Ecuación de la Recta Bajo Distintas
Razones
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Erik López-García[1] eriklg@zacatepec.tecnm.mx https://orcid.org/0000-0003-2667-6474 Tecnológico Nacional de México IT de Zacatepec México
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Manuel Salgado Rodríguez manuel.sr@zacatepec.tecnm.mx https://orcid.org/0009-0002-1143-9281 Tecnológico Nacional de México IT de Zacatepec México
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Enrique de Jesús Moreno Carpintero enrique.mc@zacatepec.tecnm.mx https://orcid.org/0000-0002-5472-1503 Tecnológico Nacional de México IT de Zacatepec México
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Irma Magali Rojas Campos irma.rc@zacatepec.tecnm.mx https://orcid.org/0009-0009-1623-7620 Tecnológico Nacional de México IT de Zacatepec México
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Abel Flores Moreno abel.fm@zacatepec.tecnm.mx https://orcid.org/0009-0008-3833-167X Tecnológico Nacional de México IT de Zacatepec México
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José Rodolfo Sánchez Rivera https://orcid.org/0009-0006-7817-7334 Tecnológico Nacional de México IT de Zacatepec México
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RESUMEN
Palabras clave: ecuación de la recta; razones trigonométricas; geométria analitica
Equation of the Line Under Different Ratios
ABSTRACT
The common way in which we calculate the equation of a line is by the tangent ratio, since it is the easiest to calculate due to the fewest number of operations. However, in this article we see the behavior of the other reasons mathematics for obtaining a straight line. The result we get is the same in all reasons, and to say, we demonstrate that it doesn't matter the reason why we calculate the equation of a line, the simplified ecuation is the same. Simply put,the equation of a line is invariant with trigonometric ratios.
Keywords: equation of the line; trigonometric ratios; analytic geometry
Artículo recibido 15 noviembre 2023
Aceptado para publicación: 20 diciembre 2023
INTRODUCCIÓN
Desde que cursamos la educación preescolar y hasta llegar a la educación superior, desarrollamos conceptos y fundamentos acerca de las matemáticas, en donde empezamos a desarrollar cierta inteligencia e inclusive estrategias para resolver diversos problemas matemáticos, que a veces, lo hacemos hasta inconscientemente. Pero es cierto, que a medida que vamos cursando diversos grados, las matemáticas se nos vuelven tediosas, aburridas y en cierto punto incomprensibles. La trigonometría, así como varias ramas de las matemáticas juega un papel muy importante en el conocimiento del ser humano, el explicar y entender dicha rama, no siempre da los resultados deseados, sin embargo, hoy en día la investigación en este rubro es importante, ya que se desarrollan nuevas técnicas y/o estrategias para el mejor aprendizaje (Fernández et al., 2016; San Martín, 2013).
La trigonometría por su parte estudia las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo, de aquí, que las razones trigonométricas son las relaciones entre los lados de un triángulo y dependen de los ángulos de este. Las razones trigonométricas básicas son: seno, coseno y tangente, y su importancia es tal que se utilizan en múltiples casos de la ingeniería (Vázquez, 2020)
A través de la trigonometría podremos resolver diferentes problemas con el fin de facilitar su cálculo y exactitud en la vida diría, teniendo en cuenta que los análisis matemáticos nos ayudan a tener una mejor eficiencia en todos los trabajos que efectuemos.
A través de un triángulo rectángulo tenemos 6 diferentes tipos de razones trigonométricas (Marcela, 2021), dependiendo el lado que tomemos en cuenta (Benjamín, 2009). Véase la siguiente figura:
Figura 1. Triángulo rectángulo
Las seis razones trigonométricas que se conocen (Sanabria, 2004), (Paz, 2014) son:
Se puede
notar que las razones cosecante, secante y cotangente son los recíprocos de las
razones trigonométricas básicas ,
y
(Gómez, 2004), es decir, se tienen
las siguientes identidades trigonométricas (Alexy, 2016):
Por definición una línea recta, es una línea que se extiende en una misma dirección (Ortiz, 2007), (López, 2009). Véase la siguiente figura.
Figura 2. Línea recta.
En los
cursos de geometría analítica (Esteban, 2016), se ve el tema de la ecuación de
una recta, donde se tiene la siguiente formula con dos puntos dados y
:
Vease la siguinte figura.
Figura 3. Línea recta en el plano cartesiano.
Si pasamos
el factor de la ecuación (1) al
miembro izquierdo (Aguilar, 1998), nos queda la siguiente expresión:
Está
ecuación la podemos interpretar como la función tangente de los triángulos
correspondientes a los puntos dados y
con la diferentes de
sus ordenadas y abscisas respectivas (Apolo, 2013), véase la figura 4.
Ya que la
dirección no cambia por definición de línea recta, esto nos dice que la razón
trigonométrica tangente no varía en ninguna elección de dos puntos de la recta
(Vázquez, 2009), en pocas palabras, se conserva el ángulo desde cualesquiera dos
puntos de está.
Ahora que pasa si iniciamos desde otras funciones trigonométricas diferentes a la tangente, como, por ejemplo, la razón seno o coseno (Gil, 2021). Demostraremos que no importa la razón trigonométrica que utilicemos siempre llegamos a la misma ecuación de la recta, es decir la ecuación (1).
Figura 4. Triángulos con las diferencias de longitudes.
Lo relevante de esto, es que demostraremos que la ecuación de una recta es invariante ante cualquier razón trigonométrica y esto lo podemos aplicar para trabajar con la razón trigonométricas más fácil de operar, que en este caso es por medio de la razón tangente para llegar a la ecuación de una recta (Del, 2008).
METODOLOGÍA
La investigación que realizamos es de matemáticas teóricas, para ser más específico en “Geometría analítica”. En este estudio resaltamos que la metodología empleada es la algebraica, es decir, no empleamos algo cualitativo o cuantitativo, sino el álgebra de manera directa para obtener resultados de la recta en el plano cartesiano.
Dentro de la teoría que ocupamos, es la fórmula de la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano (Lorenz, 2012), ya que tenemos las distancias de los catetos opuesto y adyacentes, así como las hipotenusas de los correspondientes triángulos hechos por medio de la recta del plano cartesianos y los puntos dados (Caballero, 2007). Véase la figura 5.
Figura 5. Dos puntos en el plano cartesiano.
Dados dos
puntos en el plano cartesiano y
, vamos a encontrar la
distancia entre ellos (denotada por
) al tomar en cuenta
el triángulo rectángulo
que podemos ver con
la diferencia de sus longitudes correspondientes de los dos puntos (Ramos,
2014). Véase la siguiente figura.
Figura 6. Distancia entre dos puntos.
La
distancia es la hipotenusa del
triángulo rectángulo
(Ángel, 2022), por lo
tanto, al utilizar el Teorema de Pitágoras (el cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de sus catetos) podemos calcular la distancia
entre los puntos (Vargas, 2013) y seria la siguiente:
Esta ecuación 3 es la que utilizaremos para encontrar la ecuación de la recta con las diferentes razones trigonométricas (Perry, 2000).
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Por medio
de los
puntos fijos ,
y un punto arbitrario
de la línea recta,
formamos dos triángulos rectángulos, véase la siguiente figura.
Figura 7. Triángulo I y II.
Por
definición de línea recta, tenemos que las razones trigonométricas de los
triángulos I y II son iguales (porque la inclinación de una recta no varía, es
decir, siempre tiene el mismo ángulo). Entonces, del triángulo I es
igual al
del triángulo II,
dado que tienen el mismo ángulo de inclinación
, lo mismo pasa para
las demás razones trigonométricas como
,
,
,
y
.
Véase la figura.
Figura 8. Razones trigonométricas de triángulos I y II.
Demostraremos, que no importa la razón trigonométrica que ocupemos, siempre al simplificar llegamos al mismo resultado, es decir, la ecuación de la recta:
I CASO.
Razón trigonométrica . La razón
de los triángulos I y
II es:
Simplificando:
Demostramos
que al simplificar la razón trigonométrica , obtenemos la misma
ecuación de la recta (la ecuación (1)).
II
CASO. Razón trigonométrica . La razón
trigonométrica
de los triángulos I y
II es:
Simplificando:
Demostramos
que al simplificar la razón trigonométrica , obtenemos la misma
ecuación de la recta (la ecuación (1)).
III
CASO. Razón trigonométrica . La razón
trigonométrica
de los triángulos I y
II es:
Despejamos
“” y obtenemos la misma ecuación de la
recta (la ecuación (1)).
Los casos
siguientes: IV CASO Razón trigonométrica , V CASO Razón
trigonométrica
y VI CASO Razón
trigonométrica
, se demuestran de
manera sencilla utilizando las identidades trigonométricas de la introducción.
CONCLUSIONES
La ecuación de la recta nos lleva a muchos resultados de las matemáticas, desde el trazo de líneas rectas perpendiculares, paralelas, oblicuas hasta una familia de rectas que más se acercan a la gráfica de una función (es decir, las rectas cuyas pendientes son derivadas de la función evaluadas en un punto indicado).
El estudio de la ecuación de la recta en los libros de matemáticas, se hace desde el punto de vista de una sola función trigonométrica, es decir, desde la función tangente. Aquí, realizamos un estudio más detallado, es decir, tomamos en cuenta todas las funciones trigonométricas para obtener la ecuación dela recta.
Hemos
podido demostrar que no importa la razón trigonométrica que ocupemos (,
,
,
,
y
) para la definición
de la ecuación de una recta, siempre llegamos a la misma ecuación.
De esta forma, hemos visto que la ecuación de una línea recta es invariante ante cualquier razón trigonométrica.
Por medio
de estos resultados, recomendamos que la función trigonométrica más sencilla a
utilizar para encontrar la ecuación de una recta es la razón .
A través de este estudio, se corroboro lo que es mejor en el estudio de la recta, en pocas palabras, la fórmula de la ecuación de la recta más simplificada es la ecuación 1.
Una forma de generalizar esta investigación, es verificar que pasa cuando el plano cartesiano no se hace con rectas perpendiculares, sino con rectas que se cortan oblicuamente; conjeturando si llegamos a la misma ecuación de la recta sin importar las funciones trigonométricas o leyes trigonométricas que se ocupen. Véase la siguiente figura.
Figura 9. Ejes con rectas oblicuas.
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