Dificultades
en el aprendizaje del concepto de funci�n en estudiantes de pedagog�a de las
matem�ticas y la f�sica
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Jorge Santiago Tocto Maldonado[1] https://orcid.org/0000-0002-0455-9333 Universidad Nacional de Loja Ecuador
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Jorge Vivanco-Rom�n https://orcidorg/0000-0003-0887-2148 Universidad Nacional de Loja Ecuador |
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Iv�n Agust�n Quizhpe Uchuari https://orcid.org/0000-0002-9296-9449 Universidad Nacional de Loja Ecuador
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RESUMEN
La presente investigaci�n tuvo como objetivo determinar la existencia de problemas en los estudiantes al momento de relacionar las representaciones gr�ficas y algebraicas para funciones de variable real, para lo cual se utiliz� un dise�o de investigaci�n descriptiva con enfoque mixto. La poblaci�n de estudio fueron 49 estudiantes del primer a�o de la Carrera de Pedagog�a de las Matem�ticas y la F�sica: el instrumento para la recolecci�n fue el cuestionario y como t�cnica la encuesta. Asimismo, el resultado de la investigaci�n es que existen dificultades en la comprensi�n del concepto de funci�n, espec�ficamente en el paso de la forma algebraica a la gr�fica, se concluye que al trabajar con funciones racionales que se definen �nicamente para cierto campo de los n�meros reales existen limitaciones por parte de los estudiantes al momento de relacionar las representaci�n algebraica con la gr�fica y en la manipulaci�n de elementos caracter�sticos como son dominio y rango.
Palabras clave: funci�n; representaci�n gr�fica; representaci�n algebraica; matem�tica.
Learning difficulties in the concept of function in mathematic
�and physic students
ABSTRACT
The present research aimed to determine the existence of problems in students when relating graphical and algebraic representations for real variable functions, for which a descriptive research design with a mixed approach was used. The study population consisted of 49 first-year students in the Mathematics and Physics Education program. The questionnaire was used as the data collection instrument and the survey as the technique. Likewise, the result of the research is that there are difficulties in understanding the concept of function, specifically in the transition from the algebraic form to the graphical representation. It is concluded that when working with rational functions that are defined only for a certain field of real numbers, there are limitations on the part of students when relating the algebraic representation with the graphical representation and in the manipulation of characteristic elements such as domain and range.
Keywords: function; graphical representation; algebraic representation; mathematics.
������������������ Art�culo recibido 01 abril 2023
Aceptado para publicaci�n: 15 abril 2023INTRODUCCI�N
La carrera de Pedagog�a de las Ciencias Experimentales Matem�ticas y la F�sica se caracteriza por la formaci�n de estudiantes que aplican con actitud cr�tica y creativa los principios de la l�gica matem�tica, geometr�a, trigonometr�a, �lgebra, c�lculo, estad�stica, entre otras disciplinas ubicadas en el campo de estudio de las matem�ticas y que dentro de sus requisitos de ingreso manifiesta que sus aspirantes deben contar con habilidades de razonamiento abstracto y f�sico, ser anal�ticos, disciplinados, colaboradores y perseverantes.
La inclusi�n de la Matem�tica en el curr�culo de esta carrera responde de manera natural, al modelo del profesional que se pretende formar. La asignatura �lgebra de Funciones y su Did�ctica corresponde al contenido matem�tico que se imparte en el segundo ciclo a los estudiantes que cursan el primer a�o de Pedagog�a de las Matem�ticas y F�sica y se ubica en la unidad de organizaci�n curricular b�sica. El curso consta de 160 horas y en �l se abordan t�picos referentes al estudio de funciones de una sola variable real.
Esta asignatura tiene un car�cter fundamental y reviste una enorme importancia para la formaci�n del futuro docente en Pedagog�a de las Matem�ticas y la F�sica, dado que se toma como eje transversal en varios cursos de la licenciatura. En este sentido, es importante el criterio de Stewart (2012) quien pondera a las funciones como objetos fundamentales con los que trata el C�lculo y la Matem�tica, a la vez destaca las representaciones verbal, num�rica, visual o gr�fica, algebraica que tiene el concepto y las interrelaciones existentes entre ellas.
Desde la experiencia docente con los estudiantes del primer a�o de la licenciatura (ciclos I y II), se ha podido determinar que existen problemas al momento de vincular los diferentes contextos que tiene un mismo objeto matem�tico; particularmente cuando se trabaja con funciones y sus representaciones (registros) algebraicas y gr�ficas; por lo que se presentan diversos inconvenientes al momento de realizar su respectivo an�lisis, es as� que se puede plantear el siguiente problema de investigaci�n �Existe problemas en los estudiantes para relacionar las representaciones gr�ficas y algebraicas para funciones de variable real?
Dicho problema se pudo corroborar con el test aplicado en el que se recolect� la informaci�n referente al cambio de registro entre el gr�fico al algebraico y viceversa. Los resultados obtenidos se pueden sintetizar en que los estudiantes identifican como una gr�fica �nica, dos funciones que se consideran equivalentes y no toman en cuenta los valores para los cuales la funci�n no se define, entre otros resultados evidentes que se presentan en la secci�n correspondiente y que se corroboran con la teor�a de estudio pertinente propuesta por Duval (1996).
Las dificultades del aprendizaje y de la relaci�n existente entre el proceso gr�fico y algebraico ha sido abordada por varios autores (Borges et al, 2010; Duval, 1996; Garc�a et al., 2004; Peralta y Soto, 2003; Sanabria, 2013; Polan�a et al., 2015), particularmente en Europa, como es el caso de Fuster y G�mez (1997) quienes demuestran que los estudiantes de las carreras t�cnicas o cient�ficas presentan deficiencias significativas en el aprendizaje del concepto de integral, en donde logran identificar como principal problema el c�lculo de primitivas y la aplicaci�n indiscriminada de la regla de Barrow. As� mismo, en Latinoam�rica se ha podido constatar distintas investigaciones como las de Ibarra et al. (2002) y Grijalva et al. (2002) quienes pudieron demostrar la articulaci�n de registros gr�ficos y algebraicos para el C�lculo Integral y Diferencial en estudiantes de las carreras de ciencias e ingenier�a de la Universidad de Sonora.
En este mismo contexto en Sudam�rica, Guti�rrez et al. (2017) presentan las dificultades de aprendizaje en el concepto de derivada de una funci�n de variable real, esta investigaci�n se ha realizado con estudiantes de los programas de ingenier�a en la Universidad Militar de Nueva Granada. Destacan el inconveniente de tipo algebraico, aritm�tico y de interpretaci�n simb�lica de los l�mites al tratar de derivar con el concepto del l�mite y proponen un Objeto Virtual de Aprendizaje (OVA) como una alternativa para la ense�anza de la derivada. As� mismo, investigaciones como las de Vrancken et al. (2006) encuentran problemas similares a los detallados anteriormente, centr�ndose esencialmente en el concepto de l�mite. Esta investigaci�n destaca el aparecimiento de obst�culos en el proceso de asimilaci�n del concepto, derivando dificultades como: representaci�n gr�fica de funciones, comprensi�n de lo que ocurre en el l�mite del punto y no en el punto, reconocer e interpretar l�mites laterales, entre otras.
Con base a lo mencionado, cabe destacar la importancia de la asimilaci�n del aspecto gr�fico y algebraico para el concepto de funci�n, es as� que esta investigaci�n aporta significativamente al campo de la docencia ya que a trav�s de ella se enfoca esta dificultad de aprendizaje en estudiantes de Pedagog�a de las Matem�ticas y la F�sica, por lo que se ha planteado el objetivo de investigaci�n apoyado para su cumplimiento de una metodolog�a descriptiva: determinar la existencia de problemas en los estudiantes al momento de relacionar las representaciones gr�ficas y algebraicas para funciones de variable real, el mismo que busca resaltar la ense�anza de esta relaci�n y que de esta manera sean fruct�feras en su futuro profesional. Mientras esta dificultad est� latente se puede estar seguro que los conceptos esenciales para la ense�anza aprendizaje de los temas consecutivos en la Matem�tica va a persistir, factor que se le puede atribuir a la ense�anza tradicional y a las mecanizaciones que presentan los estudiantes.
Este art�culo se encuentra organizado de la siguiente manera: introducci�n, en la que se presenta los antecedentes, el problema y el objetivo que se pretende alcanzar; marco te�rico, la fundamentaci�n te�rica y la evidencia emp�rica; Datos y metodolog�a, se destaca el procedimiento realizado para la aplicaci�n de la encuesta y el proceso de an�lisis de datos; Discusi�n de resultados, se presenta los resultados y se los compara con otros autores; Conclusiones� y por �ltimo la las referencias bibliogr�ficas.
Evoluci�n Hist�rica del Concepto de Funci�n
En el campo educativo actual existen diferentes tendencias pedag�gicas que enfocan la ense�anza aprendizaje de la Matem�tica desde diferentes perspectivas, todas ellas con caracter�sticas propias y con la potencialidad de ser utilizadas partiendo de una realidad contextualizada y que en nuestro medio no escapa de temas econ�micos, t�cnicos o log�sticos. En la introducci�n al presente trabaj� se mostr� que en nuestras aulas existe un marcado referente por el estudio del concepto de funci�n desde sus caras verbal, num�rica, gr�fica y anal�tica, lo cual no obedece a meras cuestiones del azar o caprichos por parte del docente, o cuestiones que ata�en a la formaci�n de un determinado profesional, sino que responde a una construcci�n que ha tomado much�simos a�os, en este orden de ideas se coincide con el criterio de R�bnikov (1974), quien manifiesta que el proceso de formaci�n de conceptos matem�ticos, as� como de los procedimientos para la soluci�n de problemas abarca un gran intervalo de tiempo y adem�s atraviesa un largo periodo de perfeccionamiento.
Es importante se�alar que conocer el origen de los contenidos matem�ticos constituye una herramienta pedag�gica indispensable para llegar al estudiante y lograr en �l un mejor aprendizaje. En este marco, es sustancial para la comprensi�n del concepto de funci�n considerar el desarrollo que ha sufrido a lo largo de los a�os, dicha evoluci�n se expone en el trabajo de las investigadoras Sastre et al. (2008); quienes resumen la evoluci�n del concepto en la Tabla 1.
Como se puede apreciar en la Tabla 1, los conocimientos matem�ticos sobre funciones se construyen al paso de los a�os, en los cuales se han ido incorporando dis�miles ideas tales como tablas de valores o representaci�n mediante curvas, posteriormente aparecen las variables y su relaci�n por medio de ecuaciones, para finalmente establecerse a la funci�n como una relaci�n de correspondencia arbitraria.
Tabla 1. Definici�n de funci�n de acuerdo a la �poca.
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�poca |
Definici�n |
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Siglo XVII |
Cualquier relaci�n entre variables. Una cantidad obtenida de otras cantidades mediante operaciones algebraicas o cualquier otra operaci�n imaginable. Cualquier cantidad que var�a de un punto a otro de una curva. Cantidades formadas usando expresiones algebraicas y trascendentales de variables y constantes. |
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Siglo XVIII |
Cantidades que dependen de una variable. Funci�n de cierta variable como una cantidad que est� compuesta de alguna forma por variables y constantes. Cualquier expresi�n �til para calcular. |
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Siglo XIX |
Correspondencia entre variables. Correspondencia entre un conjunto A y los n�meros reales. Correspondencia entre dos conjuntos. |
Ense�anza de Funciones y sus Obst�culos
Dificultades en la Asimilaci�n del Concepto de Funci�n
Pedag�gicamente hablando, para que el proceso de ense�anza aprendizaje de la Matem�tica funcione correctamente, es necesario que los estudiantes manejen terminolog�a, s�mbolos, objetos y conceptos b�sicos inherentes a cada tema, en tal caso, es deseable que en el momento de trabajar con una asignatura ellos sepan asociar estos elementos. En ese marco, se coincide con Sanabria (2013) quien le otorga un valor pedag�gico importante a las representaciones, lenguaje, conversi�n, s�mbolos, semi�tica y narrativas simb�licas en la comprensi�n de Matem�tica, a la vez que destaca la importancia de lograr que los estudiantes sean capaces de relacionar de distintas maneras la representaci�n de objetos matem�ticos para una mejor ense�anza aprendizaje de la asignatura. Adem�s, la realidad en la Carrera de Pedagog�a de las Matem�ticas y la F�sica permite reconocer que hay una realidad compleja y persistente, que es caracter�stica del sistema acad�mico precedente, lo cual impide que los estudiantes puedan alcanzar a desarrollar diversas etapas del conocimiento en cuanto a esta y otras tem�ticas de estudio.
En diversas investigaciones se manifiesta que uno de los inconvenientes que se presenta para comprender el concepto de funci�n yace en las actividades de pasaje entre registros semi�ticos del concepto de funci�n, particularmente en el pasaje del registro gr�fico al algebraico tal como lo indican Garc�a et al. (2004). Similar situaci�n tambi�n se puede encontrar en Gil et al. (2009) quienes en un grupo de estudiantes de distintas carreras universitarias detectaron dificultades en la comprensi�n y manipulaci�n de funciones lineales empleadas en un determinado modelo matem�tico, dichos obst�culos tienen que ver principalmente con la confusi�n generada cuando se modifican pendientes o cuando el modelo relaciona expresiones gr�ficas y matem�ticas. Adicionalmente, Borges et al. (2010) constataron que la mayor�a de los estudiantes no tiene la habilidad para establecer la relaci�n entre los diferentes sistemas de representaci�n de una funci�n (modelos, diagramas, lenguaje hablado y s�mbolos escritos), muchos de ellos se limitan �nicamente a trabajar con la representaci�n algebraica, asimismo, indican que existe un nivel bajo de comprensi�n del lenguaje algebraico en el contexto geom�trico.���� �
L�pez y Sosa (2008) mencionan que la dificultad al momento de trabajar el concepto de funci�n es evidente, ya que observaron los errores cometidos por los alumnos del nivel medio superior, que muchas de las veces suelen confundirse con otras nociones matem�ticas. A esto se suman P�ez y Hitt (2003) quienes realizan investigaciones preliminares sobre la construcci�n del concepto de l�mite, como elemento clave para la ense�anza de funciones. Esto muestra la evidencia suficiente para asegurar que el problema est� latente, en algunos casos se atribuyen factores esenciales a la dificultad de aprendizaje del concepto de funci�n, donde se destacan actividades que �nicamente giran alrededor del registro algebraico, desligando la interacci�n entre otros registros, como el gr�fico; queda claro entonces que cuando los estudiantes� adquieran destreza en el manejo de las distintas formas de representaci�n de una funci�n �habr�n logrado reforzar el pensamiento matem�tico y habilidades para la resoluci�n de problemas (Morales, 2013).
Las TIC para la Ense�anza de la Matem�tica
En las Instituciones de Educaci�n Superior (IES) a nivel nacional se ha cambiado la forma de pensar las metodolog�as de ense�anza, apoy�ndose actualmente en las Tecnolog�as de la Informaci�n y la Comunicaci�n (TIC), es de esta manera que se puede ver una ense�anza diferenciada a la tradicional. En el siglo XXI con el auge de las tecnolog�as no se puede estar ausente del uso de las mismas, es as� que Grisales (2018) establece la necesidad de generar oportunidades de inclusi�n tanto para docentes como para estudiantes y de esta manera puedan ser competentes en el uso de las TIC, promoviendo una apropiaci�n por parte de los actores con el fin de optimizar las herramientas con las que se cuente.
El docente de hoy en d�a es autodidacta y se convierte en qui�n dise�a estrategias de ense�anza para los estudiantes (Padilla y Mayoral, 2020), por lo que queda claro la importancia del uso de las nuevas tecnolog�as con �nfasis en la utilizaci�n de recursos que potencialicen el aprendizaje. Por lo contrario, Olivares y Sotomayor (2022) realizan una investigaci�n minuciosa sobre art�culos publicados que abordan TIC, y destacan la deficiencia de su uso para el campo de la educaci�n, adem�s que recalcan su importancia e integraci�n en el proceso de ense�anza aprendizaje, explicando que la comunidad educativa es consciente de esta gran necesidad.
Tomando como referencia la ense�anza actual de los diferentes t�picos en matem�ticas, se evidencia algunas investigaciones en las que los autores han intervenido con el uso de TIC. Citando como en algunos de los casos a Hermosillo y Maldonado (2019) quienes han incluido el software GeoGebra para la ense�anza del C�lculo Diferencial, llegando a obtener resultados significativos en la actividad central de resoluci�n de problemas en Matem�tica. De la misma manera, Viltres et al. (2020) confirman las dificultades de aprendizaje en contenido del trabajo con matrices en la asignatura de �lgebra Lineal, por lo que desarrollan Softmatrix, un software capaz de contribuir a la formaci�n profesional de los estudiantes de la carrera de ingenier�a, destacando por la efectiva forma de mejorar el aprendizaje del trabajo con matrices.
Centr�ndose a�n m�s, para el aprendizaje de funciones algebraicas y trascendentales se ha podido desarrollar la implementaci�n de aplicaciones m�viles de realidad aumentada, que tengan como objetivo beneficiar no solo a los estudiantes sino tambi�n a los docentes, dado que de esta manera se ense�a de manera pr�ctica y vivencial, llevando a cabo la interactividad del aprendizaje m�vil que favorece el cumplimiento de las competencias digitales pero sobre todo el aprendizaje de funciones matem�ticas (D�az y Espinosa, 2020).
Como se puede observar, se ha podido presentar a manera de ejemplo algunas investigaciones que ayudan a comprobar la inclusi�n de las TIC para las ense�anza de alg�n t�pico en las matem�ticas, ahora, centraremos principal atenci�n a la literatura concerniente a la ense�anza de funciones de variable real, con la finalidad de destacar las propuestas o alternativas que se muestran como esenciales para que el proceso de ense�anza aprendizaje sea el �ptimo y que los resultados esperados apunten a una ense�anza de calidad, promoviendo un aprendizaje significativo.
Una de las alternativas m�s promovidas para la ense�anza de funciones de variable real es el uso del GeoGebra (Gay et al., 2014; Tito et al., 2013; Vigo, 2020). Estos autores centran principal importancia en la modelizaci�n din�mica y las diferentes aplicaciones que este promueve, Tito et al. logran resultados significativos en la inclusi�n de este software, permitiendo que los alumnos sean capaces de: desarrollar el pensamiento exploratorio, indagar, simular situaciones, utilizar vocabulario espec�fico y la toma de decisiones acertadas para la resoluci�n de problemas, motivando la elaboraci�n de tareas.
Otra alternativa diferente es el uso de la calculadora cient�fica, tal como lo argumenta Flores et al. (2019) en su investigaci�n, que la consideran como un medio que �permite movilizar conocimientos mediante la coordinaci�n de diferentes registros de representaci�n semi�tica de la funci�n [...]� (p. 691). Es obvio pensar que el cambio de los registros en una calculadora permiten tal representaci�n, ya que una calculadora al igual que el GeoGebra (otra calculadora) generan una tabla de datos que puede ser representada en un registro gr�fico, siendo ideal para la ense�anza no solo de funciones sino de diferentes contenidos matem�ticos.
METODOLOG�A
El presente estudio corresponde a un dise�o de investigaci�n descriptiva debido a que se� caracteriz� el objeto de estudio y se lleg� a conocer las dificultades predominantes en la comprensi�n del concepto de funci�n a trav�s de la interpretaci�n de los resultados obtenidos. Adem�s, cuenta con un enfoque mixto debido a que se recolectaron los datos emp�ricos en fuentes de primer nivel que sirvieron para la revisi�n de literatura, la elaboraci�n del instrumento y la discusi�n de resultados. Asimismo, por medio del enfoque cuantitativo se pudo organizar los resultados que arroj� el instrumento aplicado y posteriormente realizar el an�lisis correspondiente con apoyo de estad�stica descriptiva.���
La poblaci�n elegida para el presente estudio se obtuvo a trav�s de un procedimiento no probabil�stico por conveniencia, donde participaron cuarenta y nueve estudiantes del primer a�o de la Carrera de Pedagog�a de las Ciencias Experimentales Matem�ticas y la F�sica en el periodo acad�mico ordinario Abril - Septiembre 2022, la raz�n de este escogitamiento se da porque los conocimientos correspondientes al concepto de funci�n se imparten en los primeros a�os de estudio y constituyen la base de la Matem�tica que se dan en el programa de grado.
Se utiliz� como t�cnica la encuesta, y como instrumento un cuestionario (Anexo 1). El cual fue dise�ado a trav�s de la plataforma Google Forms y estuvo estructurado por 4 reactivos de opci�n m�ltiple que permitieron identificar las dificultades existentes en la comprensi�n del concepto de funci�n. Para la validaci�n del instrumento se tom� como referencia el propuesto por Peralta y Soto (2003). El cuestionario se aplic� enviando el enlace generado por la plataforma Google Forms v�a mensaje de texto a los estudiantes, luego se dio un tiempo de 12 minutos para que contesten y las respuestas se almacenaron autom�ticamente en un archivo .csv que permiti� posteriormente el an�lisis y la interpretaci�n de los datos.
Para el an�lisis e interpretaci�n de los datos se procedi� de la siguiente manera: con ayuda de la estad�stica descriptiva se organiz� los datos de cada uno de los reactivos en tablas de frecuencia con sus respectivos porcentajes, de ellos se escogieron los m�s destacados para realizar la interpretaci�n y discusi�n, en la que se contrastaron los hallazgos obtenidos con las semejanzas y diferencias de otras investigaciones, lo que posteriormente permiti� el cumplimiento del objetivo y el planteamiento de las conclusiones.
RESULTADOS Y DISCUSI�N
Las preguntas del cuestionario versan sobre las distintas formas de representaci�n de una funci�n y dos de sus principales caracter�sticas (dominio y recorrido), en �l los estudiantes del primer a�o de Pedagog�a de las Matem�ticas y la F�sica deben relacionar adecuadamente las distintas formas de representaci�n de una funci�n.
En la primera parte, se pide vincular una de las expresiones algebraicas con la gr�fica dada. A continuaci�n, se presenta una funci�n racional acompa�ada de varias gr�ficas y se le solicita al estudiante establecer la correspondencia adecuada entre la funci�n y su gr�fica. Luego, se requiere que de un conjunto de funciones expresadas gr�ficamente se asocie la forma algebraica correcta. Finalmente, se invita a relacionar apropiadamente el dominio y recorrido de una funci�n definida por partes. Las preguntas se presentan en el Anexo 1.
A continuaci�n se presentan los resultados obtenidos del cuestionario aplicado, cada una de las tablas corresponde a una pregunta del instrumento acompa�ada de su discusi�n.
Tabla 2. Expresi�n algebraica de una gr�fica de funci�n dada
|
Opciones |
Frecuencia |
Porcentaje |
|
a) |
31 |
68,90% |
|
b) |
7 |
15,60% |
|
c) |
6 |
13,30% |
|
d) |
1 |
2,20% |
|
Total |
45 |
100% |
En la Tabla 2 se presentan los
resultados obtenidos de la pregunta 1 del cuestionario,
en ella se verifica que 31 estudiantes eligieron la
opci�n correcta en cuanto a la relaci�n de la gr�fica con la expresi�n
algebraica; sin embargo, 14 encuestados eligieron las opciones incorrectas.
Esto se podr�a referir a que en la opci�n 
�el estudiante no interpreta el segundo t�rmino (
) como ordenada en el origen, ya que no asocia el �con el par�metro 
de la forma 
, donde 
�es la ordenada en el origen y 
�representa la pendiente de la recta. En la
opci�n 
, la confusi�n se podr�a dar porque el t�rmino que acompa�a a 
�se est� vinculando err�neamente con la ordenada en el origen, cuando en
realidad es la pendiente de la recta. Por �ltimo, en 
�el t�rmino �de la ecuaci�n se est� referenciando equivocadamente con la
intercepci�n de la recta en el eje .
Los resultados obtenidos concuerdan con lo que sostienen Lopez y Sosa (2008), donde es evidente la confusi�n con otros objetos matem�ticos como son: pendiente de una recta, ordenada en el origen e intersecci�n con los ejes coordenados. Esta situaci�n tambi�n se puede encontrar en la investigaci�n realizada por Gil et al. (2009) en la que se identificaron dificultades similares en torno al manejo de modelos matem�ticos que utilizan funciones lineales. Es as� que este problema se podr�a atribuir a un posible enfoque desarticulado de la Matem�tica con otras ciencias en escenarios de la vida cotidiana.
En la Tabla 3 se tienen diferentes resultados a la
pregunta 2, lo cual indica que los estudiantes no tienen
clara la noci�n de funci�n, en consecuencia tienen problemas para establecer
una correcta relaci�n entre las formas algebraica y gr�fica de este objeto
matem�tico. En este contexto, se observa que 9 estudiantes contestaron
correctamente a esta pregunta y 36 estudiantes no tienen claro esta relaci�n.
En torno a este particular, identifican equivocadamente la gr�fica de 
�con la de otras funciones que se han incluido a prop�sito y cuyas
gr�ficas son similares, dado que se comportan como equivalentes en el mismo
entorno (
; 
�con 
; 
�con 
; � 
�con ).
Adicionalmente, no se considera como criterio de respuesta el valor para el
cual la funci�n 
�dada no se
define dentro del conjunto de los n�meros reales, en este caso 
.
Tabla 3. Expresi�n gr�fica de una funci�n dada
|
Opciones |
Frecuencia |
Porcentaje |
|
a) |
8 |
17,80 % |
|
b) |
9 |
20,00 % |
|
c) |
9 |
20,00 % |
|
d) |
11 |
24,40 % |
|
e) |
8 |
17,80 % |
|
Total |
45 |
100,00 % |
En este marco, se coincide que un gran n�mero de estudiantes presentan deficiencias en la capacidad para relacionar de manera adecuada las formas de representaci�n de una funci�n y ejecutar correctamente el paso de una expresi�n algebraica a una gr�fica (Sanabria, 2013; Garc�a et al., 2004; Borges et al., 2010; Grijalva et al., 2002; Ibarra et al., 2002; Duval, 1996). El an�lisis respectivo reafirma que los estudiantes tienen poco clara la idea de funci�n con estructura equivalente, en la que su principal caracter�stica es una gr�fica semejante a la de una funci�n dada. Adem�s, vale recalcar el uso indiscriminado de las calculadoras gr�ficas (GeoGebra, Desmos) en las que por costo computacional y eficiencia, se reducen los c�lculos y no se traza la gr�fica correspondiente con todos sus elementos, como son as�ntotas, puntos de discontinuidad, valores definidos en el conjunto de n�mero reales, entre otros; lo que se suma a los problemas descritos anteriormente.
La Tabla 4 muestra la frecuencia de los resultados de la vinculaci�n de la gr�fica con la expresi�n algebraica correspondiente. Donde se puede observar una elecci�n correcta en la mayor�a de los casos, sin embargo, en la gr�fica 3 que corresponde a una funci�n exponencial existe un n�mero considerable de estudiantes que contestan err�neamente, esto se podr�a interpretar como una falta de habituaci�n al trabajo con estos componentes.
Tabla 4. Vinculaci�n de expresiones gr�ficas y algebraicas
|
��������������������������������������� Opciones Gr�ficas |
a) |
b) |
c) |
d) |
e) |
|
1) |
1 |
2 |
36 |
3 |
3 |
|
2) |
1 |
0 |
2 |
40 |
2 |
|
3) |
29 |
5 |
3 |
3 |
5 |
|
4) |
3 |
4 |
2 |
1 |
35 |
Adem�s, se puede agregar que la gran mayor�a de aciertos en esta pregunta corresponden a funciones que son de uso frecuente en la ense�anza precedente y en el primer a�o de la carrera. Esto concuerda con lo manifestado por Stewart (2012) quien asegura que hay ciertos tipo de funciones que se pueden calificar como principales y que aparecen a menudo en la ense�anza de distintas ramas de la Matem�tica.
Tabla 5. Dominio y rango de una funci�n definida por partes
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Opciones |
a) |
b) |
c) |
d) |
|
Dominio |
6 |
11 |
16 |
12 |
|
Rango |
2 |
4 |
5 |
34 |
En la Tabla 5 se muestran las frecuencias de los resultados del reactivo en el que se incorporan simult�neamente componentes gr�ficos y algebraicos. Los datos indican diferentes realidades para el dominio y rango de la funci�n. En el dominio se han seleccionado distintas opciones, donde un menor n�mero de estudiantes eligen la respuesta correcta (opci�n b), lo cual revela que se establece una relaci�n inadecuada entre el gr�fico de la funci�n con su dominio. Por otro lado, para el caso del rango el panorama es distinto, pues la mayor�a de las respuestas se�alan el inciso correcto (opci�n d). Lo obtenido en esta pregunta confirma que existen problemas al relacionar las distintas formas de representaci�n de una funci�n.
Este es otro elemento que apoya a los hallazgos obtenidos y discutidos anteriormente (Sanabria, 2013; Garc�a et al., 2004; Borges et al., 2010; Gil et al., 2009; L�pez y Sosa, 2008; Grijalva et al., 2002; Ibarra et al., 2002; Duval, 1996), en este marco se considera importante la inclusi�n de elementos caracter�sticos de una funci�n como lo son el dominio y el rango, dado que ayudan a determinar en qu� parte de los n�meros reales la funci�n est� definida, as� como tambi�n brindan informaci�n �til en la transici�n del registro algebraico al gr�fico y viceversa.
Con base a los resultados, se identifica que existen problemas en la comprensi�n del concepto de funci�n en los estudiantes de la Carrera de Pedagog�a de las Ciencias Experimentales Matem�tica y la F�sica, espec�ficamente en el paso de la forma algebraica a la gr�fica y en el manejo de elementos caracter�sticos de este objeto matem�tico. Se considera que esta realidad podr�a ser generalizada para otras carreras de la Universidad Nacional de Loja y del resto del pa�s, ya que se recibe a estudiantes que proceden de un mismo sistema educativo. Estos hechos permiten manifestar que esta realidad educativa no es �nicamente privativa de nuestro medio, sino que ocurre tambi�n en otras latitudes y contextos.
CONCLUSIONES
La presente investigaci�n se realiz� con la participaci�n de 49 estudiantes del primer a�o de la Carrera de Pedagog�a de las Ciencias Experimentales Matem�ticas y la F�sica, durante el periodo acad�mico ordinario Abril - Septiembre 2022, donde se pudo encontrar dificultades en la comprensi�n del concepto de funci�n, es decir, se determin� que al trabajar con funciones racionales que se definen �nicamente para cierto campo de los n�meros reales existen dificultades por parte de los estudiantes al momento de relacionar las representaci�n algebraica con la gr�fica y en la manipulaci�n de elementos caracter�sticos como son dominio y rango. Sin embargo, en el paso del registro algebraico al gr�fico para funciones de uso frecuente como lineales, cuadr�ticas, exponenciales y valor absoluto no se encontraron mayores obst�culos para el caso investigado.
La realizaci�n de este estudio constituye un aporte para la carrera, puesto que no existen estudios previos relacionados a esta tem�tica y permite ser un insumo para mejorar la pr�ctica docente dentro de la c�tedra relacionada con el estudio de funciones. Adem�s, contribuye a la bibliograf�a existente, sum�ndose a las investigaciones realizadas por otros autores en otros contextos y realidades diferentes.
Se recomienda que esta investigaci�n sea considerada como punto de partida para futuras investigaciones en las que se se considere no solamente la identificaci�n de los problemas de aprendizaje de los conceptos matem�ticos, sino tambi�n se les d� soluci�n a trav�s de estrategias did�ctico pedag�gicas, uso de recursos y la inclusi�n de tecnolog�a educativa.
La principal limitaci�n para este estudio es que se ha realizado solamente para un caso concreto y no se ha ejecutado en m�s carreras de la universidad para tener una visi�n m�s amplia de c�mo ocurre el proceso de ense�anza aprendizaje de esta tem�tica. Asimismo, el caso particular en el que se desenvuelve esta investigaci�n se circunscribe a las funciones de variable real, por lo que se recomienda extender el estudio a otros campos de la Matem�tica donde se vean problemas similares.
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ANEXO 1.L
