COMPARACIÓN DE MODELOS DE
AHUSAMIENTO EN 5 ESPECIES DE PINUS
PARA DIFERENTES SITIOS DEL CENTRO
DEL ESTADO DE VERACRUZ
COMPARISION OF TAPER MODEL IN 5 PINUS SPECIES
FOR DIFFERENT SITES IN THE CENTER VERACRUZ
STATE, MEXICO
David Medina Hernández
Tecnm Instituto Tecnológico Superior de Perote, México
Carlos Cuevas Suárez
Tecnm Instituto Tecnológico Superior de Perote, México
Francisco Hernández Quinto
Tecnm Instituto Tecnológico Superior de Perote, México

pág. 849
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v10i2.23156
Comparación de Modelos de Ahusamiento en 5 Especies de Pinus para
Diferentes Sitios del Centro del Estado de Veracruz
David Medina Hernández1
david.mh@itsperote.edu.mx
https://orcid.org/0000-0001-9873-3752
Maestría en Planificación de Empresas y
Desarrollo Regional
Tecnm Instituto Tecnológico Superior de Perote
México
Carlos Cuevas Suárez
doc-201@itsperote.edu.mx
https://orcid.org/0000-0001-8556-9855
Maestría en Planificación de Empresas y
Desarrollo Regional
Tecnm Instituto Tecnológico Superior de Perote
México
Francisco Hernández Quinto
doc-058@itsperote.edu.mx
https://orcid.org/0000-0002-0567-9361
Maestría en Planificación de Empresas y
Desarrollo Regional
Tecnm Instituto Tecnológico Superior de Perote
México
RESUMEN
En este trabajo se comparan seis modelos de efectos fijos para determinar una función de perfil para 5
especies de Pinus, ayacahuite, montezumae, patula, pseudostrobus y teocote en diferentes localidades
del centro del estado de Veracruz, México, los cuales no cuentan con una manera de generar tablas de
volumen diferentes a las convencionales. Mediante la recopilación de muestras no destructivas
divididas en seis clases diamétricas, se obtienen los coeficientes de estos modelos ajustados para todos
los sitios, empleando el software R y un package de elaboración propia. Se determina la bondad de
ajuste con un sistema de calificación que contempla el número de variables del modelo, el valor ajustado
de R2, la raíz cuadrada del error cuadrático medio, el sesgo promedio y el criterio de información de
Akaike y se decide cuál de estos modelos es el más adecuado para cada una de las especies y sitio
considerado, en la que dos de ellos se utilizan para obtener una fórmula de volumen mediante una
integral definida. Como ejemplo se muestran los resultados completos para cada especie en solo uno de
los sitios considerados
Palabras clave: modelos de ahusamiento, bondad de ajuste, R Studio
1 Autor principal
Correspondencia: david.mh@itsperote.edu.mx

pág. 850
Comparision of Taper Model in 5 Pinus Species for Different Sites in the
Center Veracruz State, Mexico
ABSTRACT
This study compares six fixed-effects models for determining a profile function for five Pinus species:
ayacahuite, montezumae, patula, pseudostrobus, and teocote, in different locations in central Veracruz,
Mexico. These locations lack methods for generating volume tables other than conventional ones. Using
non-destructive sampling divided into six diameter classes, the coefficients of these models were
obtained for all sites, employing R software and a custom-developed package. The goodness of fit was
assessed using a rating system that considered the number of variables in the model, the adjusted R²
value, the root mean square error, the average bias, and the Akaike information criterion. The most
suitable model for each species and site was then selected, and two of the models were used to derive a
volume formula via a definite integral. As an example, the complete results are shown for each speices
and only one of the sites considered
Keywords: taper models, good of fitness, R studio
Artículo recibido 20 febrero 2026
Aceptado para publicación: 29 marzo 2026

pág. 851
INTRODUCCIÓN
Las funciones de perfil (o ahusamiento) tratan de describir el diámetro de un árbol a través de una o
varias medidas determinadas (como diámetro normal, diámetros a diversas alturas y altura total del
árbol). En la literatura existen diferentes expresiones matemáticas que se pueden clasificar como
lineales, no lineales, segmentados o trigonométricos y que cumplen con propiedades como lo son la
diferenciabilidad o que el valor del diámetro sea cero en la altura total de cada árbol (Rodríguez et. al.,
2016, Pompa et. al., 2009). Este tipo de expresiones suelen utilizarse para desarrollar tablas de volumen
o tarifas de cubicación, empleando para ello técnicas de integración. Estas tablas forman parte de uno
de los enfoques para la planificación de la gestión forestal.
Puesto que los ejidos en México, están destinadas entre otros aspectos a la explotación forestal,
requieren entonces de planes de manejo o de funciones de perfil para poder determinar la producción
de madera que podrían obtener en un determinado predio o lugar. Por otro lado, el pino es la principal
conífera de clima templado y frío en México, y en la que las sierras Madre Oriental y Occidental de
México se asienta la mayor diversidad (Moctezuma y Flores, 2020) y representa una importancia
económica y ecológica relevante en nuestro país. Por lo anterior, se realizaron los estudios
correspondientes para determinar funciones de perfil para cinco especies de Pinus en diferentes
localidades del centro del estado de Veracruz, México, como se muestra en la tabla 1.
Tabla 1. Especies y localidades consideradas para el estudio.
Especie Localidades
ayacahuite Ejido Ingenio el Rosario
Ejido Monte Grande
montezumae Ejido San Juan del Monte
Ejido Villa Aldama
patula Ejido Ingenio el Rosario
Ejido Monte Grande
Ejido San Juna del Monte
pseudostrobus Ejido Ingenio el Rosario
Ejido Monte Grande
Ejido Buenavista
teocote Ejido las Vigas
Ejido los Molinos
Ejido San Juan del Monte
Estas funciones son expresiones matemáticas que tratan de describir las tres figuras geométricas que
suelen encontrarse de forma regular en un árbol (neiloide, paraboloide y cono), por lo que para este

pág. 852
estudio, se consideraron seis expresiones matemáticas, y mediante regresión (lineal o no lineal)
aplicados a un conjunto de mediciones, se obtienen algunas cantidades importantes (que se mencionan
más adelante), las que permiten compararlos y de esta manera decidir cuál es la más adecuada.
Finalmente, al integrar la mejor expresión entre las poropuestas, se obtiene una fórmula para el volumen
a cualquier altura empleando la integración de un sólido de revolución.
En la siguiente sección se describen cada una de las etapas de este estudio, consistente en la recolección
de datos, obtención del ajuste correspondiente y determinación de los valores así como la significancia
estadística de cada uno de los coeficientes del modelo ajustado, la elección del mejor modelo y la
fórmula para el cálculo del volumen a cualquier altura.
METODOLOGÍA
Empleando métodos no destructivos se obtuvieron parejas de datos consistentes en diámetro y altura de
árboles distribuidas en 6 clases diamétricas, se generaron las estadísticas descriptivas y se elaboró el
diagrama de dispersión correspondiente, con el fin de detectar anomalías. Para las estadísticas
descriptivas, en las tablas 2 y 3 se muestran sólo el resumen para dos especies y sitios diferentes, en la
que 𝑑𝑖 representa el diámetro a una altura ℎ𝑖 (con respecto al suelo), 𝐷 el diámetro normal y 𝐻 la altura
total del árbol. En todos los casos, el diámetro se expresa en centímetros y la altura en metros.
Tabla 2. Estadística descriptiva de la muestra de Pinus ayacahuite en el ejido Ingenio el Rosario
Variable 𝑵 Media Desviación
estándar
Mínimo Máximo
𝑫 22 32.6364 16.66632 6 60
𝒅𝒊 132 25.5407 16.51726 1.8 67
𝑯 22 17.36364 5.982000 6.5 27.8
𝒉𝒊 132 7.3985 6.49234 0.3 25.3
Tabla 3. Estadística descriptiva de la muestra de Pinus montezumae en el ejido Villa Aldama
Variable 𝑵 Media Desviación
estándar
Mínimo Máximo
𝑫 53 30.8301887 13.4932118 10 58
𝒅𝒊 318 23.618674 13.8116921 2.66666667 69
𝑯 53 17.9301887 4.69936923 7.1 26.9
𝒉𝒊 318 7.37389937 6.1618582 0.3 21.3
Ahora se hace, 𝑝 = (𝑑𝑖
𝐷 )2
y 𝑞 = ℎ𝑖
𝐻 , para obtener el diagrama de dispersión correspondiente, los cuales
se muestran en las figuras 1 y 2, y se proponen los modelos que se muestran en la tabla 4.

pág. 853
Figura 1. Diagrama de dispersión de las medidas relativas de la muestra de Pinus ayacahuite en el ejido
Ingenio el Rosario
Figura 2. Diagrama de dispersión de las medidas relativas de la muestra de Pinus montezumae en el
ejido Villa Aldama
Tabla 4. Modelos propuestos para el estudio.
Modelo Expresión
1 𝑝 = 𝛽1(1 − 𝑞) + 𝛽2(1 − 𝑞)2 + 𝛽3(1 − 𝑞)3
2 𝑝 = 𝛽0 + 𝛽1𝑞 + 𝛽2𝑞2 + 𝛽3𝑞3 + 𝛽4𝑞4
3 𝑝 = 𝛽1(𝑞 − 1) + 𝛽2(𝑞2 − 1)
4
𝑝 = 𝛽0 + 𝛽1𝑞 + 𝛽2𝑞2 + 𝛽3𝑞3 + ∑(𝑞 − 𝑎𝑖 )+
3
𝑛
𝑖=1
5 𝑝 = 𝛽1(𝑞 − 1) + 𝛽2(𝑞2 − 1 ) + 𝛽3(𝑎1 − 𝑞)2𝐼1
6 𝑝 = 𝛽1(1 − 𝑞) + 𝛽2(1 − 𝑞)𝛽3
En el modelo 4, el signo + representa la parte positiva de una función, es decir, max ((𝑞 − 𝑎𝑖)3, 0),
mientras que en el modelo 5, 𝐼1 = {1, 𝑞 ≤ 𝑎1
0, 𝑞 > 𝑎1
. Los valores beta en cada modelo se consideran los

pág. 854
parámetros, por lo que se emplea el método de los mínimos cuadrados (OLS) para ajustar cada uno de
los modelos a las muestras dadas.
Una vez obtenido los parámetros de cada modelo, se determina la bondad de su ajuste, para lo cual se
utilizan los siguientes criterios (Ramírez, et. al., 2018, Silva, et. al, 2018, Hernández, et. al. 2018,
Rodríguez, et. al., 2016, Hernández, et. al., 2013, Honorato, 2011, Novo & Álvarez, 2003).
1. Número de parámetros (𝑘), se refiere a la cantidad de coeficientes a determinar en el modelo.
2. Coeficiente de determinación ajustado, 𝑅𝑎𝑑𝑗
2 = 1 − (𝑛−1) ∑(𝑦𝑖−𝑦𝑖̂ )2
(𝑛−𝑘) ∑(𝑦𝑖−𝑦𝑖̅ )2.
3. Raíz del error cuadrático medio, 𝑅𝐸𝑀𝐶 = √∑(𝑦𝑖−𝑦𝑖̂ )2
𝑛−𝑘 .
4. Sesgo promedio, 𝐸̅ = ∑(𝑦𝑖−𝑦𝑖̂ )
𝑛 .
5. Criterio de información de Akaike, 𝐴𝐼𝐶.
De acuerdo con un esquema de calificación encontrado en (Ramírez, et. al., 2018) se obtiene el mejor
modelo entre los propuestos y en los casos en los que sea aplicable se realizan las pruebas para verificar
los supuestos de regresión que son la normalidad de los residuos, autocorrelación y homocedasticidad
a través de las pruebas de Shapiro-Wilk, de Durbin-Watson y de Breusch-Pagan respectivamente.
Para este análisis se empleó el programa de análisis estadístico R (R Core Team, 2022) empleando un
package de elaboración propia, el cual proporciona mediante una función el summary del modelo, el
REMC, el sesgo promedio, el AIC y las pruebas mencionadas en el párrafo anterior. En el modelo 4 se
establecieron tres nodos determinados por los cuantiles de la variable q, utulizando además el paquete
splines (Bates and Venables, 2017). Para el modelo 5 se estableció como nodo su mediana. En el modelo
6 se utiliza el package nls2 (Grothendieck G., 2022). Las pruebas de Durbin-Watson y de Breusch-
Pagan se encuentran en el package lmtest (Hothorn T., et. al., 2022). Los resultados obtenidos se
muestran en la siguiente sección.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
En esta sección se muestra a manera de tablas, el resumen de los parámetros que se consideraron para
la bondad de ajuste de cada modelo, para cada especie en solo uno de los sitios citados anteriormente.

pág. 855
Tabla 4. Resumen de parámetros de los modelos para Pinus ayacahuite en el ejido Ingenio el Rosario
Modelo 𝜷𝒋 𝒌 𝑹𝒂𝒅𝒋
𝟐 𝑹𝑬𝑴𝑪 𝑬̅ 𝑨𝑰𝑪
1 𝛽1 = 2.0037
𝛽2 = −3.9570
𝛽3 = 3.5634
3 0.9247 0.01309714 -0.001126931 14.69076
2 𝛽0 = 1.73718
𝛽1 = −8.87786
𝛽2 = 27.43138
𝛽3 = −37.76099
𝛽4 = 17.85167
5 0.8109 1.85 × 10−14 1.58 × 10−15 8.808387
3 𝛽1 = −2.4950
𝛽2 = 1.0078
2 0.9144 0.2343949 0.02024631 30.54262
4 𝛽0 = 1.6872
𝛽1 = −0.2777
𝛽2 = −1.0839
𝛽3 = −0.9587
𝛽4 = −1.4609
𝛽5 = −1.5384
𝛽6 = −1.5196
7 0.8072 2.42 × 10−14 −2.05 × 10−15 13.25214
5 𝛽1 = 0.5042
𝛽2 = −0.9693
𝛽3 = 5.1605
3 0.9238 0.02639954 0.002271524 16.17133
6 𝛽1 = 1.02256
𝛽2 = 0.86769
𝛽3 = 18.69113
3 0.81773 0.1048056 0.009017898 2.001293
Tabla 5. Resumen de parámetros de los modelos para Pinus montezumae en el ejido Villa Aldama
Modelo 𝜷𝒋 𝒌 𝑹𝒂𝒅𝒋
𝟐 𝑹𝑬𝑴𝑪 𝑬̅ 𝑨𝑰𝑪
1 𝛽1= 1.5328
𝛽2 =− 2.0195
𝛽3 = 1.8113
3 0.9642 0.01104762 −0.0006165904 −291.0701
2 𝛽0 = 1.39415
𝛽1 = −5.18479
𝛽2 = 14.84017
𝛽3 = −20.76345
𝛽4 = 9.95152
5 0.8842 1.30 × 10−14 7.25 × 10−16 −308.152
3 𝛽1 = −1.77102
𝛽2 = 0.50831
2 0.9607 0.1715682 0.009590766 −261.9496
4 𝛽0 = 1.39021
𝛽1 = −0.21058
𝛽2 = −0.62861
𝛽3 = −0.67443
𝛽4 = −1.15041
𝛽5 = −1.23736
𝛽6 = −1.30947
7
0.8866
2.17 × 10−14 1.20 × 10−15 −312.8536
5 𝛽1 = −0.4398
𝛽2 = −0.3833
𝛽3 = 3.1146
3 0.9645 0.01551091 0.0008656961 −293.2686
6 𝛽1 = 1.03510
𝛽2 = 0.47759
𝛽3 = 23.33213
3 0.8882448 0.06330196 0.003533014 −321.5317

pág. 856
Tabla 6. Resumen de parámetros de los modelos para Pinus patula en el ejido Monte Grande
Modelo 𝜷𝒋 𝒌 𝑹𝒂𝒅𝒋
𝟐 𝑹𝑬𝑴𝑪 𝑬̅ 𝑨𝑰𝑪
1 𝛽1 = 1.1904
𝛽2 = −1.8115
𝛽3 = 1.9868
3 0.9393 0.02617435 −0.001584046 −96.34426
2 𝛽0 = 1.40907
𝛽1 = −5.16352
𝛽2 = 12.57798
𝛽3 = −16.00506
𝛽4 = 7.34395
5 0.8398 3.57 × 10−14 2.16 × 10−15 −96.82739
3 𝛽1 = 2.29519
𝛽2 = 0.98889
2 0.9351 0.1776698 0.01077252 −79.03875
4 𝛽0 = 1.35556
𝛽1 = −0.04694
𝛽2 = −0.70906
𝛽3 = −0.73459
𝛽4 = −1.19523
𝛽5 = −1.16972
𝛽6 = −1.30922
7 0.8387 9.74 × 10−15 5.85 × 10−16 −93.0739
5 𝛽1 = −0.71610
𝛽2 = −0.06757
𝛽3 = 3.20576
3 0.9393 0.004846108 0.0002932817 −96.4707
6 𝛽1 = 0.86092
𝛽2 = 0.58421
𝛽3 = 10.36808
3 0.8416168 0.0348432 −0.002108676 −101.9469
Tabla 7. Resumen de parámetros de los modelos para Pinus pseudostrobus en el ejido Buenavista
Modelo 𝜷𝒋 𝒌 𝑹𝒂𝒅𝒋
𝟐 𝑹𝑬𝑴𝑪 𝑬̅ 𝑨𝑰𝑪
1 𝛽1 = 1.1265
𝛽2 = −1.2584
𝛽3 = 1.3551
3 0.9851 0.010642 −0.001009704 −203.0907
2 𝛽0 = 1.27121
𝛽1 = −4.87298
𝛽2 = 14.51890
𝛽3 = −21.23855
𝛽4 = 10.58556
5 0.9583 6.88 × 10−15 −6.46 × 10−18 −214.5295
3 𝛽1 = −1.85518
𝛽2 = 0.66631
2 0.9828 0.07869692 0.00750217