Variedades Inerciales para una Ecuación Diferencial Parcial en Espacios de Sobolev con Peso

Pedro Gustavo Reyes Carrera[1]

Universidad nacional de Trujillo

Perú

RESUMEN

En el presente trabajo, se demuestra la existencia de una variedad inercial para una ecuación diferencial parcial en espacio de Sobolev con peso. Se usó la metodología del análisis funcional en espacio de Hilbert con operadores autoadjuntos no acotados; analizándose la ecuación diferencial parcial (1), siendo A un operador positivo no acotado autoadjunto y disipativo en un espacio de Sobolev con peso en H, F es el término no lineal con la propiedad de Lipschitz local en el dominio de . Al realizar el análisis de la ecuación (1) se obtuvieron los resultados siguientes:

i) Para barrera espectral de la ecuación (1) tal que es de dimensión finita se concluye que es una variedad Lipschitziana de dimensión finita satisfaciendo las siguientes propiedades:

a) es invariante para el semigrupo .

b) atrae exponencialmente todas las órbitas de la ecuación de evolución (1).

ii) Si , se tiene una variedad inercial para la ecuación de evolución no lineal .

Finalmente se concluye que: Sea una barrera espectral para (1) tal que es de dimensión finita y Entonces, la función es una variedad inercial para (1).

Palabras clave: espacios sobolev; variedades inerciales; barreras espectrales

Inertial Manifolds for A Partial Differential Equation in Sobolev Space with Weight

ABSTRACT

In the present work, the existence of an inertial manifold is demonstrated for a partial differential equation in Sobolev space with weight. The methodology of functional analysis in Hilbert space with unbounded self-adjoint operators was used; analyzing the partial differential equation (1). where A is a self-adjoint and dissipative unbounded positive operator on a Sobolev space with weight on H, F is the nonlinear term with the local Lipschitz property in the domain of . When performing the analysis of equation (1) the following results were obtained:

i)                          For λ spectral barrier of equation (1) such that  ,for some  and    is of finite dimension it follows that  is a manifold Finite-dimensional Lipschitzian satisfying the following properties:

a) is invariant for the semigroup .

exponentially attracts all the orbits of the evolution equation (1).

ii) If , we have an inertial manifold for the nonlinear evolution equation .

Finally it is concluded that: Let  be a spectral barrier for (1) such that  is of finite dimension and  Then, the function Gr(Q) is an inertial manifold for (1).

Keywords: sobolev spaces; inertial varieties; barrier spectral varieties

Artículo recibido 15 setiembre 2023

Aceptado para publicación: 28 octubre 2023

INTRODUCCIÓN

La teoría de variedades inerciales se relaciona estrechamente entre las ecuaciones de evolución en ecuaciones diferenciales parciales y los sistemas dinámicos de menor dimensión, tal como se aprecia en los trabajos de Brown,H.S.,M.S.Jolly,I.G.Kevrekidis and E.S. Titi(1990) ; Sell, G.R. (1989) y Constantin, P. Foias,C. Nicolaenko, B. and Témam, R. (1988), en la que se usa fuertemente la teoría de semigrupos como se desarrollan en los trabajos de Pazy,A.(1983), Pruss,J.(1984) y Stuart,A. (1995). Aproximaciones de las variedades inerciales también han sido considerados en el trabajo de Foias, C. ,R. Teman and E.S. Titi(1989) y sus distintas formas de construcción. Por otro lado las barreras espectrales usado para construir variedades inerciales fueron realizado en los trabajos de Yuncheng, Y., G.R. (2004). En el presente trabajo de tesis se demostrará la existencia de una variedad inercial usando barrera espectral en los espacios de Sobolev con peso. Desarrollamos algos preliminares que serán usados en la demostración del teorema resultante, se definen las variedades inerciales y algunas otras propiedades. Por otro lado en la discusión se demuestra el resultado principal de la existencia de una variedad inercial para una ecuación de evolución disipativa no lineal.

METODOLOGÍA

Se usó el método del análisis funcional más precisamente la teoría del espacio de Hilbert en el que involucran los operadores autoadjuntos no acotados. Por otro lado se tiene en cuenta el espectro de dicho operador así como también el generador infinitesimal de semigrupo el cual dará la solución. Se analiza la ecuación diferencial parcial siendo A un operador positivo no acotado autoadjunto y disipativo en un espacio de Sobolev con peso en H, F es el término no lineal con la propiedad de Lipschitz local en el dominio de , se demostrará la existencia de una variedad inercial para la ecuación diferencial dada.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Se tiene como resultado el siguiente teorema

Teorema.

Sea una barrera espectral para (1) tal que es de dimensión finita y Entonces, la función definido por (5) es una variedad inercial para (1).

Esto es:

1. Para barrera espectral de la ecuación

tal que es de dimensión finita

se concluye que es una variedad Lipschitziana

de dimensión finita satisfaciendo las siguientes propiedades:

a) es invariante para el semigrupo

b) atrae exponencialmente todas las órbitas de la ecuación de evolución (*).

2. Si , entonces se concluye según el teorema 12, que existe una variedad inercial para la ecuación de evolución no lineal

DESARROLLO

1.1. Espacios de Hilbert

Definición 1.- Sea H un espacio vectorial sobre el campo de los reales provisto de un producto interno (.,.). H es un espacio de Hilbert si la norma inducida por el producto interno es un espacio normado completo. Es decir para toda sucesión de Cauchy en H converge en la norma para un elemento de H.

1.2. Espacios

Definición 2.- Se define el espacio como las funciones medibles

tal que es integrable, es decir:

En particular en provisto de la norma

es un espacio de Hilbert.

1.3. Espacios

Definición 3.- El espacio consiste de las funciones medibles esencialmente acotadas con la norma

1.4. Distribuciones

Definición 4.- Se dice que el funcional es una distribución si satisface las siguientes condiciones:

i) T es lineal en

ii) T es continuo en

Donde es el espacio de las funciones infinitamente diferenciables y que tienen su soporte compacto en .

Al conjunto de las distribuciones se le denota por

Ejemplo 1: Dada la función impulso unitario en el punto , definido por

como:

Evidentemente es una distribución sobre , es decir satisface las condiciones (i) y (ii) de la Definición 4.

Definición 5.- Se dice que la distribución tiene una derivada distribucional si

Lema 1 (Lema de Dubois Raymond)

La aplicación es inyectiva . Es decir

Ejemplo 2: Dada la función escalón unitario

Su derivada distribucional es la distribución delta de Dirac en el punto , es decir

En efecto, para se tiene

Por lo tanto del Lema de Dubois Raymond se deduce que

1.5. Espacios de Sobolev y

Definición 6.- Se define el espacio de Sobolev de orden uno y se representa por como el espacio de las funciones tales que todas las derivadas distribucionales pertenecen a con el producto interno:

, donde denota el producto interno en , es un espacio de Hilbert.

Definición 7.- Se define el espacio como la clausura de en con la norma equivalente

Teorema 1. (Desigualdad de Poincaré)

Supongamos que es un subconjunto abierto de .

a) Si es acotado, entonces, para todo ,existe una constante , tal que

, .

b) Si es conexo de frontera de clase , entonces para todo existe una constante , tal que

, ,

donde es la media de sobre , o sea,

1.6 Espacio de Sobolev con peso

Definición 8.- El espacio de Sobolev con peso se define como el siguiente conjunto:

con el producto interno donde es el producto interno en .

1.7 Semigrupos

En esta parte, todos los espacios vectoriales están definidos sobre un cuerpo

Definición 9

Sea un espacio de Banach. Una familia de operadores lineales y acotados

es llamado un semigrupo de operadores lineales acotados en o simplemente semigrupo en, si

i) , donde es el operador identidad de .

ii) , .

Definición 10

Sea un espacio de Banach y un semigrupo en. El operador lineal definido por

ii) , .

es llamado el generador infinitesimal del semigrupo .

Observación 1

i) es el dominio del operador .

ii) , es un semigrupo en con generador infinitesimal , donde

Definición 11

Sean un espacio de Banach y un semigrupo en . es llamado uniformemente continuo, sí .

Teorema 2

Sean un espacio de Banach y un semigrupo en.

es uniformemente continuo, si y solo si, , , para algún .

Definición 12

Sean un espacio de Banach y un semigrupo en .

i) es llamado de clase o - semigrupo, si , .

ii) es llamado fuertemente continuo, si , .

Proposición 1

Sean un espacio de Banach y un semigrupo en .

i) es un - semigrupo, si y solo si, es fuertemente continuo.

ii) Si es uniformemente continuo, entonces es un - semigrupo.

Definición 13.- son uniformemente compacto para suficientemente grande.

Si para todo conjunto existe tal que

es relativamente compacto en .

Además para todo conjunto acotado y donde son uniformemente compacto y un operador contínuo del espacio de Banach .Se verifica:

Definición 14

Sean un espacio de Banach y un - semigrupo. es llamado

uniformemente acotado, si existe una constante tal que , .

Sí , es llamado un - semigrupo de contracciones.

Corolario 1

Sean un espacio de Banach y un - semigrupo con generador

infinitesimal . Entonces es denso en y es un operador lineal cerrado.

Definición 15

Sean un espacio de Banach y un - semigrupo con generador

infinitesimal . Se denotan por y . Supongamos que este bien

definido, entonces se define como

, .

Definición 16

Sean un espacio de Banach, su dual y un operador

lineal. Se denota el valor de en , por .

Para cada , se define el conjunto dualidad , como

es llamado disipativo, si para cada , se tiene ,

Observación 2

Si es un espacio de Hilbert, entonces por el teorema de representación de

Riesz, se obtiene: es disipativo, si y solo si, , .

Teorema 3

Sean un espacio de Hilbert y un - semigrupo con generador

infinitesimal .

es un - semigrupo de contracciones, si y solo si, es disipativo.

Teorema 4

Sean un espacio de Hilbert y un operador lineal disipativo.

Si para algún , entonces , .

Si , entonces .

Teorema 5 (Lumer – Phillips)

Sean un espacio de Hilbert y un operador lineal con definido.

i) Si es disipativo y existe un tal que , entonces es generador infinitesimal de un - semigrupo de contracciones.

ii) Si es generador infinitesimal de un - semigrupo de contracciones, entonces es disipativo y , .

Colorario 2 (Corolario de Liu)

Sean un espacio de Hilbert y un operador lineal disipativo con dominio denso en . Si , entonces es generador infinitesimal de un semigrupo de contracciones de clase .

Teorema 6

Si es un generador infinitesimal de un semigrupo de clase sobre , y . Entonces el problema de Cauchy abstracto o también llamado problema de valor inicial (PVI)

tiene una única solución fuerte o clásica tal que,

Definición 17

Sean un espacio de Banach y un - semigrupo con generador infinitesimal . Decimos que es exponencialmente estable, si existen

constantes y tal que , .

Teorema 7 (Gearhart)

Seaun - semigrupo de contracciones sobre un espacio de Hilbert , generado por . El semigrupo es exponencialmente estable, si y solo

a) y

b) .

Teorema 8 (Pruss – Huang – Renardy)

Sea un - semigrupo sobre un espacio de Hilbert ,generado por .

El semigrupo es exponencialmente estable, si y solo si,

a) y

b) Existe tal que , .

2. Variedades inerciales

2.1 Conjunto invariante y –límite

Definición 18.-Un conjunto E es invariante para el semigrupo S(t) si

y es positivamente invariante si .

Definición 19.- Un conjunto w-límite de un punto está definido por

Una definición equivalente

Análogamente se define un conjunto w-límite de un conjunto como:

Equivalentemente

Teorema 9.- Se verifica las siguientes afirmaciones:

1. Sea un conjunto acotado, es un conjunto positivamente invariante y cerrado.

2. Si tal que es acotado para , es invariante.

3. Si es acotado para algún , entonces él es conexo

Teorema 10.-. Sea una función continua. Son equivalentes:

1. f es cerrada y ({y}) es compacto para todo y ∈ Y .

2. f es cerrada y (K) es compacto para todo K ⊆ Y compacto.

3. Para todo Z espacio topológico, idZ × f : Z × X → Z × Y es cerrada.

4. f es propia.

2.2. Atractores globales y conjuntos obsorventes

Sea un espacio de Hilbert.

Definición 20.- Un atractor es un conjunto que satisface las siguientes condiciones:

a) es un conjunto invariante ( .

b) posee una vecindad abierta tal que para todo , converge para , cuando :

Es decir atrae los puntos de . Por otro lado si

Se dice que atrae uniformemente un conjunto

Definición 21.- es un atractor global para el semigrupo . Si es un atractor compacto que atrae los conjuntos acotados de .

Definición 22.- Sea y un conjunto abierto conteniendo .

es un conjunto absorvente en si la órbita de cualquier conjunto acotado de entra en después de un cierto tiempo, es decir:

Sea M una variedad topológica equipado con una atlas compatible cuyas aplicaciones de transición son todas Lipschitz(Atlas Lipschiziano).

Definición 23.- Una variedad Lipschitziana M es aquella que su atlas se puede extender a un único atlas maximal Lipschitziano compatible.

Considere un sistema dinámico sobre un espacio de Hilbert :

con la cual asociamos el semigrupo , donde es la aplicación:

Donde es la solución de (1).

2.3. variedad Inercial

Definición 24.- Una variedad Inercial del sistema (1) es una variedad Lipschitziana de dimensión finita satisfaciendo las siguientes propiedades:

a) es invariante positivamente para el semigrupo

b) atrae exponencialmente todas las órbitas de (1).

Considere ahora la ecuación diferencial parcial:

(2)

Donde es un operador positivo no acotado autoadjunto y disipativo en un espacio de Hilbert , es el término no lineal con la propiedad de Lipschitz local en el dominio .

Considere un funcional semicontínuo inferior y sea un subconjunto de podemos suponer que C está contenido en:

Caso contrario se hace

Definición 25.- La clase de los operadores semilineales se define como la suma de un operador lineal en y un operador no lineal de en satisfaciendo las siguientes condiciones:

1) es generador infinitesimal de un semigrupo de clase sobre tal que y para algún

2) Para cada el conjunto de nivel en es cerrado y es contínuo en .

3) Para cada existe tal que es disipativo en , en el sentido de que

Sea un operador semilineal de la clase y considere las siguientes dos condiciones de subtangencial:

H1) Para cada existe una sucesión nula de números positivos y una sucesión en tal que

ii)

H2) Para cada existe una sucesión nula de números positivos y una sucesión en tal que

ii)

iii)

2.4. Barrera espectral

Definición 26 (BARRERAS ESPECTRALES). Un número , 0<< es llamado una Barrera espectral para (2) si para todo en D(A) satisface

(3)

Observación 3

De la definición se tiene que

Proposición 1. Asumamos que es una barrera espectral para (2) y sea , dos soluciones de (2). Entonces se satisfacen las siguientes implicancias:

a) Si entonces

para todo .

b) Si para algún y si , entonces

para todo ,

Sea el operador proyección espectral de en el intervalo Suponga que existe una barrera espectral para tal que

(1)

(2) .

(3) es el mayor valor propio de en .

Considere la variedad , definida por:

Evidentemente es continua para todo , siendo , vemos que

Proposición 2. Si . Entonces se tiene:

b) La aplicación definida por , es continua con rango en

c) Sea . Entonces

d) Si entonces

donde

3. Existencia de Variedades inerciales

Analizaremos la ecuación diferencial parcial:

(1)

Donde es un operador positivo no acotado autoadjunto y disipativo en un espacio de Sobolev con peso , es el término no lineal con la propiedad de Lipschitz local en el dominio , se demostrará la existencia de una variedad inercial para la ecuación (1). Como dado anteriormente el operador proyección espectral para en el intervalo Suponga que existe una barrera espectral para (1) tal que es de dimensión finita.

Sea el mayor autovalor de en .

Y considere la función

, (2)

Donde:

la cual es una función continua para en con rango en el dominio de A, ie, D(A)

Consecuentemente se define para y se verifica

(3)

Para todo , .

Lema 2

(4)

Para todo .

Demostración:

Aplicando la proposición 2 (a) , pasando al límite se consigue (4).

Lema 3

Existe tal que

, para algún

Demostración:

Siendo , y

Para se obtiene usando las técnicas multiplicativas:

Por lo tanto

para algún , con

Lo que se quería demostrar.

Por otro lado, siendo para , deducimos por (4) que el rango de esta incluido en .

Definimos como el gráfico de , esto es,

Es claro que es una variedad de dimensión . La desigualdad (4) puede ser escrito como

Para . A continuación se demuestra que es una variedad inercial para (1)

Teorema 11

Sea una barrera espectral para (1) tal que es de dimensión finita. Entonces, la función definido por (5) satisface las siguientes propiedades:

1) , para todo

2) Para todo , la distancia satisface la desigualdad

(7)

Para todo y alguna constante .

DISCUSIÓN

Dada la bola cerrada , suponga que para todo , entonces la ecuación (1) es lineal en el complemento de la bola .

Por lo tanto para todo conjunto acotado en , existe un tal que

Del Teorema 1, se tiene que

Luego, por definición de supremo existe , para

Haciendo , resulta

Esto es, la variedad atrae todas las trayectorias exponencialmente.

es una variedad Lipschitziana

En efecto, sean en . Haciendo

, resultando ,.

Luego,

es una barrera espectral para (1) , esto es

De donde,

Equivalentemente

consecuentemente

Así , es Lipschitziana.

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[1] Autor Principal

Correspondencia: Gustavoreyes8@gmail.com