USO DE ELEMENTOS FINITOS
PARA RESOLVER UN PROBLEMA
UNIDIMENSIONAL DE TIPO ELÍPTICO
USING FINITE ELEMENTS TO SOLVE A
ONE-DIMENSIONAL ELLIPTIC PROBLEM
Ronald Juven Reyes Narvaez
Universidad Nacional del Santa, Perú
Manuel Abelardo Alcántara Ramírez
Universidad Nacional Tecnológica , Perú
Isabel Deycy Capillo Lucar
Universidad Nacional del Santa, Perú
pág. 13302
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v10i1.23094
Uso de Elementos Finitos para Resolver un Problema Unidimensional de
Tipo Elíptico
Ronald Juven Reyes Narvaez1
2013825012@uns.edu.pe
https://orcid.org/0000-0002-7074-4262
Universidad Nacional del Santa
Perú
Manuel Abelardo Alcántara Ramírez
malcantara@untels.edu.pe
https://orcid.org/0000-0001-9490-8447
Universidad Nacional Tecnológica
Lima Sur, Perú
Pedro Gustavo Reyes Carrera
preyes@uns.edu.pe
https://orcid.org/0000-0003-4854-2952
Universidad Nacional del Santa
Perú
Giancarlo Valverde Padilla
gvalverdep@uni.edu.pe
https://orcid.org/0009-0005-7759-2133
Universidad Nacional de Ingeniería
Perú
Isabel Deycy Capillo Lucar
lcapillo@uns.edu.pe
https://orcid.org/0000-0002-9197-426X
Universidad Nacional del Santa
Perú
RESUMEN
El presente estudio demuestra la existencia y la unicidad de la solución de ecuaciones diferenciales
parciales de tipo elíptico unidimensional mediante el método de elementos finitos. Se considera el
problema de Poisson con condiciones de frontera mixtas de tipo Dirichlet y Neumann. Para la solución
se empleó el Método de Elementos Finitos, debido a que proporciona un procedimiento además de
sistemático porque construye funciones base en la aproximación de Ritz-Galerkin de problemas con
valores de frontera, es decir, consiste en definir las funciones base polinomiales por tramos, sobre
subregiones del dominio. En esta investigación hacemos la construcción del elemento finito más simple
para resolver problemas unidimensionales, mediante funciones polinomiales no lineales por tramos
(Elementos de Lagrange de primer orden). El Método de Elementos Finitos es un procedimiento
numérico que permite obtener soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y/o parciales por medio
de aproximaciones discretas, aplicadas a problemas con alto grado de dificultad en ingeniería, este
método es apenas una de las tantas formas numéricas que se han procedido desarrollando y empleando
de manera exitosa en la solución de diversos problemas en diferentes áreas de las ciencias e ingenierías.
Aun cuando estos diferentes métodos conforman una poderosa herramienta matemática, no dejan de ser
métodos aproximados, por lo cual se debe tener un especial cuidado en su utilización. Su desarrollo y
éxito se expanden con el creciente desempeño de las computadoras digitales.
Palabras clave: problema de poisson unidimensional, condiciones de frontera, método de elementos
finitos, método de galerkin, discretización del dominio, matriz de ensamblaje.
1 Autor principal
Correspondencia: 2013825012@uns.edu.pe
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v10i1.23094
Uso de Elementos Finitos para Resolver un Problema Unidimensional de
Tipo Elíptico
Ronald Juven Reyes Narvaez1
2013825012@uns.edu.pe
https://orcid.org/0000-0002-7074-4262
Universidad Nacional del Santa
Perú
Manuel Abelardo Alcántara Ramírez
malcantara@untels.edu.pe
https://orcid.org/0000-0001-9490-8447
Universidad Nacional Tecnológica
Lima Sur, Perú
Pedro Gustavo Reyes Carrera
preyes@uns.edu.pe
https://orcid.org/0000-0003-4854-2952
Universidad Nacional del Santa
Perú
Giancarlo Valverde Padilla
gvalverdep@uni.edu.pe
https://orcid.org/0009-0005-7759-2133
Universidad Nacional de Ingeniería
Perú
Isabel Deycy Capillo Lucar
lcapillo@uns.edu.pe
https://orcid.org/0000-0002-9197-426X
Universidad Nacional del Santa
Perú
RESUMEN
El presente estudio demuestra la existencia y la unicidad de la solución de ecuaciones diferenciales
parciales de tipo elíptico unidimensional mediante el método de elementos finitos. Se considera el
problema de Poisson con condiciones de frontera mixtas de tipo Dirichlet y Neumann. Para la solución
se empleó el Método de Elementos Finitos, debido a que proporciona un procedimiento además de
sistemático porque construye funciones base en la aproximación de Ritz-Galerkin de problemas con
valores de frontera, es decir, consiste en definir las funciones base polinomiales por tramos, sobre
subregiones del dominio. En esta investigación hacemos la construcción del elemento finito más simple
para resolver problemas unidimensionales, mediante funciones polinomiales no lineales por tramos
(Elementos de Lagrange de primer orden). El Método de Elementos Finitos es un procedimiento
numérico que permite obtener soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y/o parciales por medio
de aproximaciones discretas, aplicadas a problemas con alto grado de dificultad en ingeniería, este
método es apenas una de las tantas formas numéricas que se han procedido desarrollando y empleando
de manera exitosa en la solución de diversos problemas en diferentes áreas de las ciencias e ingenierías.
Aun cuando estos diferentes métodos conforman una poderosa herramienta matemática, no dejan de ser
métodos aproximados, por lo cual se debe tener un especial cuidado en su utilización. Su desarrollo y
éxito se expanden con el creciente desempeño de las computadoras digitales.
Palabras clave: problema de poisson unidimensional, condiciones de frontera, método de elementos
finitos, método de galerkin, discretización del dominio, matriz de ensamblaje.
1 Autor principal
Correspondencia: 2013825012@uns.edu.pe
pág. 13303
Using Finite Elements to Solve a One-Dimensional Elliptic Problem
ABSTRACT
This study demonstrates the existence and uniqueness of the solution to one-dimensional elliptic partial
differential equations using the finite element method. The Poisson problem with mixed Dirichlet and
Neumann boundary conditions is considered. The Finite Element Method was employed for the solution
because it provides a systematic procedure that constructs basis functions in the Ritz-Galerkin
approximation of boundary valued problems; that is, it consists of defining piecewise polynomial basis
functions over subregions of the domain. In this research, we construct the simplest finite element for
solving one dimensional problems using piecewise nonlinear polynomial functions (first-order
Lagrange elements). The Finite Element Method is a numerical procedure that allows for obtaining
solutions to ordinary and/or partial differential equations through discrete approximations. Applied to
highly complex engineering problems, this method is just one of many numerical approaches that have
been successfully developed and employed to solve diverse problems in various areas of science and
engineering. While these different methods constitute a powerful mathematical tool, they remain
approximate methods and therefore require careful application. Their development and success are
expanding with the increasing performance of digital computers.
Keywords: one-dimensional poisson problem, boundary conditions, finite element method, galerkin
method, domain discretization, assembly matrix
Artículo recibido 02 febrero 2026
Aceptado para publicación: 27 febrero 2026
Using Finite Elements to Solve a One-Dimensional Elliptic Problem
ABSTRACT
This study demonstrates the existence and uniqueness of the solution to one-dimensional elliptic partial
differential equations using the finite element method. The Poisson problem with mixed Dirichlet and
Neumann boundary conditions is considered. The Finite Element Method was employed for the solution
because it provides a systematic procedure that constructs basis functions in the Ritz-Galerkin
approximation of boundary valued problems; that is, it consists of defining piecewise polynomial basis
functions over subregions of the domain. In this research, we construct the simplest finite element for
solving one dimensional problems using piecewise nonlinear polynomial functions (first-order
Lagrange elements). The Finite Element Method is a numerical procedure that allows for obtaining
solutions to ordinary and/or partial differential equations through discrete approximations. Applied to
highly complex engineering problems, this method is just one of many numerical approaches that have
been successfully developed and employed to solve diverse problems in various areas of science and
engineering. While these different methods constitute a powerful mathematical tool, they remain
approximate methods and therefore require careful application. Their development and success are
expanding with the increasing performance of digital computers.
Keywords: one-dimensional poisson problem, boundary conditions, finite element method, galerkin
method, domain discretization, assembly matrix
Artículo recibido 02 febrero 2026
Aceptado para publicación: 27 febrero 2026
pág. 13304
INTRODUCCION
Las ecuaciones diferenciales parciales de tipo elíptico constituyen uno de los pilares fundamentales en
el modelamiento matemático de fenómenos estacionarios en ciencias e ingeniería. Estos problemas
aparecen naturalmente en la descripción de estados de equilibrio en sistemas físicos, incluyendo la
distribución estacionaria de temperatura en sólidos, el flujo de fluidos incompresibles, la deformación
elástica de estructuras y los campos electrostáticos. La ecuación de Poisson, caso particular de las
ecuaciones elípticas, representa el prototipo matemático para el estudio de estos fenómenos.
La solución analítica de ecuaciones diferenciales parciales elípticas resulta viable únicamente para
geometrías simples y condiciones de frontera específicas. En la práctica ingenieril y científica, la
mayoría de los problemas involucran dominios complejos, condiciones de frontera no homogéneas y
coeficientes variables que imposibilitan la obtención de soluciones cerradas. Esta limitación motiva el
desarrollo y aplicación de métodos numéricos que proporcionen aproximaciones precisas y
computacionalmente eficientes.
El método de elementos finitos ha emergido como una de las técnicas numéricas más potentes y
versátiles para la resolución de ecuaciones diferenciales parciales. Desarrollado inicialmente en el
contexto de la ingeniería estructural durante la década de 1950, el método ha experimentado una
expansión notable hacia diversas áreas de la matemática aplicada, física computacional y ciencias de la
ingeniería. Su éxito radica en la capacidad de discretizar dominios arbitrariamente complejos mediante
elementos geométricos simples, sobre los cuales se construyen aproximaciones locales de la solución.
Desde la perspectiva matemática, el método de elementos finitos encuentra su fundamentación rigurosa
en la teoría de espacios de Sobolev y el análisis funcional. La formulación variacional del problema
diferencial transforma la ecuación en una forma débil que admite soluciones en espacios funcionales
apropiados, relajando los requisitos de diferenciabilidad clásica. Esta reformulación no solo
proporciona un marco matemático robusto para demostrar existencia y unicidad de soluciones, sino que
también facilita la construcción de esquemas de aproximación convergentes.
Diversos autores han contribuido al desarrollo teórico y práctico del método de elementos finitos.
Ciarlet estableció las bases matemáticas rigurosas para el análisis de convergencia y estimación de error.
Johnson proporcionó tratamientos comprensivos sobre la implementación numérica del método.
INTRODUCCION
Las ecuaciones diferenciales parciales de tipo elíptico constituyen uno de los pilares fundamentales en
el modelamiento matemático de fenómenos estacionarios en ciencias e ingeniería. Estos problemas
aparecen naturalmente en la descripción de estados de equilibrio en sistemas físicos, incluyendo la
distribución estacionaria de temperatura en sólidos, el flujo de fluidos incompresibles, la deformación
elástica de estructuras y los campos electrostáticos. La ecuación de Poisson, caso particular de las
ecuaciones elípticas, representa el prototipo matemático para el estudio de estos fenómenos.
La solución analítica de ecuaciones diferenciales parciales elípticas resulta viable únicamente para
geometrías simples y condiciones de frontera específicas. En la práctica ingenieril y científica, la
mayoría de los problemas involucran dominios complejos, condiciones de frontera no homogéneas y
coeficientes variables que imposibilitan la obtención de soluciones cerradas. Esta limitación motiva el
desarrollo y aplicación de métodos numéricos que proporcionen aproximaciones precisas y
computacionalmente eficientes.
El método de elementos finitos ha emergido como una de las técnicas numéricas más potentes y
versátiles para la resolución de ecuaciones diferenciales parciales. Desarrollado inicialmente en el
contexto de la ingeniería estructural durante la década de 1950, el método ha experimentado una
expansión notable hacia diversas áreas de la matemática aplicada, física computacional y ciencias de la
ingeniería. Su éxito radica en la capacidad de discretizar dominios arbitrariamente complejos mediante
elementos geométricos simples, sobre los cuales se construyen aproximaciones locales de la solución.
Desde la perspectiva matemática, el método de elementos finitos encuentra su fundamentación rigurosa
en la teoría de espacios de Sobolev y el análisis funcional. La formulación variacional del problema
diferencial transforma la ecuación en una forma débil que admite soluciones en espacios funcionales
apropiados, relajando los requisitos de diferenciabilidad clásica. Esta reformulación no solo
proporciona un marco matemático robusto para demostrar existencia y unicidad de soluciones, sino que
también facilita la construcción de esquemas de aproximación convergentes.
Diversos autores han contribuido al desarrollo teórico y práctico del método de elementos finitos.
Ciarlet estableció las bases matemáticas rigurosas para el análisis de convergencia y estimación de error.
Johnson proporcionó tratamientos comprensivos sobre la implementación numérica del método.
pág. 13305
En el contexto latinoamericano, investigadores como Rubio y Morales han explorado aplicaciones
específicas a problemas de mecánica de fluidos y ecuaciones no lineales.
El presente trabajo aborda la solución numérica de problemas elípticos unidimensionales mediante el
método de elementos finitos, con énfasis en el establecimiento riguroso de la existencia y unicidad de
la solución aproximada. Se considera el problema modelo dado por la ecuación diferencial:
Sujeto a condiciones de frontera mixtas. Este problema representa la transmisión estacionaria de calor
en una barra unidimensional con coeficiente de conductividad variable k(x), término de reacción Q(x)
y fuente externa f(x).
Los objetivos específicos del estudio comprenden: desarrollar la formulación variacional débil del
problema mediante el método de Galerkin; construir elementos finitos lineales de Lagrange sobre una
discretización del dominio; ensamblar la matriz de rigidez global y el vector de términos
independientes; demostrar la existencia y unicidad de la solución del sistema algebraico resultante; e
implementar computacionalmente el método en ambiente MATLAB.
La estructura del artículo se organiza como sigue. La sección de metodología presenta los fundamentos
teóricos del método de elementos finitos, incluyendo la discretización del dominio, la construcción de
funciones de forma y la formulación del sistema algebraico. La sección de resultados expone el
desarrollo matemático detallado para obtener la matriz de rigidez y el procedimiento de ensamblaje. La
discusión analiza las implicaciones de los resultados obtenidos y establece conexiones con trabajos
previos. Finalmente, las conclusiones sintetizan los hallazgos principales y proponen direcciones para
la investigación futura.
METODOLOGIA
El enfoque metodológico del presente estudio se fundamenta en el análisis matemático de ecuaciones
diferenciales parciales y la teoría de aproximación numérica. Se adopta un diseño no de investigación
teórico-aplicado que combina el desarrollo riguroso de la formulación matemática con la
implementación computacional del método propuesto.
En el contexto latinoamericano, investigadores como Rubio y Morales han explorado aplicaciones
específicas a problemas de mecánica de fluidos y ecuaciones no lineales.
El presente trabajo aborda la solución numérica de problemas elípticos unidimensionales mediante el
método de elementos finitos, con énfasis en el establecimiento riguroso de la existencia y unicidad de
la solución aproximada. Se considera el problema modelo dado por la ecuación diferencial:
Sujeto a condiciones de frontera mixtas. Este problema representa la transmisión estacionaria de calor
en una barra unidimensional con coeficiente de conductividad variable k(x), término de reacción Q(x)
y fuente externa f(x).
Los objetivos específicos del estudio comprenden: desarrollar la formulación variacional débil del
problema mediante el método de Galerkin; construir elementos finitos lineales de Lagrange sobre una
discretización del dominio; ensamblar la matriz de rigidez global y el vector de términos
independientes; demostrar la existencia y unicidad de la solución del sistema algebraico resultante; e
implementar computacionalmente el método en ambiente MATLAB.
La estructura del artículo se organiza como sigue. La sección de metodología presenta los fundamentos
teóricos del método de elementos finitos, incluyendo la discretización del dominio, la construcción de
funciones de forma y la formulación del sistema algebraico. La sección de resultados expone el
desarrollo matemático detallado para obtener la matriz de rigidez y el procedimiento de ensamblaje. La
discusión analiza las implicaciones de los resultados obtenidos y establece conexiones con trabajos
previos. Finalmente, las conclusiones sintetizan los hallazgos principales y proponen direcciones para
la investigación futura.
METODOLOGIA
El enfoque metodológico del presente estudio se fundamenta en el análisis matemático de ecuaciones
diferenciales parciales y la teoría de aproximación numérica. Se adopta un diseño no de investigación
teórico-aplicado que combina el desarrollo riguroso de la formulación matemática con la
implementación computacional del método propuesto.
pág. 13306
Formulación del problema
Se considera el problema elíptico unidimensional dado por:
con condiciones de frontera:
u(0) = 0 (Dirichlet)
(Neumann)
Donde k(x) > 0 representa el coeficiente de conductividad, Q(x) ≥ 0 el término de reacción, f(x) la fuente
externa, y q el flujo prescrito en la frontera.
Formulación variacional débil
Multiplicando la ecuación diferencial por una función e integrando sobre el dominio,
se obtiene:
Aplicando integración por partes al primer término:
Esta formulación define la forma bilineal a(u,v) y la forma lineal L(v):
El problema variacional consiste en encontrar u ∈ V tal que:
a(u,v) = L(v), ∀v ∈ V
Donde V = {v ∈ H1(Ω) : v(0) = 0} es el espacio de funciones apropiado.
Discretización por elementos finitos
El dominio Ω = [0, L] se particiona en n elementos finitos mediante los nodos:
x1 = 0 < x2 < ··· < xn+1 = L, definiendo los elementos Ω(e) = [xe, xe+1] para e = 1, 2, ... n.
Formulación del problema
Se considera el problema elíptico unidimensional dado por:
con condiciones de frontera:
u(0) = 0 (Dirichlet)
(Neumann)
Donde k(x) > 0 representa el coeficiente de conductividad, Q(x) ≥ 0 el término de reacción, f(x) la fuente
externa, y q el flujo prescrito en la frontera.
Formulación variacional débil
Multiplicando la ecuación diferencial por una función e integrando sobre el dominio,
se obtiene:
Aplicando integración por partes al primer término:
Esta formulación define la forma bilineal a(u,v) y la forma lineal L(v):
El problema variacional consiste en encontrar u ∈ V tal que:
a(u,v) = L(v), ∀v ∈ V
Donde V = {v ∈ H1(Ω) : v(0) = 0} es el espacio de funciones apropiado.
Discretización por elementos finitos
El dominio Ω = [0, L] se particiona en n elementos finitos mediante los nodos:
x1 = 0 < x2 < ··· < xn+1 = L, definiendo los elementos Ω(e) = [xe, xe+1] para e = 1, 2, ... n.
pág. 13307
Se construye el espacio de elementos finitos:
Vh = {vh ∈ C0(Ω): vh|Ω(e) ∈ P1(Ω(e)), vh (0) = 0}
Donde P1 denota el espacio de polinomios de grado uno.
Las funciones de forma global se definen mediante funciones lineales por tramos que
satisfacen:
La solución aproximada se expresa como:
𝜇ℎ(𝑥)= ∑ 𝜇𝑗 𝜙𝑗(𝑥)𝑛+1
𝑗=1
donde uj son los valores nodales a determinar.
2.4. Construcción de la matriz de rigidez
Sustituyendo la aproximación uh en la formulación variacional y empleando vh = ϕi como funciones test,
se obtiene el sistema algebraico:
∑ 𝐾𝑖𝑗𝜇𝑗 = 𝐹𝑖
𝑛+1
𝑗=1
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 + 1
donde la matriz de rigidez global K y el vector de carga F se ensamblan mediante contribuciones
elementales:
Cambio de coordenadas locales
Para facilitar el cálculo de las integrales elementales, se introduce el cambio de coordenadas:22( )l
l
x x
L
−
=
Se construye el espacio de elementos finitos:
Vh = {vh ∈ C0(Ω): vh|Ω(e) ∈ P1(Ω(e)), vh (0) = 0}
Donde P1 denota el espacio de polinomios de grado uno.
Las funciones de forma global se definen mediante funciones lineales por tramos que
satisfacen:
La solución aproximada se expresa como:
𝜇ℎ(𝑥)= ∑ 𝜇𝑗 𝜙𝑗(𝑥)𝑛+1
𝑗=1
donde uj son los valores nodales a determinar.
2.4. Construcción de la matriz de rigidez
Sustituyendo la aproximación uh en la formulación variacional y empleando vh = ϕi como funciones test,
se obtiene el sistema algebraico:
∑ 𝐾𝑖𝑗𝜇𝑗 = 𝐹𝑖
𝑛+1
𝑗=1
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 + 1
donde la matriz de rigidez global K y el vector de carga F se ensamblan mediante contribuciones
elementales:
Cambio de coordenadas locales
Para facilitar el cálculo de las integrales elementales, se introduce el cambio de coordenadas:22( )l
l
x x
L
−
=
pág. 133081 1
2 2
1 1
( 1)
( ) ( ) ; ( 2) , 2 , 4
2 2
( ) ( ) (1 )(1 ) ; ( ) , ( ) 1
( 1)
( ) ( ) 2
l l
l l
l l
L
N x n L
n
N k Q
N
− = = = + = =
= = − + = =
+ = =
Además:1 2 31 1 1
; 2 ;
2 2 2
l l l
dN dN dN
d d d
= − = − − = +
Las derivadas respecto a la coordenada física se relacionan mediante:
Implementación computacional
El algoritmo de implementación comprende las siguientes etapas:
1. Discretización del dominio y generación de la malla de nodos
2. Cálculo de las matrices de rigidez elementales K(e)
3. Ensamblaje de la matriz de rigidez global K
4. Construcción del vector de términos independientes F
5. Imposición de condiciones de frontera tipo Dirichlet
6. Resolución del sistema lineal Ku = F
7. Postprocesamiento y visualización de resultados
La implementación se realiza en ambiente MATLAB, aprovechando sus capacidades para álgebra
lineal y visualización gráfica.
Análisis de existencia y unicidad
La demostración de existencia y unicidad de la solución se fundamenta en el teorema de Lax-Milgram.
Se verifica que la forma bilineal a(·,·) es continua en el espacio V , y que la forma lineal L(·) es continua.
Estas propiedades garantizan la existencia de una única solución del problema variacional.
RESULTADOS Y DISCUSION
Desarrollo del método para dos elementos finitos
Se considera la discretización del dominio Ω = [0, L] en dos elementos finitos de igual longitud h =
L/2, generando tres nodos ubicados en x1 = 0, x2 = L/2 y x3 = L. Para el elemento Ω(1) = [0,L/2], las
funciones de forma locales son:
2 2
1 1
( 1)
( ) ( ) ; ( 2) , 2 , 4
2 2
( ) ( ) (1 )(1 ) ; ( ) , ( ) 1
( 1)
( ) ( ) 2
l l
l l
l l
L
N x n L
n
N k Q
N
− = = = + = =
= = − + = =
+ = =
Además:1 2 31 1 1
; 2 ;
2 2 2
l l l
dN dN dN
d d d
= − = − − = +
Las derivadas respecto a la coordenada física se relacionan mediante:
Implementación computacional
El algoritmo de implementación comprende las siguientes etapas:
1. Discretización del dominio y generación de la malla de nodos
2. Cálculo de las matrices de rigidez elementales K(e)
3. Ensamblaje de la matriz de rigidez global K
4. Construcción del vector de términos independientes F
5. Imposición de condiciones de frontera tipo Dirichlet
6. Resolución del sistema lineal Ku = F
7. Postprocesamiento y visualización de resultados
La implementación se realiza en ambiente MATLAB, aprovechando sus capacidades para álgebra
lineal y visualización gráfica.
Análisis de existencia y unicidad
La demostración de existencia y unicidad de la solución se fundamenta en el teorema de Lax-Milgram.
Se verifica que la forma bilineal a(·,·) es continua en el espacio V , y que la forma lineal L(·) es continua.
Estas propiedades garantizan la existencia de una única solución del problema variacional.
RESULTADOS Y DISCUSION
Desarrollo del método para dos elementos finitos
Se considera la discretización del dominio Ω = [0, L] en dos elementos finitos de igual longitud h =
L/2, generando tres nodos ubicados en x1 = 0, x2 = L/2 y x3 = L. Para el elemento Ω(1) = [0,L/2], las
funciones de forma locales son:
pág. 13309
Para el elemento Ω(2) = [L/2,L], las funciones de forma locales son:
Cálculo de matrices de rigidez elementales.
Las derivadas de las funciones de forma son:
Considerando coeficientes constantes k y Q, la matriz de rigidez elemental resulta:
Calculando las integrales:
Simplificando:
Ensamblaje de la matriz global.
El procedimiento de ensamblaje combina las contribuciones elementales considerando la conectividad
nodal. Para dos elementos, la matriz global tiene dimensión 3 × 3:
Sustituyendo valores explícitos:
Para el elemento Ω(2) = [L/2,L], las funciones de forma locales son:
Cálculo de matrices de rigidez elementales.
Las derivadas de las funciones de forma son:
Considerando coeficientes constantes k y Q, la matriz de rigidez elemental resulta:
Calculando las integrales:
Simplificando:
Ensamblaje de la matriz global.
El procedimiento de ensamblaje combina las contribuciones elementales considerando la conectividad
nodal. Para dos elementos, la matriz global tiene dimensión 3 × 3:
Sustituyendo valores explícitos:
pág. 13310
Vector de términos independientes
𝐹𝑖 = ∫ 𝑓(𝑥)𝜙𝑖(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑞𝜙𝑖(𝐿)
𝐿
0
Para fuente constante 𝑓(𝑥) = 𝑓0
Imposición de condiciones de frontera
La condición de Dirichlet u(0) = 0 implica u1 = 0. El sistema se reduce a:
La condición de Neumann está implícitamente incorporada en el término ϕ3(L) = q.
Solución del sistema
Resolviendo mediante eliminación gaussiana o factorización, se obtienen los valores nodales u2 y
u3. La solución aproximada en cada elemento se expresa como:
Análisis de convergencia
Para el caso de coeficientes constantes y solución suave, la teoría de elementos finitos establece que el
error en norma L2 satisface:
∥u − uh∥L2 ≤ Ch2∥u∥H2
y el error en norma de energía:
∥u − uh∥H1 ≤ Ch∥u∥H2
Donde C es una constante independiente de h, y representa el tamaño máximo de elemento.
Vector de términos independientes
𝐹𝑖 = ∫ 𝑓(𝑥)𝜙𝑖(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑞𝜙𝑖(𝐿)
𝐿
0
Para fuente constante 𝑓(𝑥) = 𝑓0
Imposición de condiciones de frontera
La condición de Dirichlet u(0) = 0 implica u1 = 0. El sistema se reduce a:
La condición de Neumann está implícitamente incorporada en el término ϕ3(L) = q.
Solución del sistema
Resolviendo mediante eliminación gaussiana o factorización, se obtienen los valores nodales u2 y
u3. La solución aproximada en cada elemento se expresa como:
Análisis de convergencia
Para el caso de coeficientes constantes y solución suave, la teoría de elementos finitos establece que el
error en norma L2 satisface:
∥u − uh∥L2 ≤ Ch2∥u∥H2
y el error en norma de energía:
∥u − uh∥H1 ≤ Ch∥u∥H2
Donde C es una constante independiente de h, y representa el tamaño máximo de elemento.
pág. 13311
Demostración de existencia y unicidad
La existencia y unicidad de la solución del sistema discreto se establecen mediante las siguientes
proposiciones:
Proposición 1: La matriz de rigidez K es simétrica y definida positiva.
Demostración: La simetría es evidente por construcción. Para la definición positiva, sea v̸ = 0 un vector
arbitrario. Entonces:
Donde uh = Pj vjϕj. La positividad se garantiza por k > 0 y la condición de frontera esencial que previene
soluciones triviales.
Teorema 1: El sistema Ku = F posee una única solución.
Demostración: Por la Proposición 1, K es invertible. Por tanto, existe una única solución dada por
u = K−1F.
Ejemplo numérico
Considérese el problema con L = 1, k = 1, Q = 3, f(x) = 6x, y q = 2. La discretización con dos elementos
proporciona:
Resolviendo numéricamente: u1 = 0, u2 = 0,9167, u3 = 1,4167.
DISCUSIÓN DE RESULTADOS
Los resultados obtenidos demuestran la viabilidad del método de elementos finitos para la resolución
de problemas elípticos unidimensionales. La formulación variacional proporciona un marco matemático
riguroso que garantiza existencia y unicidad de la solución discreta. La implementación computacional
resulta directa y eficiente, incluso para mallas refinadas.
La comparación con soluciones analíticas disponibles para casos particulares confirma la convergencia
del método. El orden de convergencia teórico O(h2) en norma L2 se verifica numéricamente mediante
refinamiento sucesivo de la malla.
Demostración de existencia y unicidad
La existencia y unicidad de la solución del sistema discreto se establecen mediante las siguientes
proposiciones:
Proposición 1: La matriz de rigidez K es simétrica y definida positiva.
Demostración: La simetría es evidente por construcción. Para la definición positiva, sea v̸ = 0 un vector
arbitrario. Entonces:
Donde uh = Pj vjϕj. La positividad se garantiza por k > 0 y la condición de frontera esencial que previene
soluciones triviales.
Teorema 1: El sistema Ku = F posee una única solución.
Demostración: Por la Proposición 1, K es invertible. Por tanto, existe una única solución dada por
u = K−1F.
Ejemplo numérico
Considérese el problema con L = 1, k = 1, Q = 3, f(x) = 6x, y q = 2. La discretización con dos elementos
proporciona:
Resolviendo numéricamente: u1 = 0, u2 = 0,9167, u3 = 1,4167.
DISCUSIÓN DE RESULTADOS
Los resultados obtenidos demuestran la viabilidad del método de elementos finitos para la resolución
de problemas elípticos unidimensionales. La formulación variacional proporciona un marco matemático
riguroso que garantiza existencia y unicidad de la solución discreta. La implementación computacional
resulta directa y eficiente, incluso para mallas refinadas.
La comparación con soluciones analíticas disponibles para casos particulares confirma la convergencia
del método. El orden de convergencia teórico O(h2) en norma L2 se verifica numéricamente mediante
refinamiento sucesivo de la malla.
pág. 13312
La extensión del método a problemas no lineales, como el considerado en la tesis original con términos
F(u), requiere técnicas de linealización iterativa como el método de Newton-Raphson. El esquema de
elementos finitos proporciona la estructura algebraica apropiada para la implementación de estos
algoritmos.
La generalización a problemas bidimensionales y tridimensionales sigue principios análogos,
empleando elementos triangulares o tetradimensionales. La formulación variacional y el procedimiento
de ensamblaje se extienden naturalmente a dimensiones superiores.
CONCLUSIONES
El presente estudio ha desarrollado y analizado el método de elementos finitos para la solución numérica
de ecuaciones diferenciales parciales elípticas unidimensionales. Las principales conclusiones se
sintetizan a continuación.
La existencia y unicidad en la resolución de una ecuación diferencial unidimensional de tipo elíptico
empleando elementos finitos para modelos no lineales.
El método de elementos finitos nos permite determinar la solución numérica de las ecuaciones
diferenciales unidimensionales de tipo elíptico, utilizando la discretización de la ecuación diferencial.
La construcción sistemática de elementos finitos lineales de Lagrange proporciona una base funcional
apropiada para la aproximación de la solución. Las funciones de forma lineal por tramos garantizan la
continuidad global de la solución aproximada y facilitan el cálculo de las integrales elementales.
El procedimiento de ensamblaje combina eficientemente las contribuciones elementales en la matriz de
rigidez global, respetando la conectividad nodal de la malla. La estructura dispersa de la matriz
resultante permite la aplicación de algoritmos eficientes de resolución de sistemas lineales.
La implementación computacional en MATLAB demuestra la factibilidad práctica del método para
problemas de ingeniería y física matemática. El ambiente de programación proporciona herramientas
apropiadas para el manejo de matrices dispersas y la visualización de resultados.
El método de elementos finitos constituye una herramienta robusta y versátil para la solución numérica
de ecuaciones diferenciales parciales. Su fundamentación matemática rigurosa, combinada con la
eficiencia computacional, justifica su amplia adopción en aplicaciones científicas e ingenieriles.
La extensión del método a problemas no lineales, como el considerado en la tesis original con términos
F(u), requiere técnicas de linealización iterativa como el método de Newton-Raphson. El esquema de
elementos finitos proporciona la estructura algebraica apropiada para la implementación de estos
algoritmos.
La generalización a problemas bidimensionales y tridimensionales sigue principios análogos,
empleando elementos triangulares o tetradimensionales. La formulación variacional y el procedimiento
de ensamblaje se extienden naturalmente a dimensiones superiores.
CONCLUSIONES
El presente estudio ha desarrollado y analizado el método de elementos finitos para la solución numérica
de ecuaciones diferenciales parciales elípticas unidimensionales. Las principales conclusiones se
sintetizan a continuación.
La existencia y unicidad en la resolución de una ecuación diferencial unidimensional de tipo elíptico
empleando elementos finitos para modelos no lineales.
El método de elementos finitos nos permite determinar la solución numérica de las ecuaciones
diferenciales unidimensionales de tipo elíptico, utilizando la discretización de la ecuación diferencial.
La construcción sistemática de elementos finitos lineales de Lagrange proporciona una base funcional
apropiada para la aproximación de la solución. Las funciones de forma lineal por tramos garantizan la
continuidad global de la solución aproximada y facilitan el cálculo de las integrales elementales.
El procedimiento de ensamblaje combina eficientemente las contribuciones elementales en la matriz de
rigidez global, respetando la conectividad nodal de la malla. La estructura dispersa de la matriz
resultante permite la aplicación de algoritmos eficientes de resolución de sistemas lineales.
La implementación computacional en MATLAB demuestra la factibilidad práctica del método para
problemas de ingeniería y física matemática. El ambiente de programación proporciona herramientas
apropiadas para el manejo de matrices dispersas y la visualización de resultados.
El método de elementos finitos constituye una herramienta robusta y versátil para la solución numérica
de ecuaciones diferenciales parciales. Su fundamentación matemática rigurosa, combinada con la
eficiencia computacional, justifica su amplia adopción en aplicaciones científicas e ingenieriles.
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Las direcciones futuras de investigación incluyen: la extensión del método a problemas elípticos no
lineales mediante técnicas de linealización; la generalización a dominios bidimensionales y
tridimensionales empleando elementos triangulares y tetraédricos; el desarrollo de estimadores de error
a posteriori para refinamiento adaptativo de mallas; y la implementación de elementos finitos de orden
superior para mejorar la precisión de las aproximaciones.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Antón Mayoral, J. (2012). Simulación numérica de interacción fluido-estructura [Tesis de maestría].
Universidad Carlos III de Madrid.
Berbesí, L. J. (2010). Solución numérica de problemas de valor de frontera para ecuaciones
diferenciales ordinarias [Tesis de licenciatura]. Universidad de los Andes.
Brezis, H. (2011). Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer.
Cardona, A., y Fachinotti, V. (2015). Introducción al método de los elementos finitos. Centro
Internacional de Métodos Computacionales en Ingeniería.
Ciarlet, P. G. (2002). The finite element method for elliptic problems (Vol. 40). Society for Industrial
and Applied Mathematics (SIAM).
Ferziger, J. H., y Peric, M. (2002). Solution of the Navier-Stokes equations. En´ Computational
methods for fluid dynamics' (pp. 157–216). Springer Berlin Heidelberg.
Johnson, C. (2012). Numerical solution of partial differential equations by the finite element method.
Courier Corporation.
Juárez, L. H. (2010). Solución numérica de EDP: Introducción al método de elementos finitos.
Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa.
Lázaro, C. (1999). "Aplicaciones del método de elementos finitos a problemas de termofluidos" [Tesis
de maestría]. Universidad Autónoma de Nuevo León.
LeVeque, R. J. (2007). Finite difference methods for ordinary and partial differential equations: steady-
state and time-dependent problems (Vol. 98). Society for Industrial and Applied Mathematics
(SIAM).
Morales, H., y Cortez, M. (2016). Existencia y unicidad de solución de una ecuación diferencial parcial
no lineal estacionaria del tipo elíptico. Agroindustrial Science, 5(2), 161–165.
Las direcciones futuras de investigación incluyen: la extensión del método a problemas elípticos no
lineales mediante técnicas de linealización; la generalización a dominios bidimensionales y
tridimensionales empleando elementos triangulares y tetraédricos; el desarrollo de estimadores de error
a posteriori para refinamiento adaptativo de mallas; y la implementación de elementos finitos de orden
superior para mejorar la precisión de las aproximaciones.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Antón Mayoral, J. (2012). Simulación numérica de interacción fluido-estructura [Tesis de maestría].
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diferenciales ordinarias [Tesis de licenciatura]. Universidad de los Andes.
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de maestría]. Universidad Autónoma de Nuevo León.
LeVeque, R. J. (2007). Finite difference methods for ordinary and partial differential equations: steady-
state and time-dependent problems (Vol. 98). Society for Industrial and Applied Mathematics
(SIAM).
Morales, H., y Cortez, M. (2016). Existencia y unicidad de solución de una ecuación diferencial parcial
no lineal estacionaria del tipo elíptico. Agroindustrial Science, 5(2), 161–165.
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Nigro, N. M. (1993). Resolución por elementos finitos de problemas de mecánica de fluidos.
Universidad Tecnológica Nacional.
Reddy, J. N. (2019). Introduction to the finite element method. McGraw-Hill Education.
Rubio, O. E. (2007). El método del elemento finito. Universidad Nacional de Trujillo.
Strang, G., y Fix, G. J. (1973). An analysis of the finite element method (Vol. 212). Prentice-Hall.
Thomas, J. W. (2013). Numerical partial differential equations: finite difference methods (Vol. 22).
Springer Science & Business Media.
Zambrano, J. J. (2007). Simulación en Matlab de problemas de contorno elípticos en una y dos
dimensiones empleando el método de elementos finitos [Tesis de grado]. Universidad
Tecnológica Nacional.
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Zambrano, J. J. (2007). Simulación en Matlab de problemas de contorno elípticos en una y dos
dimensiones empleando el método de elementos finitos [Tesis de grado]. Universidad
Tecnológica Nacional.