GENERALIZACIÓN DE PATRONES EN QUINTO
DE PRIMARIA PARA ANALIZAR LA ACTIVIDAD
EN LA TEORÍA DE LA OBJETIVACIÓN
GENERALIZATION OF PATTERNS IN FIFTH GRADE TO
ANALYZE ACTIVITY IN THEORY OF OBJECTIFICATION
Sindy Paola Joya Cruz
Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Colombia
Rodolfo Vergel Causado
Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Colombia
pág. 16771
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v9i6.21159
Generalización de Patrones en Quinto de Primaria para Analizar la
Actividad en la Teoría de la Objetivación
Sindy Paola Joya Cruz1
spjoyac@udistrital.edu.co
https://orcid.org/0000-0002-5863-8328
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Colombia
Rodolfo Vergel Causado
rvergelc@udistrital.edu.co
https://orcid.org/0000-0002-0925-3982
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Colombia
RESUMEN
Este trabajo de naturaleza teórica enmarcado en la Teoría de la Objetivación explora la idea de
Actividad concebida como Labor Conjunta, estructurada a partir de dos ejes fundamentales: la Ética
Comunitaria y la Obra Común. Su objetivo es presentar empíricamente la constitución de una actividad
en clase de matemáticas a través de una metodología multisemiótica enfocada en el análisis de la
producción conjunta, de significados en una tarea de generalización de patrones. La investigación se
llevó a cabo con estudiantes de quinto de primaria (10-11 años) y su profesora, trabajando mediante un
proceso dialógico y mediado por diferentes sistemas semióticos, para deducir una expresión que
generaliza una secuencia de patrones. El análisis pone de manifiesto cómo la actividad matemática se
configura como forma de vida siempre que el aprendizaje está situado en relaciones de reconocimiento
y colaboración. Los resultados muestran que una actividad en la que se convoque la alteridad —
entendida como reconocimiento mutuo entre el Yo y el Otro Yo— transforma las dinámicas de
interacción social y formas de aprendizaje, poniendo de manifiesto una dimensión ética de conocer y
de actuar juntos.
Palabras clave: ética comunitaria, generalización de patrones, labor conjunta, obra común,
pensamiento algebraico
1 Autor principal.
Correspondencia: spjoyac@udistrital.edu.co
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v9i6.21159
Generalización de Patrones en Quinto de Primaria para Analizar la
Actividad en la Teoría de la Objetivación
Sindy Paola Joya Cruz1
spjoyac@udistrital.edu.co
https://orcid.org/0000-0002-5863-8328
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Colombia
Rodolfo Vergel Causado
rvergelc@udistrital.edu.co
https://orcid.org/0000-0002-0925-3982
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Colombia
RESUMEN
Este trabajo de naturaleza teórica enmarcado en la Teoría de la Objetivación explora la idea de
Actividad concebida como Labor Conjunta, estructurada a partir de dos ejes fundamentales: la Ética
Comunitaria y la Obra Común. Su objetivo es presentar empíricamente la constitución de una actividad
en clase de matemáticas a través de una metodología multisemiótica enfocada en el análisis de la
producción conjunta, de significados en una tarea de generalización de patrones. La investigación se
llevó a cabo con estudiantes de quinto de primaria (10-11 años) y su profesora, trabajando mediante un
proceso dialógico y mediado por diferentes sistemas semióticos, para deducir una expresión que
generaliza una secuencia de patrones. El análisis pone de manifiesto cómo la actividad matemática se
configura como forma de vida siempre que el aprendizaje está situado en relaciones de reconocimiento
y colaboración. Los resultados muestran que una actividad en la que se convoque la alteridad —
entendida como reconocimiento mutuo entre el Yo y el Otro Yo— transforma las dinámicas de
interacción social y formas de aprendizaje, poniendo de manifiesto una dimensión ética de conocer y
de actuar juntos.
Palabras clave: ética comunitaria, generalización de patrones, labor conjunta, obra común,
pensamiento algebraico
1 Autor principal.
Correspondencia: spjoyac@udistrital.edu.co
pág. 16772
Generalization of Patterns in Fifth Grade to Analyze Activity in Theory of
Objectification
ABSTRACT
This theoretical work, framed within the Theory of Objectification, explores the idea of Activity
conceived as Joint Labor, structured around two fundamental axes: Community Ethics and Common
Work. Its objective is to empirically present the constitution of an activity in a mathematics class
through a multisemiotic methodology focused on the analysis of the joint production of meanings in a
pattern generalization task. The research was carried out with fifth-grade students (10-11 years old) and
their teacher, working through a dialogical process mediated by different semiotic systems to deduce
an expression that generalizes a sequence of patterns. The analysis highlights how mathematical activity
is configured as a way of life whenever learning is situated in relationships of recognition and
collaboration. The results show that an activity that calls for otherness—understood as mutual
recognition between the Self and the Other Self—transforms the dynamics of social interaction and
forms of learning, revealing an ethical dimension of knowing and acting together.
Keywords: community ethics, generalization of patterns, joint labor, common work, algebraic thinking
Artículo recibido 25 setiembre 2025
Aceptado para publicación: 25 octubre 2025
Generalization of Patterns in Fifth Grade to Analyze Activity in Theory of
Objectification
ABSTRACT
This theoretical work, framed within the Theory of Objectification, explores the idea of Activity
conceived as Joint Labor, structured around two fundamental axes: Community Ethics and Common
Work. Its objective is to empirically present the constitution of an activity in a mathematics class
through a multisemiotic methodology focused on the analysis of the joint production of meanings in a
pattern generalization task. The research was carried out with fifth-grade students (10-11 years old) and
their teacher, working through a dialogical process mediated by different semiotic systems to deduce
an expression that generalizes a sequence of patterns. The analysis highlights how mathematical activity
is configured as a way of life whenever learning is situated in relationships of recognition and
collaboration. The results show that an activity that calls for otherness—understood as mutual
recognition between the Self and the Other Self—transforms the dynamics of social interaction and
forms of learning, revealing an ethical dimension of knowing and acting together.
Keywords: community ethics, generalization of patterns, joint labor, common work, algebraic thinking
Artículo recibido 25 setiembre 2025
Aceptado para publicación: 25 octubre 2025
pág. 16773
INTRODUCCIÓN
El presente artículo presenta resultados de una investigación más amplia que ha sido desarrollada en el
marco del Doctorado Interinstitucional en Educación de la Universidad Distrital Francisco José de
Caldas (DIE-UD), que busca comprender la evolución del pensamiento algebraico en correspondencia
con la constitución de la actividad concebida como labor conjunta, desde los principios teóricos de la
Teoría de la Objetivación. El estudio revisa el problema de cómo las prácticas escolares de matemáticas
pueden conformarse en espacios de desarrollo ético y social, y no sólo cognitivo. En particular, nos
pregunta en qué medida el pensamiento algebraico temprano, mediado por la interacción y el
reconocimiento mutuo, puede dar lugar a la toma de conciencia matemática y a procesos de formación
humana. Esta reflexión surge ante la necesidad y la imperiosa urgencia que parece estar cobrando
fuerza, cada vez más manifiesta en la Educación Matemática contemporánea, de reflexionar sobre las
prácticas pedagógicas que deben atender a las tensiones sociales, culturales y afectivas que atraviesan
el aula.
Desde la Teoría de la Objetivación (Radford, 2023) se piensa en el aprendizaje como un proceso social,
cultural e histórico de objetivación de los conocimientos. A partir de aquí, la actividad, la ética
comunitaria y la alteridad son categorías que permiten analizar cómo la actividad conjunta transforma
las formas de interacción y el modo en que las personas se constituyen en el acto de conocer. El trabajo
se desarrolla, desde una óptica cualitativa, en un contexto escolar colombiano con estudiantes de grado
quinto y trata de mostrar que, en el trabajo colectivo de la generalización de patrones, aparecen formas
de actividad que van más allá de la resolución de tareas matemáticas, las cuales se van constituyendo
como formas de vida. El objetivo general consiste en evidenciar, a partir del análisis de la práctica de
aula, en qué consiste la actividad en términos de laboral conjunta y su relación con el desarrollo del
pensamiento algebraico.
Actividad en la teoría de la objetivación
La actividad a la que se hace referencia en la Teoría de la Objetivación tiene un sentido diferente a las
concepciones habituales que reducen la actividad a una serie de acciones que son realizadas por un
sujeto con el fin de alcanzar un objetivo determinado (Radford, 2023).
INTRODUCCIÓN
El presente artículo presenta resultados de una investigación más amplia que ha sido desarrollada en el
marco del Doctorado Interinstitucional en Educación de la Universidad Distrital Francisco José de
Caldas (DIE-UD), que busca comprender la evolución del pensamiento algebraico en correspondencia
con la constitución de la actividad concebida como labor conjunta, desde los principios teóricos de la
Teoría de la Objetivación. El estudio revisa el problema de cómo las prácticas escolares de matemáticas
pueden conformarse en espacios de desarrollo ético y social, y no sólo cognitivo. En particular, nos
pregunta en qué medida el pensamiento algebraico temprano, mediado por la interacción y el
reconocimiento mutuo, puede dar lugar a la toma de conciencia matemática y a procesos de formación
humana. Esta reflexión surge ante la necesidad y la imperiosa urgencia que parece estar cobrando
fuerza, cada vez más manifiesta en la Educación Matemática contemporánea, de reflexionar sobre las
prácticas pedagógicas que deben atender a las tensiones sociales, culturales y afectivas que atraviesan
el aula.
Desde la Teoría de la Objetivación (Radford, 2023) se piensa en el aprendizaje como un proceso social,
cultural e histórico de objetivación de los conocimientos. A partir de aquí, la actividad, la ética
comunitaria y la alteridad son categorías que permiten analizar cómo la actividad conjunta transforma
las formas de interacción y el modo en que las personas se constituyen en el acto de conocer. El trabajo
se desarrolla, desde una óptica cualitativa, en un contexto escolar colombiano con estudiantes de grado
quinto y trata de mostrar que, en el trabajo colectivo de la generalización de patrones, aparecen formas
de actividad que van más allá de la resolución de tareas matemáticas, las cuales se van constituyendo
como formas de vida. El objetivo general consiste en evidenciar, a partir del análisis de la práctica de
aula, en qué consiste la actividad en términos de laboral conjunta y su relación con el desarrollo del
pensamiento algebraico.
Actividad en la teoría de la objetivación
La actividad a la que se hace referencia en la Teoría de la Objetivación tiene un sentido diferente a las
concepciones habituales que reducen la actividad a una serie de acciones que son realizadas por un
sujeto con el fin de alcanzar un objetivo determinado (Radford, 2023).
pág. 16774
La actividad se concibe a partir de cuatro dimensiones (Radford, 2021a): (1) Dimensión constitutiva:
Textura o entramado de la actividad, refiere a una especie de energía, sensible y sensual, material e
ideal, discursiva y gestual; (2) Dimensión ontológica: Forma de vida, que permite la realización como
seres humanos; (3) Dimensión relacional: Organizada alrededor de la ética comunitaria; Y (4)
Dimensión epistemológica: Como órgano kinestésico, donde los sujetos producen y reproducen los
objetos del saber.
La actividad es un sistema dinámico en el que los sujetos interactúan colectivamente con un fuerte
sentido social, por tanto, es considerada como una forma de vida, en la que los sujetos se inscriben en
la sociedad y producen conjuntamente (Radford, 2023). Esta actividad, para distinguirla de otras es
denominada labor conjunta e implica que en el aula de clases tanto estudiantes como profesor van a
laborar conjuntamente, relacionándose para buscar la satisfacción de una necesidad; esto envuelve la
idea en la que toda su energía estará encaminada a realizar un acercamiento crítico y reflexivo de los
saberes culturales (Vergel & Miranda, 2020) que a su vez los posicionaran como sujetos sociales,
históricos y culturales. En este sentido, Radford define la labor conjunta como:
La actividad conjunta (deyatel'nost' en ruso) llevada a cabo por el profesor y los
estudiantes, una forma de energía cuya textura incluye el flujo de componentes
emocionales, afectivos, éticos e intelectuales y materiales de donde emergen las
matemáticas y en donde ocurren los procesos de objetivación y subjetivación. (Radford,
2018a, p. 75)
La actividad que se encamina hacia una labor conjunta tiene de trasfondo la idea del estudiante y el
profesor desde posibilidades que ofrece el marco social, político, histórico y cultural (Radford, 2020a)
en el que se posicionan y que además da muestra de las intenciones en el aula por encontrar tipos de
pensamiento que han sido históricamente constituidos, como es el caso del pensamiento algebraico. A
su vez, atendiendo a los planteamientos de Marx, una labor no alienante se caracteriza por una
producción como seres humanos, afirmándose desde el Otro y el Yo (Radford, 2020a). Así, la labor no
alienante es inevitablemente una cuestión ética, entendiéndose la ética como la forma de la alteridad, la
forma de la relación al Otro.
La actividad se concibe a partir de cuatro dimensiones (Radford, 2021a): (1) Dimensión constitutiva:
Textura o entramado de la actividad, refiere a una especie de energía, sensible y sensual, material e
ideal, discursiva y gestual; (2) Dimensión ontológica: Forma de vida, que permite la realización como
seres humanos; (3) Dimensión relacional: Organizada alrededor de la ética comunitaria; Y (4)
Dimensión epistemológica: Como órgano kinestésico, donde los sujetos producen y reproducen los
objetos del saber.
La actividad es un sistema dinámico en el que los sujetos interactúan colectivamente con un fuerte
sentido social, por tanto, es considerada como una forma de vida, en la que los sujetos se inscriben en
la sociedad y producen conjuntamente (Radford, 2023). Esta actividad, para distinguirla de otras es
denominada labor conjunta e implica que en el aula de clases tanto estudiantes como profesor van a
laborar conjuntamente, relacionándose para buscar la satisfacción de una necesidad; esto envuelve la
idea en la que toda su energía estará encaminada a realizar un acercamiento crítico y reflexivo de los
saberes culturales (Vergel & Miranda, 2020) que a su vez los posicionaran como sujetos sociales,
históricos y culturales. En este sentido, Radford define la labor conjunta como:
La actividad conjunta (deyatel'nost' en ruso) llevada a cabo por el profesor y los
estudiantes, una forma de energía cuya textura incluye el flujo de componentes
emocionales, afectivos, éticos e intelectuales y materiales de donde emergen las
matemáticas y en donde ocurren los procesos de objetivación y subjetivación. (Radford,
2018a, p. 75)
La actividad que se encamina hacia una labor conjunta tiene de trasfondo la idea del estudiante y el
profesor desde posibilidades que ofrece el marco social, político, histórico y cultural (Radford, 2020a)
en el que se posicionan y que además da muestra de las intenciones en el aula por encontrar tipos de
pensamiento que han sido históricamente constituidos, como es el caso del pensamiento algebraico. A
su vez, atendiendo a los planteamientos de Marx, una labor no alienante se caracteriza por una
producción como seres humanos, afirmándose desde el Otro y el Yo (Radford, 2020a). Así, la labor no
alienante es inevitablemente una cuestión ética, entendiéndose la ética como la forma de la alteridad, la
forma de la relación al Otro.
pág. 16775
Para comprender mejor la labor conjunta se han establecido dos categorías clave que se encuentran
estrechamente relacionadas y que reconocen la actividad como una entidad fundamentalmente ética;
esto, implica que se reconoce más allá de su objeto o motivo. Estas categorías son las formas colectivas
específicas de producción de saber y los modos definidos de colaboración humana basados en una ética
comunitaria.
(1) Formas colectivas específicas de producción de saber
Esta categoría refiere a cómo los individuos generan saberes; implica que se tome en cuenta la manera
como las ideas circulan dentro del aula, particularmente desde el reconocimiento de esfuerzos colectivos
que están profundamente influenciados por la historia y la cultura. En este contexto, se destaca el papel
de la movilización del conocimiento en el aula, junto con la dimensión conceptual de la actividad. Así
como señala Radford (2018a) se presta atención a la selección y organización de los problemas que se
plantearán a los estudiantes y que serán discutidos, analizados y debatidos críticamente.
En estos procesos de producción colectiva, tanto docentes como estudiantes trabajan juntos para lograr
una comprensión profunda de los conceptos matemáticos (Radford, 2020b) y juega relevancia los
criterios de verdad en la producción del saber. En este sentido, el saber se encuentra a través de procesos
colectivos de objetivación, permitiendo una evolución gradual de los niveles de conceptualización
matemática. Esto fija la mirada en lo que Hegel (2001) ha llamado la obra en común, donde los
estudiantes y los profesores producen juntos en el aula; pero no solo se producen saberes, también se
producen subjetividades (Radford, 2021d), por eso la importancia del vínculo con la siguiente categoría.
(2) Modos definidos de colaboración humana
Esta categoría está asociada a las maneras históricas y culturales en que los sujetos cooperan entre sí
(Radford, 2014a), dejando en evidencia la necesidad de que el estudiante y el profesor se mantengan
activos. Así, lo esencial es la creación dialéctica de sujetos reflexivos y éticos que adoptan una postura
crítica en las prácticas matemáticas, lo cual está unido con la concepción de una ética de carácter
comunitario.
En esta ética comunitaria se busca eliminar las barreras tradicionales entre estudiantes y profesores,
creando un entorno donde se fomenta la apertura hacia los demás, la responsabilidad, la solidaridad, el
cuidado y una conciencia crítica (Radford, 2018b). Así, la ética es caracterizada como “una relación
Para comprender mejor la labor conjunta se han establecido dos categorías clave que se encuentran
estrechamente relacionadas y que reconocen la actividad como una entidad fundamentalmente ética;
esto, implica que se reconoce más allá de su objeto o motivo. Estas categorías son las formas colectivas
específicas de producción de saber y los modos definidos de colaboración humana basados en una ética
comunitaria.
(1) Formas colectivas específicas de producción de saber
Esta categoría refiere a cómo los individuos generan saberes; implica que se tome en cuenta la manera
como las ideas circulan dentro del aula, particularmente desde el reconocimiento de esfuerzos colectivos
que están profundamente influenciados por la historia y la cultura. En este contexto, se destaca el papel
de la movilización del conocimiento en el aula, junto con la dimensión conceptual de la actividad. Así
como señala Radford (2018a) se presta atención a la selección y organización de los problemas que se
plantearán a los estudiantes y que serán discutidos, analizados y debatidos críticamente.
En estos procesos de producción colectiva, tanto docentes como estudiantes trabajan juntos para lograr
una comprensión profunda de los conceptos matemáticos (Radford, 2020b) y juega relevancia los
criterios de verdad en la producción del saber. En este sentido, el saber se encuentra a través de procesos
colectivos de objetivación, permitiendo una evolución gradual de los niveles de conceptualización
matemática. Esto fija la mirada en lo que Hegel (2001) ha llamado la obra en común, donde los
estudiantes y los profesores producen juntos en el aula; pero no solo se producen saberes, también se
producen subjetividades (Radford, 2021d), por eso la importancia del vínculo con la siguiente categoría.
(2) Modos definidos de colaboración humana
Esta categoría está asociada a las maneras históricas y culturales en que los sujetos cooperan entre sí
(Radford, 2014a), dejando en evidencia la necesidad de que el estudiante y el profesor se mantengan
activos. Así, lo esencial es la creación dialéctica de sujetos reflexivos y éticos que adoptan una postura
crítica en las prácticas matemáticas, lo cual está unido con la concepción de una ética de carácter
comunitario.
En esta ética comunitaria se busca eliminar las barreras tradicionales entre estudiantes y profesores,
creando un entorno donde se fomenta la apertura hacia los demás, la responsabilidad, la solidaridad, el
cuidado y una conciencia crítica (Radford, 2018b). Así, la ética es caracterizada como “una relación
pág. 16776
fluida, personal y cultural de responsabilidad entre el uno y el otro; o, de manera más general, como la
forma de la alteridad” (Radford, 2020b, p. 33). Esta ética se configura a partir de tres vectores que
constituyen la estructura esencial de la subjetividad y solo puede aparecer a través de la práctica, en la
búsqueda del reconocimiento del otro como ser natural y libre (Radford, 2021b). Estos vectores son:
Compromiso hacia los demás o compromiso en el trabajo conjunto, Responsabilidad y Cuidado del
Otro.
Estos vectores deben integrarse para formar un espacio ético desde el cual surjan nuevas formas de
subjetividad (Radford, 2021b). Sin embargo, es importante destacar que estos no se generan de manera
automática, sino que necesitan ser impulsados, vividos y aplicados para que se materialicen de manera
efectiva.
Reconocemos que las formas colectivas específicas de producción de saber y los modos definidos de
colaboración humana no surgen de manera espontánea, sino que son el resultado de relaciones que se
desarrollan a lo largo del tiempo, que se encuentran en perpetuo movimiento. Estas formas son
construcciones culturales e históricas que incluyen aspectos materiales, sociales y espirituales.
Discutir sobre el pensamiento algebraico temprano y la actividad nombrada como labor conjunta
emerge como una propuesta para pensar y materializar interacciones educativas donde los estudiantes
co-producen saberes matemáticos vinculados con relaciones de reconocimiento, reciprocidad y
compromiso ético. En este sentido, el objetivo de este artículo es mostrar cómo una tarea de
generalización de patrones permite describir una actividad que se configura en términos de una labor
conjunta; una actividad en la que tiene presencia la ética comunitaria.
Pensamiento Algebraico
Socas (2011) indica que las investigaciones sobre el pensamiento algebraico se han enfocado en dos
aspectos principales: (1) el análisis de sus características, los niveles de organización y los problemas
relacionados con la enseñanza y el aprendizaje, y (2) el estudio de los procesos de resolución en tareas
específicas. La iniciativa del álgebra temprana propone introducir formas de pensamiento algebraico en
la educación primaria (Blanton & Kaput, 2005; Kaput, 2000; Kaput et al., 2008; Brizuela et al., 2013)
para favorecer el tránsito de la aritmética al álgebra de los estudiantes y algebrizar el currículo.
fluida, personal y cultural de responsabilidad entre el uno y el otro; o, de manera más general, como la
forma de la alteridad” (Radford, 2020b, p. 33). Esta ética se configura a partir de tres vectores que
constituyen la estructura esencial de la subjetividad y solo puede aparecer a través de la práctica, en la
búsqueda del reconocimiento del otro como ser natural y libre (Radford, 2021b). Estos vectores son:
Compromiso hacia los demás o compromiso en el trabajo conjunto, Responsabilidad y Cuidado del
Otro.
Estos vectores deben integrarse para formar un espacio ético desde el cual surjan nuevas formas de
subjetividad (Radford, 2021b). Sin embargo, es importante destacar que estos no se generan de manera
automática, sino que necesitan ser impulsados, vividos y aplicados para que se materialicen de manera
efectiva.
Reconocemos que las formas colectivas específicas de producción de saber y los modos definidos de
colaboración humana no surgen de manera espontánea, sino que son el resultado de relaciones que se
desarrollan a lo largo del tiempo, que se encuentran en perpetuo movimiento. Estas formas son
construcciones culturales e históricas que incluyen aspectos materiales, sociales y espirituales.
Discutir sobre el pensamiento algebraico temprano y la actividad nombrada como labor conjunta
emerge como una propuesta para pensar y materializar interacciones educativas donde los estudiantes
co-producen saberes matemáticos vinculados con relaciones de reconocimiento, reciprocidad y
compromiso ético. En este sentido, el objetivo de este artículo es mostrar cómo una tarea de
generalización de patrones permite describir una actividad que se configura en términos de una labor
conjunta; una actividad en la que tiene presencia la ética comunitaria.
Pensamiento Algebraico
Socas (2011) indica que las investigaciones sobre el pensamiento algebraico se han enfocado en dos
aspectos principales: (1) el análisis de sus características, los niveles de organización y los problemas
relacionados con la enseñanza y el aprendizaje, y (2) el estudio de los procesos de resolución en tareas
específicas. La iniciativa del álgebra temprana propone introducir formas de pensamiento algebraico en
la educación primaria (Blanton & Kaput, 2005; Kaput, 2000; Kaput et al., 2008; Brizuela et al., 2013)
para favorecer el tránsito de la aritmética al álgebra de los estudiantes y algebrizar el currículo.
pág. 16777
De esta manera, algebrizar la matemática elemental significa entrenar a los estudiantes para que
desarrollen un pensamiento más general y para que sean capaces de expresar y comunicar esa
generalidad de manera más efectiva; reconociendo que el álgebra no es un cuerpo de conocimiento
estático (Joya, 2023), ya que presenta características evolutivas que cambian con el tiempo. Una
constante es que los estudiantes en primeros grad0os de escolaridad se familiarizan más con estructuras
de naturaleza aritmética, prefieren las operaciones entre números sobre las relaciones entre ellos (Castro
& Herrera-Restrepo, 2024).
Desde la perspectiva de la Teoría de la Objetivación, el pensamiento algebraico está caracterizado por
tres condiciones (Radford, 2021c): los objetos del razonamiento, la manera en que los objetos son
simbolizados y cómo se razona sobre los objetos del razonamiento. En este sentido, el pensamiento
algebraico es pura posibilidad y para reconocerlo se identifica como elemento clave la manera como se
tratan las cantidades indeterminadas de manera analítica (Radford, 2013a). Para lograr este
reconocimiento se consideran tres características estrechamente relacionadas: sentido de
indeterminancia, analiticidad y designación simbólica o expresión semiótica (Joya, 2023; Radford,
2018c; Vergel, 2019). Una de las maneras de llegar a tratar las cantidades indeterminadas de manera
analítica ha sido a través de la generalización de patrones (Rojas & Vergel, 2018), como uno de los
procedimientos principales de producción del conocimiento que permiten el desarrollo del pensamiento
algebraico.
En el estudio sobre generalización de patrones, como reportan Radford (2013a) y Vergel (2015b, 2015a,
2019) se evidencia que los estudiantes de primaria realizan generalizaciones algebraicas sin la necesidad
de recurrir al uso de signos alfanuméricos. Una generalización algebraica se da cuando se pasa de lo
concreto y perceptible a lo que no es directamente observable. Este proceso depende de cómo se maneje
lo general e implican una sensibilidad por parte del profesor para valorar, analizar y potenciar las
producciones de los estudiantes. Radford (2013a) propone la siguiente estructura relacionada con la
generalización algebraica de patrones:
De esta manera, algebrizar la matemática elemental significa entrenar a los estudiantes para que
desarrollen un pensamiento más general y para que sean capaces de expresar y comunicar esa
generalidad de manera más efectiva; reconociendo que el álgebra no es un cuerpo de conocimiento
estático (Joya, 2023), ya que presenta características evolutivas que cambian con el tiempo. Una
constante es que los estudiantes en primeros grad0os de escolaridad se familiarizan más con estructuras
de naturaleza aritmética, prefieren las operaciones entre números sobre las relaciones entre ellos (Castro
& Herrera-Restrepo, 2024).
Desde la perspectiva de la Teoría de la Objetivación, el pensamiento algebraico está caracterizado por
tres condiciones (Radford, 2021c): los objetos del razonamiento, la manera en que los objetos son
simbolizados y cómo se razona sobre los objetos del razonamiento. En este sentido, el pensamiento
algebraico es pura posibilidad y para reconocerlo se identifica como elemento clave la manera como se
tratan las cantidades indeterminadas de manera analítica (Radford, 2013a). Para lograr este
reconocimiento se consideran tres características estrechamente relacionadas: sentido de
indeterminancia, analiticidad y designación simbólica o expresión semiótica (Joya, 2023; Radford,
2018c; Vergel, 2019). Una de las maneras de llegar a tratar las cantidades indeterminadas de manera
analítica ha sido a través de la generalización de patrones (Rojas & Vergel, 2018), como uno de los
procedimientos principales de producción del conocimiento que permiten el desarrollo del pensamiento
algebraico.
En el estudio sobre generalización de patrones, como reportan Radford (2013a) y Vergel (2015b, 2015a,
2019) se evidencia que los estudiantes de primaria realizan generalizaciones algebraicas sin la necesidad
de recurrir al uso de signos alfanuméricos. Una generalización algebraica se da cuando se pasa de lo
concreto y perceptible a lo que no es directamente observable. Este proceso depende de cómo se maneje
lo general e implican una sensibilidad por parte del profesor para valorar, analizar y potenciar las
producciones de los estudiantes. Radford (2013a) propone la siguiente estructura relacionada con la
generalización algebraica de patrones:
pág. 16778
Figura 1. Estructura de la generalización algebraica de patrones. Tomada de Radford (2013a, p. 7).
Esta estructura se basa en el reconocimiento de una propiedad común observada en términos específicos
de una secuencia que sugieren que la o las propiedades podrían ser generalizables.
Cuando se aplica la propiedad a términos subsecuentes se reconoce y generaliza la característica a otros
términos de la secuencia, atendiendo a lo Peirce (1931) reconoce como un proceso de predicción. Y
finalmente el uso de la propiedad común para deducir una expresión general en la que se es capaz de
calcular el valor de cualquier término de la secuencia. Esto implica una forma de razonamiento
analítico, en la que la generalización deja de ser una posibilidad y se convierte en un principio asumido
para generar una expresión (ya sea simbólica o no) que calcule el valor de cualquier término de la
secuencia.
METODOLOGÍA
Para el análisis, la atención se dirige a la perspectiva multimodal del pensamiento humano donde se
reflexiona respecto a la emergencia de recursos semióticos como parte de los actos de conocimiento.
Siguiendo la metodología multisemiótica en el que intervienen la percepción, los gestos, los símbolos
matemáticos, el cuerpo y el lenguaje natural (Radford, 2013a; Vergel, 2015b) para evidenciar el
pensamiento. Dentro del diseño metodológico se consideran cuatro momentos: (1) Configuración o
diseño de la tarea, (2) Intervención de aula para la recolección de información, (3) Análisis e
interpretación de datos y (4) Generación de teoría. Estos momentos permiten evidenciar
cualitativamente cómo la actividad en términos de labor conjunta emerge en relación con la evolución
del pensamiento algebraico.
Participantes del estudio
Los participantes son seleccionados de una clase de grado quinto del Colegio Isabel II, una institución
pública de Bogotá (Colombia). La unidad de análisis se constituye en la actividad de cinco estudiantes
Figura 1. Estructura de la generalización algebraica de patrones. Tomada de Radford (2013a, p. 7).
Esta estructura se basa en el reconocimiento de una propiedad común observada en términos específicos
de una secuencia que sugieren que la o las propiedades podrían ser generalizables.
Cuando se aplica la propiedad a términos subsecuentes se reconoce y generaliza la característica a otros
términos de la secuencia, atendiendo a lo Peirce (1931) reconoce como un proceso de predicción. Y
finalmente el uso de la propiedad común para deducir una expresión general en la que se es capaz de
calcular el valor de cualquier término de la secuencia. Esto implica una forma de razonamiento
analítico, en la que la generalización deja de ser una posibilidad y se convierte en un principio asumido
para generar una expresión (ya sea simbólica o no) que calcule el valor de cualquier término de la
secuencia.
METODOLOGÍA
Para el análisis, la atención se dirige a la perspectiva multimodal del pensamiento humano donde se
reflexiona respecto a la emergencia de recursos semióticos como parte de los actos de conocimiento.
Siguiendo la metodología multisemiótica en el que intervienen la percepción, los gestos, los símbolos
matemáticos, el cuerpo y el lenguaje natural (Radford, 2013a; Vergel, 2015b) para evidenciar el
pensamiento. Dentro del diseño metodológico se consideran cuatro momentos: (1) Configuración o
diseño de la tarea, (2) Intervención de aula para la recolección de información, (3) Análisis e
interpretación de datos y (4) Generación de teoría. Estos momentos permiten evidenciar
cualitativamente cómo la actividad en términos de labor conjunta emerge en relación con la evolución
del pensamiento algebraico.
Participantes del estudio
Los participantes son seleccionados de una clase de grado quinto del Colegio Isabel II, una institución
pública de Bogotá (Colombia). La unidad de análisis se constituye en la actividad de cinco estudiantes
pág. 16779
(10-11 años) y la profesora al abordar una tarea relacionada con una secuencia figural con apoyo tabular
en una clase de matemáticas. En ella analizamos la constitución de la actividad como labor conjunta a
partir de la emergencia y potencial evolución del pensamiento algebraico y la presencia de los vectores
de la ética comunitaria. Los estudiantes participan en el abordaje de 7 tareas durante 14 sesiones. La
tarea que se presenta es la tarea número cuatro y corresponde a la sesión número seis.
Recopilación de datos
Se utiliza como medio de recolección de información la grabación de audio y video, hojas de trabajo de
los estudiantes y diario de campo de la docente. Con ellos, se realiza una selección de episodios que
consideramos son sobresalientes y que posteriormente se transcriben de manera textual resaltando
interacciones verbales y no verbales, con la inclusión de imágenes y comentarios a la luz de los lentes
de la Teoría de la Objetivación. Estos elementos son puestos en discusión para el reconocimiento de
medios semióticos de objetivación tales como objetos, herramientas, dispositivos lingüísticos y signos
que son usados intencionalmente para la creación de significado (Radford, 2003) y que llevan a los
estudiantes a la toma de conciencia para, en este caso, expresar sus generalizaciones.
Procedimientos y protocolos
La recolección de la información se llevó a cabo durante la sesión seis, en la que se desarrolla la tarea
número cuatro. Se selecciona un grupo de cinco estudiantes que a la luz de los intereses investigativos
dan muestra de elementos para caracterizar el pensamiento algebraico. A continuación, se presenta la
tarea abordada, la cual es entregada a los estudiantes para realizar dos abordajes: uno individual para
posicionarse críticamente ante los términos y uno colectivo en el que se comparten hallazgos, se
determinan características comunes y se trabaja hombro a hombro para el establecimiento de una
generalidad.
Tarea de secuencia figural con apoyo tabular
La tarea que se presenta está relacionada con una secuencia figural con apoyo tabular en la que los
estudiantes pueden visualizar los términos: T1, T2, T3 y T4.
(10-11 años) y la profesora al abordar una tarea relacionada con una secuencia figural con apoyo tabular
en una clase de matemáticas. En ella analizamos la constitución de la actividad como labor conjunta a
partir de la emergencia y potencial evolución del pensamiento algebraico y la presencia de los vectores
de la ética comunitaria. Los estudiantes participan en el abordaje de 7 tareas durante 14 sesiones. La
tarea que se presenta es la tarea número cuatro y corresponde a la sesión número seis.
Recopilación de datos
Se utiliza como medio de recolección de información la grabación de audio y video, hojas de trabajo de
los estudiantes y diario de campo de la docente. Con ellos, se realiza una selección de episodios que
consideramos son sobresalientes y que posteriormente se transcriben de manera textual resaltando
interacciones verbales y no verbales, con la inclusión de imágenes y comentarios a la luz de los lentes
de la Teoría de la Objetivación. Estos elementos son puestos en discusión para el reconocimiento de
medios semióticos de objetivación tales como objetos, herramientas, dispositivos lingüísticos y signos
que son usados intencionalmente para la creación de significado (Radford, 2003) y que llevan a los
estudiantes a la toma de conciencia para, en este caso, expresar sus generalizaciones.
Procedimientos y protocolos
La recolección de la información se llevó a cabo durante la sesión seis, en la que se desarrolla la tarea
número cuatro. Se selecciona un grupo de cinco estudiantes que a la luz de los intereses investigativos
dan muestra de elementos para caracterizar el pensamiento algebraico. A continuación, se presenta la
tarea abordada, la cual es entregada a los estudiantes para realizar dos abordajes: uno individual para
posicionarse críticamente ante los términos y uno colectivo en el que se comparten hallazgos, se
determinan características comunes y se trabaja hombro a hombro para el establecimiento de una
generalidad.
Tarea de secuencia figural con apoyo tabular
La tarea que se presenta está relacionada con una secuencia figural con apoyo tabular en la que los
estudiantes pueden visualizar los términos: T1, T2, T3 y T4.
pág. 16780
Figura 2. Secuencia figural con apoyo tabular.
Se pide a los estudiantes que determinen la cantidad de cuadrados que tiene algunos términos próximos
que pueden ser representados (T5 y T6) y términos remotos que deben ser tratados para determinar las
cantidades y su ubicación sin necesidad de recurrir a una representación completa (T10 y T50). El
término general corresponde a la forma 2𝑛 − 1 con 𝑛 = 1,2,3,… donde 𝑛 es el número del término.
Para el desarrollo de la tarea, los cinco estudiantes están ubicados en una sola mesa de trabajo donde
pueden compartir y discutir entre ellos y con la profesora respecto a sus consideraciones de lo que
ocurre con los términos de la secuencia
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Para analizar la evolución del pensamiento algebraico en relación con la actividad configurada como
labor conjunta, se establece como categorías analíticas las formas colectivas específicas de producción
de saber y los modos definidos de colaboración humana descritos en la caracterización de la actividad.
Episodio y análisis
En este episodio participan la profesora y cinco estudiantes de grado quinto: Michell, María, Brayan,
Shaira y Cristian. La discusión gira en torno a identificar la cantidad de cuadrados que tiene T50; para
ello, Brayan realiza el siguiente registro:
Figura 3. Registro de Brayan para encontrar el Término 50
En el registro de Brayan, él utiliza un esquema de dos filas, en el que la primera hace referencia al
Término y la segundo a la cantidad de cuadrados que ha considerado. Por ejemplo, el T11 tiene 21
cuadrados, el T12 tiene 23 cuadrados, y así sucesivamente.
Figura 2. Secuencia figural con apoyo tabular.
Se pide a los estudiantes que determinen la cantidad de cuadrados que tiene algunos términos próximos
que pueden ser representados (T5 y T6) y términos remotos que deben ser tratados para determinar las
cantidades y su ubicación sin necesidad de recurrir a una representación completa (T10 y T50). El
término general corresponde a la forma 2𝑛 − 1 con 𝑛 = 1,2,3,… donde 𝑛 es el número del término.
Para el desarrollo de la tarea, los cinco estudiantes están ubicados en una sola mesa de trabajo donde
pueden compartir y discutir entre ellos y con la profesora respecto a sus consideraciones de lo que
ocurre con los términos de la secuencia
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Para analizar la evolución del pensamiento algebraico en relación con la actividad configurada como
labor conjunta, se establece como categorías analíticas las formas colectivas específicas de producción
de saber y los modos definidos de colaboración humana descritos en la caracterización de la actividad.
Episodio y análisis
En este episodio participan la profesora y cinco estudiantes de grado quinto: Michell, María, Brayan,
Shaira y Cristian. La discusión gira en torno a identificar la cantidad de cuadrados que tiene T50; para
ello, Brayan realiza el siguiente registro:
Figura 3. Registro de Brayan para encontrar el Término 50
En el registro de Brayan, él utiliza un esquema de dos filas, en el que la primera hace referencia al
Término y la segundo a la cantidad de cuadrados que ha considerado. Por ejemplo, el T11 tiene 21
cuadrados, el T12 tiene 23 cuadrados, y así sucesivamente.
pág. 16781
Sin embargo, en este registro T50 tiene 101 cuadrados, algo que para los estudiantes del grupo es una
respuesta incorrecta, por lo cual se produce la conversación (que es transcrita) para determinar qué es
lo que está pasando.
[L1] Michell: Él está contando de uno en uno
[L2] Brayan: Ahí están los números abajo
[L3] Michell: ¡Eso está más mal profe!
[L4] Brayan: Son los números que están abajo, los otros son…. La posición…
[L5] Profe: Son la posición, lo que nosotros decimos término ¿Cierto Brayan?
[L6] Brayan: ¡Sí! Los otros son lo que estoy sumando.
[L7] Profe: Entonces este…. El [Término] 11 sería 21; el [Término] 17 sería 35. [La profesora y
Brayan van señalando los términos y desplazándose a través del registro con los dedos].
[L8] Brayan: [Afirma con la cabeza]. Sí ven, par de raros.
Figura 4. El grupo señalando y tratando de comprender lo que hace Brayan.
En el registro realizado por Brayan se observa que existe una correspondencia uno a uno entre el
Término y la cantidad de cuadrados que lo componen. Identifica la comunalidad de sumar +2 en el
cambio de cada Término, empezando por T11; sin embargo, para llegar a determinar lo que pasa en
T50 requiere del registro uno a uno para indicar la cantidad de cuadrados. En este sentido, se presenta
una generalización aritmética de patrones en la que, aunque se encuentre una comunalidad, ésta no es
usada para realizar expresiones que permitan calcular términos desconocidos de la secuencia, no existe
deducción. Aún se necesita de casos específicos para poder encontrar un Término; evidenciando el
importante rol del uso de deícticos para acompañar las acciones que describen los estudiantes, como es
el caso de señalar y saltar entre cada uno de los términos referidos al tiempo que mencionan el número
del Término.
Sin embargo, en este registro T50 tiene 101 cuadrados, algo que para los estudiantes del grupo es una
respuesta incorrecta, por lo cual se produce la conversación (que es transcrita) para determinar qué es
lo que está pasando.
[L1] Michell: Él está contando de uno en uno
[L2] Brayan: Ahí están los números abajo
[L3] Michell: ¡Eso está más mal profe!
[L4] Brayan: Son los números que están abajo, los otros son…. La posición…
[L5] Profe: Son la posición, lo que nosotros decimos término ¿Cierto Brayan?
[L6] Brayan: ¡Sí! Los otros son lo que estoy sumando.
[L7] Profe: Entonces este…. El [Término] 11 sería 21; el [Término] 17 sería 35. [La profesora y
Brayan van señalando los términos y desplazándose a través del registro con los dedos].
[L8] Brayan: [Afirma con la cabeza]. Sí ven, par de raros.
Figura 4. El grupo señalando y tratando de comprender lo que hace Brayan.
En el registro realizado por Brayan se observa que existe una correspondencia uno a uno entre el
Término y la cantidad de cuadrados que lo componen. Identifica la comunalidad de sumar +2 en el
cambio de cada Término, empezando por T11; sin embargo, para llegar a determinar lo que pasa en
T50 requiere del registro uno a uno para indicar la cantidad de cuadrados. En este sentido, se presenta
una generalización aritmética de patrones en la que, aunque se encuentre una comunalidad, ésta no es
usada para realizar expresiones que permitan calcular términos desconocidos de la secuencia, no existe
deducción. Aún se necesita de casos específicos para poder encontrar un Término; evidenciando el
importante rol del uso de deícticos para acompañar las acciones que describen los estudiantes, como es
el caso de señalar y saltar entre cada uno de los términos referidos al tiempo que mencionan el número
del Término.
pág. 16782
Se observa también que en L3 Michell afirma “¡Eso está más mal profe!”. Desconociendo la producción
de su compañero y descalificando su trabajo, señalando que fue realizado de manera inapropiada. Este
contexto refleja dinámicas de poder en las que el conocimiento se valida según las normas tradicionales
de la escuela, de la cual provienen estos estudiantes, donde el profesor es el encargado de proporcionar
respuestas y determinar su validez (Joya & Vergel, 2024).
El grupo de estudiantes afirman entender el registro de Brayan, sin embargo, no están de acuerdo con
el registro y sobre todo con la respuesta de T50; en particular porque algunos consideran que T50 tiene
99 cuadrados y otros que T50 tiene 101 cuadrados.
[L9] Profe: ¿Es 99 o es 101?
[L10] Cristhian: ¡99 profe!
[L11] Brayan: !101! Ahí está el [Término] 50 [Señala el registro].
[L12] Michell: ¡No! Es 99. Compare con esto [Dirigiéndose a la hoja de trabajo de Shaira].
[L13] Brayan: ¡No!
[L14] Shaira: Yo ya lo dejé hablar.
En L10 y L12 se observa como Cristhian y Michell establecen una distinción entre los estudiantes,
basada en la noción de plusvalía (Iliénkov, 1977). En este sentido, como Shaira es reconocida como
una estudiante que siempre le va bien en matemáticas, asumen que su respuesta es correcta, sin conocer
lo que ha realizado. Sin embargo, en L13 Brayan se niega a reconocer la respuesta otorgada por ella
como correcta.
En L14 se observa como Shaira llama la atención de Brayan para que la escuche, para que le permita
hablar. Esto refleja que la interacción social ocurre dentro del marco de la alteridad, en el
reconocimiento del Otro y en la posibilidad de compartir y reflexionar sobre lo que hacen. En este
sentido, destacamos que no podemos ver a los sujetos de manera aislada a la sociedad en la que viven;
siguiendo a Fischbach (2023), los sujetos no solo son seres naturales y relacionales, sino también seres
sociales, lo que los sitúa en un contexto de relaciones que son una extensión del mundo natural.
De esta manera, Shaira procede a mencionar que no necesita hacer todo el listado de números para saber
la cantidad de cuadrados, tal como hizo Brayan, y procede a explicar cómo entiende la configuración
de la secuencia.
Se observa también que en L3 Michell afirma “¡Eso está más mal profe!”. Desconociendo la producción
de su compañero y descalificando su trabajo, señalando que fue realizado de manera inapropiada. Este
contexto refleja dinámicas de poder en las que el conocimiento se valida según las normas tradicionales
de la escuela, de la cual provienen estos estudiantes, donde el profesor es el encargado de proporcionar
respuestas y determinar su validez (Joya & Vergel, 2024).
El grupo de estudiantes afirman entender el registro de Brayan, sin embargo, no están de acuerdo con
el registro y sobre todo con la respuesta de T50; en particular porque algunos consideran que T50 tiene
99 cuadrados y otros que T50 tiene 101 cuadrados.
[L9] Profe: ¿Es 99 o es 101?
[L10] Cristhian: ¡99 profe!
[L11] Brayan: !101! Ahí está el [Término] 50 [Señala el registro].
[L12] Michell: ¡No! Es 99. Compare con esto [Dirigiéndose a la hoja de trabajo de Shaira].
[L13] Brayan: ¡No!
[L14] Shaira: Yo ya lo dejé hablar.
En L10 y L12 se observa como Cristhian y Michell establecen una distinción entre los estudiantes,
basada en la noción de plusvalía (Iliénkov, 1977). En este sentido, como Shaira es reconocida como
una estudiante que siempre le va bien en matemáticas, asumen que su respuesta es correcta, sin conocer
lo que ha realizado. Sin embargo, en L13 Brayan se niega a reconocer la respuesta otorgada por ella
como correcta.
En L14 se observa como Shaira llama la atención de Brayan para que la escuche, para que le permita
hablar. Esto refleja que la interacción social ocurre dentro del marco de la alteridad, en el
reconocimiento del Otro y en la posibilidad de compartir y reflexionar sobre lo que hacen. En este
sentido, destacamos que no podemos ver a los sujetos de manera aislada a la sociedad en la que viven;
siguiendo a Fischbach (2023), los sujetos no solo son seres naturales y relacionales, sino también seres
sociales, lo que los sitúa en un contexto de relaciones que son una extensión del mundo natural.
De esta manera, Shaira procede a mencionar que no necesita hacer todo el listado de números para saber
la cantidad de cuadrados, tal como hizo Brayan, y procede a explicar cómo entiende la configuración
de la secuencia.
pág. 16783
[L15] Shaira: Profe, es que por ejemplo yo... [Señala T2]. Acá dos [mueve el esfero en la
dirección de la flecha roja haciendo referencia a dos cuadrados] y colocaron el uno [mueve
el esfero en la dirección de la flecha verde señalando el texto “Término 1”].
[L16] Shaira: Tres [señalando en flecha azul el T3] y le colocaron el dos [señalado en flecha
morada señalando el texto “Término 2”].
[L17] Profe: ¿Si entendieron lo que hizo Shaira? [Los estudiantes se miran asombrados].
Figura 5. Shaira explicando la manera como generaliza.
En L15 y L16 se observa una coordinación multimodal de recursos semióticos utilizados por Shaira;
ella utiliza gestos indexicales para señalar la forma como cada Término se moviliza. Mantiene doble
señalamiento de ascenso y retoma el término anterior, lo que ha sido descrito a través del movimiento
entre las flechas que ascienden y las flechas que descienden. Para ella, no es necesario realizar todo el
conteo, ni ejemplificar la totalidad de cuadrados; en este sentido, reconoce la comunalidad desde la
composición de la figura de acuerdo con su configuración espacial.
Sí ella, por ejemplo, quiere saber la cantidad de cuadrados que tiene el T10, reconoce que hay 10
cuadrados que suben y 9 cuadrados que bajan para un total de 19 cuadrados. Así, Shaira realiza una
generalización en la que reconoce la posición, la cantidad de cuadrados y la manera como estos se
comportan sin importar el término que quiera conocer. Ha establecido una generalización algebraica.
Sin embargo, de lo que se trata esto no es de ver cómo unos estudiantes logran de manera más sofisticada
demostrar sus hallazgos, sino de reconocer como de manera colectiva pueden trabajar por esa obra
común y así encontrarse con formas culturales de ser y hacer. En este sentido, el grupo de estudiantes
en compañía de la profesora proceden a reconstruir la manera como Shaira y Brayan están encontrando
la cantidad de cuadrados en cada término para definir en un trabajo hombro a hombro la cantidad de
cuadrados de T50.
[L15] Shaira: Profe, es que por ejemplo yo... [Señala T2]. Acá dos [mueve el esfero en la
dirección de la flecha roja haciendo referencia a dos cuadrados] y colocaron el uno [mueve
el esfero en la dirección de la flecha verde señalando el texto “Término 1”].
[L16] Shaira: Tres [señalando en flecha azul el T3] y le colocaron el dos [señalado en flecha
morada señalando el texto “Término 2”].
[L17] Profe: ¿Si entendieron lo que hizo Shaira? [Los estudiantes se miran asombrados].
Figura 5. Shaira explicando la manera como generaliza.
En L15 y L16 se observa una coordinación multimodal de recursos semióticos utilizados por Shaira;
ella utiliza gestos indexicales para señalar la forma como cada Término se moviliza. Mantiene doble
señalamiento de ascenso y retoma el término anterior, lo que ha sido descrito a través del movimiento
entre las flechas que ascienden y las flechas que descienden. Para ella, no es necesario realizar todo el
conteo, ni ejemplificar la totalidad de cuadrados; en este sentido, reconoce la comunalidad desde la
composición de la figura de acuerdo con su configuración espacial.
Sí ella, por ejemplo, quiere saber la cantidad de cuadrados que tiene el T10, reconoce que hay 10
cuadrados que suben y 9 cuadrados que bajan para un total de 19 cuadrados. Así, Shaira realiza una
generalización en la que reconoce la posición, la cantidad de cuadrados y la manera como estos se
comportan sin importar el término que quiera conocer. Ha establecido una generalización algebraica.
Sin embargo, de lo que se trata esto no es de ver cómo unos estudiantes logran de manera más sofisticada
demostrar sus hallazgos, sino de reconocer como de manera colectiva pueden trabajar por esa obra
común y así encontrarse con formas culturales de ser y hacer. En este sentido, el grupo de estudiantes
en compañía de la profesora proceden a reconstruir la manera como Shaira y Brayan están encontrando
la cantidad de cuadrados en cada término para definir en un trabajo hombro a hombro la cantidad de
cuadrados de T50.
pág. 16784
[L18] Cristhian: Es que a cada uno se le suman dos [señala con dos dedos/ flecha roja]
[L19] Shaira: Cuáles, yo lo que estoy diciendo es que al [Término] 2 se le agregó uno. Al
[Término] 3 se le agregó dos [señala con un dedo / flecha verde]. Al [Término] 4 se le
agregó tres.
[L20] Profe: ¿Sí entendieron?
[L21] Brayan: Le agregan dos, no uno….
[L22] Cristhian: Si, pero se van sumando dos, igual.
[L23] Profe: ¡Sí, claro!
[L24] Shaira: ¡Es lo mismo!
[L25] Cristhian: Sí es lo mismo para qué peleamos [quita la hoja del centro de la mesa].
Figura 6. Shaira y Cristhian explicando lo que pasa con los términos.
Se observa nuevamente una coordinación multimodal de recursos semióticos. En esta ocasión Cristhian
reconoce que el cambio de un término respecto al otro es que se agregan dos cuadrados, por eso para él
tiene mayor certeza el registro que realizó Brayan y no el realizado por Shaira. Es importante señalar
que los estudiantes aún no se han puesto de acuerdo sobre la totalidad de cuadrados de T50 y este
tampoco es el fin de la tarea.
La tarea pretende que los estudiantes puedan establecer una serie de argumentos en los que se reconoce
posiciones críticas respecto a las producciones presentadas, así como impulsar la participación y diálogo
entre los estudiantes y la profesora para vivir en una ética de orientación comunitaria. De esta manera,
se busca la constitución de una ética fundamentada en reflexión y posicionamiento crítico de lo que
Marx (2001) denominaba las capacidades humanas, tales como la voluntad, el amor, la cooperación y
[L18] Cristhian: Es que a cada uno se le suman dos [señala con dos dedos/ flecha roja]
[L19] Shaira: Cuáles, yo lo que estoy diciendo es que al [Término] 2 se le agregó uno. Al
[Término] 3 se le agregó dos [señala con un dedo / flecha verde]. Al [Término] 4 se le
agregó tres.
[L20] Profe: ¿Sí entendieron?
[L21] Brayan: Le agregan dos, no uno….
[L22] Cristhian: Si, pero se van sumando dos, igual.
[L23] Profe: ¡Sí, claro!
[L24] Shaira: ¡Es lo mismo!
[L25] Cristhian: Sí es lo mismo para qué peleamos [quita la hoja del centro de la mesa].
Figura 6. Shaira y Cristhian explicando lo que pasa con los términos.
Se observa nuevamente una coordinación multimodal de recursos semióticos. En esta ocasión Cristhian
reconoce que el cambio de un término respecto al otro es que se agregan dos cuadrados, por eso para él
tiene mayor certeza el registro que realizó Brayan y no el realizado por Shaira. Es importante señalar
que los estudiantes aún no se han puesto de acuerdo sobre la totalidad de cuadrados de T50 y este
tampoco es el fin de la tarea.
La tarea pretende que los estudiantes puedan establecer una serie de argumentos en los que se reconoce
posiciones críticas respecto a las producciones presentadas, así como impulsar la participación y diálogo
entre los estudiantes y la profesora para vivir en una ética de orientación comunitaria. De esta manera,
se busca la constitución de una ética fundamentada en reflexión y posicionamiento crítico de lo que
Marx (2001) denominaba las capacidades humanas, tales como la voluntad, el amor, la cooperación y
pág. 16785
la solidaridad. Así, la profesora acompaña las producciones de los estudiantes a través de la siguiente
conversación:
[L26] Profe: Shaira está haciendo algo que es no ponerse a sumar más dos, más dos, más dos,
más dos, más dos [mueve las manos en bucle para indicar que es algo repetitivo y
posteriormente toma la hoja de trabajo de los estudiantes para continuar con la
conversación]. Ella lo que está diciendo es que, por ejemplo, este es el Término 3 [señala
el término], entonces son 3 acá [señala la fila izquierda de la figura en T3]. ¿Cuánto es 3
menos 1?
[L27] Brayan: Dos
[L28] Profe: Dos cuadritos acá [señala la fila derecha de la figura en T3].
[L29] Brayan: ¡Ah! Ya entendí [Todos se ríen].
Figura 7. La profesora señala el comportamiento de los términos de acuerdo con lo explicado por Shaira.
En este sentido, el vector de Compromiso hacia los demás o compromiso en el trabajo conjunto se
revela en el esfuerzo hacia la labor conjunta a través de posicionamientos en los que estudiantes y la
profesora desarrollan una obra común, estando juntos, trabajando juntos y pensando juntos. Así, se
observa cómo se presenta una exposición (Lasprilla et al., 2021) que se relaciona con el decir,
destacando posibilidades de comunicación, acercamiento y respuesta al Otro, tal como ocurre de L18 a
L25.
Cristhian reconoce el cambio de dos a dos en la cantidad de cuadrados y Shaira le dice que efectivamente
es lo mismo. Estos estudiantes y la profesora ayudan al grupo a reconocer que independientemente de
la estrategia que utilicen los resultados deben ser iguales. Lo que lleva a la presencia del vector de
Responsabilidad, en el que se crean vínculos por medio de diferentes interacciones para indicar sentires
e inquietudes; en este sentido, los estudiantes están atentos a las acciones realizadas por los Otros
la solidaridad. Así, la profesora acompaña las producciones de los estudiantes a través de la siguiente
conversación:
[L26] Profe: Shaira está haciendo algo que es no ponerse a sumar más dos, más dos, más dos,
más dos, más dos [mueve las manos en bucle para indicar que es algo repetitivo y
posteriormente toma la hoja de trabajo de los estudiantes para continuar con la
conversación]. Ella lo que está diciendo es que, por ejemplo, este es el Término 3 [señala
el término], entonces son 3 acá [señala la fila izquierda de la figura en T3]. ¿Cuánto es 3
menos 1?
[L27] Brayan: Dos
[L28] Profe: Dos cuadritos acá [señala la fila derecha de la figura en T3].
[L29] Brayan: ¡Ah! Ya entendí [Todos se ríen].
Figura 7. La profesora señala el comportamiento de los términos de acuerdo con lo explicado por Shaira.
En este sentido, el vector de Compromiso hacia los demás o compromiso en el trabajo conjunto se
revela en el esfuerzo hacia la labor conjunta a través de posicionamientos en los que estudiantes y la
profesora desarrollan una obra común, estando juntos, trabajando juntos y pensando juntos. Así, se
observa cómo se presenta una exposición (Lasprilla et al., 2021) que se relaciona con el decir,
destacando posibilidades de comunicación, acercamiento y respuesta al Otro, tal como ocurre de L18 a
L25.
Cristhian reconoce el cambio de dos a dos en la cantidad de cuadrados y Shaira le dice que efectivamente
es lo mismo. Estos estudiantes y la profesora ayudan al grupo a reconocer que independientemente de
la estrategia que utilicen los resultados deben ser iguales. Lo que lleva a la presencia del vector de
Responsabilidad, en el que se crean vínculos por medio de diferentes interacciones para indicar sentires
e inquietudes; en este sentido, los estudiantes están atentos a las acciones realizadas por los Otros
pág. 16786
(Radford, 2013b), en particular para reconocer signos de incomprensión matemática, frustración o
ansiedad, como ocurre en L19 con los estudiantes y en L26 con la profesora haciéndose responsables
del Otro y tendiendo la mano para ayudar a comprender la configuración de la secuencia.
Atendiendo a las explicaciones que Shaira, Cristhian y la profesora han ido configurando para el
entendimiento del grupo, Brayan reconoce que, debido a un descuido, su registro fue incorrecto desde
T16 (por un tachón que contó como valor numérico). Así, bajo la corrección de este cálculo Brayan en
el conteo de + 2 determina que en T50 efectivamente hay 99 cuadrados como señaló Shaira desde el
principio. Esto deja en evidencia la materialización del vector Cuidado del Otro, en el que se reconoce
una forma de estar-con-otro en el que no se imponen las ideas, promoviendo prácticas no alienantes en
las que el diálogo se percibe como proximidad, dejando de lado la indiferencia y sentimientos
desinteresados.
Señalamos que la presencia de una ética comunitaria en el aula demanda una reconfiguración de las
formas de cooperación humana, donde sea posible debatir de manera crítica sobre ideas matemáticas,
encontrándose con perspectivas diferentes y posicionándose frente a ellas. Estos vectores y la obra
común son los que configuran la labor conjunta, la constituyen y la distinguen de otras actividades en
el aula, en las que los intereses se limitan exclusivamente al conocimiento matemático que se moviliza
en el aula.
CONCLUSIONES
La actividad que se discute en la Teoría de la Objetivación es nombrada Labor Conjunta, pero no de
manera ingenua, ya que requiere de la presencia de la ética comunitaria y de la obra común. Sí no hay
presencia de ética comunitaria no es labor conjunta, es simplemente una actividad de enseñanza-
aprendizaje; y como actividad requiere de la configuración de producción de saberes. Así, reconocemos
varios elementos:
La docente permaneció atenta para ayudar a los estudiantes a reconocer los registros, para invitar al
diálogo y finalmente para acordar con ellos estrategias que les permiten encontrar lo que ocurre con
cada término; en este sentido, es oportuna la participación del docente, no para indicar respuestas
correctas o para afirmar quién tiene razón, si no para invitar a los estudiantes a conversar respecto a lo
que están indicando, sobre lo que quieren hacer notar de manera más detallada.
(Radford, 2013b), en particular para reconocer signos de incomprensión matemática, frustración o
ansiedad, como ocurre en L19 con los estudiantes y en L26 con la profesora haciéndose responsables
del Otro y tendiendo la mano para ayudar a comprender la configuración de la secuencia.
Atendiendo a las explicaciones que Shaira, Cristhian y la profesora han ido configurando para el
entendimiento del grupo, Brayan reconoce que, debido a un descuido, su registro fue incorrecto desde
T16 (por un tachón que contó como valor numérico). Así, bajo la corrección de este cálculo Brayan en
el conteo de + 2 determina que en T50 efectivamente hay 99 cuadrados como señaló Shaira desde el
principio. Esto deja en evidencia la materialización del vector Cuidado del Otro, en el que se reconoce
una forma de estar-con-otro en el que no se imponen las ideas, promoviendo prácticas no alienantes en
las que el diálogo se percibe como proximidad, dejando de lado la indiferencia y sentimientos
desinteresados.
Señalamos que la presencia de una ética comunitaria en el aula demanda una reconfiguración de las
formas de cooperación humana, donde sea posible debatir de manera crítica sobre ideas matemáticas,
encontrándose con perspectivas diferentes y posicionándose frente a ellas. Estos vectores y la obra
común son los que configuran la labor conjunta, la constituyen y la distinguen de otras actividades en
el aula, en las que los intereses se limitan exclusivamente al conocimiento matemático que se moviliza
en el aula.
CONCLUSIONES
La actividad que se discute en la Teoría de la Objetivación es nombrada Labor Conjunta, pero no de
manera ingenua, ya que requiere de la presencia de la ética comunitaria y de la obra común. Sí no hay
presencia de ética comunitaria no es labor conjunta, es simplemente una actividad de enseñanza-
aprendizaje; y como actividad requiere de la configuración de producción de saberes. Así, reconocemos
varios elementos:
La docente permaneció atenta para ayudar a los estudiantes a reconocer los registros, para invitar al
diálogo y finalmente para acordar con ellos estrategias que les permiten encontrar lo que ocurre con
cada término; en este sentido, es oportuna la participación del docente, no para indicar respuestas
correctas o para afirmar quién tiene razón, si no para invitar a los estudiantes a conversar respecto a lo
que están indicando, sobre lo que quieren hacer notar de manera más detallada.
pág. 16787
En este sentido, la idea de labor conjunta concibe la enseñanza aprendizaje como una única y misma
actividad (Radford, 2023) en la que docentes y estudiantes trabajan conjuntamente para la producción
de una obra común (Hegel, 2001).
Se pone en juego, desde un sentido ontológico y epistemológico, elementos tales como materia, cuerpo,
acción, ritmo, pasión y sensación en relación con lo que es el ser humano (Radford, 2023). En este
sentido, la actividad como labor conjunta permite a los estudiantes encontrarse con el saber cultural por
medio de la objetivación toda vez que se requiere de unas acciones colectivas en el aula entre estudiantes
y profesores, los cuales producen un significado multisemiótico que da sentido a las matemáticas (Joya,
2022).
Este proceso colectivo confluye en la toma de conciencia (Radford, 2020a) de las relaciones
matemáticas. De manera que, la clase de matemáticas no debe ser operativa o buscar únicamente la
solución de situaciones; debe promover espacios de discusión, participación, puesta en común,
establecimiento de acuerdos y la consolidación de sujetos críticos; razón por la cual, la tarea que fue
presentada pretende alcanzar la actividad bajo la idea de labor conjunta.
Podemos destacar que a medida que se va configurando una ética de orientación comunitaria en el aula
de clase, los estudiantes toman conciencia respecto a formas de pensar algebraicamente acerca de
patrones. La Labor Conjunta implica un colectivo en el que el individuo genera a partir del Otro,
poniendo en primer plano lo colectivo y lo social. Es una actividad que convoca a la alteridad, entendida
como el reconocimiento mutuo entre el Yo y el Otro-Yo. De este modo, las formas de interacción social
influyen en los procesos de aprendizaje, y estos, a su vez, están profundamente marcados por las
dinámicas de la alteridad.
Finalmente, la constitución de una actividad como Labor Conjunta y las dificultades inherentes a este
proceso son parte de un fenómeno natural, que toma en cuenta las motivaciones y emociones de los
estudiantes y la profesora. En este contexto, las formas culturales de ser sitúan al sujeto como una
manifestación subjetiva de la sociedad (Marx, 2001), de modo que el ser humano, más allá de lo
individual y lo social, tiene también una dimensión histórica
En este sentido, la idea de labor conjunta concibe la enseñanza aprendizaje como una única y misma
actividad (Radford, 2023) en la que docentes y estudiantes trabajan conjuntamente para la producción
de una obra común (Hegel, 2001).
Se pone en juego, desde un sentido ontológico y epistemológico, elementos tales como materia, cuerpo,
acción, ritmo, pasión y sensación en relación con lo que es el ser humano (Radford, 2023). En este
sentido, la actividad como labor conjunta permite a los estudiantes encontrarse con el saber cultural por
medio de la objetivación toda vez que se requiere de unas acciones colectivas en el aula entre estudiantes
y profesores, los cuales producen un significado multisemiótico que da sentido a las matemáticas (Joya,
2022).
Este proceso colectivo confluye en la toma de conciencia (Radford, 2020a) de las relaciones
matemáticas. De manera que, la clase de matemáticas no debe ser operativa o buscar únicamente la
solución de situaciones; debe promover espacios de discusión, participación, puesta en común,
establecimiento de acuerdos y la consolidación de sujetos críticos; razón por la cual, la tarea que fue
presentada pretende alcanzar la actividad bajo la idea de labor conjunta.
Podemos destacar que a medida que se va configurando una ética de orientación comunitaria en el aula
de clase, los estudiantes toman conciencia respecto a formas de pensar algebraicamente acerca de
patrones. La Labor Conjunta implica un colectivo en el que el individuo genera a partir del Otro,
poniendo en primer plano lo colectivo y lo social. Es una actividad que convoca a la alteridad, entendida
como el reconocimiento mutuo entre el Yo y el Otro-Yo. De este modo, las formas de interacción social
influyen en los procesos de aprendizaje, y estos, a su vez, están profundamente marcados por las
dinámicas de la alteridad.
Finalmente, la constitución de una actividad como Labor Conjunta y las dificultades inherentes a este
proceso son parte de un fenómeno natural, que toma en cuenta las motivaciones y emociones de los
estudiantes y la profesora. En este contexto, las formas culturales de ser sitúan al sujeto como una
manifestación subjetiva de la sociedad (Marx, 2001), de modo que el ser humano, más allá de lo
individual y lo social, tiene también una dimensión histórica
pág. 16788
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Blanton, M., & Kaput, J. (2005). Characterizing a Classroom Practice That Promotes Algebraic
Reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, 36(5), 412–446.
Brizuela, B, Martinez, M., and Cayton-Hodges, G. (2013). The Impact of Early Algebra: Results from
a Longitudinal Intervention. REDIMAT –Journal of Research in Mathematics Education, 2(2),
209-241 .doi: 1 0.4471 /redimat.201 3.28
Castro, F., & Herrera-Restrepo, C. (2024). Mathematical Thinking of Fifth-Grade Students when
Inventing and Solving Problems. REDIMAT –Journal of Research in Mathematics Education,
3(2), 132-163. https://doi.org/10.17583/redimat.14302.
Fischbach, F. (2023). La producción de los hombres. Marx con Spinoza (Traducción). Prensas de la
Universidad de Zaragoza.
Hegel, G. (2001). The Philosophy of History. Batoche Books.
Iliénkov, E. (1977). Lógica dialéctica. Ensayos de historia y teoría (Editorial).
Joya, S. (2022). Actividad como labor conjunta en la clase de matemáticas. CIEG Revista Arbitrada
Del Centro de Investigación y Estudios Gerenciales, 56, 69–83.
Joya, S. (2023). Categorías principales del álgebra desde la perspectiva de la Teoría de la Objetivación.
In A. Manrique & C. Oliveira (Eds.), Anais do IX CIBEM Congresso Iberoamericano de
Educação Matemática PUC-SP-2022 (pp. 1956–1967).
Joya, S., & Vergel, R. (2024). Una aproximación a la labor conjunta: análisis de una situación sobre
relación funcional. In C. Noronha, S. T. Gobara, & L. Radford (Eds.), Teoria da Objetivação:
Pesquisas em Educação Matemática e em Educação em Ciências (pp. 23–42). Livraria da
Física.
Kaput, J. (2000). Transforming Algebra from an Engine of Inequity to an Engine of Mathematical
Power by “Algebrafying” the K-12 Curriculum. National. In M. Moreno, A. Estrada, J. Carrillo,
& T. Sierra (Eds.), Investigación en Educación Matemática XIV. National Center for Improving
Student Learning and Achievement in Mathematics and Science.
https://eric.ed.gov/?id=ED441664
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Blanton, M., & Kaput, J. (2005). Characterizing a Classroom Practice That Promotes Algebraic
Reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, 36(5), 412–446.
Brizuela, B, Martinez, M., and Cayton-Hodges, G. (2013). The Impact of Early Algebra: Results from
a Longitudinal Intervention. REDIMAT –Journal of Research in Mathematics Education, 2(2),
209-241 .doi: 1 0.4471 /redimat.201 3.28
Castro, F., & Herrera-Restrepo, C. (2024). Mathematical Thinking of Fifth-Grade Students when
Inventing and Solving Problems. REDIMAT –Journal of Research in Mathematics Education,
3(2), 132-163. https://doi.org/10.17583/redimat.14302.
Fischbach, F. (2023). La producción de los hombres. Marx con Spinoza (Traducción). Prensas de la
Universidad de Zaragoza.
Hegel, G. (2001). The Philosophy of History. Batoche Books.
Iliénkov, E. (1977). Lógica dialéctica. Ensayos de historia y teoría (Editorial).
Joya, S. (2022). Actividad como labor conjunta en la clase de matemáticas. CIEG Revista Arbitrada
Del Centro de Investigación y Estudios Gerenciales, 56, 69–83.
Joya, S. (2023). Categorías principales del álgebra desde la perspectiva de la Teoría de la Objetivación.
In A. Manrique & C. Oliveira (Eds.), Anais do IX CIBEM Congresso Iberoamericano de
Educação Matemática PUC-SP-2022 (pp. 1956–1967).
Joya, S., & Vergel, R. (2024). Una aproximación a la labor conjunta: análisis de una situación sobre
relación funcional. In C. Noronha, S. T. Gobara, & L. Radford (Eds.), Teoria da Objetivação:
Pesquisas em Educação Matemática e em Educação em Ciências (pp. 23–42). Livraria da
Física.
Kaput, J. (2000). Transforming Algebra from an Engine of Inequity to an Engine of Mathematical
Power by “Algebrafying” the K-12 Curriculum. National. In M. Moreno, A. Estrada, J. Carrillo,
& T. Sierra (Eds.), Investigación en Educación Matemática XIV. National Center for Improving
Student Learning and Achievement in Mathematics and Science.
https://eric.ed.gov/?id=ED441664
pág. 16789
Kaput, J., Carraher, D., & Blanton, M. (2008). Algebra in the Early Grades. Lawrence Erlbaum
Associates & NCTM.
Lasprilla, A., Radford, L., & León, O. (2021). La labor conjunta en actividades de enseñanza-
aprendizaje a partir del estudio de los vectores de la ética comunitaria. Revista de Matemática,
Ensino e Cultura - REMATEC, 16(39), 228–245. https://doi.org/10.37084/REMATEC.1980-
3141.2021.n39.p228-245.id498
Marx, K. (2001). Manuscritos económicos y filosóficos de 1844 (J. Fajardo, Ed.). Biblioteca Virtual
Espartaco.
Peirce, C. (1931). Collected Papers of Charles Sanders Peirce (Vol. I-VII). Cambridge, MA: Harvard
University Press. https://doi.org/10.1038/1381037c0
Radford, L. (2003). Gestures, speech, and the sprouting of signs. Mathematical Thinking and Learning,
5(1), 37–70.
Radford, L. (2013a). En torno a tres problemas de la generalización. In L. Rico, M. Cañadas, J.
Gutiérrez, M. Molina, & I. Segovia (Eds.), Investigación en Didáctica de la Matemática.
Homenaje a Encarnación Castro (Editorial, pp. 3–12).
http://www.sinewton.org/numeros/numeros/43-44/Articulo93.pdf
Radford, L. (2013b). Sumisión, alienación y (un poco de) esperanza: hacia una visión cultural, histórica,
ética y política de la enseñanza de las matemáticas. I Congreso de Educación Matemática de
América Central y El Caribe.
Radford, L. (2014). De la teoría de la objetivación. Revista Latinoamericana de Etnomatemática, 7(2),
132–150.
Radford, L. (2018a). Algunos desafíos encontrados en la elaboración de la teoría de la objetivación.
PNA, 12(2), 61–80.
Radford, L. (2018b). Saber, aprendizaje y subjetivación en la Teoría de la Objetivación. In 5o Simpósio
Internacional de Investigación en Educación Matemática (Issue June 2018, pp. 1–22).
http://www.luisradford.ca/pub/Anais - Conferencia - Abertura.pdf
Radford, L. (2018c). The Emergence of Symbolic Algebraic Thinking in Primary School. In C. Kieran
(Ed.), Teaching and learning algebraic thinking with 5- to 12-year-olds: The global evolution
Kaput, J., Carraher, D., & Blanton, M. (2008). Algebra in the Early Grades. Lawrence Erlbaum
Associates & NCTM.
Lasprilla, A., Radford, L., & León, O. (2021). La labor conjunta en actividades de enseñanza-
aprendizaje a partir del estudio de los vectores de la ética comunitaria. Revista de Matemática,
Ensino e Cultura - REMATEC, 16(39), 228–245. https://doi.org/10.37084/REMATEC.1980-
3141.2021.n39.p228-245.id498
Marx, K. (2001). Manuscritos económicos y filosóficos de 1844 (J. Fajardo, Ed.). Biblioteca Virtual
Espartaco.
Peirce, C. (1931). Collected Papers of Charles Sanders Peirce (Vol. I-VII). Cambridge, MA: Harvard
University Press. https://doi.org/10.1038/1381037c0
Radford, L. (2003). Gestures, speech, and the sprouting of signs. Mathematical Thinking and Learning,
5(1), 37–70.
Radford, L. (2013a). En torno a tres problemas de la generalización. In L. Rico, M. Cañadas, J.
Gutiérrez, M. Molina, & I. Segovia (Eds.), Investigación en Didáctica de la Matemática.
Homenaje a Encarnación Castro (Editorial, pp. 3–12).
http://www.sinewton.org/numeros/numeros/43-44/Articulo93.pdf
Radford, L. (2013b). Sumisión, alienación y (un poco de) esperanza: hacia una visión cultural, histórica,
ética y política de la enseñanza de las matemáticas. I Congreso de Educación Matemática de
América Central y El Caribe.
Radford, L. (2014). De la teoría de la objetivación. Revista Latinoamericana de Etnomatemática, 7(2),
132–150.
Radford, L. (2018a). Algunos desafíos encontrados en la elaboración de la teoría de la objetivación.
PNA, 12(2), 61–80.
Radford, L. (2018b). Saber, aprendizaje y subjetivación en la Teoría de la Objetivación. In 5o Simpósio
Internacional de Investigación en Educación Matemática (Issue June 2018, pp. 1–22).
http://www.luisradford.ca/pub/Anais - Conferencia - Abertura.pdf
Radford, L. (2018c). The Emergence of Symbolic Algebraic Thinking in Primary School. In C. Kieran
(Ed.), Teaching and learning algebraic thinking with 5- to 12-year-olds: The global evolution
pág. 16790
of an emerging field of research and practice (pp. 3–25). https://doi.org/10.1007/978-3-319-
68351-5_1
Radford, L. (2020a). ¿Cómo sería una actividad de enseñanza-aprendizaje que busca ser emancipadora?
RECME - Revista Colombiana de Matemática Educativa, 5(2), 15–31.
Radford, L. (2020b). Un recorrido a través de la teoría de la objetivación. In S. T. Gobara & L. Radford
(Eds.), Fundamentos e aplicações para o ensino e aprendizagem de ciências e matemática (pp.
15–42). Editora Livraria da Física.
Radford, L. (2021a). Aspectos conceituais e práticos da teoria da objetivação. In V. Moretti & L.
Radford (Eds.), Pensamento algébrico nos anos iniciais: Diálogos e complementaridades entre
a teoria da objetivação e a teoria histórico-cultural (pp. 35–56). Livraria da Física.
Radford, L. (2021b). La ética en la teoría de la objetivación. In L. Radford & S. Acuña (Eds.), Ética:
Entre educación y filosofía (pp. 107–141).
Radford, L. (2021c). O ensino-aprendizagem da ágebra na teoria da objetivação. In V. Moretti & L.
Radford (Eds.), Pensamento algébrico nos anos iniciais: Diálogos e complementaridades entre
a teoria da objetivação e a teoria histórico-cultural (pp. 171–195). Livraria da Física.
Radford, L. (2021d). Reimaginar el aula de matemáticas: las matemáticas escolares como praxis
emancipadora. Revista Chilena de Educación Matemática, 13(2), 44–55.
https://doi.org/10.46219/rechiem.v13i2.88
Radford, L. (2023). La teoría de la objetivación. Una perspectiva vygotskiana sobre saber y devenir en
la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas (Uniandes).
Rojas, P., & Vergel, R. (2018). Iniciación al álgebra y pensamiento algebraico temprano: actividades
para orientar el trabajo en el aula. RECME - Revista Colombiana de Matemática Educativa,
3(1), 19–30. http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME
Socas, M. (2011). La enseñanza del Álgebra en la Educación Obligatoria. Aportaciones de la
Investigación. NÚMEROS Revista de Didáctica de Las Matemáticas, 77, 5–34.
https://doi.org/10.1109/WCICA.2016.7578717
Vergel, R. (2015a). Cómo emerge el pensamiento algebraico. El caso del pensamiento algebraico
factual. Uno Revista de Didáctica de Las Matemática, 68, 9–17.
of an emerging field of research and practice (pp. 3–25). https://doi.org/10.1007/978-3-319-
68351-5_1
Radford, L. (2020a). ¿Cómo sería una actividad de enseñanza-aprendizaje que busca ser emancipadora?
RECME - Revista Colombiana de Matemática Educativa, 5(2), 15–31.
Radford, L. (2020b). Un recorrido a través de la teoría de la objetivación. In S. T. Gobara & L. Radford
(Eds.), Fundamentos e aplicações para o ensino e aprendizagem de ciências e matemática (pp.
15–42). Editora Livraria da Física.
Radford, L. (2021a). Aspectos conceituais e práticos da teoria da objetivação. In V. Moretti & L.
Radford (Eds.), Pensamento algébrico nos anos iniciais: Diálogos e complementaridades entre
a teoria da objetivação e a teoria histórico-cultural (pp. 35–56). Livraria da Física.
Radford, L. (2021b). La ética en la teoría de la objetivación. In L. Radford & S. Acuña (Eds.), Ética:
Entre educación y filosofía (pp. 107–141).
Radford, L. (2021c). O ensino-aprendizagem da ágebra na teoria da objetivação. In V. Moretti & L.
Radford (Eds.), Pensamento algébrico nos anos iniciais: Diálogos e complementaridades entre
a teoria da objetivação e a teoria histórico-cultural (pp. 171–195). Livraria da Física.
Radford, L. (2021d). Reimaginar el aula de matemáticas: las matemáticas escolares como praxis
emancipadora. Revista Chilena de Educación Matemática, 13(2), 44–55.
https://doi.org/10.46219/rechiem.v13i2.88
Radford, L. (2023). La teoría de la objetivación. Una perspectiva vygotskiana sobre saber y devenir en
la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas (Uniandes).
Rojas, P., & Vergel, R. (2018). Iniciación al álgebra y pensamiento algebraico temprano: actividades
para orientar el trabajo en el aula. RECME - Revista Colombiana de Matemática Educativa,
3(1), 19–30. http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME
Socas, M. (2011). La enseñanza del Álgebra en la Educación Obligatoria. Aportaciones de la
Investigación. NÚMEROS Revista de Didáctica de Las Matemáticas, 77, 5–34.
https://doi.org/10.1109/WCICA.2016.7578717
Vergel, R. (2015a). Cómo emerge el pensamiento algebraico. El caso del pensamiento algebraico
factual. Uno Revista de Didáctica de Las Matemática, 68, 9–17.
pág. 16791
Vergel, R. (2015b). Generalización de patrones y formas de pensamiento algebraico temprano. PNA,
9(3), 193–215. https://doi.org/10.30827/pna.v9i3.6220
Vergel, R. (2019). Una posible zona conceptual de formas de pensamiento aritmético “sofisticado” y
proto-formas de pensamiento algebraico. XV CIAME - IACME.
Vergel, R., & Miranda, I. (2020). Editorial. RECME Revista Colombiana de Matemática Educativa,
5(2), 1–13. http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME/article/view/386/361
Vergel, R. (2015b). Generalización de patrones y formas de pensamiento algebraico temprano. PNA,
9(3), 193–215. https://doi.org/10.30827/pna.v9i3.6220
Vergel, R. (2019). Una posible zona conceptual de formas de pensamiento aritmético “sofisticado” y
proto-formas de pensamiento algebraico. XV CIAME - IACME.
Vergel, R., & Miranda, I. (2020). Editorial. RECME Revista Colombiana de Matemática Educativa,
5(2), 1–13. http://ojs.asocolme.org/index.php/RECME/article/view/386/361