜇(𝜏) = 𝑥𝜇 + (𝑥′𝜇 − 𝑥𝜇)𝜏 + 𝛿𝑥𝜇(𝜏),
‖𝛿𝑥‖2 = ∫
1
0
𝑑𝜏𝑒(𝛿𝑥𝜇)2 = 𝐿 ∫
1
0
𝑑𝜏(𝛿𝑥𝜇)2
𝐷𝑥𝜇 ∼ ∏
𝜏
√𝐿𝑑𝛿𝑥𝜇(𝜏)
⟨𝑥 ∣ 𝑥′⟩ = 𝑁 ∫
∞
0
𝑑𝐿 ∫ ∏
𝜏
√𝐿𝑑𝛿𝑥𝜇(𝜏)𝑒−(𝑥′−𝑥)2
2𝐿 −𝑚2𝐿/2𝑒− 1
2𝐿 ∫1
0 (𝛿𝑥𝜇)2
∫ ∏
𝜏
√𝐿𝑑𝛿𝑥𝜇(𝜏)𝑒−1
𝐿 ∫1
0 (𝛿𝑥˙ 𝜇)2
∼ (det (− 1
𝐿 𝜕𝜏
2))
−𝐷
2
− 1
𝐿 𝜕𝜏
2𝜓(𝜏) = 𝜆𝜓(𝜏)
𝑆 = − 1
2 ∫ 𝑑𝜏𝑒(𝜏)(𝑒−2(𝜏)(𝑥˙ 𝜇)2 − 𝑚2)
𝑆 = − 1
2 ∫ 𝑑𝜏√det𝑔𝜏𝜏(𝑔𝜏𝜏𝜕𝜏𝑥 ⋅ 𝜕𝜏𝑥 − 𝑚2)
𝛿𝑥𝜇(𝜏) = 𝑥𝜇(𝜏 + 𝜉(𝜏)) − 𝑥𝜇(𝜏) = 𝜉(𝜏)𝑥˙ 𝜇 + 𝒪(𝜉2)
𝛿𝑆 = 1
2 ∫ 𝑑𝜏 ( 1
𝑒2(𝜏) (𝑥˙ 𝜇)2 + 𝑚2) 𝛿𝑒(𝜏)
𝑒−2𝑥2 + 𝑚2 = 0 → 𝑒 = 1
𝑚 √−𝑥˙ 2
𝛿𝑆 = 1
2 ∫ 𝑑𝜏𝑒(𝜏)(𝑒−2(𝜏)2𝑥˙ 𝜇)𝜕𝜏𝛿𝑥𝜇
𝜕𝜏(𝑒−1𝑥˙ 𝜇) = 0
⟨𝑥 ∣ 𝑥′⟩ = 𝑁 ∫
𝑥(1)=𝑥′
𝑥(0)=𝑥
𝐷𝑒𝐷𝑥𝜇exp (1
2 ∫
1
0
(1
𝑒 (𝑥˙ 𝜇)2 − 𝑒𝑚2) 𝑑𝜏)
𝛿𝑒 = 𝜕𝜏(𝜉𝑒)
𝐿 = ∫
1
0
𝑑𝜏√det𝑔𝜏𝜏 = ∫
1
0
𝑑𝜏𝑒
⟨𝑥 ∣ 𝑥′⟩ = 𝑁 ∫
∞
0
𝑑𝐿 ∫
𝑥(1)=𝑥′
𝑥(0)=𝑥
𝐷𝑥𝜇exp (− 1
2 ∫
1
0
(1
𝐿 𝑥˙ 2 + 𝐿𝑚2) 𝑑𝜏)
𝑥𝜇(𝜏) = 𝑥𝜇 + (𝑥′𝜇 − 𝑥𝜇)𝜏 + 𝛿𝑥𝜇(𝜏),
‖𝛿𝑥‖2 = ∫
1
0
𝑑𝜏𝑒(𝛿𝑥𝜇)2 = 𝐿 ∫
1
0
𝑑𝜏(𝛿𝑥𝜇)2
𝐷𝑥𝜇 ∼ ∏
𝜏
√𝐿𝑑𝛿𝑥𝜇(𝜏)
⟨𝑥 ∣ 𝑥′⟩ = 𝑁 ∫
∞
0
𝑑𝐿 ∫ ∏
𝜏
√𝐿𝑑𝛿𝑥𝜇(𝜏)𝑒−(𝑥′−𝑥)2
2𝐿 −𝑚2𝐿/2𝑒− 1
2𝐿 ∫1
0 (𝛿𝑥𝜇)2
∫ ∏
𝜏
√𝐿𝑑𝛿𝑥𝜇(𝜏)𝑒−1
𝐿 ∫1
0 (𝛿𝑥˙ 𝜇)2
∼ (det (− 1
𝐿 𝜕𝜏
2))
−𝐷
2
− 1
𝐿 𝜕𝜏
2𝜓(𝜏) = 𝜆𝜓(𝜏)
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𝜓𝑛(𝜏) = 𝐶𝑛sin (𝑛𝜋𝜏) , 𝜆𝑛 = 𝑛2
𝐿 , 𝑛 = 1,2, …
det (− 1
𝐿 𝜕𝜏
2) = ∏
∞
𝑛=1
𝑛2
𝐿
∏
∞
𝑛=1
𝐿−1 = 𝐿−𝜁(0) = 𝐿1/2 , ∏
∞
𝑛=1
𝑛𝑎 = 𝑒−𝑎𝜁′(0) = (2𝜋)𝑎/2
⟨𝑥 ∣ 𝑥′⟩ = 1
2(2𝜋)𝐷/2 ∫
∞
0
𝑑𝐿𝐿−𝐷
2 𝑒−(𝑥′−𝑥)2
2𝐿 −𝑚2𝐿/2 =
= 1
(2𝜋)𝐷/2 (|𝑥 − 𝑥′|
𝑚 )
(2−𝐷)/2
𝐾(𝐷−2)/2(𝑚|𝑥 − 𝑥′|)
|𝑝⟩ = ∫ 𝑑𝐷𝑥𝑒𝑖𝑝⋅𝑥|𝑥⟩
⟨𝑝 ∣ 𝑝′⟩ = ∫ 𝑑𝐷𝑥𝑒−𝑖𝑝⋅𝑥 ∫ 𝑑𝐷𝑥′𝑒𝑖𝑝′⋅𝑥′
⟨𝑥 ∣ 𝑥′⟩
= 1
2 ∫ 𝑑𝐷𝑥′𝑒𝑖(𝑝′−𝑝)⋅𝑥′
∫
∞
0
𝑑𝐿𝑒−𝐿
2(𝑝2+𝑚2)
= (2𝜋)𝐷𝛿(𝑝 − 𝑝′) 1
𝑝2 + 𝑚2
Campos cuánticos relativistas o curvos. Propagadores, operadores, números fantasma,
supersimetrías, antisimetrías, gravedad supermembranas y superespacios y pluridimensiones en
un campo de Hilbert – Einstein. Métrica de Nambu – Goto.
𝑆𝑁𝐺 = −𝑇 ∫ 𝑑𝐴
𝑑𝑠2 = 𝐺𝜇𝜈(𝑋)𝑑𝑋𝜇𝑑𝑋𝜈 = 𝐺𝜇𝜈
𝜕𝑋𝜇
𝜕𝜉𝑖
𝜕𝑋𝜈
𝜕𝜉𝑗 𝑑𝜉𝑖𝑑𝜉𝑗 = 𝐺𝑖𝑗𝑑𝜉𝑖𝑑𝜉𝑗
𝐺𝑖𝑗 = 𝐺𝜇𝜈𝜕𝑖𝑋𝜇𝜕𝑗𝑋𝜈
𝑆𝑁𝐺 = −𝑇 ∫ √−det𝐺𝑖𝑗𝑑2𝜉 = −𝑇 ∫ √(𝑋˙ ⋅ 𝑋′)2 − (𝑋˙ 2)(𝑋′2)𝑑2𝜉
𝜕𝜏 ( 𝛿𝐿
𝛿𝑋˙𝜇) + 𝜕𝜎 ( 𝛿𝐿
𝛿𝑋𝜇) = 0
𝑋𝜇(𝜎 + 𝜎‾) = 𝑋𝜇(𝜎)
• Neumann :
𝛿𝐿
𝛿𝑋′𝜇|𝜎=0,𝜎‾
= 0
𝜓𝑛(𝜏) = 𝐶𝑛sin (𝑛𝜋𝜏) , 𝜆𝑛 = 𝑛2
𝐿 , 𝑛 = 1,2, …
det (− 1
𝐿 𝜕𝜏
2) = ∏
∞
𝑛=1
𝑛2
𝐿
∏
∞
𝑛=1
𝐿−1 = 𝐿−𝜁(0) = 𝐿1/2 , ∏
∞
𝑛=1
𝑛𝑎 = 𝑒−𝑎𝜁′(0) = (2𝜋)𝑎/2
⟨𝑥 ∣ 𝑥′⟩ = 1
2(2𝜋)𝐷/2 ∫
∞
0
𝑑𝐿𝐿−𝐷
2 𝑒−(𝑥′−𝑥)2
2𝐿 −𝑚2𝐿/2 =
= 1
(2𝜋)𝐷/2 (|𝑥 − 𝑥′|
𝑚 )
(2−𝐷)/2
𝐾(𝐷−2)/2(𝑚|𝑥 − 𝑥′|)
|𝑝⟩ = ∫ 𝑑𝐷𝑥𝑒𝑖𝑝⋅𝑥|𝑥⟩
⟨𝑝 ∣ 𝑝′⟩ = ∫ 𝑑𝐷𝑥𝑒−𝑖𝑝⋅𝑥 ∫ 𝑑𝐷𝑥′𝑒𝑖𝑝′⋅𝑥′
⟨𝑥 ∣ 𝑥′⟩
= 1
2 ∫ 𝑑𝐷𝑥′𝑒𝑖(𝑝′−𝑝)⋅𝑥′
∫
∞
0
𝑑𝐿𝑒−𝐿
2(𝑝2+𝑚2)
= (2𝜋)𝐷𝛿(𝑝 − 𝑝′) 1
𝑝2 + 𝑚2
Campos cuánticos relativistas o curvos. Propagadores, operadores, números fantasma,
supersimetrías, antisimetrías, gravedad supermembranas y superespacios y pluridimensiones en
un campo de Hilbert – Einstein. Métrica de Nambu – Goto.
𝑆𝑁𝐺 = −𝑇 ∫ 𝑑𝐴
𝑑𝑠2 = 𝐺𝜇𝜈(𝑋)𝑑𝑋𝜇𝑑𝑋𝜈 = 𝐺𝜇𝜈
𝜕𝑋𝜇
𝜕𝜉𝑖
𝜕𝑋𝜈
𝜕𝜉𝑗 𝑑𝜉𝑖𝑑𝜉𝑗 = 𝐺𝑖𝑗𝑑𝜉𝑖𝑑𝜉𝑗
𝐺𝑖𝑗 = 𝐺𝜇𝜈𝜕𝑖𝑋𝜇𝜕𝑗𝑋𝜈
𝑆𝑁𝐺 = −𝑇 ∫ √−det𝐺𝑖𝑗𝑑2𝜉 = −𝑇 ∫ √(𝑋˙ ⋅ 𝑋′)2 − (𝑋˙ 2)(𝑋′2)𝑑2𝜉
𝜕𝜏 ( 𝛿𝐿
𝛿𝑋˙𝜇) + 𝜕𝜎 ( 𝛿𝐿
𝛿𝑋𝜇) = 0
𝑋𝜇(𝜎 + 𝜎‾) = 𝑋𝜇(𝜎)
• Neumann :
𝛿𝐿
𝛿𝑋′𝜇|𝜎=0,𝜎‾
= 0
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• Dirichlet :
𝛿𝐿
𝛿𝑋˙𝜇|𝜎=0,𝜎‾
= 0
Π𝜇 = 𝛿𝐿
𝛿𝑋˙𝜇 = −𝑇 (𝑋˙ ⋅ 𝑋′)𝑋′𝜇 − (𝑋′)2𝑋˙𝜇
[(𝑋′ ⋅ 𝑋˙ )2 − (𝑋˙ )2(𝑋′)2]1/2
Π ⋅ 𝑋′ = 0 , Π2 + 𝑇2𝑋′2 = 0
𝐻 = ∫
𝜎‾
0
𝑑𝜎(𝑋˙ ⋅ Π − 𝐿)
𝑆𝑃 = − 𝑇
2 ∫ 𝑑2𝜉√−det𝑔𝑔𝛼𝛽𝜕𝛼𝑋𝜇𝜕𝛽𝑋𝜈𝜂𝜇𝜈
𝑇𝛼𝛽 ≡ − 2
𝑇
1
√−det𝑔
𝛿𝑆𝑃
𝛿𝑔𝛼𝛽 = 𝜕𝛼𝑋 ⋅ 𝜕𝛽𝑋 − 1
2 𝑔𝛼𝛽𝑔𝛾𝛿𝜕𝛾𝑋 ⋅ 𝜕𝛿 𝑋
𝑔𝛼𝛽 = 𝜕𝛼𝑋 ⋅ 𝜕𝛽𝑋
1
√−det𝑔 𝜕𝛼(√−det𝑔𝑔𝛼𝛽𝜕𝛽𝑋𝜇) = 0
𝜆1 ∫ √−det𝑔
𝜆2 ∫ √−det𝑔𝑅(2)
• Poincaré:
𝛿𝑋𝜇 = 𝜔𝜈
𝜇𝑋𝜈 + 𝛼𝜇 , 𝛿𝑔𝛼𝛽 = 0
𝛿𝑔𝛼𝛽 = 𝜉𝛾𝜕𝛾𝑔𝛼𝛽 + 𝜕𝛼𝜉𝛾𝑔𝛽𝛾 + 𝜕𝛽𝜉𝛾𝑔𝛼𝛾 = ∇𝛼𝜉𝛽 + ∇𝛽𝜉𝛼
𝛿𝑋𝜇 = 𝜉𝛼𝜕𝛼𝑋𝜇
𝛿(√−det𝑔) = 𝜕𝛼(𝜉𝛼√−det𝑔)
• Weyl:
𝛿𝑋𝜇 = 0 , 𝛿𝑔𝛼𝛽 = 2Λ𝑔𝛼𝛽
𝛿𝑔𝛼𝛽 = 2Λ(𝑥)𝑔𝛼𝛽 , 𝛿𝜙𝑖 = 𝑑𝑖Λ(𝑥)𝜙𝑖
0 = 𝛿𝑆 = ∫ 𝑑2𝜉 [2 𝛿𝑆
𝛿𝑔𝛼𝛽 𝑔𝛼𝛽 + ∑
𝑖
𝑑𝑖
𝛿𝑆
𝛿𝜙𝑖
𝜙𝑖] Λ
• Dirichlet :
𝛿𝐿
𝛿𝑋˙𝜇|𝜎=0,𝜎‾
= 0
Π𝜇 = 𝛿𝐿
𝛿𝑋˙𝜇 = −𝑇 (𝑋˙ ⋅ 𝑋′)𝑋′𝜇 − (𝑋′)2𝑋˙𝜇
[(𝑋′ ⋅ 𝑋˙ )2 − (𝑋˙ )2(𝑋′)2]1/2
Π ⋅ 𝑋′ = 0 , Π2 + 𝑇2𝑋′2 = 0
𝐻 = ∫
𝜎‾
0
𝑑𝜎(𝑋˙ ⋅ Π − 𝐿)
𝑆𝑃 = − 𝑇
2 ∫ 𝑑2𝜉√−det𝑔𝑔𝛼𝛽𝜕𝛼𝑋𝜇𝜕𝛽𝑋𝜈𝜂𝜇𝜈
𝑇𝛼𝛽 ≡ − 2
𝑇
1
√−det𝑔
𝛿𝑆𝑃
𝛿𝑔𝛼𝛽 = 𝜕𝛼𝑋 ⋅ 𝜕𝛽𝑋 − 1
2 𝑔𝛼𝛽𝑔𝛾𝛿𝜕𝛾𝑋 ⋅ 𝜕𝛿 𝑋
𝑔𝛼𝛽 = 𝜕𝛼𝑋 ⋅ 𝜕𝛽𝑋
1
√−det𝑔 𝜕𝛼(√−det𝑔𝑔𝛼𝛽𝜕𝛽𝑋𝜇) = 0
𝜆1 ∫ √−det𝑔
𝜆2 ∫ √−det𝑔𝑅(2)
• Poincaré:
𝛿𝑋𝜇 = 𝜔𝜈
𝜇𝑋𝜈 + 𝛼𝜇 , 𝛿𝑔𝛼𝛽 = 0
𝛿𝑔𝛼𝛽 = 𝜉𝛾𝜕𝛾𝑔𝛼𝛽 + 𝜕𝛼𝜉𝛾𝑔𝛽𝛾 + 𝜕𝛽𝜉𝛾𝑔𝛼𝛾 = ∇𝛼𝜉𝛽 + ∇𝛽𝜉𝛼
𝛿𝑋𝜇 = 𝜉𝛼𝜕𝛼𝑋𝜇
𝛿(√−det𝑔) = 𝜕𝛼(𝜉𝛼√−det𝑔)
• Weyl:
𝛿𝑋𝜇 = 0 , 𝛿𝑔𝛼𝛽 = 2Λ𝑔𝛼𝛽
𝛿𝑔𝛼𝛽 = 2Λ(𝑥)𝑔𝛼𝛽 , 𝛿𝜙𝑖 = 𝑑𝑖Λ(𝑥)𝜙𝑖
0 = 𝛿𝑆 = ∫ 𝑑2𝜉 [2 𝛿𝑆
𝛿𝑔𝛼𝛽 𝑔𝛼𝛽 + ∑
𝑖
𝑑𝑖
𝛿𝑆
𝛿𝜙𝑖
𝜙𝑖] Λ
pág. 8
𝑇𝛼
𝛼 ∼ 𝛿𝑆
𝛿𝑔𝛼𝛽 𝑔𝛼𝛽 = 0
𝑔𝛼𝛽 = 𝑒2Λ(𝜉)𝜂𝛼𝛽
𝜉+ = 𝜏 + 𝜎 , 𝜉− = 𝜏 − 𝜎
𝑑𝑠2 = −𝑑𝜉+𝑑𝜉−
𝑔++ = 𝑔−− = 0 , 𝑔+− = 𝑔−+ = − 1
2
𝜕± = 1
2 (𝜕𝜏 ± 𝜕𝜎)
• Polyakov:
𝑆𝑃 ∼ 𝑇 ∫ 𝑑2𝜉𝜕+𝑋𝜇𝜕−𝑋𝜈𝜂𝜇𝜈
𝜉+ ⟶ 𝑓(𝜉+) , 𝜉− ⟶ 𝑔(𝜉−)
𝑑(𝑑 + 1)
2 − 𝑑 − 1
𝛿𝑆 = 𝑇 ∫ 𝑑2𝜉(𝛿𝑋𝜇𝜕+𝜕−𝑋𝜇) − 𝑇 ∫
𝜏1
𝜏0
𝑑𝜏𝑋𝜇
′ 𝛿𝑋𝜇
𝑋′𝜇|𝜎=0,𝜎‾ = 0
𝜕+𝜕−𝑋𝜇 = 0
𝑇𝛼𝛽 = 0
𝑇10 = 𝑇01 = 1
2 𝑋˙ ⋅ 𝑋′ = 0 , 𝑇00 = 𝑇11 = 1
4 (𝑋˙ 2 + 𝑋′2) = 0
(𝑋˙ ± 𝑋′)2 = 0
𝑇++ = 1
2 𝜕+𝑋 ⋅ 𝜕+𝑋 , 𝑇−− = 1
2 𝜕−𝑋 ⋅ 𝜕−𝑋 , 𝑇+− = 𝑇−+ = 0
𝜕−𝑇++ + 𝜕+𝑇−+ = 𝜕+𝑇−− + 𝜕−𝑇+− = 0
𝜕−𝑇++ = 𝜕+𝑇−− = 0
𝑄𝑓 = ∫
𝜎‾
0
𝑓(𝜉+)𝑇++(𝜉+)
0 = ∫ 𝑑𝜎𝜕−(𝑓(𝜉+)𝑇++) = 𝜕𝜏𝑄𝑓 + 𝑓(𝜉+)𝑇++|0
𝜎‾
𝑇𝛼
𝛼 ∼ 𝛿𝑆
𝛿𝑔𝛼𝛽 𝑔𝛼𝛽 = 0
𝑔𝛼𝛽 = 𝑒2Λ(𝜉)𝜂𝛼𝛽
𝜉+ = 𝜏 + 𝜎 , 𝜉− = 𝜏 − 𝜎
𝑑𝑠2 = −𝑑𝜉+𝑑𝜉−
𝑔++ = 𝑔−− = 0 , 𝑔+− = 𝑔−+ = − 1
2
𝜕± = 1
2 (𝜕𝜏 ± 𝜕𝜎)
• Polyakov:
𝑆𝑃 ∼ 𝑇 ∫ 𝑑2𝜉𝜕+𝑋𝜇𝜕−𝑋𝜈𝜂𝜇𝜈
𝜉+ ⟶ 𝑓(𝜉+) , 𝜉− ⟶ 𝑔(𝜉−)
𝑑(𝑑 + 1)
2 − 𝑑 − 1
𝛿𝑆 = 𝑇 ∫ 𝑑2𝜉(𝛿𝑋𝜇𝜕+𝜕−𝑋𝜇) − 𝑇 ∫
𝜏1
𝜏0
𝑑𝜏𝑋𝜇
′ 𝛿𝑋𝜇
𝑋′𝜇|𝜎=0,𝜎‾ = 0
𝜕+𝜕−𝑋𝜇 = 0
𝑇𝛼𝛽 = 0
𝑇10 = 𝑇01 = 1
2 𝑋˙ ⋅ 𝑋′ = 0 , 𝑇00 = 𝑇11 = 1
4 (𝑋˙ 2 + 𝑋′2) = 0
(𝑋˙ ± 𝑋′)2 = 0
𝑇++ = 1
2 𝜕+𝑋 ⋅ 𝜕+𝑋 , 𝑇−− = 1
2 𝜕−𝑋 ⋅ 𝜕−𝑋 , 𝑇+− = 𝑇−+ = 0
𝜕−𝑇++ + 𝜕+𝑇−+ = 𝜕+𝑇−− + 𝜕−𝑇+− = 0
𝜕−𝑇++ = 𝜕+𝑇−− = 0
𝑄𝑓 = ∫
𝜎‾
0
𝑓(𝜉+)𝑇++(𝜉+)
0 = ∫ 𝑑𝜎𝜕−(𝑓(𝜉+)𝑇++) = 𝜕𝜏𝑄𝑓 + 𝑓(𝜉+)𝑇++|0
𝜎‾
pág. 9
𝑃𝜇
𝛼 = −𝑇√det𝑔𝑔𝛼𝛽𝜕𝛽𝑋𝜇
𝐽𝜇𝜈
𝛼 = −𝑇√det𝑔𝑔𝛼𝛽(𝑋𝜇𝜕𝛽𝑋𝜈 − 𝑋𝜈𝜕𝛽𝑋𝜇)
𝑃𝜇 = ∫
𝜎‾
0
𝑑𝜎𝑃𝜇
𝜏 , 𝐽𝜇𝜈 = ∫
𝜎‾
0
𝑑𝜎𝐽𝜇𝜈
𝜏
𝜕𝑃𝜇
𝜕𝜏 = 𝑇 ∫
𝜎‾
0
𝑑𝜎𝜕𝜏
2𝑋𝜇 = 𝑇 ∫
𝜎‾
0
𝑑𝜎𝜕𝜎
2𝑋𝜇 = 𝑇(𝜕𝜎𝑋𝜇(𝜎 = 𝜎‾) − 𝜕𝜎𝑋𝜇(𝜎 = 0))
Expansiones oscilatorias.
𝜕+𝜕−𝑋𝜇 = 0
𝑋𝜇(𝜏, 𝜎 + 2𝜋) = 𝑋𝜇(𝜏, 𝜎)
𝑋𝜇(𝜏, 𝜎) = 𝑋𝐿
𝜇(𝜏 + 𝜎) + 𝑋𝑅
𝜇(𝜏 − 𝜎)
𝑋𝐿
𝜇(𝜏 + 𝜎) = 𝑥𝜇
2 + 𝑝𝜇
4𝜋𝑇 (𝜏 + 𝜎) + 𝑖
√4𝜋𝑇 ∑
𝑘≠0
𝛼‾𝑘
𝜇
𝑘 𝑒−𝑖𝑘(𝜏+𝜎)
𝑋𝑅
𝜇(𝜏 − 𝜎) = 𝑥𝜇
2 + 𝑝𝜇
4𝜋𝑇 (𝜏 − 𝜎) + 𝑖
√4𝜋𝑇 ∑
𝑘≠0
𝛼𝑘
𝜇
𝑘 𝑒−𝑖𝑘(𝜏−𝜎)
(𝛼𝑘
𝜇)∗ = 𝛼−𝑘
𝜇 and (𝛼‾𝑘
𝜇)∗ = 𝛼‾−𝑘
𝜇
𝜕−𝑋𝑅
𝜇 = 1
√4𝜋𝑇 ∑
𝑘∈ℤ
𝛼𝑘
𝜇𝑒−𝑖𝑘(𝜏−𝜎),
𝜕+𝑋𝐿
𝜇 = 1
√4𝜋𝑇 ∑
𝑘∈ℤ
𝛼‾𝑘
𝜇𝑒−𝑖𝑘(𝜏+𝜎).
𝑋′𝜇(𝜏, 𝜎)|𝜎=0,𝜋 = 0
𝑋′𝜇|𝜎=0 = 𝑝𝜇 − 𝑝‾𝜇
√4𝜋𝑇 + 1
√4𝜋𝑇 ∑
𝑘≠0
𝑒𝑖𝑘𝜏(𝛼‾𝑘
𝜇 − 𝛼𝑘
𝜇)
𝑝𝜇 = 𝑝‾𝜇 and 𝛼𝑘
𝜇 = 𝛼‾𝑘
𝜇
𝑋𝜇(𝜏, 𝜎) = 𝑥𝜇 + 𝑝𝜇𝜏
𝜋𝑇 + 𝑖
√𝜋𝑇 ∑
𝑘≠0
𝛼𝑘
𝜇
𝑘 𝑒−𝑖𝑘𝜏cos (𝑘𝜎)
𝜕±𝑋𝜇 = 1
√4𝜋𝑇 ∑
𝑘∈ℤ
𝛼𝑘
𝜇𝑒−𝑖𝑘(𝜏±𝜎)
𝑋𝐶𝑀
𝜇 ≡ 1
𝜎‾ ∫
𝜎‾
0
𝑑𝜎𝑋𝜇(𝜏, 𝜎) = 𝑥𝜇 + 𝑝𝜇𝜏
𝜋𝑇
𝑃𝜇
𝛼 = −𝑇√det𝑔𝑔𝛼𝛽𝜕𝛽𝑋𝜇
𝐽𝜇𝜈
𝛼 = −𝑇√det𝑔𝑔𝛼𝛽(𝑋𝜇𝜕𝛽𝑋𝜈 − 𝑋𝜈𝜕𝛽𝑋𝜇)
𝑃𝜇 = ∫
𝜎‾
0
𝑑𝜎𝑃𝜇
𝜏 , 𝐽𝜇𝜈 = ∫
𝜎‾
0
𝑑𝜎𝐽𝜇𝜈
𝜏
𝜕𝑃𝜇
𝜕𝜏 = 𝑇 ∫
𝜎‾
0
𝑑𝜎𝜕𝜏
2𝑋𝜇 = 𝑇 ∫
𝜎‾
0
𝑑𝜎𝜕𝜎
2𝑋𝜇 = 𝑇(𝜕𝜎𝑋𝜇(𝜎 = 𝜎‾) − 𝜕𝜎𝑋𝜇(𝜎 = 0))
Expansiones oscilatorias.
𝜕+𝜕−𝑋𝜇 = 0
𝑋𝜇(𝜏, 𝜎 + 2𝜋) = 𝑋𝜇(𝜏, 𝜎)
𝑋𝜇(𝜏, 𝜎) = 𝑋𝐿
𝜇(𝜏 + 𝜎) + 𝑋𝑅
𝜇(𝜏 − 𝜎)
𝑋𝐿
𝜇(𝜏 + 𝜎) = 𝑥𝜇
2 + 𝑝𝜇
4𝜋𝑇 (𝜏 + 𝜎) + 𝑖
√4𝜋𝑇 ∑
𝑘≠0
𝛼‾𝑘
𝜇
𝑘 𝑒−𝑖𝑘(𝜏+𝜎)
𝑋𝑅
𝜇(𝜏 − 𝜎) = 𝑥𝜇
2 + 𝑝𝜇
4𝜋𝑇 (𝜏 − 𝜎) + 𝑖
√4𝜋𝑇 ∑
𝑘≠0
𝛼𝑘
𝜇
𝑘 𝑒−𝑖𝑘(𝜏−𝜎)
(𝛼𝑘
𝜇)∗ = 𝛼−𝑘
𝜇 and (𝛼‾𝑘
𝜇)∗ = 𝛼‾−𝑘
𝜇
𝜕−𝑋𝑅
𝜇 = 1
√4𝜋𝑇 ∑
𝑘∈ℤ
𝛼𝑘
𝜇𝑒−𝑖𝑘(𝜏−𝜎),
𝜕+𝑋𝐿
𝜇 = 1
√4𝜋𝑇 ∑
𝑘∈ℤ
𝛼‾𝑘
𝜇𝑒−𝑖𝑘(𝜏+𝜎).
𝑋′𝜇(𝜏, 𝜎)|𝜎=0,𝜋 = 0
𝑋′𝜇|𝜎=0 = 𝑝𝜇 − 𝑝‾𝜇
√4𝜋𝑇 + 1
√4𝜋𝑇 ∑
𝑘≠0
𝑒𝑖𝑘𝜏(𝛼‾𝑘
𝜇 − 𝛼𝑘
𝜇)
𝑝𝜇 = 𝑝‾𝜇 and 𝛼𝑘
𝜇 = 𝛼‾𝑘
𝜇
𝑋𝜇(𝜏, 𝜎) = 𝑥𝜇 + 𝑝𝜇𝜏
𝜋𝑇 + 𝑖
√𝜋𝑇 ∑
𝑘≠0
𝛼𝑘
𝜇
𝑘 𝑒−𝑖𝑘𝜏cos (𝑘𝜎)
𝜕±𝑋𝜇 = 1
√4𝜋𝑇 ∑
𝑘∈ℤ
𝛼𝑘
𝜇𝑒−𝑖𝑘(𝜏±𝜎)
𝑋𝐶𝑀
𝜇 ≡ 1
𝜎‾ ∫
𝜎‾
0
𝑑𝜎𝑋𝜇(𝜏, 𝜎) = 𝑥𝜇 + 𝑝𝜇𝜏
𝜋𝑇
pág. 10
𝑝𝐶𝑀
𝜇 = 𝑇 ∫
𝜎‾
0
𝑑𝜎𝑋˙𝜇 = 𝑇
√4𝜋𝑇 ∫ 𝑑𝜎 ∑
𝑘
(𝛼𝑘
𝜇 + 𝛼‾𝑘
𝜇)𝑒−𝑖𝑘(𝜏±𝜎) = 2𝜋𝑇
√4𝜋𝑇 (𝛼0
𝜇 + 𝛼‾0
𝜇) = 𝑝𝜇
𝐽𝜇𝜈 = 𝑇 ∫
𝜎‾
0
𝑑𝜎(𝑋𝜇𝑋˙ 𝜈 − 𝑋𝜈𝑋˙𝜇) = 𝑙𝜇𝜈 + 𝐸𝜇𝜈 + 𝐸‾𝜇𝜈
𝑙𝜇𝜈 = 𝑥𝜇𝑝𝜈 − 𝑥𝜈𝑝𝜇
𝐸𝜇𝜈 = −𝑖 ∑
∞
𝑛=1
1
𝑛 (𝛼−𝑛
𝜇 𝛼𝑛
𝜈 − 𝛼−𝑛
𝜈 𝛼𝑛
𝜇)
𝐸‾𝜇𝜈 = −𝑖 ∑
∞
𝑛=1
1
𝑛 (𝛼‾−𝑛
𝜇 𝛼‾𝑛
𝜈 − 𝛼‾−𝑛
𝜈 𝛼‾𝑛
𝜇)
{𝑋𝜇(𝜎, 𝜏), 𝑋˙ 𝜈(𝜎′, 𝜏)}𝑃𝐵 = 1
𝑇 𝛿(𝜎 − 𝜎′)𝜂𝜇𝜈
{𝛼𝑚
𝜇 , 𝛼𝑛
𝜈} = {𝛼‾𝑚
𝜇 , 𝛼‾𝑛
𝜈} = −𝑖𝑚𝛿𝑚+𝑛,0𝜂𝜇𝜈
{𝛼‾𝑚
𝜇 , 𝛼𝑛
𝜈} = 0, {𝑥𝜇, 𝑝𝜈} = 𝜂𝜇𝜈.
𝐻 = ∫ 𝑑𝜎(𝑋˙ Π − 𝐿) = 𝑇
2 ∫ 𝑑𝜎(𝑋˙ 2 + 𝑋′2)
𝐻 = 1
2 ∑
𝑛∈𝑍
(𝛼−𝑛𝛼𝑛 + 𝛼‾−𝑛𝛼‾𝑛)
𝐻 = 1
2 ∑
𝑛∈𝑍
𝛼−𝑛𝛼𝑛
𝐿𝑚 = 2𝑇 ∫
2𝜋
0
𝑑𝜎𝑇−−𝑒𝑖𝑚(𝜏−𝜎) , 𝐿‾𝑚 = 2𝑇 ∫
2𝜋
0
𝑑𝜎𝑇++𝑒𝑖𝑚(𝜎+𝜏)
𝐿𝑚 = 1
2 ∑
𝑛
𝛼𝑚−𝑛𝛼𝑛 , 𝐿‾𝑚 = 1
2 ∑
𝑛
𝛼‾𝑚−𝑛𝛼‾𝑛
𝐿𝑚
∗ = 𝐿−𝑚 and 𝐿‾𝑚
∗ = 𝐿‾−𝑚
𝐻 = 𝐿0 + 𝐿‾0.
𝐿𝑚 = 2𝑇 ∫
𝜋
0
𝑑𝜎{𝑇−−𝑒𝑖𝑚(𝜏−𝜎) + 𝑇++𝑒𝑖𝑚(𝜎+𝜏)}
𝐿𝑚 = 1
2 ∑
𝑛
𝛼𝑚−𝑛𝛼𝑛
𝐻 = 𝐿0
𝑝𝐶𝑀
𝜇 = 𝑇 ∫
𝜎‾
0
𝑑𝜎𝑋˙𝜇 = 𝑇
√4𝜋𝑇 ∫ 𝑑𝜎 ∑
𝑘
(𝛼𝑘
𝜇 + 𝛼‾𝑘
𝜇)𝑒−𝑖𝑘(𝜏±𝜎) = 2𝜋𝑇
√4𝜋𝑇 (𝛼0
𝜇 + 𝛼‾0
𝜇) = 𝑝𝜇
𝐽𝜇𝜈 = 𝑇 ∫
𝜎‾
0
𝑑𝜎(𝑋𝜇𝑋˙ 𝜈 − 𝑋𝜈𝑋˙𝜇) = 𝑙𝜇𝜈 + 𝐸𝜇𝜈 + 𝐸‾𝜇𝜈
𝑙𝜇𝜈 = 𝑥𝜇𝑝𝜈 − 𝑥𝜈𝑝𝜇
𝐸𝜇𝜈 = −𝑖 ∑
∞
𝑛=1
1
𝑛 (𝛼−𝑛
𝜇 𝛼𝑛
𝜈 − 𝛼−𝑛
𝜈 𝛼𝑛
𝜇)
𝐸‾𝜇𝜈 = −𝑖 ∑
∞
𝑛=1
1
𝑛 (𝛼‾−𝑛
𝜇 𝛼‾𝑛
𝜈 − 𝛼‾−𝑛
𝜈 𝛼‾𝑛
𝜇)
{𝑋𝜇(𝜎, 𝜏), 𝑋˙ 𝜈(𝜎′, 𝜏)}𝑃𝐵 = 1
𝑇 𝛿(𝜎 − 𝜎′)𝜂𝜇𝜈
{𝛼𝑚
𝜇 , 𝛼𝑛
𝜈} = {𝛼‾𝑚
𝜇 , 𝛼‾𝑛
𝜈} = −𝑖𝑚𝛿𝑚+𝑛,0𝜂𝜇𝜈
{𝛼‾𝑚
𝜇 , 𝛼𝑛
𝜈} = 0, {𝑥𝜇, 𝑝𝜈} = 𝜂𝜇𝜈.
𝐻 = ∫ 𝑑𝜎(𝑋˙ Π − 𝐿) = 𝑇
2 ∫ 𝑑𝜎(𝑋˙ 2 + 𝑋′2)
𝐻 = 1
2 ∑
𝑛∈𝑍
(𝛼−𝑛𝛼𝑛 + 𝛼‾−𝑛𝛼‾𝑛)
𝐻 = 1
2 ∑
𝑛∈𝑍
𝛼−𝑛𝛼𝑛
𝐿𝑚 = 2𝑇 ∫
2𝜋
0
𝑑𝜎𝑇−−𝑒𝑖𝑚(𝜏−𝜎) , 𝐿‾𝑚 = 2𝑇 ∫
2𝜋
0
𝑑𝜎𝑇++𝑒𝑖𝑚(𝜎+𝜏)
𝐿𝑚 = 1
2 ∑
𝑛
𝛼𝑚−𝑛𝛼𝑛 , 𝐿‾𝑚 = 1
2 ∑
𝑛
𝛼‾𝑚−𝑛𝛼‾𝑛
𝐿𝑚
∗ = 𝐿−𝑚 and 𝐿‾𝑚
∗ = 𝐿‾−𝑚
𝐻 = 𝐿0 + 𝐿‾0.
𝐿𝑚 = 2𝑇 ∫
𝜋
0
𝑑𝜎{𝑇−−𝑒𝑖𝑚(𝜏−𝜎) + 𝑇++𝑒𝑖𝑚(𝜎+𝜏)}
𝐿𝑚 = 1
2 ∑
𝑛
𝛼𝑚−𝑛𝛼𝑛
𝐻 = 𝐿0
pág. 11
{𝐿𝑚, 𝐿𝑛}𝑃𝐵 = −𝑖(𝑚 − 𝑛)𝐿𝑚+𝑛
{𝐿‾𝑚, 𝐿‾𝑛}𝑃𝐵 = −𝑖(𝑚 − 𝑛)𝐿‾𝑚+𝑛
{𝐿𝑚, 𝐿‾𝑛}𝑃𝐵 = 0
{ , }𝑃𝐵 ⟶ −𝑖[, ].
Cuantización canonical- Bosonificación.
[𝑥𝜇, 𝑝𝜈] = 𝑖𝜂𝜇𝜈
[𝛼𝑚
𝜇 , 𝛼𝑛
𝜈] = 𝑚𝛿𝑚+𝑛,0𝜂𝜇𝜈
[𝑎𝑚
𝜇 , 𝑎𝑛
𝜈†] = 𝛿𝑚,𝑛𝜂𝜇𝜈
𝛼𝑚|𝑝⟩ = 0 ∀𝑚 > 0.
|𝑝⟩, 𝛼−1
𝜇 |𝑝𝜇⟩, 𝛼−1
𝜇 𝛼−1
𝜈 𝛼−2
𝜈 |𝑝𝜇⟩, etc.
|𝛼−1
0 |𝑝⟩ |2
= ⟨𝑝|𝛼1
0𝛼−1
0 |𝑝⟩ = −1,
𝐿𝑚 = 1
2 ∑
𝑛∈ℤ
: 𝛼𝑚−𝑛 ⋅ 𝛼𝑛: .
𝐿0 = 1
2 𝛼0
2 + ∑
∞
𝑛=1
𝛼−𝑛 ⋅ 𝛼𝑛
[𝐿𝑚, 𝐿𝑛] = (𝑚 − 𝑛)𝐿𝑚+𝑛 + 𝑐
12 𝑚(𝑚2 − 1)𝛿𝑚+𝑛,0
0 = ⟨𝜙|[𝐿𝑚, 𝐿−𝑚]|𝜙⟩ = 2𝑚⟨𝜙|𝐿0|𝜙⟩ + 𝑑
12 𝑚(𝑚2 − 1)⟨𝜙 ∣ 𝜙⟩ ≠ 0
𝐿𝑚>0 ∣ phys ⟩ = 0, (𝐿0 − 𝑎) ∣ phys ⟩ = 0
𝛼′𝑚2 = 4(𝑁 − 𝑎)
𝑁 = ∑
∞
𝑚=1
𝛼−𝑚 ⋅ 𝛼𝑚
𝜉+
′ = 𝑓(𝜉+), 𝜉−
′ = 𝑔(𝜉−)
𝑋+ = 𝑥+ + 𝛼′𝑝+𝜏
𝑋± = 𝑋0 ± 𝑋1
𝛼𝑛
+ = 𝛼‾𝑛
+ = √𝛼′
2 𝑝+𝛿𝑛,0
𝛼𝑛
− = 1
√2𝛼′𝑝+ { ∑
𝑚∈ℤ
: 𝛼𝑛−𝑚
𝑖 𝛼𝑚
𝑖 : −2𝑎𝛿𝑛,0}
{𝐿𝑚, 𝐿𝑛}𝑃𝐵 = −𝑖(𝑚 − 𝑛)𝐿𝑚+𝑛
{𝐿‾𝑚, 𝐿‾𝑛}𝑃𝐵 = −𝑖(𝑚 − 𝑛)𝐿‾𝑚+𝑛
{𝐿𝑚, 𝐿‾𝑛}𝑃𝐵 = 0
{ , }𝑃𝐵 ⟶ −𝑖[, ].
Cuantización canonical- Bosonificación.
[𝑥𝜇, 𝑝𝜈] = 𝑖𝜂𝜇𝜈
[𝛼𝑚
𝜇 , 𝛼𝑛
𝜈] = 𝑚𝛿𝑚+𝑛,0𝜂𝜇𝜈
[𝑎𝑚
𝜇 , 𝑎𝑛
𝜈†] = 𝛿𝑚,𝑛𝜂𝜇𝜈
𝛼𝑚|𝑝⟩ = 0 ∀𝑚 > 0.
|𝑝⟩, 𝛼−1
𝜇 |𝑝𝜇⟩, 𝛼−1
𝜇 𝛼−1
𝜈 𝛼−2
𝜈 |𝑝𝜇⟩, etc.
|𝛼−1
0 |𝑝⟩ |2
= ⟨𝑝|𝛼1
0𝛼−1
0 |𝑝⟩ = −1,
𝐿𝑚 = 1
2 ∑
𝑛∈ℤ
: 𝛼𝑚−𝑛 ⋅ 𝛼𝑛: .
𝐿0 = 1
2 𝛼0
2 + ∑
∞
𝑛=1
𝛼−𝑛 ⋅ 𝛼𝑛
[𝐿𝑚, 𝐿𝑛] = (𝑚 − 𝑛)𝐿𝑚+𝑛 + 𝑐
12 𝑚(𝑚2 − 1)𝛿𝑚+𝑛,0
0 = ⟨𝜙|[𝐿𝑚, 𝐿−𝑚]|𝜙⟩ = 2𝑚⟨𝜙|𝐿0|𝜙⟩ + 𝑑
12 𝑚(𝑚2 − 1)⟨𝜙 ∣ 𝜙⟩ ≠ 0
𝐿𝑚>0 ∣ phys ⟩ = 0, (𝐿0 − 𝑎) ∣ phys ⟩ = 0
𝛼′𝑚2 = 4(𝑁 − 𝑎)
𝑁 = ∑
∞
𝑚=1
𝛼−𝑚 ⋅ 𝛼𝑚
𝜉+
′ = 𝑓(𝜉+), 𝜉−
′ = 𝑔(𝜉−)
𝑋+ = 𝑥+ + 𝛼′𝑝+𝜏
𝑋± = 𝑋0 ± 𝑋1
𝛼𝑛
+ = 𝛼‾𝑛
+ = √𝛼′
2 𝑝+𝛿𝑛,0
𝛼𝑛
− = 1
√2𝛼′𝑝+ { ∑
𝑚∈ℤ
: 𝛼𝑛−𝑚
𝑖 𝛼𝑚
𝑖 : −2𝑎𝛿𝑛,0}
pág. 12
𝛼−1
𝑖 𝛼‾−1
𝑗 |𝑝⟩
𝛼−1
𝑖 𝛼‾−1
𝑗 |𝑝⟩ = 𝛼−1
[𝑖 𝛼‾−1
𝑗] |𝑝⟩ + [𝛼−1
{𝑖 𝛼‾−1
𝑗} − 1
𝑑 − 2 𝛿𝑖𝑗𝛼−1
𝑘 𝛼‾−1
𝑘 ] |𝑝⟩ +
+ 1
𝑑 − 2 𝛿𝑖𝑗𝛼−1
𝑘 𝛼‾−1
𝑘 |𝑝⟩
𝛼′𝑚2 = 4(1 − 𝑎)
𝛼−1
𝑖 |𝑝⟩,
𝛼−2
𝑖 |𝑝⟩, 𝛼−1
𝑖 𝛼−1
𝑗 |𝑝⟩,
𝑗max = 𝛼′𝑚2 + 1
Ω|𝑝, 𝑖, 𝑗⟩ = 𝜖|𝑝, 𝑗, 𝑖⟩
𝑍 = ∫ 𝒟𝑔𝒟𝑋𝜇
𝑉gauge
𝑒𝑖𝑆𝑝(𝑔,𝑋𝜇)
‖𝛿𝑔‖ = ∫ 𝑑2𝜎√𝑔𝑔𝛼𝛽𝑔𝛿𝛾𝛿𝑔𝛼𝛾𝛿𝑔𝛽𝛿
‖𝛿𝑋𝜇‖ = ∫ 𝑑𝜎√𝑔𝛿𝑋𝜇𝛿𝑋𝜈𝜂𝜇𝜈
𝑔𝛼𝛽 = 𝑒2𝜙ℎ𝛼𝛽
𝛿𝑔𝛼𝛽 = ∇𝛼𝜉𝛽 + ∇𝛽𝜉𝛼 + 2Λ𝑔𝛼𝛽 = (𝑃ˆ 𝜉)𝛼𝛽 + 2Λ˜ 𝑔𝛼𝛽
𝒟𝑔 = 𝒟(𝑃ˆ 𝜉)𝒟(Λ˜ ) = 𝒟𝜉𝒟Λ |𝜕(𝑃𝜉, Λ˜ )
𝜕(𝜉, Λ) | ,
|𝜕(𝑃𝜉, Λ˜ )
𝜕(𝜉, Λ) | = |det (𝑃ˆ 0
∗ 1)| = |det𝑃| = √det𝑃ˆ 𝑃ˆ †
𝑍 = ∫ 𝒟𝑋𝜇√det𝑃𝑃†𝑒𝑖𝑆𝑝(ℎˆ 𝛼𝛽,𝑋𝜇)
• Faddeev-Popov:
√det𝑃𝑃† = ∫ 𝒟𝑐𝒟𝑏𝑒𝑖 ∫ 𝑑2𝜎√𝑔𝑔𝛼𝛽𝑏𝛼𝛾∇𝛽𝑐𝛼
𝑍 = ∫ 𝒟𝑋𝒟𝑐𝒟𝑏𝑒𝑖(𝑆𝑝[𝑋]+𝑆𝑔ℎ[𝑐,𝑏])
𝑆𝑝[𝑋] = 𝑇 ∫ 𝑑2𝜎𝜕+𝑋𝜇𝜕−𝑋𝜇
𝑆𝑔ℎ[𝑏, 𝑐] = ∫ 𝑏++𝜕−𝑐+ + 𝑏−−𝜕+𝑐−
𝛼−1
𝑖 𝛼‾−1
𝑗 |𝑝⟩
𝛼−1
𝑖 𝛼‾−1
𝑗 |𝑝⟩ = 𝛼−1
[𝑖 𝛼‾−1
𝑗] |𝑝⟩ + [𝛼−1
{𝑖 𝛼‾−1
𝑗} − 1
𝑑 − 2 𝛿𝑖𝑗𝛼−1
𝑘 𝛼‾−1
𝑘 ] |𝑝⟩ +
+ 1
𝑑 − 2 𝛿𝑖𝑗𝛼−1
𝑘 𝛼‾−1
𝑘 |𝑝⟩
𝛼′𝑚2 = 4(1 − 𝑎)
𝛼−1
𝑖 |𝑝⟩,
𝛼−2
𝑖 |𝑝⟩, 𝛼−1
𝑖 𝛼−1
𝑗 |𝑝⟩,
𝑗max = 𝛼′𝑚2 + 1
Ω|𝑝, 𝑖, 𝑗⟩ = 𝜖|𝑝, 𝑗, 𝑖⟩
𝑍 = ∫ 𝒟𝑔𝒟𝑋𝜇
𝑉gauge
𝑒𝑖𝑆𝑝(𝑔,𝑋𝜇)
‖𝛿𝑔‖ = ∫ 𝑑2𝜎√𝑔𝑔𝛼𝛽𝑔𝛿𝛾𝛿𝑔𝛼𝛾𝛿𝑔𝛽𝛿
‖𝛿𝑋𝜇‖ = ∫ 𝑑𝜎√𝑔𝛿𝑋𝜇𝛿𝑋𝜈𝜂𝜇𝜈
𝑔𝛼𝛽 = 𝑒2𝜙ℎ𝛼𝛽
𝛿𝑔𝛼𝛽 = ∇𝛼𝜉𝛽 + ∇𝛽𝜉𝛼 + 2Λ𝑔𝛼𝛽 = (𝑃ˆ 𝜉)𝛼𝛽 + 2Λ˜ 𝑔𝛼𝛽
𝒟𝑔 = 𝒟(𝑃ˆ 𝜉)𝒟(Λ˜ ) = 𝒟𝜉𝒟Λ |𝜕(𝑃𝜉, Λ˜ )
𝜕(𝜉, Λ) | ,
|𝜕(𝑃𝜉, Λ˜ )
𝜕(𝜉, Λ) | = |det (𝑃ˆ 0
∗ 1)| = |det𝑃| = √det𝑃ˆ 𝑃ˆ †
𝑍 = ∫ 𝒟𝑋𝜇√det𝑃𝑃†𝑒𝑖𝑆𝑝(ℎˆ 𝛼𝛽,𝑋𝜇)
• Faddeev-Popov:
√det𝑃𝑃† = ∫ 𝒟𝑐𝒟𝑏𝑒𝑖 ∫ 𝑑2𝜎√𝑔𝑔𝛼𝛽𝑏𝛼𝛾∇𝛽𝑐𝛼
𝑍 = ∫ 𝒟𝑋𝒟𝑐𝒟𝑏𝑒𝑖(𝑆𝑝[𝑋]+𝑆𝑔ℎ[𝑐,𝑏])
𝑆𝑝[𝑋] = 𝑇 ∫ 𝑑2𝜎𝜕+𝑋𝜇𝜕−𝑋𝜇
𝑆𝑔ℎ[𝑏, 𝑐] = ∫ 𝑏++𝜕−𝑐+ + 𝑏−−𝜕+𝑐−