INTRODUCCIÓN
El
robot de auto equilibrio de dos ruedas, dinámicamente estable y equilibrado,
puede ser un robot personal eficiente, ya que puede tener una altura suficiente
para interacciones a nivel de los ojos y ser lo suficientemente estrecho para
moverse en entornos humanos congestionados. Son capaces de interactuar
físicamente de manera segura y tienen capacidades dinámicas para moverse a
velocidades cercanas a las de los humanos [1].
La
mayoría de las técnicas utilizadas para controlar sistemas no lineales
requieren información completa sobre el sistema que se va a controlar en forma
de un modelo, y a veces, no es fácil obtener información completa sobre el
sistema. En tales casos, pueden utilizarse técnicas sin modelo. Además, la
estabilidad es una preocupación importante con los sistemas no lineales, y
existen algunas teorías bien desarrolladas para abordar la estabilidad de los
sistemas no lineales, como la teoría de Liapunov [2].
Los
controladores PID se utilizan comúnmente en industrias debido a su estructura
simple y facilidad de implementación [3]. Sin embargo, los controladores PID
ajustados con métodos convencionales muestran un rendimiento deficiente para
sistemas con retardos en el tiempo [4] [5]. El trabajo realizado en [6] propuso
una ley de control no lineal para controlar el Carro Péndulo Invertido (IPC),
cuyo objetivo es hacer que el sistema sea asintóticamente estable alrededor de
la posición vertical inestable, mencionando que el principal mérito es la
construcción de una función de Liapunov adecuada que permite derivar el
controlador y calcular el dominio de estabilidad de manera sencilla.
Las
Redes Neuronales Artificiales (ANNs), desde un punto de vista computacional, no
son más que procedimientos generales para aprender funciones no lineales. El
esquema de control neuronal más simple, llamado modelado inverso directo,
utiliza el propio sistema para generar pares de entrada-salida y entrenar el
modelo inverso directamente intercambiando entradas y salidas [7].
En
este artículo, presentamos los resultados del control PID (Proporcional,
Integral, Derivativo), control de Liapunov y control de redes neuronales
artificiales en un sistema no lineal invariante en el tiempo. Las dinámicas
presentadas están en la etapa transitoria de la respuesta de la variable de
posición θ, en la punta del sistema.
MATERIALES Y
MÉTODOS
Especificaciones Mecánicas del Robot auto equilibrado.
El
modelado y diseño del robot se llevan a cabo en un entorno de simulación
llamado Simscape Multibody. Este artículo se basa en una metodología
experimental y teórica, en la cual se realizan pruebas para obtener respuestas
relacionadas con la trayectoria recorrida, el ángulo de inclinación, la
respuesta del motor eléctrico y la estabilización del robot frente a
perturbaciones. Estos sistemas se fundamentan en el modelo matemático de un
péndulo invertido, ya que el robot responde a este principio [8]. El cuerpo del
robot tiende naturalmente a inclinarse debido al peso de la estructura, lo que
desequilibra al robot y desplaza el punto de equilibrio de 0 a 180°. Este
desequilibrio en el sistema del robot puede estabilizarse mediante una acción
de control inverso, que implica un movimiento hacia adelante y hacia atrás de
las respectivas ruedas [9]. Para la construcción del robot, se utiliza como
referencia el "Robot Auto equilibrado de dos ruedas" de Mouad Boumediene
[10], definiendo características mecánicas específicas de un sistema real como
se describen en la Tabla 1.
Table 1. Dimensiones mecánicas de
los componentes del robot.
|
No
|
Parte
|
Dimensiones
|
Masa
|
|
3
|
Placas/Bases
|
18x8x25[cm]
|
0.0625 kg
|
|
4
|
Soportes
laterales
|
R=5mm largo=25cm
|
0.25 kg
|
|
2
|
Radio
rueda interior
|
R=36mm
|
0.1385 kg
|
|
2
|
Radio
rueda exterior
|
R=48mm
|
0.085 kg
|
La figura 1 muestra el diagrama de bloques que representa
el modelo físico del sistema.
Figura 1. Modelo de robot auto equilibrado de
dos ruedas [10].
CONTROLADOR
PID.
Para
este trabajo, se implementa un controlador PID sin un modelo, utilizando el
bloque de autoajuste en Simulink. El bloque utiliza la respuesta de frecuencia
estimada para calcular los parámetros del controlador PID. El algoritmo de
ajuste tiene como objetivo equilibrar el rendimiento y la robustez al tiempo
que se logra el ancho de banda de control y el margen de fase especificados
[11]. Los bloques automáticos de ajuste PID funcionan realizando un experimento
de estimación de respuesta de frecuencia. Estos bloques inyectan señales de
prueba en la planta y ajustan los parámetros del PID basándose en una respuesta
de frecuencia estimada. Para lograr un ajuste sin modelo, el bloque de autoajuste
PID en bucle cerrado realiza lo siguiente: inyecta una señal de prueba en la
planta para recopilar datos de entrada y salida de la planta y estimar la
respuesta de frecuencia en tiempo real. La señal de prueba es una combinación
de señales de perturbación sinusoidal añadidas a la entrada de la planta. Al
final del experimento, se ajustan los parámetros del controlador PID basados en
las respuestas de frecuencia estimadas de la planta cercanas al ancho de banda
objetivo.
El diseño del controlador PID está ampliamente desarrollado
en teoría de control. Este artículo tiene como objetivo comparar los resultados
para un proceso no lineal y analizar las ventajas y desventajas de usar cada
controlador en relación con las diferentes respuestas del sistema.
CONTROLADOR
BASADO EN LIAPUNOV.
El
teorema de Liapunov es una herramienta poderosa para estudiar la estabilidad de
sistemas lineales y no lineales. En este artículo, se utiliza para limitar los
conjuntos de acciones y mantener el sistema del robot auto balanceado en un
estado estable. En el método de Liapunov directo, se define una función
candidata de Liapunov. Para que 
sea una función candidata de Liapunov, debe cumplir con las siguientes
condiciones, donde se asume que 
es el punto de equilibrio:
Considerando
el sistema de péndulo invertido de dos ruedas como el principio de la dinámica
de un robot auto balanceado de dos ruedas, el modelo dinámico no lineal se
puede obtener a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange [12], utilizando las
siguientes ecuaciones:
A
partir de las ecuaciones 4 y 5, x representa el desplazamiento del robot, θ es
el ángulo de inclinación del robot, el voltaje aplicado a los motores de las
ruedas está representado en la ecuación 4 por la variable f, los parámetros M y
m representan la masa de la base (ruedas y base del robot) y la masa del robot,
respectivamente, y la variable L es la distancia desde el centro de gravedad
del robot hasta el eje de las ruedas. Para normalizar las ecuaciones 4 y 5, se
definen las siguientes variables de escala y constantes positivas.
|
|
|
(4)
|
Así,
el sistema de ecuaciones 4 y 5 se expresa a través de las siguientes
ecuaciones:
Las
ecuaciones 7 y 8 conducen a un sistema más simple. Aplicando linealización de
retroalimentación parcial al sistema expresado en las ecuaciones 7 y 8 [13], el
modelo resultante se muestra en la ecuación 9.
|
|
|
(
|
El
sistema normalizado de ecuaciones 8 y 9 se muestra en las siguientes
ecuaciones:
El
conjunto de ecuaciones diferenciales 10 y 11 puede expresarse como:
Dado
que:
Con
la notación 
∈ 
, se observa que si 
y 
el sistema tiene dos puntos de equilibrio, uno inestable en 
y otro estable en 
.
Declaración del problema: El propósito del
control es estabilizar asintóticamente el robot alrededor del punto de
equilibrio inestable , aplicando el método de Liapunov, considerando inicialmente que la
estructura del robot se encuentra por encima del plano horizontal 
con 
. En resumen, el objetivo es llevar el robot a la posición de
equilibrio o posición superior y la posición angular de la rueda a cero, de
forma paralela.
Diseño del controlador: La idea es proponer
una función localmente definida positiva o función de Liapunov V, de tal manera
que su derivada sea al menos semi definida negativa para un dominio de
atracción. Finalmente, la estabilidad asintótica del sistema en bucle cerrado
se logra aplicando el teorema de LaSalle.
Función candidata de Liapunov: Tomando como
referencia el trabajo realizado en [14], se construye una función localmente
definida positiva V.
Y
las constantes estrictamente positivas 
bajo el supuesto de que la desviación inicial del ángulo θ está en el
semiplano superior. Entonces, el origen del sistema en lazo cerrado es
localmente asintóticamente estable.
CONTROLADOR
BASADO EN REDES NEURONALES ARTIFICIALES, MODELO INVERSO.
Es
posible modelar el sistema indicado e identificar el rendimiento del sistema
dinámico complejo mediante el uso de redes neuronales. La tecnología de redes
neuronales incluye la construcción de arquitecturas de red y su entrenamiento.
La
red de perceptrón multicapa (MLP) es la más ampliamente utilizada por los
miembros de la familia de redes neuronales debido a su capacidad para modelar
relaciones funcionales simples y muy complejas. Siguiendo la referencia [15], se
utiliza una red MPL completamente conectada de dos capas con p entradas, m salidas
y neuronas ocultas. Para aquellas redes MLP que tienen solo una capa oculta,
solo se utilizan funciones de activación sigmoideas en la capa oculta y una
función de activación lineal en la salida 
, que puede expresarse como una función de pesos y entradas.
|
|
|
(16)
|
Las
ponderaciones 
especificadas por el vector θ son parámetros ajustados a la red y se
determinan a partir de un conjunto de datos mediante el proceso llamado
entrenamiento. Los datos de entrenamiento son un conjunto de entradas 
y las salidas deseadas correspondientes 
. La función tangente hiperbólica se selecciona como la función de
activación sigmoidea f en la capa oculta.
Los
datos de entrenamiento se especifican mediante N puntos, como sigue:
|
|
|
(17)
|
Luego,
el objetivo del entrenamiento es determinar las asignaciones de un conjunto de
datos 
, los posibles pesos
.
|
|
|
(18)
|
Así,
la red neuronal puede predecir 
,cercano a los resultados de la salida real 
|
|
|
 (19)
|
Donde
D es la matriz de regulación. Para una descomposición de peso simple, D es una
matriz diagonal seleccionada como 
, donde "I" es una matriz unidad y ε es un número pequeño que
representa la descomposición de peso. Este criterio también se denomina
criterio regularizado. Si D = 0, entonces se denomina criterio no regularizado.
El vector de pesos se encuentra entonces como:
|
|
|
(13)
|
Mediante
un esquema iterativo de minimización:
|
|
|
(14)
|
donde
denota la i-ésima iteración, 
es una dirección de búsqueda basada en información sobre 
adquirida en iteraciones anteriores, y 
es el tamaño del paso determinado para una disminución adecuada del
valor de obtenido.
CONTROLADOR ANN.
Para
el desarrollo del controlador, se utiliza la técnica del modelo inverso. De
acuerdo con el desarrollo en la referencia [16], el modelado del sistema se
diseña primero utilizando redes neuronales artificiales (ANN) de la siguiente
manera.
Consideremos
un sistema con:
|
|
|
(15)
|
|
|
|
(16)
|
Como
se muestra en la Figura 2:
Figura 2. Diagrama
de bloques para la modelización del sistema.
El objetivo es diseñar un perceptrón multicapa capaz de modelar la
función 
para ello:
1. Obtener las secuencias de entrada y salida del proceso.
|
|
|
(17)
|
2. Formar un conjunto de patrones de entrenamiento con vectores de entrada
y objetivos.
|
|
 
|
(18)
|
3. Crear la red con la estructura deseada (número de capas, etc.).
4. Entrenar la red utilizando la regla delta.
La
estructura del diseño para la adquisición de datos se muestra en la Figura 3.
Figura 3. Diagrama de bloques para el modelado
de la red neuronal artificial (ANN).
Una
vez que se ha realizado el modelado, se establece la estructura del sistema de
control para un proceso con una red neuronal artificial, como se muestra en la
figura:
Figura 4. Diagrama de bloques del sistema de control con red neuronal
artificial (RNA).
Luego,
el objetivo es lograr 
, para ello, la entrada a la red se reemplaza por la referencia (salida
deseada) 
, de esta manera la red proporciona la señal de control necesaria 
, se recomienda filtrar la señal de control v para evitar oscilaciones.
RESULTADOS
Y ANÁLISIS
El
control PID, el control de Liapunov y el control de redes neuronales
artificiales son tres técnicas de control diferentes que se pueden utilizar
para controlar sistemas dinámicos en presencia de perturbaciones. Cada una de
estas técnicas tiene sus propias ventajas y desventajas en cuanto a su
capacidad para manejar perturbaciones.
Para
el análisis del control de Liapunov, se implementa la ecuación 15 dentro de
Simulink - Simscape. El controlador toma como entrada las variables de posición
de equilibrio del robot en radianes y el desplazamiento del robot a lo largo
del eje x en metros, que se obtienen gracias a bloques de articulación revoluta
y articulación prismática. El controlador basado en Liapunov contiene tres
constantes estrictamente positivas kp, ki y kl, que regulan la señal de control
aplicada. Para el control de la ANN, la red entrenada se implementa utilizando
el mismo entorno. Los parámetros ideales para el error cuadrático medio (MSE)
son 0% y para el coeficiente de determinación (R) es 1. En este caso, el
entrenamiento de la red neuronal resultó en valores de MSE que oscilan entre
0.0249 y 0.0314, y valores de R que oscilan entre 0.9879 y 0.9909, por lo que
se considera que la red neuronal entrenada es óptima. Al aplicar una señal
variable como perturbación al sistema, se puede observar el comportamiento de
respuesta a las diferentes propuestas de control en las siguientes figuras.
Figura 5 Respuesta ante perturbación
con control PID.
![Tiempo [Seg.]](230-Simulación%20y%20comparación%20de%20controladores%20PID,_archivos/image075.gif)
En
general, se puede observar que el control PID no responde rápidamente a las
perturbaciones, como se muestra en la Figura 5, donde la respuesta oscila en
presencia de perturbaciones en un período dado. En contraste, el control de Liapunov
responde mejor, intentando recuperar su punto de equilibrio. Entre los tres, el
control de la ANN demuestra el mejor rendimiento en el rechazo de
perturbaciones.
El
control PID es una técnica de control bien establecida y se puede utilizar para
controlar una amplia variedad de sistemas, incluidos aquellos que experimentan
perturbaciones. El control PID utiliza tres componentes (proporcional, integral
y derivativo) para generar una señal de control que compensa las
perturbaciones. Sin embargo, el control PID puede no ser tan efectivo para
manejar perturbaciones muy grandes o rápidas, ya que la respuesta del
controlador puede no ser lo suficientemente rápida o precisa para compensar
estas perturbaciones, como se observa en la figura 5.
El
control de Liapunov es una técnica de control basada en la teoría matemática de
estabilidad y utiliza una función de Liapunov para garantizar la estabilidad
del sistema. El control de Liapunov puede proporcionar una estabilidad global
garantizada para el sistema, lo que significa que el sistema permanecerá en el
punto de equilibrio deseado independientemente de las condiciones iniciales.
Sin embargo, el control de Liapunov puede no ser tan efectivo para manejar
perturbaciones muy grandes o rápidas, ya que la respuesta del controlador puede
ser lenta en algunos casos, como se observa en la Figura 6.
Figura 6 Respuesta del sistema a diferentes
perturbaciones - Control de Liapunov.
![Tiempo [Seg.]](230-Simulación%20y%20comparación%20de%20controladores%20PID,_archivos/image076.gif)
El
control de redes neuronales artificiales se basa en el aprendizaje automático y
utiliza una red neuronal para modelar el comportamiento del sistema y generar
una señal de control adecuada. Este tipo de control puede ser muy eficaz para
manejar perturbaciones en los sistemas, ya que la red neuronal puede "aprender"
el comportamiento del sistema a partir de los datos y generar una señal de
control precisa, como se muestra en la Figura 7. A un costado de la figura se
puede observar la dinámica medida del sistema, se observa ligeros cambios en el
comportamiento de la posición angular del eje del balancín, entre 1x10-8
y 1x10-9 grados.
Figura 7 Rechazo de perturbaciones usando redes
neuronales artificiales (ANN).
CONCLUSIONES
El
control PID (proporcional-integral-derivativo) y el control de Liapunov son dos
técnicas de control diferentes utilizadas para estabilizar sistemas dinámicos
en un punto de equilibrio deseado. El control con redes neuronales artificiales
es otra técnica de control que también se puede utilizar con este propósito.
Algunas de las principales diferencias entre estas tres técnicas observadas en
este trabajo son las siguientes:
En
cuanto a su enfoque, el control PID se basa en el control proporcional, integral
y derivativo, mientras que el control de Liapunov se basa en la teoría matemática
de estabilidad y utiliza una función de Liapunov para garantizar la estabilidad
del sistema. Por otro lado, el control con redes neuronales artificiales se
basa en el aprendizaje automático y utiliza una red neuronal para modelar el
comportamiento del sistema y generar una señal de control adecuada.
En
general, el control PID es adecuado para una amplia variedad de sistemas, pero
puede no ser tan adecuado para sistemas complejos o no lineales como el
discutido en este artículo. El control de Liapunov puede aplicarse a una amplia
variedad de sistemas, pero se requiere un profundo conocimiento del sistema
para determinar una función de Liapunov adecuada. Por último, el control con
redes neuronales artificiales puede ser más adecuado para sistemas complejos o
no lineales, ya que la red neuronal puede "aprender" el
comportamiento del sistema a partir de datos.
En
términos de precisión en el rechazo de perturbaciones, el control PID puede
proporcionar estabilidad y precisión adecuadas en muchos casos, pero no en
sistemas no lineales como este. Puede no ser tan preciso como el control de Liapunov
o el control con redes neuronales artificiales. El control de Liapunov puede
proporcionar una estabilidad global garantizada, pero puede no ser tan preciso
como el control con redes neuronales artificiales. El control con redes
neuronales artificiales puede ser más preciso, ya que la red neuronal puede
modelar el sistema con un mayor grado de detalle, pero puede ser menos robusto
y no proporcionar una estabilidad global garantizada.
Este
trabajo se realizó gracias a la modelización computacional utilizando
herramientas como Simulink y Simscape. Algunas de las ventajas observadas
durante el desarrollo incluyeron:
Visualización
y comprensión: Estas herramientas proporcionaron una representación gráfica y
visual del sistema, lo que facilitó la comprensión de su comportamiento e
identificación de las interacciones entre sus componentes.
Simulación
y análisis: Simulink y Simscape permitieron la simulación del sistema no lineal
en varios escenarios y condiciones. Esto posibilitó el análisis del
comportamiento del sistema y una evaluación efectiva y acelerada de diferentes
estrategias de control.
Además,
estas herramientas ayudaron en el diseño y optimización de los controladores
utilizados, como en el caso del control PID, donde se utilizó un bloque prediseñado
de MATLAB. Para los otros dos controladores, se empleó la programación gráfica
utilizando bloques de Simulink, lo que redistribuyó la carga de trabajo y
preparó el sistema para el desarrollo de nuevas estrategias de control o
generación automática de código para su implementación en sistemas embebidos o
hardware en tiempo real.
En
resumen, la modelización computacional facilitó la comprensión, análisis,
diseño y optimización de los controladores desarrollados para este sistema,
permitiendo obtener resultados adecuados y evaluar el sistema en respuesta a
los controladores propuestos. Finalmente, en cuanto a la complejidad de
implementar estos controladores, el control PID es relativamente fácil de
implementar y requiere poco procesamiento computacional, mientras que el
control de Liapunov puede ser algo más complejo y requerir más procesamiento en
tiempo real. El control con redes neuronales artificiales puede ser más complejo
y requerir más procesamiento computacional que los dos anteriores en sus dos
primeras etapas.
REFERENCIAS
U. Nagarajan, B. Kim, y R.
Hollis, «Planning in high-dimensional shape space for a single-wheeled
balancing mobile robot with arms», in 2012 IEEE International Conference on
Robotics and Automation, St Paul, MN, USA, may 2012, pp. 130-135. doi:
10.1109/ICRA.2012.6225065.
A. Kumar y R. Sharma, «Liapunov
theory based intelligent fuzzy controller for Inverted Pendulum», in 2016
IEEE 1st International Conference on Power Electronics, Intelligent Control and
Energy Systems (ICPEICES), Delhi, India, jul. 2016, pp. 1-5. doi:
10.1109/ICPEICES.2016.7853377.
1-0-1-k-j-astrom-pid-controllers-theory-design-and-tuning-2ed.pdf».
Accedido: 30
de October de 2022. [online]. Disponible in: https://aiecp.files.wordpress.com/2012/07/1-0-1-k-j-astrom-pid-controllers-theory-design-and-tuning-2ed.pdf
G. P. Liu y S. Daley, «Optimal-tuning
PID control for industrial systems», Control Eng. Pract., p. 10, 2001.
O. Lequin, M. Gevers, M. Mossberg, E.
Bosmans, y L. Triest, «Iterative feedback tuning of PID parameters: comparison
with classical tuning rules», Control Eng. Pract., vol. 11, n.o
9, pp. 1023-1033, sep. 2003, doi: 10.1016/S0967-0661(02)00303-9.
C. Aguilar-Ibanez, «A constructive Liapunov
function for controlling the inverted pendulum», in 2008 American Control
Conference, Seattle, WA, jun. 2008, pp. 5145-5149. doi:
10.1109/ACC.2008.4587311.
Applications ANN Robotics ».
J. F. Gómez y J. J. S. Martín,
«DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE UN ROBOT AUTOBALANCEADO», p. 115.
Ar. Mahgoub, M. M. Elnaggar, y A. L.
Elshafei, «Ad-hoc Modeling and Simulation Mechanism of a Self-balancing Robot
for Testing L1 Adaptive Control», in IECON 2020 The 46th Annual Conference
of the IEEE Industrial Electronics Society, Singapore, Singapore, oct.
2020, pp. 82-87. doi: 10.1109/IECON43393.2020.9255152.
two wheeled self-balancing robots».
https://la.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/88768-two-wheeled-self-balancing-robot
(acceded 6 January, 2023).
How PID Autotuning Works - MATLAB
& Simulink - MathWorks América Latina».
https://la.mathworks.com/help/slcontrol/ug/how-pid-autotuning-works.html?searchHighlight=Autotuner%20&s_tid=srchtitle_Autotuner%20_1
(acceded 30, November. 2022).
J. W. Grizzle, C. H. Moog, y C. Chevallereau,
«Nonlinear control of mechanical systems with an unactuated cyclic variable», IEEE
Trans. Autom. Control, vol. 50, n.o 5, pp. 559-576, may 2005,
doi: 10.1109/TAC.2005.847057.
M. W. Spong y L. Praly, «Control of
underactuated mechanical systems using switching and saturation», in Control
Using Logic-Based Switching, vol. 222, A. Stephen Morse, Ed. London:
Springer-Verlag, 1997, pp. 162-172. doi: 10.1007/BFb0036093.
C. A. Ibañez, O. G. Frias, y M. S.
Castañón, «Liapunov-Based Controller for the Inverted Pendulum Cart System», Nonlinear
Dyn., vol. 40, n.o 4, pp. 367-374, jun. 2005, doi:
10.1007/s11071-005-7290-y.
Xia - 2003 - An inverse model of MR
damper using optimal neural.pdf».
Class Notes “Introducción a las
Técnicas de Inteligencia Artificial”. Grupo de Ingeniería de Control de la
Universidad de Cantabria.pdf».
Simulación y comparación de controladores
PID, Liapunov y redes neuronales artificiales: Abordando el rechazo de perturbaciones
en sistemas no lineales a través de modelado computacional
