Soluciones Polinómicas
Aproximadas de Ecuaciones Diferenciales Parciales no Lineales en dos Variables
Independientes en el Espacio de Sóbolev
Ms. Carlos Alfonso Marquina Alvarado[1]
0000-0003-1119-3680
Universidad Nacional del Santa
Perú
RESUMEN
En este
artículo, el motivo es el estudio de los espacios de Sóbolev y el objetivo
fundamental es demostrar la existencia y la unicidad de solución polinómica
aproximada de una lEcuación Diferencial Parcial no Lineal, , en una región abierta
de
, con frontera
, donde
es la función de estado y
la función fuente escalar. La metodología usada es de
tipo inductivo-deductivo tratando de ser lo más exhaustivo en cada
demostración. Los resultados más relevantes son: Demostración de existencia de
solución polinómica aproximada mediante el método de Faedo-Galerkin, y
demostración de unicidad de solución polinómica aproximada mediante el método
indirecto (reducción por el absurdo). Asimismo, se concluye que, para los datos
, existe solución polinómica aproximada para la
ecuación diferencial parcial no lineal y también, con las condiciones e
hipótesis enunciadas en el trabajo, se garantiza unicidad de la solución
polinómica aproximada.
Palabras clave: ecuación diferencial parcial no lineal; solución polinómica aproximada; espacios de sóbolev
Approximate Polynomial Solutions of Nonlinear Partial Differential Equations in Two Independent Variables in Sobolev Space
ABSTRACT
In this
article, the reason is the study of Sobolev spaces and the fundamental aim is
to demonstrate the existence and the uniquely of an approximate polynomial
solution for the Nonlinear Partial Differential Equation, , in an open region
of , with boundary,
where is the state function and the
scalar source function. The methodology used is
inductive-deductive trying to be the most exhaustive in each demonstration. The
most relevant results are: Demonstration of the existence of an approximate
polynomial solution by the Faedo-Galerkin method, and demonstration of the
uniqueness of an approximate polynomial solution by the energy method.
Likewise, it is concluded that, on the one hand, for the data
, an approximate polynomial solution is obtained for
the nonlinear partial differential equation. In addition, with the conditions
and hypotheses mentioned in the work, uniqueness of the approximate polynomial
solution is obtained.
Keywords: nonlinear partial differential; approximate polynomial solution; sobolev spaces
Artículo recibido 16 setiembre 2023
Aceptado para publicación: 29 octubre 2023
INTRODUCCIÓN
La influencia de las ecuaciones diferenciales parciales (EDP), radica en su capacidad de modelar fenómenos físicos, químicos, biológicos, de la ingeniería, de la economía, etc. Así, por ejemplo, la ecuación de calor modela una gran variedad de fenómenos. Modela no solo el fenómeno físico de transmisión de calor por conducción, sino también el fenómeno químico de difusión de un contaminante que reacciona con un medio liquido en movimiento en el cual se halla inmerso. Además, la ecuación de calor sirve también para modelar el fenómeno biológico, del movimiento browniano, que es el movimiento aleatorio que se observa en las partículas que se hallan en un medio fluido, como resultado de choques contra las moléculas de dicho fluido. Mas aun, las ecuaciones diferenciales parciales no solo son importantes por sus aplicaciones, sino que tienen importancia en sí mismas, y son objeto de extensa investigación científica ca, hoy por hoy, como lo refiere, López. Las Ecuaciones Diferenciales Parciales no Lineales (EDPNL) se encuentran en una posición central, porque ellas gobiernan una amplia variedad de fenómenos de movimiento, reacción, difusión, equilibrio, conservación entre otros más.
Las EDP de segundo que expone los
conocimientos que consideramos básicos para cualquier investigador de la
ciencia y la ingeniería, y puedan entenderlo con facilidad son las ecuaciones
clásicas: 1) Ecuación de calor: , 2) Ecuación de
Onda:
y 3) Ecuación de
Laplace con potencial:
. Estos tres
ejemplos, y con desarrollos de mayor sofisticación permitirán estudiar la
teoría moderna de las EDP de segundo orden lineales y no lineales
especialmente.
En este artículo se estudia el problema de transmisión estacionaria de calor, modelado por la siguiente ecuación:
(1.3)
, donde es una región
abierta acotadas y conexa de
y con frontera
. de
Ahora como esta es una ecuación diferencial parcial no lineal de segundo orden, entonces se abocaremos a estudiar la existencia y la unicidad de soluciones polinómicas aproximadas.
Las dificultades que se presentaban en la
solución de algunas ecuaciones diferenciales parciales, impulso una teoría que
permitiría la búsqueda de soluciones que no tuvieran que satisfacer la
regularidad de la ecuación planteada: las distribuciones se
desarrollaron en paralelo a la búsqueda de soluciones generalizadas o débiles.
Sobolev utilizo las soluciones generalizadas para la solución de ecuaciones
hiperbólicas y elípticas. Mas aun Sobolev definió la solución generalizada de
la ecuación de onda, como una función para la cual
existe una solución
de soluciones
ordinarias y que convergen en
a
. Posteriormente
las funciones generalizadas tomarían el nombre de distribuciones, nombre que
les dio el matemático francés Schwartz. Schwartz inicialmente concibió las
distribuciones como operadores, pero gracias a los precedentes que había
establecido en la teoría de la dualidad de los espacios de Banach, la de los
espacios de Fréchet , y a los beneficios de trabajar con los espacios duales,
Schwartz definió las distribuciones como un funcional lineal continuo sobre un
espacio de funciones ( llamadas funciones de prueba)
Los espacios de Sóbolev, son espacios de funciones reales o complejas de varias variables, integrables en el sentido de Lebesgue y diferenciables en el sentido de las distribuciones, esto, es débilmente diferenciables. Estos espacios proporcionan un recurso extraordinario para el planteamiento y la búsqueda de soluciones de problemas de frontera. Esto es así porque estos espacios son completos y porque permiten obtener resultados generales respecto a la existencia y unicidad de soluciones de EDP, sean lineales y no lineales, según refiere Suarez.
Finalmente, la hipótesis del trabajo de
investigación, es: ¿Existe una única solución polinómica aproximada de la
ecuación: ?
Y los objetivos fueron
1) Demostrar la existencia de solución polinómica aproximada de (1.1) – (1.2)
2) Demostrar la unicidad de solución polinómica aproximada de (1.1) – (1.3)
METODOLOGÍA
Para obtener los resultados de existencia
y unicidad de soluciones polinómicas aproximadas, se aplicó el método de
Faedo-Galerkin, que consiste en proyectar el problema a un espacio de
aproximación de dimensión finita. En el espacio de dimensión finita, se escoge una
solución aproximada
sobre cualquier
subregión
, resolver
el problema de existencia y unicidad en el espacio proyectado y luego mediante
estimativas a priori se extiende la solución
sobre la región
total Ω.
Para describir completamente uno u otro
proceso es insuficiente solo la ecuación diferencial del proceso, hace falta
plantear el estado inicial de este proceso (condiciones iniciales) y el régimen
en la frontera Ω de aquella
región Ω
, en la cual tiene
lugar el proceso (condiciones de frontera) Esto se debe a la no unicidad de la
solución polinómica aproximada.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Para
existencia de soluciones polinómicas aproximadas de la ecuación no lineal,
las funciones ,
y
deben ser tales que satisfagan las siguientes
hipótesis.
, donde
es una sub-álgebra de polinomios, y tales que
satisfacen a la ecuación.
Prueba de existencia de solución polinómica aproximada
Para facilitar la demostración, la ecuación no lineal dada se escribe en forma simplificada:
Supongamos que tal que,
y
, y además
considerando una función,
de tal manera
que (1) se puede escribir en la forma:
Es decir, se debe resolver el problema de Dirichlet homogéneo de la forma:
Para por último hacer la sustitución:
En este sentido planteamos el problema aproximado sobre un espacio finito dimensional sobre el cual hallaremos su solución aproximada para luego extender vía la densidad de los espacios vectoriales
Sea, el espacio finito
dimensional de
generado por
los
vectores de la
base hilbertiana.
Consideremos una base de
y con inyección
continua. Sin pérdida de generalidad, sea:
, de tal manera
que:
la
cual es una derivada distribucional.
Pero como y
es la combinación
lineal finita
En donde: y
Ahora como:
entonces: .
Por otro lado, como la función , entonces se
obtiene
de donde resulta
Puesto que es un espacio reflexivo, entonces existe una
sub-sucesión
de
tal que:
débilmente en
Tomando el
límite cuando el problema aproximado se reduce a
de donde implica que:
(3.4
Además, se tiene que:
Y tomando
nuevamente el límite cuando se obtiene
Por otro lado
Luego tomando
el límite cuando, se obtiene
Haciendo: y sustituyéndolo en (3.5) se obtiene:
Pasando al
límite cuando , se obtiene:
Por lo tanto, de (3.3) y (3.5) se concluye que:
Así de esta manera se ha demostrado que existe solución polinómica aproximada del problema no lineal estacionario:
Para la unicidad de soluciones polinómicas
aproximadas, se considera y
dos soluciones
polinómicas aproximadas, y se aplica el método indirecto (reducción por el
absurdo).
Unicidad de solución polinómica aproximada
Sean y
dos soluciones aproximadas no nulas y diferentes del
problema, y si el primer miembro de la ecuación, es un operador diferencial, denotado con
, entonces se cumple que:
(3.8)
O bien
en donde:
Sustituyendo (3.10) en
(3,9), obteniéndose
Como
Por otro lado,
=
, por ser un operador monótono
Por tanto, se
tiene que: .
Ahora,
construyamos un subespacio cerrado en el espacio
:
sea la sucesión:
es cerrado y convexo, además
, es un conjunto de soluciones de la ecuación (3.9).
Suponga que la
norma en es la función,
, convexa en forma estricta
sobre la
esfera unitaria de y que:
y como
satisface la ecuación (3.2), entonces:
, para una conveniente
.
Por tanto, el
subespacio se reduce a un conjunto unitario, es decir
, lo que significa que la solución polinómica
aproximada de la ecuación no lineal, es unica.
CONCLUSIONES
La existencia de solución polinómica aproximada para la ecuación diferencial parcial no lineal
en Ω
es posible
para , sobre los espacios de Sóbolev, es decir el operador
diferencial admite una base en el espacio
La unicidad de solución polinómica aproximada para la ecuación diferencial parcial no lineal
en Ω
La condición
de , es necesaria para que el conjunto de las soluciones
polinómicas aproximadas de
, sea cerrado y convexo. El conjunto
de las soluciones polinómicas aproximadas es cerrado
y la condición de norma estrictamente convexa, permitió demostrar que E se
reduce a un conjunto unitario, es decir, la solución polinómica aproximada es unica.
Estos resultados pueden ser aprovechados por otros especialistas cuyo trabajo esté relacionado con existencia y unicidad de soluciones aproximadas y en otros espacios funcionales apropiados.
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Editorial Cengage Learning-México