pág. 14600
VIABILIDAD FINANCIERA DE PROYECTOS DE
INVERSIÓN COMPLEMENTANDO CON OPCIONES
REALES Y LÓGICA DIFUSA
FINANCIAL VIABILITY OF INVESTMENT PROJECTS
COMPLEMENTING WITH REAL OPTIONS AND FUZZY LOGIC
Jose Antonio Arnez Gutierrez
Universidad Católica Boliviana “San Pablo”, Santa Cruz, Bolivia.
pág. 14601
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v9i5.20654
Viabilidad financiera de proyectos de inversión complementando con
opciones reales y lógica difusa
Jose Antonio Arnez Gutierrez 1
Jarnez.g@ucb.edu.bo
https://orcid.org/0009-0004-3198-7765
Universidad Católica Boliviana “San Pablo”, Santa Cruz, Bolivia.
Centro de Innovación y Emprendimiento, CIE
Santa Cruz, Bolivia
RESUMEN
La valoración de proyectos de inversión de vida económica larga un factor determinante en la actualidad
es la incertidumbre siendo esta mayor al riesgo en las decisiones, generando un proceso complejo y
costoso que requiere actualización y renovación de la información, entonces los métodos tradicionales
(VAN, TIR) en su condición pasiva no ofrecen esa flexibilidad estratégica que los administradores
requieren al ejecutar una pro-active management de manera oportuna. Las opciones reales presentan una
alternativa de análisis, cuya visión en prospectiva tiene la posibilidad y probabilidad de oportunidades
futuras por lo tanto maximizar la inversión del proyecto, pero de forma cuantitativa quedando una parte
de la información cualitativa aspecto que cubre la lógica borrosa, por el método binomial multiperiodo
(fuzzy real option). Los resultados de aplicar la formulación matemática en un estudio de casos con
definición de limitaciones como todo modelo, demuestra que el VAN dinámico (van tradicional +van
opciones reales) proporciona una visión más amplia y permite gestionar las estrategias y decisiones con
mayor alcance y de manera estrategica.
Palabras Clave: Difuso, binomial, opciones reales
1 Autor principal
Correspondencia: Jarnez.g@ucb.edu.bo
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v9i5.20654
Viabilidad financiera de proyectos de inversión complementando con
opciones reales y lógica difusa
Jose Antonio Arnez Gutierrez 1
Jarnez.g@ucb.edu.bo
https://orcid.org/0009-0004-3198-7765
Universidad Católica Boliviana “San Pablo”, Santa Cruz, Bolivia.
Centro de Innovación y Emprendimiento, CIE
Santa Cruz, Bolivia
RESUMEN
La valoración de proyectos de inversión de vida económica larga un factor determinante en la actualidad
es la incertidumbre siendo esta mayor al riesgo en las decisiones, generando un proceso complejo y
costoso que requiere actualización y renovación de la información, entonces los métodos tradicionales
(VAN, TIR) en su condición pasiva no ofrecen esa flexibilidad estratégica que los administradores
requieren al ejecutar una pro-active management de manera oportuna. Las opciones reales presentan una
alternativa de análisis, cuya visión en prospectiva tiene la posibilidad y probabilidad de oportunidades
futuras por lo tanto maximizar la inversión del proyecto, pero de forma cuantitativa quedando una parte
de la información cualitativa aspecto que cubre la lógica borrosa, por el método binomial multiperiodo
(fuzzy real option). Los resultados de aplicar la formulación matemática en un estudio de casos con
definición de limitaciones como todo modelo, demuestra que el VAN dinámico (van tradicional +van
opciones reales) proporciona una visión más amplia y permite gestionar las estrategias y decisiones con
mayor alcance y de manera estrategica.
Palabras Clave: Difuso, binomial, opciones reales
1 Autor principal
Correspondencia: Jarnez.g@ucb.edu.bo
pág. 14602
Financial viability of investment projects complementing with real options
and fuzzy logic
ABSTRACT
In the valuation of investment projects with a long economic life, a determining factor at present is
uncertainty, which is greater than the risk in decisions, generating a complex and expensive process that
requires updating and renewal of information, so traditional methods (NPV, IRR) in their passive
condition do not offer that strategic flexibility that managers require when executing pro-active
management. The real options present an alternative of analysis, whose vision in prospect has the
possibility and probability of future opportunities, therefore maximizing the investment of the project,
but in a quantitative way, leaving a part of the qualitative information, an aspect that covers the fuzzy
logic, by the multiperiod binomial method (fuzzy real option). The results of applying the mathematical
formulation in a case study with definition of constraints like any model, shows that the dynamic NPV
(traditional NPV + real options NPV) provides a broader vision and allows strategies and decisions to
be managed with greater scope and in a strategic way.
Keywords: Fuzzy, binomial, real options
Artículo recibido 18 setiembre 2025
Aceptado para publicación: 05 octubre 2025
Financial viability of investment projects complementing with real options
and fuzzy logic
ABSTRACT
In the valuation of investment projects with a long economic life, a determining factor at present is
uncertainty, which is greater than the risk in decisions, generating a complex and expensive process that
requires updating and renewal of information, so traditional methods (NPV, IRR) in their passive
condition do not offer that strategic flexibility that managers require when executing pro-active
management. The real options present an alternative of analysis, whose vision in prospect has the
possibility and probability of future opportunities, therefore maximizing the investment of the project,
but in a quantitative way, leaving a part of the qualitative information, an aspect that covers the fuzzy
logic, by the multiperiod binomial method (fuzzy real option). The results of applying the mathematical
formulation in a case study with definition of constraints like any model, shows that the dynamic NPV
(traditional NPV + real options NPV) provides a broader vision and allows strategies and decisions to
be managed with greater scope and in a strategic way.
Keywords: Fuzzy, binomial, real options
Artículo recibido 18 setiembre 2025
Aceptado para publicación: 05 octubre 2025
pág. 14603
INTRODUCCION
La decisión de inversión en proyectos depende del nivel de incertidumbre sobre condiciones dinámicas
del mercado, el método tradicional (estático) no permite modificar sus bases de proyección del flujo de
caja donde los activos involucrados se orientan de forma pasiva y sin valor agregado al no tener reacción
a los cambios emergentes, es decir se consideran sobre bases de certeza de ocurrencia pero que se
soslayan con los análisis de sensibilidad, criterio del valor esperado, arboles de decisión, y técnicas de
simulación de Montecarlo, entonces esta condición determina la complejidad de cuantificar
económicamente los beneficios derivados del proyecto.
Bajo el criterio del Valor presente neto (VPN) un nuevo proyecto se acepta o rechaza si VPN>0 o
VPN<0, y otros como la TIR, es aceptado o rechazado de forma rígida y pasiva, entonces los planes de
inversión no se modifican entonces son irreversibles, la teoría de opciones reales (proyectos de
inversión) permite valorar la flexibilidad con una visión prospectiva de posibles y probables cambios de
los escenarios de futuro de forma dinámica y continua en el ciclo de vida de un proyecto sean estos de
orden privado o público, se debe incorporar matemáticamente esa flexibilidad estratégica en la decisión
y de esta manera complementar a los métodos tradicionales.
Las opciones reales surgen con (Myers S, 1977) a partir de la condición paralela de una opción
financiera, siendo la primera como un derecho según su tipo; para (Lamothe, 2003) seria: Diferir,
también Invertir/crecer/expandir, y Reducción/venta/desinversión, en esta misma lógica el valor
presente de los flujos descontados de caja vienen a ser por analogía el valor del activo subyacente,
entonces el precio de ejercicio seria la inversión necesaria del proyecto en cuestión, también hay una
fecha o periodo de vencimiento que sería el horizonte de la inversión y su recuperación. Para (Venegas,
2008, pág. 800), destaca que la comprensión de la teoría de opciones reales se debe recurrir a los
publicado por Avinash K. Dixit y Robert S. Pindych: Inversion bajo incertidumbre, y lo relacionado al
tema por Eduardo Schwartz y Lenos Trigeorgis , en este contexto propone una singular valoración
matemática de decisión por opción de posponer un proyecto, por diversas razones como lo señala el
autor: mayor publicidad, más investigación y desarrollo, se aumenta la producción, se abandona por
VPN negativo, etc. , consecuentemente si la inversión inicial (Io) en t=0 hoy se pospone para t=1,
asumiendo que la decisión de invertir es irreversible su recuperación tiende a cero, cuyo costo de
INTRODUCCION
La decisión de inversión en proyectos depende del nivel de incertidumbre sobre condiciones dinámicas
del mercado, el método tradicional (estático) no permite modificar sus bases de proyección del flujo de
caja donde los activos involucrados se orientan de forma pasiva y sin valor agregado al no tener reacción
a los cambios emergentes, es decir se consideran sobre bases de certeza de ocurrencia pero que se
soslayan con los análisis de sensibilidad, criterio del valor esperado, arboles de decisión, y técnicas de
simulación de Montecarlo, entonces esta condición determina la complejidad de cuantificar
económicamente los beneficios derivados del proyecto.
Bajo el criterio del Valor presente neto (VPN) un nuevo proyecto se acepta o rechaza si VPN>0 o
VPN<0, y otros como la TIR, es aceptado o rechazado de forma rígida y pasiva, entonces los planes de
inversión no se modifican entonces son irreversibles, la teoría de opciones reales (proyectos de
inversión) permite valorar la flexibilidad con una visión prospectiva de posibles y probables cambios de
los escenarios de futuro de forma dinámica y continua en el ciclo de vida de un proyecto sean estos de
orden privado o público, se debe incorporar matemáticamente esa flexibilidad estratégica en la decisión
y de esta manera complementar a los métodos tradicionales.
Las opciones reales surgen con (Myers S, 1977) a partir de la condición paralela de una opción
financiera, siendo la primera como un derecho según su tipo; para (Lamothe, 2003) seria: Diferir,
también Invertir/crecer/expandir, y Reducción/venta/desinversión, en esta misma lógica el valor
presente de los flujos descontados de caja vienen a ser por analogía el valor del activo subyacente,
entonces el precio de ejercicio seria la inversión necesaria del proyecto en cuestión, también hay una
fecha o periodo de vencimiento que sería el horizonte de la inversión y su recuperación. Para (Venegas,
2008, pág. 800), destaca que la comprensión de la teoría de opciones reales se debe recurrir a los
publicado por Avinash K. Dixit y Robert S. Pindych: Inversion bajo incertidumbre, y lo relacionado al
tema por Eduardo Schwartz y Lenos Trigeorgis , en este contexto propone una singular valoración
matemática de decisión por opción de posponer un proyecto, por diversas razones como lo señala el
autor: mayor publicidad, más investigación y desarrollo, se aumenta la producción, se abandona por
VPN negativo, etc. , consecuentemente si la inversión inicial (Io) en t=0 hoy se pospone para t=1,
asumiendo que la decisión de invertir es irreversible su recuperación tiende a cero, cuyo costo de
pág. 14604
producción es P>1, con precio en el mercado en cualquier horizonte de tiempo con una caminata
aleatoria de p y 1-p, esto reforzaría la siguiente expresión: F (flujo de efectivo esperado)= p(P+1) +(1-
p)(P-1) = 2p+P-1, suponiendo que el cálculo de Wacc=r se aplica para descontar los flujos de caja futuros
(incluiría en condiciones objetivas el riesgo país para países emergentes y en vías de desarrollo es
determinante este aumento para inversiones extranjeras) tendríamos:
VPN = -Io + ∑ 2p+P−1
(1+r)t
∞
t=0 = -Io+(2p+N-1) ∑ 1
(1+r)t
∞
t=0 = -Io+ (2p+N-1)(r+1)/r
Si la inversión se pospusiese a un periodo t=1, la alternativa de VPN se modifica en busca de la
maximización:
VPN’= p Max ( −Io
1+r + ∑ P+1
(1+r)t
∞
t=1 , 0) + (1-p)Max ( −Io
1+r + ∑ P−1
(1+r)t
∞
t=1 , 0)
VPN’= p Max ( −Io+(P+1)(r+1)/r
1+𝑟 ,0) + (1-p) Max −Io+(P−1)(r+1)/r
1+𝑟
VPN’ = p Max (−Io
1+r + P+1
r ,0) + (1-p)Max (−Io
1+r + P−1
r ,0)
P-1< Io ( r
1+r ,0)< P+1 entonces VPN’ = p (P+1
r - Io
1+r), dando lugar a una primera conclusión respecto a
t=1 se asume que el precio aumenta en P+1, y el VPN de los flujos de caja son (P+1)(r+1)/r, siendo esta
> a la inversión inicial (Io), lo contrario sería que Io> (P-1)(r+1)/r, por lo tanto se resume en: VPN = 2p-
1(r+1)/r, cuando 0<p<0.5 entonces VPN’= p/r>0 , y VPN<0, bajo este argumento se entiende que p=0.5
y VPN =0, por lo tanto VPN’=VPN + c donde el valor de c =0.5r que sería el valor actual de la opción
real si se pospone un periodo t=1
En relación a los tipos de opciones reales, (Pareja, 2016) sugiere además Cambiar: derecho de permutar
dos tipos de operaciones por un costo determinado, considerando que la inversión no sea mayor al VAN
tradicional, y de tipo Compuesto: como una combinación múltiple de opciones, a realizar de forma
independiente, simultanea o secuencial, es para resaltar que la investigación de (Manotas, 2001) plantea
analizar la zona de decisión según la posición del VAN tradicional considerando la evolución de la
volatilidad y otros relacionados cuya descripción grafica del mapa es como sigue:
producción es P>1, con precio en el mercado en cualquier horizonte de tiempo con una caminata
aleatoria de p y 1-p, esto reforzaría la siguiente expresión: F (flujo de efectivo esperado)= p(P+1) +(1-
p)(P-1) = 2p+P-1, suponiendo que el cálculo de Wacc=r se aplica para descontar los flujos de caja futuros
(incluiría en condiciones objetivas el riesgo país para países emergentes y en vías de desarrollo es
determinante este aumento para inversiones extranjeras) tendríamos:
VPN = -Io + ∑ 2p+P−1
(1+r)t
∞
t=0 = -Io+(2p+N-1) ∑ 1
(1+r)t
∞
t=0 = -Io+ (2p+N-1)(r+1)/r
Si la inversión se pospusiese a un periodo t=1, la alternativa de VPN se modifica en busca de la
maximización:
VPN’= p Max ( −Io
1+r + ∑ P+1
(1+r)t
∞
t=1 , 0) + (1-p)Max ( −Io
1+r + ∑ P−1
(1+r)t
∞
t=1 , 0)
VPN’= p Max ( −Io+(P+1)(r+1)/r
1+𝑟 ,0) + (1-p) Max −Io+(P−1)(r+1)/r
1+𝑟
VPN’ = p Max (−Io
1+r + P+1
r ,0) + (1-p)Max (−Io
1+r + P−1
r ,0)
P-1< Io ( r
1+r ,0)< P+1 entonces VPN’ = p (P+1
r - Io
1+r), dando lugar a una primera conclusión respecto a
t=1 se asume que el precio aumenta en P+1, y el VPN de los flujos de caja son (P+1)(r+1)/r, siendo esta
> a la inversión inicial (Io), lo contrario sería que Io> (P-1)(r+1)/r, por lo tanto se resume en: VPN = 2p-
1(r+1)/r, cuando 0<p<0.5 entonces VPN’= p/r>0 , y VPN<0, bajo este argumento se entiende que p=0.5
y VPN =0, por lo tanto VPN’=VPN + c donde el valor de c =0.5r que sería el valor actual de la opción
real si se pospone un periodo t=1
En relación a los tipos de opciones reales, (Pareja, 2016) sugiere además Cambiar: derecho de permutar
dos tipos de operaciones por un costo determinado, considerando que la inversión no sea mayor al VAN
tradicional, y de tipo Compuesto: como una combinación múltiple de opciones, a realizar de forma
independiente, simultanea o secuencial, es para resaltar que la investigación de (Manotas, 2001) plantea
analizar la zona de decisión según la posición del VAN tradicional considerando la evolución de la
volatilidad y otros relacionados cuya descripción grafica del mapa es como sigue:
pág. 14605
Gráfico No. 1
Análisis de posición opciones en resultados de VAN
Nota: Obtenido de (Manotas, 2001, pág. 15)
Es preciso señalar que las opciones reales tienen limitaciones, según (Lamothe, 2003) donde no exista
flexibilidad operativa este método no aporta valor, esta misma apreciación lo corrobora (Guajardo T,
2001) que expone una perspectiva de aplicación desde la gestión pública y presenta una exclusión de
tipos de proyectos: Intangibles como seguridad nacional, integración nacional o regional, efectos del
clima y medio ambiente, apreciación nivel de población y similares, mientras que las no cuantificables
serian de salud, educación, judiciales, carcelarias y deportivas.
Laselección del tipo de proyecto a ser analizado por opciones reales está ligado al grado de
incertidumbre, posibles opciones de futuros del mismo proyecto y la disponibilidad de la información,
es decir (Guajardo T, 2001) menciona que en la incertidumbre se pueda materializar las estrategias
operativas en forma de opciones.
La incorporación de la lógica difusa en este contexto refuerza los resultados según las variables de
antecedente y consecuente para establecer las bases de un sistema difuso, una fortaleza es que permiten
dar un intervalo de valores posibles de las opciones reales o proyectos, otorgando al manager una pauta
de decisión respecto al futuro de los resultados, es así que el VAN tradicional o estático sumado al VAN
opciones reales, dan como resultado un VAN dinámico.
Gráfico No. 1
Análisis de posición opciones en resultados de VAN
Nota: Obtenido de (Manotas, 2001, pág. 15)
Es preciso señalar que las opciones reales tienen limitaciones, según (Lamothe, 2003) donde no exista
flexibilidad operativa este método no aporta valor, esta misma apreciación lo corrobora (Guajardo T,
2001) que expone una perspectiva de aplicación desde la gestión pública y presenta una exclusión de
tipos de proyectos: Intangibles como seguridad nacional, integración nacional o regional, efectos del
clima y medio ambiente, apreciación nivel de población y similares, mientras que las no cuantificables
serian de salud, educación, judiciales, carcelarias y deportivas.
Laselección del tipo de proyecto a ser analizado por opciones reales está ligado al grado de
incertidumbre, posibles opciones de futuros del mismo proyecto y la disponibilidad de la información,
es decir (Guajardo T, 2001) menciona que en la incertidumbre se pueda materializar las estrategias
operativas en forma de opciones.
La incorporación de la lógica difusa en este contexto refuerza los resultados según las variables de
antecedente y consecuente para establecer las bases de un sistema difuso, una fortaleza es que permiten
dar un intervalo de valores posibles de las opciones reales o proyectos, otorgando al manager una pauta
de decisión respecto al futuro de los resultados, es así que el VAN tradicional o estático sumado al VAN
opciones reales, dan como resultado un VAN dinámico.
pág. 14606
Las opciones reales tienen las siguientes combinaciones:
Tabla No. 1 Las posiciones básicas de opciones reales
Opción Característica Tipo de industria
Expandir Si las condiciones de mercado son mejores a
las esperadas se presenta la alternativa de
extender el ciclo de vida del proyecto,
expandir la capacidad. De lo contrario se
puede contraer o reducir.
Industrias cíclicas, comerciales e
inmobiliarias.
Abandonar Si las condiciones de mercado desmejoran
notablemente la gerencia puede decidir
abandonar el proyecto y desprenderse del
capital y el resto de los activos existentes.
Industrias con inversión intensiva
en capital físico (transporte aéreo,
terrestre o introducción de nuevos
productos en el mercado)
Cierre temporal Si mantener operativo el proyecto es
desfavorable la gerencia puede cerrar
temporariamente las operaciones
Recursos naturales (Industria
minera)
Crecer Un proyecto inicial en I+D o una inversión
estratégica es un requisito inicial para una
cadena de proyectos interrelacionados,
oportunidades futuras de crecimiento
Todas las industrias que involucren
procesos secuenciales
(electrónicas, químicas,
hidrocarburos).
Aplazar/Diferir La gerencia posee un arrendamiento (u
opción de comprar) tierras para
emprendimiento. Puede ver si el precio del
producto evoluciona para construir la planta.
Extracción de recursos naturales,
inmobiliarias, industrias
farmacológicas, etc.
Intercambio Si los precios de mercado cambian la
gerencia puede cambiar la mezcla de
productos ofrecida. Si los precios de los
Industrias en procesos
diversificados u oferta de mezcla
de productos.
Las opciones reales tienen las siguientes combinaciones:
Tabla No. 1 Las posiciones básicas de opciones reales
Opción Característica Tipo de industria
Expandir Si las condiciones de mercado son mejores a
las esperadas se presenta la alternativa de
extender el ciclo de vida del proyecto,
expandir la capacidad. De lo contrario se
puede contraer o reducir.
Industrias cíclicas, comerciales e
inmobiliarias.
Abandonar Si las condiciones de mercado desmejoran
notablemente la gerencia puede decidir
abandonar el proyecto y desprenderse del
capital y el resto de los activos existentes.
Industrias con inversión intensiva
en capital físico (transporte aéreo,
terrestre o introducción de nuevos
productos en el mercado)
Cierre temporal Si mantener operativo el proyecto es
desfavorable la gerencia puede cerrar
temporariamente las operaciones
Recursos naturales (Industria
minera)
Crecer Un proyecto inicial en I+D o una inversión
estratégica es un requisito inicial para una
cadena de proyectos interrelacionados,
oportunidades futuras de crecimiento
Todas las industrias que involucren
procesos secuenciales
(electrónicas, químicas,
hidrocarburos).
Aplazar/Diferir La gerencia posee un arrendamiento (u
opción de comprar) tierras para
emprendimiento. Puede ver si el precio del
producto evoluciona para construir la planta.
Extracción de recursos naturales,
inmobiliarias, industrias
farmacológicas, etc.
Intercambio Si los precios de mercado cambian la
gerencia puede cambiar la mezcla de
productos ofrecida. Si los precios de los
Industrias en procesos
diversificados u oferta de mezcla
de productos.
pág. 14607
insumos se modifican, puede alterarse la
tecnología o los insumos aplicados
Default / venta Si las ganancias no son las esperadas o
necesarias para sostener el proyecto y el
valor del mismo (los flujos de fondos)
disminuyen por debajo de la deuda exigible
se ingresa en estado de cesación de pagos
Todas las firmas apalancadas (con
deuda)
Escalonado Si la firma genera beneficios por debajo de
lo esperado, el inversor de riesgo (venture
capital) tiene la opción de salida
Emprendimientos de riesgo.
Proyectos de crecimiento en
mercados emergentes.
Nota: Obtenido de (Ferreira, 2015, pág. 81)
La lógica difusa incluye un análisis de la valoración de proyectos de inversión con la teoría de opciones
reales que se fundamenta en su aporte multivariado al tratar de cuantificar la incertidumbre, misma que
se basa en el precepto de “Todo es cuestión de grado”, entre sus ventajas tenemos: conceptualmente de
fácil comprensión, tolerante a datos imprecisos, modelar funciones no lineales de arbitraria complejidad,
combinan con técnicas de control convencionales, de fácil dependencia de las variaciones de funciones
de pertenencia, además de ser versátil a las modificaciones.
METODOLOGIA
Modelo Binomial difuso
Existe una convergencia del modelo binomial y las opciones fundamentadas por Black-Scholes respecto
al teorema del límite central, de la distribución normal a la binomial cuando el número de repeticiones
tiene a infinito así lo expone (Venegas, 2008, pág. 240), sobre el procedimiento con enfoque
probabilístico para calcular el valor esperado del pago a fecha de vencimiento de la opción, para (Acosta-
Rueda, 2020, pág. 121) establece que tres modelos binomiales han logrado probar su consistencia.
En un esfuerzo de comparación de modelos de valoración (Cepeda Vega, 2022, págs. 34-35), concluye
que las aproximaciones entre Black-Scholes, Cox-Ross-Rubientein con árbol binomial y trinomial, y el
insumos se modifican, puede alterarse la
tecnología o los insumos aplicados
Default / venta Si las ganancias no son las esperadas o
necesarias para sostener el proyecto y el
valor del mismo (los flujos de fondos)
disminuyen por debajo de la deuda exigible
se ingresa en estado de cesación de pagos
Todas las firmas apalancadas (con
deuda)
Escalonado Si la firma genera beneficios por debajo de
lo esperado, el inversor de riesgo (venture
capital) tiene la opción de salida
Emprendimientos de riesgo.
Proyectos de crecimiento en
mercados emergentes.
Nota: Obtenido de (Ferreira, 2015, pág. 81)
La lógica difusa incluye un análisis de la valoración de proyectos de inversión con la teoría de opciones
reales que se fundamenta en su aporte multivariado al tratar de cuantificar la incertidumbre, misma que
se basa en el precepto de “Todo es cuestión de grado”, entre sus ventajas tenemos: conceptualmente de
fácil comprensión, tolerante a datos imprecisos, modelar funciones no lineales de arbitraria complejidad,
combinan con técnicas de control convencionales, de fácil dependencia de las variaciones de funciones
de pertenencia, además de ser versátil a las modificaciones.
METODOLOGIA
Modelo Binomial difuso
Existe una convergencia del modelo binomial y las opciones fundamentadas por Black-Scholes respecto
al teorema del límite central, de la distribución normal a la binomial cuando el número de repeticiones
tiene a infinito así lo expone (Venegas, 2008, pág. 240), sobre el procedimiento con enfoque
probabilístico para calcular el valor esperado del pago a fecha de vencimiento de la opción, para (Acosta-
Rueda, 2020, pág. 121) establece que tres modelos binomiales han logrado probar su consistencia.
En un esfuerzo de comparación de modelos de valoración (Cepeda Vega, 2022, págs. 34-35), concluye
que las aproximaciones entre Black-Scholes, Cox-Ross-Rubientein con árbol binomial y trinomial, y el
pág. 14608
modelo de Duan aplicados, utilizan la volatilidad histórica o desviación estándar del activo o retornos
del activo del activo que se mantiene constante para calcular el valor de la opción, excepto el modelo de
Duan cuya postura asume volatilidad mediante el proceso GARCH - Generalized Autoregressive
Conditional Heteroscedasticity (encuentra la volatilidad promedio a medio plazo mediante una
autorregresión que depende de la suma de perturbaciones rezagadas y de la suma de varianzas rezagadas)
según los datos históricos para calcular la volatilidad futura hasta cada plazo de vencimiento. a periodos
de 30, 90 y 120 días, los resultados son similares en su valoración asumiendo que estos tienen asimetría
y curtosis definidas.
La técnica binomial se sustenta sobre la base de cambios ascendentes y descendentes considerando la
valoración neutral al riesgo, entendiendo que la misma se sustenta en una caminata aleatoria de un
proceso estocástico, para (Cox, 1979) pioneros de esta metodología. Siguiendo el trabajo de (Acosta-
Rueda, 2020, págs. 102-105), quien presenta una importante comparación entre varios modelos alternos
de binomial, concluye que los mismos se asemejan y su simplicidad es notoria cuando se aplica
comparativamente con otros modelos complementarios.
En su expresión más resumida para (Lamothe, 2003, pág. 111) explica que este método utiliza
algoritmos de cálculo numérico, es por ello que (Cox, 1979, págs. 6-8), estableces dos movimientos,
ascendente y descendente muy aplicables en la toma de decisiones, misma condición se asemeja a
cualquiera de los modelos de árbol binomial y trinomial que constituyen una base de probabilidades.
Esta relación de variables se aprecia en un árbol binomial, con periodos de ascenso y descenso
probabilístico. En la notación que identifica a las aproximaciones anteriores, “u” es el cambio ascendente
, “d” es el cambio descendente , cuando se incluye la volatilidad como factor exponencial por lo expuesto
sobre el movimiento geométrico browniano “a” puede ser la constantes “e” expresada en términos
exponenciales o desviación estándar de los datos históricos calculados a un periodo especifico de
tiempo, para (Dumrauf G. , 2003, pág. 231) este valor a puede ser la expresión absoluta de 1+ la tasa
libre de riesgo o costo de oportunidad, este último se aplica en el contexto de la decisiones de inversión
en proyectos, considerando que los ascensos y descensos deben estar sumidos en primera instancia en
valoraciones de la volatilidad (desviación estándar) de los datos históricos del activo subyacente.
modelo de Duan aplicados, utilizan la volatilidad histórica o desviación estándar del activo o retornos
del activo del activo que se mantiene constante para calcular el valor de la opción, excepto el modelo de
Duan cuya postura asume volatilidad mediante el proceso GARCH - Generalized Autoregressive
Conditional Heteroscedasticity (encuentra la volatilidad promedio a medio plazo mediante una
autorregresión que depende de la suma de perturbaciones rezagadas y de la suma de varianzas rezagadas)
según los datos históricos para calcular la volatilidad futura hasta cada plazo de vencimiento. a periodos
de 30, 90 y 120 días, los resultados son similares en su valoración asumiendo que estos tienen asimetría
y curtosis definidas.
La técnica binomial se sustenta sobre la base de cambios ascendentes y descendentes considerando la
valoración neutral al riesgo, entendiendo que la misma se sustenta en una caminata aleatoria de un
proceso estocástico, para (Cox, 1979) pioneros de esta metodología. Siguiendo el trabajo de (Acosta-
Rueda, 2020, págs. 102-105), quien presenta una importante comparación entre varios modelos alternos
de binomial, concluye que los mismos se asemejan y su simplicidad es notoria cuando se aplica
comparativamente con otros modelos complementarios.
En su expresión más resumida para (Lamothe, 2003, pág. 111) explica que este método utiliza
algoritmos de cálculo numérico, es por ello que (Cox, 1979, págs. 6-8), estableces dos movimientos,
ascendente y descendente muy aplicables en la toma de decisiones, misma condición se asemeja a
cualquiera de los modelos de árbol binomial y trinomial que constituyen una base de probabilidades.
Esta relación de variables se aprecia en un árbol binomial, con periodos de ascenso y descenso
probabilístico. En la notación que identifica a las aproximaciones anteriores, “u” es el cambio ascendente
, “d” es el cambio descendente , cuando se incluye la volatilidad como factor exponencial por lo expuesto
sobre el movimiento geométrico browniano “a” puede ser la constantes “e” expresada en términos
exponenciales o desviación estándar de los datos históricos calculados a un periodo especifico de
tiempo, para (Dumrauf G. , 2003, pág. 231) este valor a puede ser la expresión absoluta de 1+ la tasa
libre de riesgo o costo de oportunidad, este último se aplica en el contexto de la decisiones de inversión
en proyectos, considerando que los ascensos y descensos deben estar sumidos en primera instancia en
valoraciones de la volatilidad (desviación estándar) de los datos históricos del activo subyacente.
pág. 14609
En su forma de valoración de incertidumbre y flexibilidad (Pareja, 2016, pág. 223) presenta un esquema
basado en (Copeland, 2003), con un cuadrante de alto valor y flexibilidad están representados por la
incertidumbre hacia el futuro y la respuesta de la administración de un proyecto sobre posibles cambios.
En relación con las ventajas de este modelo de valoración (Milanesi G. , 2013) explica que entre otras
la posibilidad del uso de las escalas semánticas de las decisiones estratégicas y su flexibilidad y lo más
determinante la ausencia de información de mercado que impide trabajar con activos similares (gemelos)
o carteras replicas como aquellos de base tecnológica, nuevos productos innovadores, empresas de
capital cerrado que operan en mercados emergentes.
Consecuentemente se podría argumentar que la lógica difusa o borrosa (fuzzy) concepto introducido por
Lofti A. Zaded cuyos argumentos (D'Negri, 2006, pág. 133), explica que la estructura de esta lógica
funciona bajo la siguiente implicación: Si X es A entonces Y es B o también p→ q, siendo p el
antecedente y q el consecuente, en este sentido explica que dentro de la lógica binaria y multivaluada
existen sentencias AND , OR y NOT. Esos escenarios se traducen en las bases de la lógica difusa (fuzzy)
según lo explica el autor. Sobre esta base sencilla descansa la valoración y análisis en tiempo continuo
fuzzy (MCF), y el que se aplica a esta investigación es más bien de tiempo discreto que básicamente es
combinar el árbol binomial con una triangulación borrosa, para poder calcular los movimientos
ascendentes (p) y descendentes (1-p). Para la presente investigación lo que se busca es la forma
triangular debido a que las inversiones en proyectos tienen tres condiciones: Normales, Expansión y de
contracción, de otra manera, normal, optimismo y pesimista.
Para (Muzzioli S., 2004) en el modelo binomial los ascendentes y descendentes máximos/mínimos son
llamados crisp o probabilidad exacta pero señala que los cambios son difusos o aproximadamente, en
consecuencia, estos intervalos de probabilidades bajo un criterio de riesgo neutral se asumen que: las
decisiones de inversión son homogéneas, nos hay costos de transacción, impuestos u otras restricciones,
no hay arbitraje. EN la siguiente figura se expresa de manera gráfica la posición alcista (up) y bajista
(down).
En su forma de valoración de incertidumbre y flexibilidad (Pareja, 2016, pág. 223) presenta un esquema
basado en (Copeland, 2003), con un cuadrante de alto valor y flexibilidad están representados por la
incertidumbre hacia el futuro y la respuesta de la administración de un proyecto sobre posibles cambios.
En relación con las ventajas de este modelo de valoración (Milanesi G. , 2013) explica que entre otras
la posibilidad del uso de las escalas semánticas de las decisiones estratégicas y su flexibilidad y lo más
determinante la ausencia de información de mercado que impide trabajar con activos similares (gemelos)
o carteras replicas como aquellos de base tecnológica, nuevos productos innovadores, empresas de
capital cerrado que operan en mercados emergentes.
Consecuentemente se podría argumentar que la lógica difusa o borrosa (fuzzy) concepto introducido por
Lofti A. Zaded cuyos argumentos (D'Negri, 2006, pág. 133), explica que la estructura de esta lógica
funciona bajo la siguiente implicación: Si X es A entonces Y es B o también p→ q, siendo p el
antecedente y q el consecuente, en este sentido explica que dentro de la lógica binaria y multivaluada
existen sentencias AND , OR y NOT. Esos escenarios se traducen en las bases de la lógica difusa (fuzzy)
según lo explica el autor. Sobre esta base sencilla descansa la valoración y análisis en tiempo continuo
fuzzy (MCF), y el que se aplica a esta investigación es más bien de tiempo discreto que básicamente es
combinar el árbol binomial con una triangulación borrosa, para poder calcular los movimientos
ascendentes (p) y descendentes (1-p). Para la presente investigación lo que se busca es la forma
triangular debido a que las inversiones en proyectos tienen tres condiciones: Normales, Expansión y de
contracción, de otra manera, normal, optimismo y pesimista.
Para (Muzzioli S., 2004) en el modelo binomial los ascendentes y descendentes máximos/mínimos son
llamados crisp o probabilidad exacta pero señala que los cambios son difusos o aproximadamente, en
consecuencia, estos intervalos de probabilidades bajo un criterio de riesgo neutral se asumen que: las
decisiones de inversión son homogéneas, nos hay costos de transacción, impuestos u otras restricciones,
no hay arbitraje. EN la siguiente figura se expresa de manera gráfica la posición alcista (up) y bajista
(down).
pág. 14610
Gráfico No. 2
Distribución de probabilidades binomial de un periodo factor Up/Down
Nota: (Garcia, 2007, pág. 7)
Para (Garcia, 2007)los valores de Po, P1, P2 ya representan la conceptualización de los números borros
triangulares con ascendentes (u) y descendentes (d) del modelo binomial, para (Milanesi G. , 2012) son
estos factores lo que afectan el valor de la opción cuya base es la volatilidad derivada de activos gemelos
financieramente, si no hubiera se debe estimar con el enfoque MAD (riesgos de mercados y privados
volatilidad cambiante es decir esta correlacionado consigo mismo) tal condición de tres momentos se
convierten en: u = ⅇθ√t = u1u2u3
ⅇ(1−Cv)θ√t , ⅇθ√t , ⅇ(1+Cv)θ√t
d1d2d3 = 1
u1
1
u 2
1
u 3
La metodología propuesta por (Garcia, 2007, pág. 8) en el cálculo de las probabilidades neutrales al
riesgo aplican un sistema de:
Pd+ Pu =1 entonces 𝑃𝑑 𝑑
1+𝑟 + 𝑃𝑢 𝑢
1+𝑟 = 1, pero en lógica difusa esta trabaja por el corte triangular:
Pd+ Pu =1 entonces 𝑃𝑑 𝑑1,𝑑3
1+𝑟 + 𝑃𝑢 𝑢1 𝑢3
1+𝑟 = 1,1 mismos que pueden presentar un sistema de dos
ecuaciones:
Pu = (1+r) –d1 – ά(d2-d1) Pd = u1 – ά(u2-u1)-(1+r)
Gráfico No. 2
Distribución de probabilidades binomial de un periodo factor Up/Down
Nota: (Garcia, 2007, pág. 7)
Para (Garcia, 2007)los valores de Po, P1, P2 ya representan la conceptualización de los números borros
triangulares con ascendentes (u) y descendentes (d) del modelo binomial, para (Milanesi G. , 2012) son
estos factores lo que afectan el valor de la opción cuya base es la volatilidad derivada de activos gemelos
financieramente, si no hubiera se debe estimar con el enfoque MAD (riesgos de mercados y privados
volatilidad cambiante es decir esta correlacionado consigo mismo) tal condición de tres momentos se
convierten en: u = ⅇθ√t = u1u2u3
ⅇ(1−Cv)θ√t , ⅇθ√t , ⅇ(1+Cv)θ√t
d1d2d3 = 1
u1
1
u 2
1
u 3
La metodología propuesta por (Garcia, 2007, pág. 8) en el cálculo de las probabilidades neutrales al
riesgo aplican un sistema de:
Pd+ Pu =1 entonces 𝑃𝑑 𝑑
1+𝑟 + 𝑃𝑢 𝑢
1+𝑟 = 1, pero en lógica difusa esta trabaja por el corte triangular:
Pd+ Pu =1 entonces 𝑃𝑑 𝑑1,𝑑3
1+𝑟 + 𝑃𝑢 𝑢1 𝑢3
1+𝑟 = 1,1 mismos que pueden presentar un sistema de dos
ecuaciones:
Pu = (1+r) –d1 – ά(d2-d1) Pd = u1 – ά(u2-u1)-(1+r)
pág. 14611
u1-d1 + ά(u2-u1-d2-d1) u1-d1 + ά(u2-u1-d2-d1)
Pu = (1+r) –d3 – ά(d3-d2) Pd = u3 – ά(u3-u2)-(1+r)
u3-d3 + ά(u3-u2-d3-d2) u3-d3 + ά(u3-u3-d3-d2)
El numero borroso de las probabilidades neurales al riesgo se calculan con la primera y segunda
derivada, pero asumiendo: d1<d2<d3<1+rf<u1<u2<u3. Ssi 0<Pd<Pd’<1;0<Pu<Pu’<1, entonces
Pod3≤X≤Pou1, para comprender la valoración de la opción call, (Muzzioli S., 2004) proponen el
triángulo donde la opción real presenta incertidumbre solo de lado de la flexibilidad, siendo c el valor
del modelo binomial estándar sin ambigüedad, y este valor es más posible en ambas posiciones.
Gráfico No. 3
Ambigüedad del binomial
Nota: Obtenido de (Muzzioli S., 2004)
Entonces la condición de vaguedad presenta tres escenarios sobre la valoración de proyectos de
inversión, sin incertidumbre, con incertidumbre y con incertidumbre en la volatilidad.
Modelo binomial multiperiodo difuso y de valoración de proyectos de inversión
En la binomial multiperiodo para “n” periodos conforme a (Garcia, 2007, pág. 14) se tiene: Pou t-jdj=
(Po1d1t-j, P022d2t-j, Po3d3t-ju3j) con j=1,2,3,4…..t, cuya representación de binomial borroso tiene
condiciones a considerar:
Si hay incertidumbre en la volatilidad, las probabilidades de riesgo neutral son difusos dando lugar al
origen del precio del activo(So) en crisp (probabilidad exacta) y todos los demás periodos serán
borrosos:
Pou t-jdj= (Po2d1t-juj, P02dt-juj ,Po3dt-juj) con j=1,2,3,4…..t; por otro lado si la incertidumbre solo se
encuentra en los valores de salto y So en considerando para cualquier nodo de decisión se tiene:ά = 1
a b c d
u1-d1 + ά(u2-u1-d2-d1) u1-d1 + ά(u2-u1-d2-d1)
Pu = (1+r) –d3 – ά(d3-d2) Pd = u3 – ά(u3-u2)-(1+r)
u3-d3 + ά(u3-u2-d3-d2) u3-d3 + ά(u3-u3-d3-d2)
El numero borroso de las probabilidades neurales al riesgo se calculan con la primera y segunda
derivada, pero asumiendo: d1<d2<d3<1+rf<u1<u2<u3. Ssi 0<Pd<Pd’<1;0<Pu<Pu’<1, entonces
Pod3≤X≤Pou1, para comprender la valoración de la opción call, (Muzzioli S., 2004) proponen el
triángulo donde la opción real presenta incertidumbre solo de lado de la flexibilidad, siendo c el valor
del modelo binomial estándar sin ambigüedad, y este valor es más posible en ambas posiciones.
Gráfico No. 3
Ambigüedad del binomial
Nota: Obtenido de (Muzzioli S., 2004)
Entonces la condición de vaguedad presenta tres escenarios sobre la valoración de proyectos de
inversión, sin incertidumbre, con incertidumbre y con incertidumbre en la volatilidad.
Modelo binomial multiperiodo difuso y de valoración de proyectos de inversión
En la binomial multiperiodo para “n” periodos conforme a (Garcia, 2007, pág. 14) se tiene: Pou t-jdj=
(Po1d1t-j, P022d2t-j, Po3d3t-ju3j) con j=1,2,3,4…..t, cuya representación de binomial borroso tiene
condiciones a considerar:
Si hay incertidumbre en la volatilidad, las probabilidades de riesgo neutral son difusos dando lugar al
origen del precio del activo(So) en crisp (probabilidad exacta) y todos los demás periodos serán
borrosos:
Pou t-jdj= (Po2d1t-juj, P02dt-juj ,Po3dt-juj) con j=1,2,3,4…..t; por otro lado si la incertidumbre solo se
encuentra en los valores de salto y So en considerando para cualquier nodo de decisión se tiene:ά = 1
a b c d
pág. 14612
Pou t-jdj= (Po1d1t-juj, P22d2t-juj ,Po2d3t-juj) con j=1,2,3,,4…..t; y por ultimo si se considera que para la
volatilidad y el precio del activo existe incertidumbre considerar:
Pout-jdj= (Po1d1t-juj, P02d2t-ju2j ,Po2d3t-ju3j) con j=1,2,4…..t, a esta última expresión se le conoce como el
argumento hedging en tiempo discreto. Para (Garcia, 2007) los activos reales se deben valorar en forma
conjunta ambas opciones call y put y su valor no es aditivo, dando lugar a la valoración por opciones
compuestas, por eso el binomial multiperiodo refuerza la idea central sobre el valor actual debe
obtenerse de distintas formas.
Los proyectos de inversión sean estos de orden privado, público o mixto llevan un preparación,
evaluación e implementación que hace de la gestión gerencial un pro active management determinante
sobre la recuperación del capital involucrado. Para el autor (Sapag, 2011, pág. 26), la evaluación de
proyectos, en este contexto, se debe entender como un modelo que facilita la comprensión del
comportamiento simplificado de la realidad, por lo que los resultados obtenidos, aunque son útiles en el
proceso decisional, no son exactos, en este sentido existen una gran variedad de enfoques , siguiendo al
mismo autor presenta un valoración de riesgo medido por cálculos de Cristal Ball que permiten obtener
la volatilidad expresada en la desviación estándar, aporte importante en la metodología propuesta.
Gráfico No.4
Distribución de probabilidades binomial: dos periodos
Nota: Obtenido de (Garcia, 2007)
Pou t-jdj= (Po1d1t-juj, P22d2t-juj ,Po2d3t-juj) con j=1,2,3,,4…..t; y por ultimo si se considera que para la
volatilidad y el precio del activo existe incertidumbre considerar:
Pout-jdj= (Po1d1t-juj, P02d2t-ju2j ,Po2d3t-ju3j) con j=1,2,4…..t, a esta última expresión se le conoce como el
argumento hedging en tiempo discreto. Para (Garcia, 2007) los activos reales se deben valorar en forma
conjunta ambas opciones call y put y su valor no es aditivo, dando lugar a la valoración por opciones
compuestas, por eso el binomial multiperiodo refuerza la idea central sobre el valor actual debe
obtenerse de distintas formas.
Los proyectos de inversión sean estos de orden privado, público o mixto llevan un preparación,
evaluación e implementación que hace de la gestión gerencial un pro active management determinante
sobre la recuperación del capital involucrado. Para el autor (Sapag, 2011, pág. 26), la evaluación de
proyectos, en este contexto, se debe entender como un modelo que facilita la comprensión del
comportamiento simplificado de la realidad, por lo que los resultados obtenidos, aunque son útiles en el
proceso decisional, no son exactos, en este sentido existen una gran variedad de enfoques , siguiendo al
mismo autor presenta un valoración de riesgo medido por cálculos de Cristal Ball que permiten obtener
la volatilidad expresada en la desviación estándar, aporte importante en la metodología propuesta.
Gráfico No.4
Distribución de probabilidades binomial: dos periodos
Nota: Obtenido de (Garcia, 2007)
pág. 14613
A criterio de (Milanesi G. , 2012, pág. 213), los modelos borrosos se encuentran en tres estados: en
tiempo continuo (Fuzzy), escenarios (Fuzzy pay off method) y de tiempo discreto (fuzzy), las principales
diferencias radican en el uso de los conjuntos difusos, el primero aplica el modelo trapezoidal, el
segundo triangular y el tercero una combinación de los anteriores respecto a los movimientos
ascendentes y descendentes. Esta distribución ingresa en el campo estocástico precisamente en el
movimiento geométrico browniano, cuyos rendimientos proyectados del activo son normales.
Como el modelo se carácteriza por la incertidumbre por posibilidad al estimar la volatilidad se aplica el
Coeficiente de Variación (Cv) según (Liao, 2010) representa la opinión de los expertos en relación a las
condiciones favorables o desfavorables respecto a la máxima posibilidad, que puede ser muy próxima a
la medida de riesgo calculada como la volatilidad misma que es derivada de la cartera de activos
financieros gemelos. En el contexto de la incertidumbre se tienen tres fuentes: Información incompleta,
modelos estadísticos-matemáticos inexactos o de aplicación antigua que no ofrecen soluciones al mundo
actual de los negocios. Para (D'Negri, 2006, pág. 129) expone que la motivación de la incertidumbre en
este sentido es más orientado a la ambigüedad de la información, está asociado a no poseer un valor
exacto.
CASO DE APLICACIÓN
En concordancia con (Brandao, L.-Dyer, J.-Hahn, W., 2005) y realizando variantes como por ejemplo
la simulación de 50.000 corridas en Cristal Ball para obtener la volatilidad del proyecto en comparación
a lo sugerido por (Milanesi G. , 2013), la tasa libre de riesgo de 5% y manteniendo los mismos
parámetros de origen: Concesión y explotación de un yacimiento petrolero de alianza mixta (público
25% de inversión y privado 75%) a 10 años , cuyas bases de cálculo del flujo de caja son: Decrecimiento
de la producción anual del 15%, aumento del precio en 3% anual siendo de 65$ por turril , aumento en
costos de explotación 2% anual siendo $50, costos fijos en 5 millones anuales, amortización de la
inversión de 300$ millones a 10 años, no hay deuda.
La flexibilidad estratégica se valora en: a) Continuar la explotación hasta el décimo periodo sin variación
alguna, b) vender la explotación a valor fija de 100 millones, y c) comprar la participación estatal en
$us40 millones más un incremento del 4/3 de los ingresos. Para la proyección de los flujos de caja se
tiene la primera rejilla de valoración bajo el método tradicional:
A criterio de (Milanesi G. , 2012, pág. 213), los modelos borrosos se encuentran en tres estados: en
tiempo continuo (Fuzzy), escenarios (Fuzzy pay off method) y de tiempo discreto (fuzzy), las principales
diferencias radican en el uso de los conjuntos difusos, el primero aplica el modelo trapezoidal, el
segundo triangular y el tercero una combinación de los anteriores respecto a los movimientos
ascendentes y descendentes. Esta distribución ingresa en el campo estocástico precisamente en el
movimiento geométrico browniano, cuyos rendimientos proyectados del activo son normales.
Como el modelo se carácteriza por la incertidumbre por posibilidad al estimar la volatilidad se aplica el
Coeficiente de Variación (Cv) según (Liao, 2010) representa la opinión de los expertos en relación a las
condiciones favorables o desfavorables respecto a la máxima posibilidad, que puede ser muy próxima a
la medida de riesgo calculada como la volatilidad misma que es derivada de la cartera de activos
financieros gemelos. En el contexto de la incertidumbre se tienen tres fuentes: Información incompleta,
modelos estadísticos-matemáticos inexactos o de aplicación antigua que no ofrecen soluciones al mundo
actual de los negocios. Para (D'Negri, 2006, pág. 129) expone que la motivación de la incertidumbre en
este sentido es más orientado a la ambigüedad de la información, está asociado a no poseer un valor
exacto.
CASO DE APLICACIÓN
En concordancia con (Brandao, L.-Dyer, J.-Hahn, W., 2005) y realizando variantes como por ejemplo
la simulación de 50.000 corridas en Cristal Ball para obtener la volatilidad del proyecto en comparación
a lo sugerido por (Milanesi G. , 2013), la tasa libre de riesgo de 5% y manteniendo los mismos
parámetros de origen: Concesión y explotación de un yacimiento petrolero de alianza mixta (público
25% de inversión y privado 75%) a 10 años , cuyas bases de cálculo del flujo de caja son: Decrecimiento
de la producción anual del 15%, aumento del precio en 3% anual siendo de 65$ por turril , aumento en
costos de explotación 2% anual siendo $50, costos fijos en 5 millones anuales, amortización de la
inversión de 300$ millones a 10 años, no hay deuda.
La flexibilidad estratégica se valora en: a) Continuar la explotación hasta el décimo periodo sin variación
alguna, b) vender la explotación a valor fija de 100 millones, y c) comprar la participación estatal en
$us40 millones más un incremento del 4/3 de los ingresos. Para la proyección de los flujos de caja se
tiene la primera rejilla de valoración bajo el método tradicional:
pág. 14614
Tabla No. 2
Nota: Elaboración propia
El valor Vt representa la proporción descontada a valor difuso proyectado para ello se aplica según
(Milanesi G. , 2013, pág. 215) la siguiente expresión:
1) Vt= (Vt-1u * (1-Rft); (Vt-1 d*(1-Rft)),
Seguidamente se obtiene la ratio Rft de los fondos a valor presente de cada periodo:
2) RfL = FFL/Vt,
Para la construcción de la primera rejilla es necesario que las simulaciones en Cristal ball estas sujetas
a discreción y criterio del analista, consecuentemente esta condición puede variar aun con el número de
simulaciones y la forma de incorporar las decisiones de cada corrida, mismos que nos reporta una
situación como la siguiente:
Tabla No. 3
Estadísticos obtenidos con Cristal Ball
Estadísticas:
Valores de
previsión
Pruebas 50,000
Media 589.95
Mediana 589.75
Varianza 10,661.91
Sesgo -0.0139
Curtosis 2.79
Coeficiente de
variación 0.1750
Ancho de rango 1,217.06
Error estándar
medio
46.18%
Nota: Elaboración propia0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Inversion amortizada 10 años 300
Produccion 9.00 7.65 6.50 5.53 4.70 3.99 3.39 2.89 2.45 2.08
Precio 66.95 68.96 71.03 73.16 75.35 77.61 79.94 82.34 84.81 87.35
Costo Variable 51.00 52.02 53.06 54.12 55.20 56.31 57.43 58.58 59.75 60.95
INGRESOS 602.55 527.53 461.85 404.35 354.01 309.94 271.35 237.57 207.99 182.10
COSTOS PRODUCCION 459.00 397.95 345.03 299.14 259.35 224.86 194.95 169.02 146.54 127.05
COSTOS FIJOS 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00
FLUJO CAJA 138.55 124.58 111.83 100.22 89.66 80.08 71.40 63.54 56.45 50.04
MENOS
PARTICIPACION ESTADO 25% 34.64 31.14 27.96 25.05 22.42 20.02 17.85 15.89 14.11 12.51
FCF(FLUJO CAJA LIBRE) 443.83 103.91 93.43 83.87 75.16 67.25 60.06 53.55 47.66 42.34 37.53
Vt Valor actual total 492.60 428.81 368.58 311.81 258.39 208.21 161.15 117.10 75.93 37.53
RfL = FFL/Vt 21.09% 21.79% 22.76% 24.11% 26.02% 28.85% 33.23% 40.70% 55.75% 99.99%
FLUJO DE CAJA PROYECTADO
0
500
1000
1500
2000
2500
306,50 442,56 578,62 714,67 873,40
Frecuencia
VAN
Tabla No. 2
Nota: Elaboración propia
El valor Vt representa la proporción descontada a valor difuso proyectado para ello se aplica según
(Milanesi G. , 2013, pág. 215) la siguiente expresión:
1) Vt= (Vt-1u * (1-Rft); (Vt-1 d*(1-Rft)),
Seguidamente se obtiene la ratio Rft de los fondos a valor presente de cada periodo:
2) RfL = FFL/Vt,
Para la construcción de la primera rejilla es necesario que las simulaciones en Cristal ball estas sujetas
a discreción y criterio del analista, consecuentemente esta condición puede variar aun con el número de
simulaciones y la forma de incorporar las decisiones de cada corrida, mismos que nos reporta una
situación como la siguiente:
Tabla No. 3
Estadísticos obtenidos con Cristal Ball
Estadísticas:
Valores de
previsión
Pruebas 50,000
Media 589.95
Mediana 589.75
Varianza 10,661.91
Sesgo -0.0139
Curtosis 2.79
Coeficiente de
variación 0.1750
Ancho de rango 1,217.06
Error estándar
medio
46.18%
Nota: Elaboración propia0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Inversion amortizada 10 años 300
Produccion 9.00 7.65 6.50 5.53 4.70 3.99 3.39 2.89 2.45 2.08
Precio 66.95 68.96 71.03 73.16 75.35 77.61 79.94 82.34 84.81 87.35
Costo Variable 51.00 52.02 53.06 54.12 55.20 56.31 57.43 58.58 59.75 60.95
INGRESOS 602.55 527.53 461.85 404.35 354.01 309.94 271.35 237.57 207.99 182.10
COSTOS PRODUCCION 459.00 397.95 345.03 299.14 259.35 224.86 194.95 169.02 146.54 127.05
COSTOS FIJOS 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00
FLUJO CAJA 138.55 124.58 111.83 100.22 89.66 80.08 71.40 63.54 56.45 50.04
MENOS
PARTICIPACION ESTADO 25% 34.64 31.14 27.96 25.05 22.42 20.02 17.85 15.89 14.11 12.51
FCF(FLUJO CAJA LIBRE) 443.83 103.91 93.43 83.87 75.16 67.25 60.06 53.55 47.66 42.34 37.53
Vt Valor actual total 492.60 428.81 368.58 311.81 258.39 208.21 161.15 117.10 75.93 37.53
RfL = FFL/Vt 21.09% 21.79% 22.76% 24.11% 26.02% 28.85% 33.23% 40.70% 55.75% 99.99%
FLUJO DE CAJA PROYECTADO
0
500
1000
1500
2000
2500
306,50 442,56 578,62 714,67 873,40
Frecuencia
VAN
pág. 14615
Al obtener la volatilidad según simulaciones que son estrictamente a criterio del analista, y que los
mismos pueden cambiar según las ponderaciones de las entradas de los supuestos ya sean triangulares,
gaussianos u otros serán determinantes en el modelo a seguir.
Tabla No. 4
Valores ascendentes y descendentes
VOLATILIDAD θ 46.18%
u 1.58693
d 0.63015
1+rf 1.0500
Rf 0.0500
p 0.43882
1-p 0.56118
Nota. Elaboración propia
Para la construcción de la primera rejilla debe considerarse que cada nodo se oriente de abajo hacia
arriba o viceversa, encontrando el valor medio que corresponde al binomial clásico, para cada periodo
debe encontrar u1, u2, u3, tomando en cuenta el coeficiente de variación ± CV = 15%.
TABLA No. 5
Parámetros de binomial fuzzy
u d P 1-p
u1 1.4807 d1 0.67536 Pu1 0.4652 1-Pu1 0.5348
u2 1.5869 d2 0.63016 Pu2 0.4388 1-Pu2 0.5612
u3 1.7008 d3 0.58796 Pu3 0.4152 1-Pu3 0.5848
Nota: Elaboración propia
Para la triangulación borrosa se considera 1= peor, 2= base, 3=mejor, sus parejas equivalentes estarán
bajo la siguiente relación:
Pu * Pd = (Pu3, Pd1); (Pu2, Pd2); (Pu1, Pd3)
o
Pu*Pd = (mejor, Peor) ;(base, base); (peor, mejor).
Al obtener la volatilidad según simulaciones que son estrictamente a criterio del analista, y que los
mismos pueden cambiar según las ponderaciones de las entradas de los supuestos ya sean triangulares,
gaussianos u otros serán determinantes en el modelo a seguir.
Tabla No. 4
Valores ascendentes y descendentes
VOLATILIDAD θ 46.18%
u 1.58693
d 0.63015
1+rf 1.0500
Rf 0.0500
p 0.43882
1-p 0.56118
Nota. Elaboración propia
Para la construcción de la primera rejilla debe considerarse que cada nodo se oriente de abajo hacia
arriba o viceversa, encontrando el valor medio que corresponde al binomial clásico, para cada periodo
debe encontrar u1, u2, u3, tomando en cuenta el coeficiente de variación ± CV = 15%.
TABLA No. 5
Parámetros de binomial fuzzy
u d P 1-p
u1 1.4807 d1 0.67536 Pu1 0.4652 1-Pu1 0.5348
u2 1.5869 d2 0.63016 Pu2 0.4388 1-Pu2 0.5612
u3 1.7008 d3 0.58796 Pu3 0.4152 1-Pu3 0.5848
Nota: Elaboración propia
Para la triangulación borrosa se considera 1= peor, 2= base, 3=mejor, sus parejas equivalentes estarán
bajo la siguiente relación:
Pu * Pd = (Pu3, Pd1); (Pu2, Pd2); (Pu1, Pd3)
o
Pu*Pd = (mejor, Peor) ;(base, base); (peor, mejor).
pág. 14616
Se considera en periodos pares el punto medio al ascendente como repetición; mientras que para
periodos impares se trabaja para todos los nodos sin repetición, Con los valores de “u” y “d”, se puede
construir los parámetros del modelo binomial fuzzy sabiendo que:
Tabla No. 6
Proyección de VAN tradicional con binomial
Vt0 Vt1 Vt2 Vt 3 Vt4
VAN
u1 u1 u1 u1
u2 u2 u2 u2
u3 u3 u3 u3
d1 u1 u1 u1
d2 u1 u2 u2
d3 u1 u3 u3
d1 d1 u1
d2 d2 u1
d3 d3 u1
d1 d1
d2 d2
d3 d3
d1
d2
d3
Nota: Elaboración propia
La construcción de la primera rejilla se trabaja de izquierda a derecha y se aplica por medio de la
siguiente expresión:
Vt= Vt-1* u1a3 ;Vt-1d1a3
Se considera en periodos pares el punto medio al ascendente como repetición; mientras que para
periodos impares se trabaja para todos los nodos sin repetición, Con los valores de “u” y “d”, se puede
construir los parámetros del modelo binomial fuzzy sabiendo que:
Tabla No. 6
Proyección de VAN tradicional con binomial
Vt0 Vt1 Vt2 Vt 3 Vt4
VAN
u1 u1 u1 u1
u2 u2 u2 u2
u3 u3 u3 u3
d1 u1 u1 u1
d2 u1 u2 u2
d3 u1 u3 u3
d1 d1 u1
d2 d2 u1
d3 d3 u1
d1 d1
d2 d2
d3 d3
d1
d2
d3
Nota: Elaboración propia
La construcción de la primera rejilla se trabaja de izquierda a derecha y se aplica por medio de la
siguiente expresión:
Vt= Vt-1* u1a3 ;Vt-1d1a3
pág. 14617
Tabla No. 7
Rejilla binomial borrosa del VAN tradicional
Nota: Elaboración propia
Seguidamente la segunda rejilla involucra el índice de Rft calculado según la proyección del flujo de
caja descontado a la tasa libre de riesgo y requieren la siguiente expresión aplicar en cada casilla del
nodo de los datos obtenidos de la rejilla anterior:
Rft = Vt-1(u1a3) * Rft ; Vt-1(d1a3) * Rft
En esta investigación se plantea una variante, en la lógica de encontrar la postura financiera sobre a
mayor avance del proyecto el VAN extendido es menor, puesto que las probabilidades de los escenarios
están concentradas en el abandono, mas que en continuidad o expansión por otro lado, lo contrario
sucedería si las estrategias se tomasen en un avance del 40% (año 4)NODOS 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 444 657 768 889 1,017 1,143 1,252 1,319 1,304 1,145 750
2 704 882 1,095 1,342 1,616 1,897 2,142 2,269 2,136 1,500
3 755 1,013 1,348 1,770 2,285 2,875 3,479 3,951 3,985 2,999
4 300 350 406 464 521 571 602 595 522 342
5 280 350 435 533 642 753 851 901 848 595
6 261 350 466 612 790 994 1,203 1,366 1,378 1,037
7 160 185 212 238 260 274 271 238 156
8 139 173 212 255 299 338 358 337 236
9 121 161 212 273 344 416 472 476 358
10 84 96 108 119 125 124 109 71
11 69 84 101 119 134 142 134 94
12 56 73 94 119 144 163 165 124
13 44 49 54 57 56 50 32
14 33 40 47 53 56 53 37
15 25 33 41 50 56 57 43
16 23 25 26 26 23 15
17 16 19 21 22 21 15
18 11 14 17 20 20 15
19 11 12 12 10 7
20 7 8 9 8 6
21 5 6 7 7 6
22 5 5 5 3
23 3 4 3 2
24 2 2 2 2
25 2 2 1
26 1 1 1
27 1 1 1
28 1 1
29 1 0
30 0 0
31 0
32 0
33 0
1 3+3 6+3 9+3 12+3 15+3 18+3 21+3 24+3 27+3 30+3
Rejilla binomial: proyeccion valor del proyecto neto flujo de fondos del periodo
Tabla No. 7
Rejilla binomial borrosa del VAN tradicional
Nota: Elaboración propia
Seguidamente la segunda rejilla involucra el índice de Rft calculado según la proyección del flujo de
caja descontado a la tasa libre de riesgo y requieren la siguiente expresión aplicar en cada casilla del
nodo de los datos obtenidos de la rejilla anterior:
Rft = Vt-1(u1a3) * Rft ; Vt-1(d1a3) * Rft
En esta investigación se plantea una variante, en la lógica de encontrar la postura financiera sobre a
mayor avance del proyecto el VAN extendido es menor, puesto que las probabilidades de los escenarios
están concentradas en el abandono, mas que en continuidad o expansión por otro lado, lo contrario
sucedería si las estrategias se tomasen en un avance del 40% (año 4)NODOS 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 444 657 768 889 1,017 1,143 1,252 1,319 1,304 1,145 750
2 704 882 1,095 1,342 1,616 1,897 2,142 2,269 2,136 1,500
3 755 1,013 1,348 1,770 2,285 2,875 3,479 3,951 3,985 2,999
4 300 350 406 464 521 571 602 595 522 342
5 280 350 435 533 642 753 851 901 848 595
6 261 350 466 612 790 994 1,203 1,366 1,378 1,037
7 160 185 212 238 260 274 271 238 156
8 139 173 212 255 299 338 358 337 236
9 121 161 212 273 344 416 472 476 358
10 84 96 108 119 125 124 109 71
11 69 84 101 119 134 142 134 94
12 56 73 94 119 144 163 165 124
13 44 49 54 57 56 50 32
14 33 40 47 53 56 53 37
15 25 33 41 50 56 57 43
16 23 25 26 26 23 15
17 16 19 21 22 21 15
18 11 14 17 20 20 15
19 11 12 12 10 7
20 7 8 9 8 6
21 5 6 7 7 6
22 5 5 5 3
23 3 4 3 2
24 2 2 2 2
25 2 2 1
26 1 1 1
27 1 1 1
28 1 1
29 1 0
30 0 0
31 0
32 0
33 0
1 3+3 6+3 9+3 12+3 15+3 18+3 21+3 24+3 27+3 30+3
Rejilla binomial: proyeccion valor del proyecto neto flujo de fondos del periodo
pág. 14618
Tabla No. 8
Rejilla binomial difusa de los flujos de caja
NODOS Rft 1 Rft 2 Rft 3 Rft 4 Rft 5 Rft 6 Rft 7 Rft 8 Rft 9 Rft 10
1 139 167 202 245 297 361 438 531 638 750
2 149 192 249 323 420 547 712 924 1,191 1,499
3 159 221 307 427 595 829 1,156 1,608 2,222 2,999
4 63 76 92 112 136 165 200 242 291 342
5 59 76 99 128 167 217 283 367 473 595
6 55 76 106 148 206 287 400 556 768 1,037
7 35 42 51 62 75 91 110 133 156
8 30 39 51 66 86 112 146 188 236
9 26 37 51 71 99 138 192 266 358
10 19 23 28 34 42 50 61 71
11 16 20 26 34 45 58 75 94
12 13 18 25 34 48 66 92 124
13 11 13 16 19 23 28 32
14 8 10 14 18 23 30 37
15 6 8 12 17 23 32 43
16 6 7 9 10 13 15
17 4 5 7 9 12 15
18 3 4 6 8 11 15
19 3 4 5 6 7
20 2 3 4 5 6
21 1 2 3 4 6
22 2 2 3 3
23 1 1 2 2
24 1 1 1 2
25 1 1 1
26 1 1 1
27 0 0 1
28 1 1
29 0 0
30 0 0
31 0
32 0
33 0
Nota: Elaboración propia
Para la construcción de la siguiente rejilla debe seguirse de manera secuencial de último periodo hacia
uno anterior Vt hacia Vt-1, hasta el periodo donde se decida aplicar las opciones reales, para el presente
caso de estudio es año 5 y año 7, por lo tanto siguiendo la secuencia según (Milanesi G. , 2013), debemos
reformular de la siguiente manera entre los periodos 10 a 6, tomando en cuenta que los valores del último
año de proyección se repiten.
Tabla No. 8
Rejilla binomial difusa de los flujos de caja
NODOS Rft 1 Rft 2 Rft 3 Rft 4 Rft 5 Rft 6 Rft 7 Rft 8 Rft 9 Rft 10
1 139 167 202 245 297 361 438 531 638 750
2 149 192 249 323 420 547 712 924 1,191 1,499
3 159 221 307 427 595 829 1,156 1,608 2,222 2,999
4 63 76 92 112 136 165 200 242 291 342
5 59 76 99 128 167 217 283 367 473 595
6 55 76 106 148 206 287 400 556 768 1,037
7 35 42 51 62 75 91 110 133 156
8 30 39 51 66 86 112 146 188 236
9 26 37 51 71 99 138 192 266 358
10 19 23 28 34 42 50 61 71
11 16 20 26 34 45 58 75 94
12 13 18 25 34 48 66 92 124
13 11 13 16 19 23 28 32
14 8 10 14 18 23 30 37
15 6 8 12 17 23 32 43
16 6 7 9 10 13 15
17 4 5 7 9 12 15
18 3 4 6 8 11 15
19 3 4 5 6 7
20 2 3 4 5 6
21 1 2 3 4 6
22 2 2 3 3
23 1 1 2 2
24 1 1 1 2
25 1 1 1
26 1 1 1
27 0 0 1
28 1 1
29 0 0
30 0 0
31 0
32 0
33 0
Nota: Elaboración propia
Para la construcción de la siguiente rejilla debe seguirse de manera secuencial de último periodo hacia
uno anterior Vt hacia Vt-1, hasta el periodo donde se decida aplicar las opciones reales, para el presente
caso de estudio es año 5 y año 7, por lo tanto siguiendo la secuencia según (Milanesi G. , 2013), debemos
reformular de la siguiente manera entre los periodos 10 a 6, tomando en cuenta que los valores del último
año de proyección se repiten.
pág. 14619
Vt = { Rft + (1+rf)-1 [ Vt-1* Pu3 + (Pd1) *Vt-1]}+ (Rft + (1+rf)-1 [ Vt-1* Pu2 + (Pd2) *Vt-1] + Rft (1+rf)-1 [
Vt-1* Pu1 + Pd3 *Vt-1]}
Al llegar al periodo sujeto a valoración de opciones según las estrategias definidas se tiene:
Continuar: FCFt + (1+rf)-1 [Vt-1*ut+1*p + Vt-1*dt+1* (1-p)]
Expandir: FCFt –Inversion + (1+rf)-1 * 4/3 * [Vt-1*ut+1*p + Vt-1*dt+1* (1-p)]
Abandonar: FCFt +Venta
Tabla No. 9
Decisiones por opciones reales valoracion para cada nodo
ABANDONAR 397 461 538
1CONTINUAR 1,014 1,637 2,707
E EXPANSION 1,185 1,965 3,319
ABANDONAR 236 267 306
2CONTINUAR 462 650 936
E EXPANSION 513 750 1,115
ABANDONAR 162 166 171
3C CONTINUAR 208 255 320
E EXPANSION 207 268 353
A ABANDONAR 128 126 125
4CONTINUAR 95 102 112
EXPANSION 67 76 89
A ABANDONAR 113 110 108
5CONTINUAR 44 41 38
EXPANSION 3 0 - 2
A ABANDONAR 106 104 103
6CONTINUAR 20 16 13
EXPANSION - 26 - 30 - 34
Nota: Elaboración propia
Vt = { Rft + (1+rf)-1 [ Vt-1* Pu3 + (Pd1) *Vt-1]}+ (Rft + (1+rf)-1 [ Vt-1* Pu2 + (Pd2) *Vt-1] + Rft (1+rf)-1 [
Vt-1* Pu1 + Pd3 *Vt-1]}
Al llegar al periodo sujeto a valoración de opciones según las estrategias definidas se tiene:
Continuar: FCFt + (1+rf)-1 [Vt-1*ut+1*p + Vt-1*dt+1* (1-p)]
Expandir: FCFt –Inversion + (1+rf)-1 * 4/3 * [Vt-1*ut+1*p + Vt-1*dt+1* (1-p)]
Abandonar: FCFt +Venta
Tabla No. 9
Decisiones por opciones reales valoracion para cada nodo
ABANDONAR 397 461 538
1CONTINUAR 1,014 1,637 2,707
E EXPANSION 1,185 1,965 3,319
ABANDONAR 236 267 306
2CONTINUAR 462 650 936
E EXPANSION 513 750 1,115
ABANDONAR 162 166 171
3C CONTINUAR 208 255 320
E EXPANSION 207 268 353
A ABANDONAR 128 126 125
4CONTINUAR 95 102 112
EXPANSION 67 76 89
A ABANDONAR 113 110 108
5CONTINUAR 44 41 38
EXPANSION 3 0 - 2
A ABANDONAR 106 104 103
6CONTINUAR 20 16 13
EXPANSION - 26 - 30 - 34
Nota: Elaboración propia
pág. 14620
Las opciones reales, tienen previsto para el periodo cinco (5) tres condiciones que deberán ser reflejadas
en la rejilla binomial difusa final, cada proyección puede contar con una variante distinta que debe ser
analizada previamente por los managers, en función de las oportunidades futuras y condiciones macro
o microeconómicas a considerar.
Los periodos 4 a 1 se continua con la aproximación anterior, pero ya incluyendo los resultados de las
opciones reales en periodo 5, seguidamente incluimos una aproximación de E(v) = ∫ (1 − 𝜆)𝑉1(𝜕) +
1
0
𝜆𝑉3(𝜕)) 𝑑𝜕, donde λ es el factor de ponderación de (Yoshida Y, 2006) como la condición de optimista
– pesimista por la percepción subjetiva del agente de decisión, misma que sirve de análisis de sesgo
positivo del triangular borroso E(v) como Área de la derecha / (área derecha +área izquierda) de un
triángulo difuso, dejando en definitiva: E(v) = (1-λ)V1 + V2 + λV3 / 2
Tabla No. 10
Rejilla binomial difusa de las opciones reales del proyecto
Nota: Elaboración propiaNODOS 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 V1 MINIMO 363 562 668 802 975 1,185 1,120 1,209 1,227 1,109 750
2 V2 BASE 482 748 946 1,208 1,546 1,965 1,898 2,142 2,269 2,135 1,499
3 V3 MAXIMO 681 1,054 1,409 1,889 2,518 3,319 3,274 3,846 4,232 4,128 2,999
4 276 314 359 420 513 511 552 561 506 342
5 318 382 467 585 750 754 852 902 848 595
6 384 486 631 838 1,115 1,132 1,329 1,463 1,427 1,037
7 173 187 198 207 233 252 256 233 156
8 681 186 206 230 268 299 338 359 339 236
9 C3 204 233 277 353 391 460 506 493 358
10 127 131 128 106 115 116 105 71
11 130 132 126 119 134 142 134 94
12 134 133 125 135 159 175 171 124
13 109 113 48 52 53 48 32
14 110 110 47 53 56 53 37
15 C1 C2 111 108 47 55 61 59 43
16 362.82 482 106 22 24 24 22 15
17 104 19 21 22 21 15
18 BASE ARL 60 103 16 19 21 21 15
19 BASE ARD 99 10 11 11 10 7
20 7 8 9 8 6
21 Indice Lambda = ARD 1 6 6 7 6 6
22 ARD+ARL 5 5 5 3
23 3 4 3 2
24 2 3 2 2
25 FuE(VAN) = 1,044 522 2 2 1
26 2 1 1 1
27 1 1 1
28 VE BINOMIAL 482 1 1
29 VE BINOMIAL FUZZY 522 444 VAN TRADICIONAL 78 1 0
30 FUZZY INFERIOR 363 0 0
31 FUZZY SUPERIOR 681 0
32 0
33 3+3 6+3 9+3 12+3 15+3 18+3 21+3 24+3 27+3 0
REJILLA BINOMIAL BORROSA DE PROYECCION FLUJO DE FONDOS
2
(1-lamnda)C1+C2+C3*Lambda)
Las opciones reales, tienen previsto para el periodo cinco (5) tres condiciones que deberán ser reflejadas
en la rejilla binomial difusa final, cada proyección puede contar con una variante distinta que debe ser
analizada previamente por los managers, en función de las oportunidades futuras y condiciones macro
o microeconómicas a considerar.
Los periodos 4 a 1 se continua con la aproximación anterior, pero ya incluyendo los resultados de las
opciones reales en periodo 5, seguidamente incluimos una aproximación de E(v) = ∫ (1 − 𝜆)𝑉1(𝜕) +
1
0
𝜆𝑉3(𝜕)) 𝑑𝜕, donde λ es el factor de ponderación de (Yoshida Y, 2006) como la condición de optimista
– pesimista por la percepción subjetiva del agente de decisión, misma que sirve de análisis de sesgo
positivo del triangular borroso E(v) como Área de la derecha / (área derecha +área izquierda) de un
triángulo difuso, dejando en definitiva: E(v) = (1-λ)V1 + V2 + λV3 / 2
Tabla No. 10
Rejilla binomial difusa de las opciones reales del proyecto
Nota: Elaboración propiaNODOS 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 V1 MINIMO 363 562 668 802 975 1,185 1,120 1,209 1,227 1,109 750
2 V2 BASE 482 748 946 1,208 1,546 1,965 1,898 2,142 2,269 2,135 1,499
3 V3 MAXIMO 681 1,054 1,409 1,889 2,518 3,319 3,274 3,846 4,232 4,128 2,999
4 276 314 359 420 513 511 552 561 506 342
5 318 382 467 585 750 754 852 902 848 595
6 384 486 631 838 1,115 1,132 1,329 1,463 1,427 1,037
7 173 187 198 207 233 252 256 233 156
8 681 186 206 230 268 299 338 359 339 236
9 C3 204 233 277 353 391 460 506 493 358
10 127 131 128 106 115 116 105 71
11 130 132 126 119 134 142 134 94
12 134 133 125 135 159 175 171 124
13 109 113 48 52 53 48 32
14 110 110 47 53 56 53 37
15 C1 C2 111 108 47 55 61 59 43
16 362.82 482 106 22 24 24 22 15
17 104 19 21 22 21 15
18 BASE ARL 60 103 16 19 21 21 15
19 BASE ARD 99 10 11 11 10 7
20 7 8 9 8 6
21 Indice Lambda = ARD 1 6 6 7 6 6
22 ARD+ARL 5 5 5 3
23 3 4 3 2
24 2 3 2 2
25 FuE(VAN) = 1,044 522 2 2 1
26 2 1 1 1
27 1 1 1
28 VE BINOMIAL 482 1 1
29 VE BINOMIAL FUZZY 522 444 VAN TRADICIONAL 78 1 0
30 FUZZY INFERIOR 363 0 0
31 FUZZY SUPERIOR 681 0
32 0
33 3+3 6+3 9+3 12+3 15+3 18+3 21+3 24+3 27+3 0
REJILLA BINOMIAL BORROSA DE PROYECCION FLUJO DE FONDOS
2
(1-lamnda)C1+C2+C3*Lambda)
pág. 14621
En un análisis con la variante de decisiones estratégicas se encuentran cuando el proyecto tiene un
avance del 70% el resultado muestra un VAN extendido menor debido a que la mayoría de los nodos de
decisión dan como resultado Abandonar en un 80% de los resultados, por el contrario la lógica indica
entonces que si las estrategias fueran al 40% de avance el VAN extendido seria mayor y el resultado
final del VAN seria mas optimista que en punto medio, sin embargo este panorama cambia en la medida
que las variables de volatilidad, lambda y coeficiente de variación sean modificadas con parámetros
razonables y coherentes en la medida que esta herramienta tiene como objetivo la complementariedad
al enfoque tradicional.
Tabla No. 11
Rejilla binomial difusa de las opciones reales del proyecto
Nota: Elaboracion propia
En moldeo propuesto puede complementarse o combinarse también de manera comparativa con
Rendleman-Bartter (RB) y Jarrow-Rudd (JR) Rendleman y Bartter (1979) sostienen que el sistema deNODOS 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 V1 MINIMO 361 556 645 745 857 992 1,173 1,452 1,262 1,145 777
2 V2 BASE 461 697 836 994 1,176 1,409 1,792 2,648 2,347 2,218 1,564
3 V3 MAXIMO 628 941 1,194 1,520 1,949 2,538 3,414 4,858 4,400 4,311 3,147
4 279 319 359 397 426 444 454 572 519 352
5 319 372 426 470 486 435 239 926 873 616
6 380 454 537 624 703 755 743 1,506 1,476 1,077
7 177 198 216 227 224 192 260 237 159
8 628 196 221 244 258 254 214 365 346 242
9 C3 223 252 278 294 289 240 516 505 369
10 126 138 148 151 142 117 106 72
11 138 150 159 160 145 143 135 95
12 154 165 173 171 148 177 173 126
13 103 112 118 119 53 48 33
14 112 119 124 123 56 53 38
15 C1 C2 123 128 131 128 61 59 43
16 361.49 461 95 103 109 24 22 15
17 101 106 110 22 21 15
18 BASE ARL 50 109 111 113 20 21 15
19 BASE ARD 83 96 104 11 10 7
20 99 103 9 8 6
21 Indice Lambda = ARD 1 103 102 7 6 6
22 ARD+ARL 102 5 4 3
23 101 3 3 2
24 101 2 2 2
25 FuE(VAN) = 989 495 2 2 1
26 2 1 1 1
27 1 1 1
28 VE BINOMIAL 461 1 1
29 VE BINOMIAL FUZZY 495 444 VAN TRADICIONAL 51 1 0
30 FUZZY INFERIOR 361 0 0
31 FUZZY SUPERIOR 628 0
32 0
33 3+3 6+3 9+3 12+3 15+3 18+3 21+3 24+3 27+3 0
REJILLA BINOMIAL BORROSA DE PROYECCION FLUJO DE FONDOS
2
(1-lamnda)C1+C2+C3*Lambda)
En un análisis con la variante de decisiones estratégicas se encuentran cuando el proyecto tiene un
avance del 70% el resultado muestra un VAN extendido menor debido a que la mayoría de los nodos de
decisión dan como resultado Abandonar en un 80% de los resultados, por el contrario la lógica indica
entonces que si las estrategias fueran al 40% de avance el VAN extendido seria mayor y el resultado
final del VAN seria mas optimista que en punto medio, sin embargo este panorama cambia en la medida
que las variables de volatilidad, lambda y coeficiente de variación sean modificadas con parámetros
razonables y coherentes en la medida que esta herramienta tiene como objetivo la complementariedad
al enfoque tradicional.
Tabla No. 11
Rejilla binomial difusa de las opciones reales del proyecto
Nota: Elaboracion propia
En moldeo propuesto puede complementarse o combinarse también de manera comparativa con
Rendleman-Bartter (RB) y Jarrow-Rudd (JR) Rendleman y Bartter (1979) sostienen que el sistema deNODOS 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 V1 MINIMO 361 556 645 745 857 992 1,173 1,452 1,262 1,145 777
2 V2 BASE 461 697 836 994 1,176 1,409 1,792 2,648 2,347 2,218 1,564
3 V3 MAXIMO 628 941 1,194 1,520 1,949 2,538 3,414 4,858 4,400 4,311 3,147
4 279 319 359 397 426 444 454 572 519 352
5 319 372 426 470 486 435 239 926 873 616
6 380 454 537 624 703 755 743 1,506 1,476 1,077
7 177 198 216 227 224 192 260 237 159
8 628 196 221 244 258 254 214 365 346 242
9 C3 223 252 278 294 289 240 516 505 369
10 126 138 148 151 142 117 106 72
11 138 150 159 160 145 143 135 95
12 154 165 173 171 148 177 173 126
13 103 112 118 119 53 48 33
14 112 119 124 123 56 53 38
15 C1 C2 123 128 131 128 61 59 43
16 361.49 461 95 103 109 24 22 15
17 101 106 110 22 21 15
18 BASE ARL 50 109 111 113 20 21 15
19 BASE ARD 83 96 104 11 10 7
20 99 103 9 8 6
21 Indice Lambda = ARD 1 103 102 7 6 6
22 ARD+ARL 102 5 4 3
23 101 3 3 2
24 101 2 2 2
25 FuE(VAN) = 989 495 2 2 1
26 2 1 1 1
27 1 1 1
28 VE BINOMIAL 461 1 1
29 VE BINOMIAL FUZZY 495 444 VAN TRADICIONAL 51 1 0
30 FUZZY INFERIOR 361 0 0
31 FUZZY SUPERIOR 628 0
32 0
33 3+3 6+3 9+3 12+3 15+3 18+3 21+3 24+3 27+3 0
REJILLA BINOMIAL BORROSA DE PROYECCION FLUJO DE FONDOS
2
(1-lamnda)C1+C2+C3*Lambda)
pág. 14622
ecuaciones se mantiene estable si se cumple para = r -𝜎2/ 2 , por lo tanto, las probabilidades neutrales
al riesgo tienen valor pu=pd=50%., a partir de las siguientes ecuaciones:
Mientras que Jabbour-Kramin-Young (ABMC) es un híbrido de los modelos CRR y RB, cuya base es
la modificación sobre la desviación estándar para derivar el conjunto de parámetros. Para un mundo
neutral al riesgo, la media y el desvío estándar se definen de la siguiente manera:
Como señala (Milanesi G, 2014, pág. 93), el modelo ABMC coincide con CRR cuando los intervalos
de tiempo son pequeños, debido a desviación estándar de las variaciones en el precio del subyacente
para pequeños intervalos de tiempo Δt es aproximadamente σ√Δt, las siguientes ecuaciones
, ,
Los resultados comparados demuestran que la binomial Fuzzy no cambia y por consecuencia el van
extendido es el mismo, los modelos de aproximación con valores u, d; dependerá de la volatilidad y el
coeficiente de variación siendo absorbidos por la lógica difusa en sus componentes a cada rejilla lo que
hace que este sea predominante a cualquier valoración binomial definida.
CRR RJRB ABMC
Σ 46.60% 46.60% 46.60%
U 1.59361 1.502938 1.72027
D 0.62751 0.591805 0.64244
1+r 1.0500 1.0500 1.0500
P 0.43731 0.5 0.379309
1-p 0.56269 0.5 0.620691
ecuaciones se mantiene estable si se cumple para = r -𝜎2/ 2 , por lo tanto, las probabilidades neutrales
al riesgo tienen valor pu=pd=50%., a partir de las siguientes ecuaciones:
Mientras que Jabbour-Kramin-Young (ABMC) es un híbrido de los modelos CRR y RB, cuya base es
la modificación sobre la desviación estándar para derivar el conjunto de parámetros. Para un mundo
neutral al riesgo, la media y el desvío estándar se definen de la siguiente manera:
Como señala (Milanesi G, 2014, pág. 93), el modelo ABMC coincide con CRR cuando los intervalos
de tiempo son pequeños, debido a desviación estándar de las variaciones en el precio del subyacente
para pequeños intervalos de tiempo Δt es aproximadamente σ√Δt, las siguientes ecuaciones
, ,
Los resultados comparados demuestran que la binomial Fuzzy no cambia y por consecuencia el van
extendido es el mismo, los modelos de aproximación con valores u, d; dependerá de la volatilidad y el
coeficiente de variación siendo absorbidos por la lógica difusa en sus componentes a cada rejilla lo que
hace que este sea predominante a cualquier valoración binomial definida.
CRR RJRB ABMC
Σ 46.60% 46.60% 46.60%
U 1.59361 1.502938 1.72027
D 0.62751 0.591805 0.64244
1+r 1.0500 1.0500 1.0500
P 0.43731 0.5 0.379309
1-p 0.56269 0.5 0.620691
pág. 14623
CONCLUSIONES
La aplicación del modelo binomial difuso a un ejemplo concreto expone las ventajas a partir del enfoque
MAD respecto a la base de proyección sobre la volatilidad, además del apego y uso de coeficientes
equivalentes ciertos como la valoración de expertos (CV), y otros; permiten ampliar el rango de acción
de las decisiones financieras sobre un proyecto de inversión con cierto nivel de incertidumbre riesgo y
ambigüedad que claramente se manifiesta en los escenarios expansión continuación y abandono, mismos
que se traducen posteriormente en la triangulación final otorgando una binomial fuzzy mayor al
planteado por el método tradicional, es decir la lógica borrosa no se realiza con un análisis de
escenarios(opimos, normal, pesimista) puesto las oportunidades según la información otorgan nuevas
estrategias de decisión.
Se debe considerar como línea de investigación esta complementación a los proyectos de inversión
pública adaptando escenarios que legítimamente otorguen beneficios sociales de largo plazo,
considerando las limitaciones a los tipos de proyectos y tipos de opciones reales, además que la
incertidumbre no se puede mitigar con procesos estocásticos es decir que son mayores a los riesgos
identificados.
Con este trabajo el autor pretende reforzar la visión de la valoración de los proyectos de inversión con
la inclusión de la lógica difusa en contexto de la binomial y una visión prospectiva estratégica para
quienes toman decisiones de inversión además de recoger y maximizar las oportunidades que otorga
ventajas mayores al tradicional no sustrayendo de sus limitaciones.
La aplicación de esta complementación puede darse aun en compra de empresas, fusiones y otras
estrategias cuya base matemática bien fundamentada otorgue mejores posiciones de decisión.,
considerando las limitaciones expuestas y además debe ser tratada como una complementación
estratégica al enfoque tradicional.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Acosta-Rueda, K. (2020). Valoracion de opciones financleras call en contexto de no normalidad, bajo
la aproximacion de Edgeworth. ODEON, 19,199-152.
Amram. M. and Kulatilaka, N. (2000). Real options: Managing Strategic Investment in an Uncertain
World. Harvard Business School Press, 246.
CONCLUSIONES
La aplicación del modelo binomial difuso a un ejemplo concreto expone las ventajas a partir del enfoque
MAD respecto a la base de proyección sobre la volatilidad, además del apego y uso de coeficientes
equivalentes ciertos como la valoración de expertos (CV), y otros; permiten ampliar el rango de acción
de las decisiones financieras sobre un proyecto de inversión con cierto nivel de incertidumbre riesgo y
ambigüedad que claramente se manifiesta en los escenarios expansión continuación y abandono, mismos
que se traducen posteriormente en la triangulación final otorgando una binomial fuzzy mayor al
planteado por el método tradicional, es decir la lógica borrosa no se realiza con un análisis de
escenarios(opimos, normal, pesimista) puesto las oportunidades según la información otorgan nuevas
estrategias de decisión.
Se debe considerar como línea de investigación esta complementación a los proyectos de inversión
pública adaptando escenarios que legítimamente otorguen beneficios sociales de largo plazo,
considerando las limitaciones a los tipos de proyectos y tipos de opciones reales, además que la
incertidumbre no se puede mitigar con procesos estocásticos es decir que son mayores a los riesgos
identificados.
Con este trabajo el autor pretende reforzar la visión de la valoración de los proyectos de inversión con
la inclusión de la lógica difusa en contexto de la binomial y una visión prospectiva estratégica para
quienes toman decisiones de inversión además de recoger y maximizar las oportunidades que otorga
ventajas mayores al tradicional no sustrayendo de sus limitaciones.
La aplicación de esta complementación puede darse aun en compra de empresas, fusiones y otras
estrategias cuya base matemática bien fundamentada otorgue mejores posiciones de decisión.,
considerando las limitaciones expuestas y además debe ser tratada como una complementación
estratégica al enfoque tradicional.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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la aproximacion de Edgeworth. ODEON, 19,199-152.
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pág. 14624
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pág. 14625
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