APROXIMACIÓN DE VALORES DE LA
FUNCIÓN SENO Y COSENO PARA ESTUDIANTES
DE SEGUNDO AÑO DE INGENIERÍA
APPROXIMATION OF SINE AND COSINE FUNCTION VALUES
FOR SECOND-YEAR ENGINEERING STUDENTS
Ramón Berber Palafox
Tecnológico Nacional de México
Jesús González Briones
Tecnológico Nacional de México
Iliana Dessiré Hernández Trujillo
Tecnológico Nacional de México
Humberto Carlos Salgado Rosales
Tecnológico Nacional de México
pág. 8523
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v9i5.20191
Aproximación de Valores de la Función Seno y Coseno para Estudiantes de
Segundo Año de Ingeniería
Ramón Berber Palafox1
rberberp@toluca.tecnm.mx
https://orcid.org/0009-0000-8701-1359
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de Toluca
México
Jesús González Briones
jgonzalezb@toluca.tecnm.mx
https://orcid.org/0009-0006-8834-2102
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de Toluca
México
Iliana Dessiré Hernández Trujillo
Ilieana.ht@veracruz.tecnm.mx
https://orcid.org/0009-0001-5507-8150
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de Veracruz
México
Humberto Carlos Salgado Rosales
hsalgador@toluca.tecnm.mx
https://orcid.org/0009-0003-5345-1980
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de Toluca
México
RESUMEN
Como profesores adscritos al departamento de ciencias básicas y ciencias económico administrativas
del Tecnológico Nacional de México, y basado en la experiencia docente en las áreas de ingeniería, se
describe en esta publicación, una propuesta práctica para profesores y estudiantes del segundo año de
estudios en las ingenierías impartidas por el Tecnológico Nacional de México, cuya intención es
incrementar la competencia de capacidad de análisis, razonamiento aritmético y razonamiento lógico
en los estudiantes. En este trabajo se presenta un método para aproximar los valores de la función seno
y coseno, mediante interpolación de Lagrange. Por otro lado, se presentan algunas aplicaciones de las
funciones seno y coseno para trazar gráficas en coordenadas polares.
Palabras clave: ingeniería, aritmética, cálculo, gráficas, seno
1
Autor principal
Correspondencia: rberberp@toluca.tecnm.mx
pág. 8524
Approximation of Sine and Cosine Function Values for Second-Year
Engineering Students
ABSTRACT
As professors attached to the Department of Basic Sciences and Economic and Administrative Sciences
of the National Institute of Technology of Mexico, and based on our teaching experience in the areas of
engineering, we describe in this publication a practical proposal for professors and students of the
second year of studies in the engineering programs taught at the National Institute of Technology of
Mexico. The aim of this proposal is to increase students' analytical skills, arithmetic reasoning, and
logical reasoning. This work presents a method for approximating the values of the sine and cosine
functions using Lagrange interpolation. Additionally, some applications of the sine and cosine functions
for graphing in polar coordinates are presented.
Keywords: engineering, arithmetic, calculus, graphs, sine
Artículo recibido 22 agosto 2025
Aceptado para publicación: 25 setiembre 2025
pág. 8525
INTRODUCCIÓN
La asignatura de cálculo vectorial se estudia en segundo año en la mayoría de las carreras de ingeniería
del Instituto Tecnológico de Toluca. Las funciones seno y coseno son ampliamente utilizadas a través
de los diversos ejemplos que estudiamos durante todo el curso.
La competencia específica del tema dos es:
“Establece ecuaciones de curvas planas, en coordenadas rectangulares, polares, o en forma paramétrica,
para brindarle herramientas necesarias para el estudio de curvas más sofisticadas.”
Asimismo, las competencias genéricas son: Capacidad de abstracción, análisis y síntesis. Capacidad
para identificar, plantear y resolver problemas. Capacidad de aprender y actualizarse permanentemente.
Capacidad de trabajo en equipo. (TecNM, 2016, p. 7).
Literatura Relacionada
El surgimiento de la noción de función como entidad matemática individualizada se remonta a los
inicios del cálculo infinitesimal. Descartes (1596-1650) afirmó claramente que una ecuación con dos
variables, representada geométricamente por una curva, indica una dependencia entre magnitudes
variables. (Ponte, 2012, p. 2).
Fue Leibniz quien utilizó por primera vez el término «función» en 1694 (Larson, 2023, p. 57). Entendió
que «función» designaba, en términos muy generales, la dependencia de magnitudes geométricas como
las subtangentes y las subnormales con respecto a la forma de una curva. También introdujo los términos
«constante», «variable» y «parámetro». (Ponte, 2012, p. 2).
En su investigación, Daher, (2020) estudió el aprendizaje de los estudiantes de secundaria de las
realizaciones y narrativas trigonométricas, usando tecnología, específicamente GeoGebra. Haciendo
eso, utilizó el marco comognitivo (Sfard, 2007, 2008). Este marco permite abordar los significados de
las tres funciones trigonométricas y la transición de los estudiantes de un significado a otro. (p. 2).
Demir (2012) encontró que GeoGebra puede facilitar a los estudiantes la conexión entre los tres
contextos de funciones trigonométricas: los triángulos rectángulos, el círculo unitario y la gráfica de la
función. Kissane y Kemp (2009) exploraron el potencial de la tecnología, específicamente, la
calculadora de gráficas, para ayudar a los estudiantes a hacer conexiones entre trigonometría y funciones
circulares.
pág. 8526
Reportaron que la tecnología facilitó a los estudiantes la exploración de narrativas relacionadas a
gráficas trigonométricas, como aquellas relacionadas a su periodicidad, amplitud, puntos máximos y
mínimos y sus ceros, adicionalmente a aquellas relacionadas a identidades trigonométricas y
ecuaciones. (Daher, 2020, p. 1).
Los mediadores visuales son objetos y recursos visuales que los participantes en un discurso
matemáticos utilizan para identificar ideas matemáticas y coordinar su comunicación de aprendizaje.
Estos mediadores incluyen símbolos como numerales, letras algebraicas y entidades representativas
como tablas, gráficos y diagramas. Los mediadores se utilizan para pensar o comunicarse en un discurso
matemático (Sfad, 2008). Por otro lado, GeoGebra proporciona un contexto donde es fácil producir
mediadores visuales mediante la representación gráfica de diversas funciones (Berger, 2013). (Daher,
2020, p. 2).
Demir y Heck (2013) describen la trigonometría como una importante materia en educación matemática
de secundaria y subsecuentes, donde el currículo de trigonometría es distribuido en varios años de
escuela. Este currículo incluye la introducción de seno, coseno y tangente como funciones de un ángulo,
ya sea a través de utilizar triángulos rectángulos o el círculo unitario o como funciones de un número
real. (Daher, 2020, p. 4).
Una referencia importante a las aproximaciones numéricas la encontramos en Serway y Jewett(2008),
ejercicio 52:
“En física es importante usar aproximaciones matemáticas. Demuestre que, para ángulos pequeños
(<20°),
. Donde está en radianes, y en grados” (Serway y Jewett,
2008, p. 17).
En una investigación realizada en 2016, Downs et al, mostraron a través de actividades prácticas de
matemáticas para el aula, con un amplio conjunto de datos científicos de acceso público, para el
alumnado de 9º y 10º de educación secundaria. Las actividades introducen y profundizan la
comprensión del cálculo integral y las funciones trigonométricas mediante la presentación de problemas
prácticos centrados en la salud pública y el desarrollo de una comprensión personal de la radiación
ultravioleta solar y el índice UV. (p. 179).
pág. 8527
Por otra parte, el currículo nacional australiano de matemáticas introduce las razones trigonométricas
como parte del área de Medición y Geometría en 9º y 10º curso (ACARA, 2015). Dependiendo del
progreso de cada escuela y la edad de los estudiantes participantes, las razones trigonométricas eran un
concepto relativamente nuevo para aproximadamente la mitad de los estudiantes del programa de
Enriquecimiento de Matemáticas. Por lo tanto, tras el cálculo exitoso del UVI en grupo, se introdujo a
los estudiantes al significado de la razón seno como razón de las longitudes de los lados calculadas a
partir de triángulos rectángulos semejantes. La importancia de la razón seno se ilustró mediante el
análisis del posible efecto de las componentes vertical y horizontal de la trayectoria atmosférica en
cualquier haz de luz solar incidente. (Downs et al, 2016, p. 186).
Los modelos estudiantiles consideraron la importancia de la amplitud de la función seno periódica. Los
estudiantes que participaron en la actividad de Enriquecimiento de Matemáticas calcularon la razón
seno de cada ángulo de elevación solar del este y graficaron el resultado para cada hora de medición de
la irradiancia UV espectral: 6:00 a. m., 8:00 a. m., 10:00 a. m., 12:00 p. m., 2:00 p. m., 4:00 p. m. y 6:00
p. m. El modelo se mejoró incrementando la amplitud de la función mediante la multiplicación de un
factor de escala adecuado. (Downs et al, 2016, p. 186).
En 2022, Gholami realizó una investigación de tipo cualitativo, cuyo objetivo es presentar el Estudio
de Lecciones como un nuevo método de enseñanza basado en la resolución de problemas para mejorar
el rendimiento del profesorado en la enseñanza de trigonometría. En este estudio, un grupo de tres
profesores de matemáticas de un centro preuniversitario internacional en Malasia y el investigador
contribuyeron a la preparación de una lección de investigación sobre los valores máximos y mínimos
de una función trigonométrica. Este artículo podría ayudar a los educadores de matemáticas a mejorar
su rendimiento en la enseñanza de trigonometría mediante el Estudio de Lecciones basado en la
resolución de problemas. (p. 26). En la enseñanza de la trigonometría, la mayoría de los conceptos
erróneos surgen del método de enseñanza. Por ejemplo, como identificó Tuna (2013), cerca del 90% de
los profesores de matemáticas noveles tenían conceptos erróneos sobre la definición del concepto
trigonométrico radián. Por lo tanto, los educadores de matemáticas, además de un conocimiento
adecuado de la materia, necesitan conocer los malentendidos y conceptos erróneos comunes que
enfrentan los estudiantes en un tema específico. (Gholami, 2022, p. 27).
pág. 8528
Siendo una de las asignaturas principales del currículo de matemáticas de secundaria, la trigonometría
vincula el razonamiento algebraico, geométrico y gráfico. Kepceoglu y Yavuz, en 2016, realizaron una
investigación cuyo objetivo era investigar el efecto de GeoGebra en la enseñanza del concepto de
periodicidad de las funciones trigonométricas. En este estudio, se investigó la eficacia del software
matemático dinámico GeoGebra, utilizado en la enseñanza de la periodicidad de las funciones
trigonométricas, la cual se enseña mediante fórmulas en el contexto de la educación matemática
tradicional. (p. 573).
En la literatura sobre educación matemática, la trigonometría se considera una de las materias difíciles
en las que los estudiantes experimentan dificultades de aprendizaje y numerosas investigaciones han
revelado conceptos erróneos de los estudiantes sobre la trigonometría (Doğan y Şenay, 2000; Según
Ross et al. (2011), una comprensión profunda de la trigonometría requiere la capacidad de alternar entre
representaciones abstractas, visuales y concretas de objetos matemáticos, y los estudiantes están
particularmente discapacitados por su incapacidad para formular y transponer expresiones algebraicas.
(Kepceoglu y Yavuz, 2016, p. 574).
Se utiliza un diseño cuasi experimental con un grupo de control de post-prueba dividido aleatoriamente
(como si se cambiara de aula). Dado que los participantes del estudio aún no han visto el tema
"periodicidad de la función trigonométrica", su nivel de conocimiento sobre este tema se considera
igual. Por lo tanto, se ha elegido el modelo de grupo de control de post-prueba. En este modelo, no se
requiere una prueba previa. (Kepceoglu y Yavuz, 2016, p. 575).
Maknun et al, en 2020 realizaron un estudio, en donde se propone un diseño didáctico para comprender
las propiedades de las funciones trigonométricas. Partimos del dibujo de la gráfica y analizamos cada
una de ellas. Utilizamos la gráfica de la función trigonométrica como medio para analizar la función,
como su valor trigonométrico, máximo y mínimo, período e intervalo de crecimiento o decrecimiento.
Los dos objetivos principales de ese estudio son: 1) Cómo se utiliza el círculo unitario para dibujar la
gráfica de una función trigonométrica, y 2) Cómo se puede utilizar la gráfica de una función
trigonométrica para analizar sus propiedades. (p. 1).
El concepto de trigonometría como función se había pasado por alto y los estudiantes tenían una
comprensión limitada al respecto; por ejemplo, a los estudiantes les resulta difícil reconocer en qué
pág. 8529
rango la función seno y coseno disminuye o aumenta (Kamber y Takaci, 2017; Weber, 2008), mientras
que conocer este concepto podría ayudarlos a dominar el límite, el diferencial y la integral de la
trigonometría. (Maknun et al, 2020, p. 2).
Los obstáculos epistemológicos se enfatizan en la educación matemática. Los estudiantes a menudo
tienen un contexto de conocimiento limitado para comprender la trigonometría. Conocer este obstáculo
epistemológico puede ayudar al profesor a comprender las ideas erróneas del estudiante. Por lo tanto,
este estudio tuvo como objetivo identificar los obstáculos epistemológicos de los estudiantes en relación
con la trigonometría y la función trigonométrica. (Maknun et al, 2022, p. 2).
Un error se puede identificar al ver el resultado del trabajo de los estudiantes. Por ejemplo, en la
investigación de Kamber y Takaci (2017), un estudiante implementa una de las propiedades
para determinar el valor de sen(270°). El estudiante obtiene el resultado:
. Tal vez el estudiante sabe que la propiedad es correcta en álgebra, por lo
que aplica la ecuación para determinar los otros valores de seno de los ángulos. Al analizar este error,
surgen preguntas (¿Los estudiantes no entienden cómo encontrar valores trigonométricos? ¿Los
estudiantes usan los conceptos equivocados? ¿Los estudiantes confunden la comprensión del álgebra y
la trigonometría? ¿Los estudiantes entienden el significado de seno? ¿Los errores ocurren debido al
conocimiento previo de los estudiantes u ocurren durante el proceso de aprendizaje?). Con seguridad,
cada estudiante tiene razones o argumentos que respaldan la respuesta. El estudiante utiliza un concepto
en un contexto particular y lo aplica a otro (Brousseau, 2002). (Maknun et al., 2022, p. 6).
Significado y comprensión son nociones didácticas apropiadas para trabajar la comprensión de
conceptos, el diseño curricular y la evaluación de conocimientos. Este documento busca profundizar en
el significado de los conceptos matemáticos escolares mediante su análisis semántico. Este análisis se
utiliza para identificar y establecer el significado básico de un concepto matemático y valorar su
comprensión. Para ilustrar el estudio, se han seleccionado las nociones trigonométricas de seno y coseno
de un ángulo. El trabajo ejemplifica algunos hallazgos de un estudio exploratorio realizado con
estudiantes de secundaria de entre 16 y 17 años. (Martín et al, 2019, p. 1).
pág. 8530
La trigonometría es un tema significativo e integrador en el currículo de matemáticas de la escuela
preparatoria debido a su relevancia en el pensamiento matemático avanzado. Es un pilar no solo para
las matemáticas avanzadas, sino también para la física, la geometría y la mecánica. Es "la condición
previa para comprender conceptos más avanzados y es necesaria para la formación de un lenguaje
matemático" (Dündar, 2015: 1380). De hecho, la trigonometría se encuentra dentro del área de
contenido de geometría en los Estándares Estatales Básicos Comunes de Matemáticas (Centro de
Mejores Prácticas de la Asociación Nacional de Gobernadores, 2010). De tal relevancia se desprende
que los estudiantes deberían ser capaces de construir conceptos y procedimientos trigonométricos
significativos, esenciales para sus experiencias de aprendizaje. La trigonometría también es una parte
de las matemáticas que es difícil de entender para los estudiantes. (Dündar, 2015). (Martín et al, 2019,
p. 1).
Comprender un contenido matemático en profundidad implica dotar de significado coherente sus
conceptos y realizar sus procedimientos, “comprender algo significa asimilarlo a un esquema
apropiado” (Skemp, 1987: 29). Comprender los contenidos matemáticos es un objetivo importante en
la educación matemática. Este estudio forma parte de un proyecto de investigación sobre el significado
de los conceptos matemáticos escolares y su comprensión. Trabajos anteriores han examinado el
significado de otros conceptos matemáticos (Castro-Rodríguez et al., 2016; Fernández-Plaza et al.,
2013). Este artículo presenta un estudio descriptivo que se centra en los significados que un grupo de
estudiantes españoles de Educación Secundaria No Obligatoria (16-17 años) asocia con las nociones de
seno y coseno. (Yigit Koyunkaya, 2016: 1). (Martín et al, 2019, p. 2).
Como se ha afirmado, comprender un contenido matemático implica dotar de significado estructurado
a sus conceptos y procedimientos. Identificar y caracterizar los significados expresados por un grupo
de estudiantes sobre algún contenido matemático no es tarea fácil en la educación matemática. Se han
desarrollado parcialmente enfoques teóricos y metodológicos. Existen varias propuestas para investigar
cómo dotar de significado a un contenido matemático, en las que se utiliza un marco de tres categorías
semánticas (p. ej., Biehler, 2005; Radford, 2003; Sáenz-Ludlow, 2003; Steinbring, 2006; Vergnaud,
1990).
pág. 8531
Estas tríadas caracterizan aspectos del conocimiento matemático y, al mismo tiempo, pueden utilizarse
como herramientas metodológicas para analizar el significado de los contenidos matemáticos y su
comprensión relacionada (Steinbring, 1998: 172). (Martín et al, 2019, p. 2).
Establecer conexiones entre las representaciones de funciones trigonométricas y la interpretación de sus
gráficas es un gran desafío para muchos estudiantes. Este estudio explora la efectividad de GeoGebra
en el éxito de estudiantes de 12° grado en establecer conexiones entre las representaciones de funciones
trigonométricas y la interpretación de gráficas. Se utilizó un diseño cuasiexperimental con grupo control
no equivalente (pre-test-postest). La muestra del estudio consistió en sesenta y un estudiantes de 12º
grado de dos escuelas. Los resultados mostraron una diferencia estadísticamente significativa entre los
logros promedio del grupo experimental y el grupo control en la creación de conexiones entre
representaciones de funciones trigonométricas, así como en el análisis e interpretación de dichas
representaciones, a favor del grupo experimental. Este estudio amplía los hallazgos de estudios previos
sobre la efectividad del software de matemáticas dinámicas en el aprendizaje de las representaciones y
la interpretación de gráficas de funciones trigonométricas por parte de los estudiantes. (Mosese y
Ogbonnaya, 2021, p. 827).
Este estudio es significativo por dos razones principales. En primer lugar, se inspiró en la necesidad de
encontrar un enfoque alternativo para la enseñanza de las matemáticas con el fin de mejorar el
rendimiento de los estudiantes. El sector educativo se encuentra bajo presión para encontrar maneras
de mejorar los resultados de aprendizaje en habilidades escasas como las matemáticas, la ciencia y la
tecnología. Por lo tanto, este estudio tuvo como objetivo evaluar la posible influencia de GeoGebra en
la enseñanza y el aprendizaje de las funciones trigonométricas. En segundo lugar, solo unos pocos
estudios han evaluado la eficacia del uso de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC)
en la enseñanza y el aprendizaje de las funciones trigonométricas, aunque a menudo se ha descrito como
un tema difícil para los estudiantes (Brown, 2005; Demir, 2012; Weber, 2005). (Mosese y Ogbonnaya,
2021, p. 828).
Este estudio examinó la oportunidad de aprender transformaciones de funciones que ofrecen las
aplicaciones de GeoGebra disponibles en el sitio web de GeoGebra.
pág. 8532
Nuestro análisis se centró en las funciones y sus representaciones, mediante las cuales se exploran las
transformaciones en estas aplicaciones, los efectos y componentes de las transformaciones que estas
aplicaciones permiten a los estudiantes aprender, y el andamiaje que ofrecen. Los resultados muestran
que las transformaciones de funciones en las aplicaciones de GeoGebra se exploran a menudo en el
contexto de familias de funciones (p. ej., funciones cuadráticas y trigonométricas) que utilizan
representaciones específicas (p. ej., gráficas y simbólicas). (Yao y Grande, 2023, p. 326).
Cuando los estudiantes no alcanzan objetivos de aprendizaje específicos, cabe preguntarse si han
recibido la experiencia de aprendizaje que les permite desarrollar las competencias expresadas en estos
objetivos. Por lo tanto, parece natural que los investigadores introduzcan el concepto de oportunidad de
aprender (OTL). De hecho, este concepto fue acuñado por Carroll (1963) al referirse al tiempo suficiente
para que los estudiantes aprendan (Walkowiak, Pinter y Berry, 2017). Desde entonces, la noción de
OAD se ha interpretado desde múltiples perspectivas teóricas, centrándose en el diseño cognitivo,
curricular y de evaluación, las dimensiones sociales o afectivas del aprendizaje, las cuestiones de
equidad y acceso, o los amplios contextos políticos y de políticas del aprendizaje y la enseñanza (Goos,
2014). (Yao y Grande, 2023, p. 326).
En este artículo de Weber se investiga la comprensión de las funciones trigonométricas por parte de los
estudiantes en el contexto de dos cursos universitarios de trigonometría. El primer curso fue impartido
por un profesor independiente del estudio en un formato teórico, mientras que el segundo se impartió
mediante un paradigma de instrucción experimental basado en la noción de precepto de Gray y Tall
(1994) y las teorías actuales del aprendizaje proceso-objeto. Mediante entrevistas y una prueba de papel
y lápiz, examiné la comprensión de las funciones trigonométricas por parte de los estudiantes de ambas
clases. Los resultados indican que los estudiantes que recibieron instrucción teórica desarrollaron una
comprensión muy limitada de estas funciones. Los estudiantes que recibieron instrucción experimental
desarrollaron una comprensión profunda de las funciones trigonométricas (Weber, 2005, p. 91).
Existe un amplio consenso entre los investigadores en educación matemática en cuanto a que el objetivo
de los cursos de matemáticas no es solo que los estudiantes memoricen procedimientos y adquieran
métodos fiables para obtener soluciones correctas en ejercicios de papel y lápiz; Más bien, los
estudiantes deberían aprender matemáticas con comprensión (p. ej., Davis, 1992; Consejo Nacional de
pág. 8533
Profesores de Matemáticas [NCTM], 2000; Skemp, 1987). En particular, los estudiantes deberían ser
capaces de explicar por qué los procedimientos que aplican son matemáticamente apropiados y
justificar por qué los conceptos matemáticos tienen las propiedades que tienen (cf. Skemp, 1987).
(Weber, 2005, p. 92).
DESARROLLO
Definiciones de la función seno.
Definición 1. En la escuela secundaria y en nivel bachillerato aprendemos en trigonometría que el seno
y el coseno de un ángulo de un triángulo rectángulo se definen como la razón entre el cateto opuesto
a dicho ángulo y la hipotenusa; la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. (Baldor, 1983, p.
305). Ver figura 1.
Figura 1. Triángulo rectángulo. Definición de seno.
GeoGebra.org. Elaboración propia
Definición 2. La función seno puede definirse mediante un problema de valor inicial, que consiste en
una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con valores iniciales para la función solución.
(Ibarra, 2010, p. 103).
entonces su solución es
pág. 8534
Definición 3. Como serie de Taylor, o más precisamente, serie de Maclaurin. (Larson, 2018, p. 329).
Definición 4. Para una definición formal y rigurosa recurrimos a (Spivak, 1981, p. 388).
Si entonces es el único número de tal que
A: representa el área de un sector bajo el círculo unitario para un valor de x. Montiel (2005) realiza la
exposición desde la página 35 hasta la 53.
Definición 5. Dado un número complejo , definimos (Apostol, 1964, p. 18)
En donde,
Nota. La definición también es consistente con esta última ecuación cuando es real.
(Spivak, 1981) utiliza de la página 382, empezando con definir un ángulo, a la página 388 para llegar a
la definición de sen x y cos x, después de exponer temas de cálculo diferencial y de cálculo integral.
Mientras que (Apostol, 1964) solo ocupa dos renglones. En el primer caso observamos el rigor
matemático llevado hasta su más alto nivel.
Propiedades de la función seno y coseno
1) el seno es una función impar, y el coseno es función par, es decir:
2) el seno y el coseno son funciones periódicas de periodo 2,
3) para la función seno y coseno: (Purcell, 2007, p. 44). (Zill, 2011, p. 52).
pág. 8535
4) la curva del coseno es la curva del seno desplazada
a la izquierda.
Generalizando,
5) . (Baldor, 1983, p. 329).
6) Las funciones son funciones continuas en todo su dominio, el conjunto de todos
los números reales.
7) Un uso intensivo de las funciones seno y coseno lo hizo Joseph Fourier al publicar su teoría de series
de Fourier, para aproximar funciones, cuando estudiaba la ecuación del calor entre 1807 y 1811.
Partiendo de las funciones seno y coseno podemos definir otras funciones. Ver figura 2.
Figura 2. Las funciones trigonométricas.
Fuente: Wikipedia (2025).
pág. 8536
Breve historia de la función seno
En Egipto y Babilonia, alrededor de 2000 a.C., se observan los primeros indicios de trigonometría en
la práctica. Estas civilizaciones utilizaban tablas de cuerdas y principios de triángulos semejantes para
la construcción y la agricultura. Por ejemplo, los babilonios dividieron el círculo en 360 grados, un
sistema que aún se utiliza en la actualidad. (NEM, s.f.).
Los griegos, particularmente en el periodo clásico, realizaron importantes avances en la trigonometría.
Un matemático destacado fue Hiparco, considerado el padre de la trigonometría, quien elaboró tablas
de cuerdas, que son una forma primitiva de las funciones trigonométricas que conocemos hoy. Su
trabajo sentó las bases para otros matemáticos como Ptolomeo, cuyas contribuciones se enfocaron en
la relación entre los ángulos y dimensiones de figuras geométricas. Durante este periodo, se
formalizaron las definiciones de seno y coseno. (NEM, s.f.).
En la India, matemáticos como Aryabhata y Brahmagupta también hicieron importantes contribuciones
a la trigonometría; introdujeron un estudio más sistemático sobre las funciones trigonométricas.
Posteriormente, En el entorno islámico, figuras como Al-Khwarizmi y Al-Battani expandieron el
conocimiento al traducir y desarrollar conceptos trigonométricos de griegos y de las enseñanzas indias,
estableciendo así una rica tradición que influiría en la Europa medieval. (NEM, s.f.).
Cálculos manuales
Continuando con la idea de disminuir la utilización de la calculadora en el aula de clases, proponemos
un método para aproximar los valores de la función seno. El método que proponemos es la interpolación
lineal de Lagrange. Los valores de la función seno que generalmente utilizamos en los ejemplos, ya sea
de matemáticas o de física, son 0, 30°, 45°, 60° y 90°. Los cuales se utilizan más frecuentemente y ya
los tenemos memorizados. Ver tabla 1.
Tabla 1. Valores más utilizados de la función seno y coseno.
0°
30°
45°
60°
90°
Sen(x)
0
0.5
1
Cos(x)
1
0.5
0
Fuente elaboración propia, 2025
pág. 8537
Estos valores los podemos obtener de una tabla, de una calculadora o construyendo un triángulo
rectángulo isósceles de catetos igual a 1, calculamos el valor de . Dibujando un triángulo
equilátero de lado 1 podemos calcular , al dividir el triángulo en dos triángulos iguales, cuyos
lados serían: hipotenusa igual a 1, un cateto igual a 0.5 y el otro ; también podemos
calcular en ese mismo dibujo. Al mismo tiempo que podemos calcular valores de la función
seno también calculamos los valores de la función coseno. (Baldor, 1983, p. 311). Ver figura 3.
Figura 3. Triángulo equilátero de lado 1.
Fuente: GeoGebra.org. Elaboración propia, 2025.
Para mejorar las aproximaciones agregamos los valores de 15° y 75°, los cuales se toman de una
calculadora. Ver tabla 2 y 3.
Tabla 2. Valores de la función seno y coseno.
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
Sen(x)
0
0.2588
0.5
0.7071
0.866
0.9659
1
Cos(x)
1
0.9659
0.866
0.7071
0.5
0.2588
0
Fuente elaboración propia, 2025
Como se van a trabajar aproximaciones y operaciones a mano, sin usar la calculadora, solo se toman
dos decimales.
Tabla 3. Valores de la función seno y coseno con 2 decimales.
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
Sen(x)
0
0.26
0.5
0.71
0.87
0.97
1
Cos(x)
1
0.97
0.87
0.71
0.5
0.26
0
Fuente elaboración propia, 2025
1
1
60°
1/2
1/2
30°
pág. 8538
Aproximación lineal de valores de la función seno.
Ejemplo 1. Aproximar .
Usamos:
La aproximación es:
Valor exacto en calculadora:
Ejemplo 2. Proceso inverso, aproximar
El valor 0.6 lo ubicamos entre 0.5 y 0.71, por lo tanto, usamos:
Nuestra aproximación es:
Valor exacto en calculadora:
Gráficas en coordenadas polares y en ecuaciones paramétricas.
Como segunda parte en esta publicación, estudiamos otra aplicación de los valores de la función seno
y coseno, tratando de no recurrir a la calculadora. Se trata de elaboración de gráficas en coordenadas
polares.
Ejemplo 3. Elaboramos la gráfica de Esta es una función en coordenadas polares.
(Stewart, (2022), p. 7), ver figura 4 y tabla 2.
Figura 4. La función f(x) = 1 + cos x. Coordenadas Cartesianas.
Fuente: GeoGebra.org. elaboración propia, 2025
1+cos(t)
cos(t)
pág. 8539
Podemos usar valores de la tabla 4.
Tabla 4
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
Cos()
1
0.966
0.866
0.7
0.5
0.26
0
R=1+Cos()
2
1.966
1.866
1.7
1.5
1.26
1
Fuente elaboración propia, 2025
Las líneas que salen del origen tienen ángulos 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75° y 90°. Los puntos que ahora
vamos a graficar tienen coordenadas (). es la distancia al origen. Trazamos 3 círculos, uno de radio
1, de radio 1.5 y radio 2, para que sea más fácil ubicar la distancia al origen, 2, 1.9, 1.8, 1.7, 1.5, 1.2 y
1 en distintos ángulos. Observamos que en 180°, . Ahí termina la mitad
superior de la gráfica. La gráfica de es simétrica con respecto a un eje vertical que pasa por
Por lo tanto, la gráfica polar también debe ser simétrica en su mitad superior y mitad inferior, y
con esto terminamos de graficar, ver figura 5.
(2, 0°), (1.9, 15°), (1.8, 30°), (1.7, 45°), (1.5, 60°), (1.2, 75°), (1, 90°)
Figura 5. Gráfica polar de Coordenadas polares.
Fuente: GeoGebra.org. elaboración propia, 2025
Ejemplo 3. Elaboramos la gráfica de . Esta es una función en coordenadas polares.
Introducimos el comando en GeoGebra, tal como está la función, ver tabla 5.
pág. 8540
Tabla 4. Valores de r y para la función .
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
0°
45°
90°
135°
180°
225°
270°
Cos(3)
1
0.7
0
–0.7
–1
–0.7
0
2
1.4
0
–1.4
–2
–1.4
0
Fuente: Elaboración propia, 2025
Para ubicar las coordenadas (–1.4, 45°) prolongamos la línea a 45° hacia el tercer cuadrante y ahí
medimos la distancia 1.4, lo cual es equivalente a (1.4, 45°+180°). De manera similar se procede para
(–2, 60°), que es equivalente a (2, 60°+180°).
Observamos que la gráfica y=2 cos(3x) pasa por y=0 en x=0.5, 1.58 y 2.6 radianes que equivalen a
La función alcanza sus valores máximos y mínimos, 2, –2, 2, –2: en
Es decir, en y Los cuales
quedan en los extremos de los pétalos, en 0° y 180° es el punto inicial y final, coinciden. Observe la
figura 6.
Figura 6. Y=2 sen (3x). Coordenadas cartesianas.
Fuente: GeoGebra.org. elaboración propia, 2025
pág. 8541
Figura 7
De inmediato GeoGebra muestra la gráfica. Agregamos líneas indicando ángulos, ver figura 8. Para
trazar la gráfica a mano, algunos puntos fáciles de ubicar, usando la figura 6, son:
(2, 0°), (0, 30°), (–2, 60°), (0, 90°), (2, 120°), (0, 150°), (–2, 180°)
Observamos que la figura 6 es simétrica entre
por lo tanto la gráfica polar es simétrica también,
con lo cual queda dibujado el segundo pétalo, tercer cuadrante. La figura 6 es simétrica entre
por lo tanto la gráfica polar es simétrica también, con lo cual queda dibujado el tercer pétalo, segundo
cuadrante.
Figura 8. .
Fuente: GeoGebra.org. Elaboración propia, 2025
pág. 8542
CONCLUSIONES
Se ha hecho un recorrido histórico para resaltar la importancia de la función seno y coseno en particular,
y en general de las funciones trigonométricas. La lejanía en el tiempo de la utilización y necesidad de
cálculos con estas funciones se ha visto a lo largo del desarrollo de las distintas civilizaciones que han
hecho grandes aportes a las matemáticas.
Por otro lado, insistimos en la conveniencia de dejar a un lado la calculadora para hacer énfasis en
desarrollar la capacidad de análisis y observación del estudiante, así como para mejorar sus
competencias de razonamiento lógico y razonamiento aritmético. Para prescindir de la calculadora
necesitamos realizar algunas aproximaciones para tener alguna idea del resultado numérico y poder
revisar si nuestras operaciones están correctas. Otro recurso para explotar es la simetría de la gráfica de
la función seno y coseno, la cual se traslada a las gráficas en coordenadas polares y nos permite ahorrar
algunas evaluaciones.
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