INFLUENCIA DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES EN EL ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS BAJO ACCIONES DINÁMICAS
INFLUENCE OF DIFFERENTIAL EQUATIONS ON THE
ANALYSIS OF STRUCTURES UNDER DYNAMIC ACTIONS
Juan Carlos Gallardo Mendoza
Universidad Nacional del Santa, Perú
pág. 7281
DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v10i4.25697
Influencia de las Ecuaciones Diferenciales en el Análisis de Estructuras
Bajo Acciones Dinámicas
Juan Carlos Gallardo Mendoza
1
jcgallardom62@gmail.com
https://orcid.org/0000-0001-8850-7356
Escuela de Posgrado, Universidad Nacional del Santa
Nuevo Chimbote
Perú
RESUMEN
La presente investigación analiza la influencia de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de
segundo orden en el modelamiento y la predicción de la respuesta sísmica en estructuras de concreto
armado, evaluando un caso de estudio real en el distrito de San Juan de Miraflores, Lima. La
metodología consistió en la formulación matricial del equilibrio dinámico para un modelo aporticado
de tres niveles mediante un enfoque cuasi-experimental parametrizado en hojas de cálculo. A través de
la simplificación del sistema hacia vibraciones libres no amortiguadas (C
=
0; F
=
0), se planteó el
problema de autovalores y autovectores para caracterizar las propiedades dinámicas intrínsecas del
edificio. Los resultados determinaron tres modos traslacionales puros con periodos espectrales que
oscilan entre T1
=
0.433 s (modo fundamental, con un 86.91% de participación de masa) y T3
=
0.118
s. Mediante el contraste con la norma sismorresistente peruana NTE E.030, el análisis dinámico
determinó que las derivas inelásticas máximas en el primer y segundo nivel alcanzaron valores de 0.008
y 0.011 respectivamente, superando significativamente el límite regulatorio de 0.007. Se concluye que
la resolución analítica precisa de las ecuaciones diferenciales ordinarias constituye el núcleo predictivo
fundamental para el diagnóstico de vulnerabilidades por flexibilidad lateral antes de la fase de
ejecución, superando las generalizaciones del análisis estático equivalente.
Palabras clave: ecuaciones diferenciales ordinarias, análisis dinámico modal, modos de vibración,
derivas inelásticas, rigidez lateral
1
Autor principal
Correspondencia: jcgallardom62@gmail.com
pág. 7282
Influence of Differential Equations on the Analysis of Structures Under
Dynamic Actions
ABSTRACT
This research analyzes the influence of second-order ordinary differential equations (ODEs) on the
modeling and prediction of the seismic response of reinforced concrete structures, evaluating a real-
world case study in the San Juan de Miraflores district of Lima. The methodology involved the matrix
formulation of dynamic equilibrium for a three-story frame model using a quasi-experimental approach
implemented in spreadsheets. By simplifying the system to represent undamped free vibrations (C = 0;
F = 0), an eigenvalue and eigenvector problem was formulated to characterize the building's intrinsic
dynamic properties. The results identified three pure translational modes with spectral periods ranging
from T1 = 0.433 s (fundamental mode, with 86.91% mass participation) to T3 = 0.118 s. A comparison
with the Peruvian seismic design standard NTE E.030 revealed that maximum inelastic drifts at the first
and second levels reached values of 0.008 and 0.011, respectively, significantly exceeding the
regulatory limit of 0.007. It is concluded that the precise analytical solution of ordinary differential
equations serves as the fundamental predictive basis for diagnosing vulnerabilities related to lateral
flexibility prior to the construction phase, surpassing the generalizations inherent in equivalent static
analysis.
Keywords: ordinary differential equations, modal dynamic analysis, vibration modes, inelastic drifts,
lateral stiffness
Artículo recibido 16 julio 2026
Aceptado para publicación: 20 agosto 2026
pág. 7283
INTRODUCCIÓN
El diseño sismorresistente moderno exige transicionar de los enfoques deterministas estáticos
tradicionales hacia modelos dinámicos avanzados capaces de representar de manera fidedigna la
variación temporal de las solicitudes sísmicas. Cuando el suelo experimenta una aceleración horizontal
originada por ondas sísmicas, la flexibilidad intrínseca de los elementos estructurales de concreto
armado genera fuerzas de inercia y desplazamientos relativos en función del tiempo. En este escenario,
las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) lineales de segundo orden no representan únicamente un
recurso operativo de cálculo, sino el lenguaje analítico con el que se gobierna el entrelazamiento entre
la inercia, la restauración elástica y la disipación energética de los sistemas.
El comportamiento de un sistema continuo real resulta altamente complejo, por lo que la práctica de la
ingeniería estructural recurre a la discretización de masas concentradas por niveles. Para un sistema
general de múltiples grados de libertad (MDOF), la ecuación gobernante del equilibrio dinámico se
expresa en su formulación matricial como:
M
U
¨
(t) +
C
U
˙ (t) + KU (t) = P (t)
Donde M corresponde a la matriz de masas concentradas, C representa la matriz de amortiguamiento
viscoso, K es la matriz de rigidez lateral de las columnas y nudos, y P (t) es el vector de excitación
externa o solicitación sísmica temporal.
Para caracterizar las propiedades dinámicas intrínsecas ("de fábrica") de una edificación —tales como
sus frecuencias naturales y sus modos correspondientes de vibrar— el estudio se delimita analíticamente
al escenario de vibraciones libres no amortiguadas (C
=
0 y P (t)
=
0). Esta simplificación
metodológica permite aislar las variables del entorno para evaluar la rigidez lateral intrínseca del
sistema.
El problema central radica en que, con frecuencia, los softwares comerciales automatizan estos
algoritmos sin proporcionar al proyeccionista un diagnóstico explícito sobre la morfología de la
solución matemática. El objetivo de este artículo es evaluar la influencia de las soluciones analíticas de
los sistemas de EDO en el comportamiento estructural y contrastar los desplazamientos relativos
máximos (derivas) con las exigencias regulatorias de la Norma Técnica Peruana E.030, demostrando la
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capacidad del rigor matemático para anticipar fallas irreparables por deformación excesiva antes de la
fase constructiva.
METODOLOGÍA
Diseño de la Investigación y Enfoque
La investigación adoptó un enfoque cuantitativo de nivel explicativo-predictivo, siguiendo un diseño
cuasi-experimental transversal mediante el modelamiento matemático y la simulación numérica
computacional controlada en hojas de cálculo especializadas.
Descripción de la Población, Muestra y Caso de Estudio
La población objetivo comprende las edificaciones de concreto armado de la ciudad de Lima. Como
muestra representativa, se seleccionó un edificio aporticado de tres niveles (N
=
3) destinado a
oficinas (Edificación Categoría B, con factor de uso U
=
1.3), ubicado geográficamente sobre un
suelo intermedio (S
2
) en el distrito de San Juan de Miraflores, Lima (Zona Sísmica 4, Z
=
0.45). La
geometría en planta contempla doce columnas de concreto armado
(f
′
c
=
280 kg/cm
2
) de
dimensiones 40
×
50 cm, interconectadas por vigas de 30
×
40 cm en ambos ejes ortogonales. Las
alturas de entrepiso son de h
1
=
3.00 m, h
2
=
2.90 m y h
3
=
2.80 m.
Formulación y Operacionalización de las Matrices Estructurales
Mediante la técnica del metrado de cargas regulada en la norma nacional NTE E.020, se calculó el peso
sísmico efectivo por nivel (Pi), adicionando el 100% de la carga muerta (CM ) y el 25% de la carga viva
(CV ) dada la categoría común/oficinas de la edificación. Las masas de diseño (mi = Pi/g) conformaron
la matriz diagonal de masas M . Las rigideces laterales de entrepiso ( Ki) se determinaron
analíticamente aplicando el método de Wilbur para pórticos con columnas
empotradas en su base,
considerando el módulo de elasticidad del concreto (E=15100
f
′c1/2
) y
los momentos de inercia de las
secciones brutas (I=b ⋅ h3/12).
Con los pesos por nivel obtenidos de P1 = 130.569 ton, P2 = 129.993 ton y P3 =108.478 ton, y
utilizando la aceleración de la gravedad estándar (g
=
981 cm/s2), se determinó la matriz de masas
discretizadas en unidades de ton ⋅ seg2/cm:
pág. 7285
Matriz de masas:
m1
0
0
0.1331
0
0
M =
0
m2
0
M =
0
0.1325
0
0
0
m3
0
0
0.1106
Por su parte, la matriz de rigidez lateral del sistema (K), expresada en ton/cm mediante el ensamble de
las rigideces por entrepiso (k1
=
159.237 ton/cm, k2
=
99.560 ton/cm, k3
=
121.394 ton/cm), quedó
definida como:
Matriz de rigideces:
k1+k2
-K2
0
258.8
-99.560
0
K =
-K2
k2+k3
-K3
K =
-99.6
220.954
-121.394
0
-K3
k3
0
-121.394
121.394
El Problema de Autovalores y Autovectores (Vibración Libre)
Bajo la condición de vibración libre no amortiguada, el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
EDO se reduce a: M
U
¨
(t)
+
KU(t)
=
0. Al proponer una solución de tipo armónica de la forma U (t)
=
ϕ
sin(ωt
+
α), donde ϕ representa la configuración modal y ω la frecuencia angular, la sustitución directa
en la ecuación diferencial da lugar al problema de autovalores generalizado:
det(K − ω
2
M ) = 0
La resolución del polinomio característico de tercer grado asociado a este determinante proporciona
las tres frecuencias naturales de vibración (ω
i
). A partir de estas, se deducen los
periodos estructurales
de vibración (Ti = 2π/ωi) y las frecuencias cíclicas (fi = 1/Ti). Sustituyendo cada autovalor ω2 en el
sistema homogéneo (K − ω2M )ϕi = 0, se calcularon las formas modales normales (ϕi).
Análisis Dinámico Espectral (NTE E.030)
Para evaluar la respuesta ante un evento sísmico real, se acopló la solución de las EDO con el espectro
de pseudo-aceleraciones de la norma peruana NTE E.030. La aceleración espectral de diseño (Sai) para
cada modo de vibración se determinó mediante la función regulada:
pág. 7286
Sa =
Z.U.C. S.
.g =
R
Para el caso en estudio, los parámetros normativos fijos fueron: Factor de zona Z
=
0.45 (Zona
4), Factor
de uso U
=
1.30 (Oficinas), Factor de suelo S
=
1.05 con periodos límites T
P
=
0.60 s y T
L
=
2.00 s
(Suelo S
2
), y un coeficiente de reducción sísmica elástica R
=
8 (Pórticos regulares de concreto
armado) y aceleración de la gravedad g=981 m/s
2
. El factor de amplificación sísmica (C
i
) se calculó
de forma independiente para cada periodo modal según el criterio normativo: si T
i
<
T
P
, entonces
C
i
=
2.5.
La respuesta elástica máxima de los desplazamientos nodales se obtuvo empleando los factores
de
participación de masa modal
(L
i
=
ϕ
i
T
M
1
) y la masa generalizada (M
i
∗
=
ϕ
i
T
Mϕ
i
).
Finalmente, la combinación de las respuestas modales máximas se efectuó mediante la regla de la
Combinación Cuadrática Completa (CQC). Conforme al artículo 29 de la norma E.030, los
desplazamientos elásticos calculados se multiplicaron por el factor de amplificación destructiva 0.75R
(0.75 × 8 = 6) para obtener las distorsiones de entrepiso o derivas inelásticas de diseño (
Δ
inelástica
=
Δ
relativo
⋅
0.75R/h
i
), las cuales fueron contrastadas rigurosamente con el límite máximo permisible de 0.007
para el concreto armado.
RESULTADOS
Propiedades Dinámicas: Frecuencias, Periodos y Vectores Propios
La resolución analítica del polinomio característico derivado del determinante det(K
−
ω2M )
=
0 arrojó
tres raíces reales positivas (autovalores), detalladas en la Tabla 1 junto con sus respectivos periodos y
frecuencias cíclicas.
Tabla 1. Propiedades dinámicas y periodos estructurales obtenidos de la solución analítica de las EDO.
Modo (i)
Autovalor
Frecuencia
angular
Periodo Espectral
Frecuencia ciclica (fi)
ωi2 (rad2 /s 2 )
ωi (rad/s)
Ti = 2π/ωi (s)
fi = 1/Ti (Hz)
1
Fundamental
210.244
14.500
0.433
2.309
2
Segundo
1643.425
40.539
0.155
6.452
3
Tercero
2855.984
53.441
0.118
8.475
Nota: Elaboración propia
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Los vectores propios (formas modales), normalizados con respecto al desplazamiento del primer nivel
para fines comparativos, se determinaron como:
φ1 =
1
φ2 =
1
φ3 =
1
2.3183
0.4024
-1.2186
2.8675
- 0.8096
0.7609
La evaluación de los factores de participación de masa determinó que el Modo 1 (fundamental)
concentra el 86.91% de la respuesta inercial del edificio, el Modo 2 aporta el 10.99%, y el Modo 3
absorbe el 2.10% restante. La suma acumulada de la participación de masa alcanza el 100.00%,
validando la precisión matemática del modelo de tres grados de libertad discretizados.
Respuesta Dinámica Espectral y Aceleraciones de Diseño
Debido a que todos los periodos analíticos de la estructura (T1, T2, T3) se situaron por debajo del periodo
límite del suelo (TP
=
0.60 s), el factor de amplificación sísmica fue idéntico y máximo
para los tres
modos (C
1
=
C
2
=
C
3
=
2.50). En consecuencia, la pseudo-aceleraciones espectrales de diseño
calculada fue de:
Sa =
Z.U.C. S.
.g =
0.45x1.30x2.5x1.05
x 981 cm/s2
= 188.31 cm/s2
R
8
Desplazamientos y Control de Derivas Inelásticas (NTE E.030)
Tras efectuar la combinación cuadrática completa (CQC) de los desplazamientos relativos de las
respuestas modales luego del análisis dinámico y aplicar el factor de amplificación inelástica (0.75R
=
6), se obtuvieron los desplazamientos máximos reales y las distorsiones angulares (derivas) por
entrepiso expuestos en la Tabla 2.
pág. 7288
Tabla 2. Evaluación analítica de derivas inelásticas máximas y verificación de cumplimiento
regulatorio, en base al análisis sísmico dinámico
Nivel
Altura
[ cm]
Desplazamientos
elásticos máximos
Desplazamientos
Relativos de
Entrepiso [cm]
Deriva
Inelástica
Calculada (Δi)
Límite
Máximo
Permitido
Condición de
Cumplimiento
i
hi
ui
Δr = ui - ui-1
Δi=0.75RΔr / hi
NTE
E0.30
Δi < NTE 0.30
3
280
1.109
0.212
0.005
0.007
Cumple
2
290
0.897
0.507
0.011
0.007
No Cumple
1
300
0.390
0.390
0.008
0.007
No Cumple
Nota: Elaboración propia
El análisis revela de forma explícita que las distorsiones en el primer entrepiso (Δ1
=
0.008) y en el
segundo entrepiso (Δ2
=
0.011) superan el umbral normativo de seguridad fijado en 0.007 por la
legislación peruana para estructuras de concreto armado. El segundo nivel experimenta la
mayor
concentración de daño potencial por flexibilidad lateral, excediendo en un 57.14% el límite de
seguridad.
DISCUSIÓN
La correspondencia directa entre las soluciones analíticas de las ecuaciones diferenciales ordinarias de
segundo orden y las demandas de desplazamiento físico pone de manifiesto que el edificio diseñado
bajo los parámetros geométricos iniciales posee una severa deficiencia de rigidez lateral en sus niveles
inferiores. A pesar de emplear un concreto de alta resistencia
(f
′c
=
280 kg/cm2) y dimensiones de
columnas aparentemente robustas (40
×
50 cm), el modelamiento dinámico matricial desnudó una
vulnerabilidad estructural oculta que el análisis estático lineal tiende a subestimar o promediar a través
de la altura de la edificación.
El hecho de que el periodo fundamental sea de T1
=
0.433 s demuestra que la edificación se clasifica
como una estructura de mediana rigidez, la cual entra en un rango de resonancia parcial con el tipo de
suelo intermedio (S2) característico de la zona de San Juan de Miraflores. Al estar expuesta al máximo
valor de la meseta del espectro de diseño (C
=
2.5), las fuerzas inerciales inducidas amplificaron los
desplazamientos elásticos relativos de manera dramática.
Desde una perspectiva regulatoria y de seguridad de vida, el incumplimiento de las derivas en el primer
y segundo entrepiso (Δ1
=
0.008
>
0.007 y Δ2
=
0.011
>
0.007) es inadmisible. Bajo la acción del
pág. 7289
sismo de diseño, estos niveles experimentarán agrietamientos severos en las columnas, pérdida de
recubrimiento, trituración del núcleo de concreto y eventuales fallas por cortante en los nudos viga-
columna, comprometiendo la estabilidad global frente al colapso progresivo. Por el contrario, el tercer
nivel exhibe una deriva excepcionalmente baja (Δ3
=
0.005), lo que evidencia una distribución
heterogénea y poco eficiente de la rigidez a lo largo de la altura, comportamiento gobernado
matemáticamente por la configuración del primer modo propio ϕ1.
Para mitigar este riesgo estructural identificado mediante las soluciones exactas de las ecuación
diferencial ordinaria del movimiento dinámico EDO, se vuelve mandatorio reconfigurar la arquitectura
estructural del edificio antes de proceder a cualquier fase constructiva. Las estrategias de optimización
de ingeniería estructural deben enfocarse en
dos alternativas viables:
Incrementar las secciones transversales de las columnas: Aumentar la dimensión en la dirección del
análisis (por ejemplo, a 40
×
65 cm o 50
×
50cm) para elevar directamente los valores de la matriz de
rigidez K, reduciendo el periodo fundamental y limitando las derivas laterales.
Inclusión de placas o muros de corte de concreto armado: Introducir muros estructurales en puntos
estratégicos de la planta para absorber la mayor fracción del cortante basal y rigidizar drásticamente el
primer y segundo nivel, forzando al sistema a cumplir de manera holgada con los márgenes de la norma
NTE E.030.
CONCLUSIONES
Se demostró la influencia determinante de las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en
la predicción estructural, validando que el cálculo analítico exacto de autovalores y autovectores es una
herramienta indispensable para diagnosticar la seguridad sísmica global de las estructuras por encima
de estimaciones empíricas o estáticas.
El análisis dinámico-modal determinó que el edificio presenta un periodo fundamental de T1
=
0.433 s
con una concentración de masa inercial del 86.91%, situando a la estructura en la zona de máxima
demanda de aceleración del espectro sísmico (C
=
2.5) para suelos intermedios en Lima.
El contraste cuantitativo con la norma NTE E.030 evidenció que la edificación es vulnerable ante sismos
severos, arrojando derivas inelásticas de entrepiso de 0.008 y 0.011 para el primer y segundo nivel
respectivamente, valores que rebasan el umbral de seguridad de 0.007 según la norma E060 y obligan
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a rediseñar el sistema mediante el aumento de secciones de columnas o la incorporación de muros de
corte antes de su ejecución material.
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