DOI: https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v8i1.10498
Aproximación Lineal a la Raíz Cuadrada para Estudiantes de
Primer Año de Ingeniería
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Ramón Berber Palafox[1] rberberp@toluca.tecnm.mx https://orcid.org/0009-0000-8701-1359 Profesor adscrito al Departamento de Ciencias Básicas del Tecnológico Nacional de México Instituto Tecnológico de Toluca México
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Jesús González Briones https://orcid.org/0009-0006-8834-2102 Profesor adscrito al Departamento de Ciencias Básicas del Tecnológico Nacional de México Instituto Tecnológico de Toluca México
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Martha Martínez Moreno martha.mm@toluca.tecnm.mx https://orcid.org/0000-0003-3793-6315 Profesora adscrita al Departamento de Sistemas y Computación del Tecnológico Nacional de México Instituto Tecnológico de Toluca México
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María Luisa Ernestina Velázquez Sánchez https://orcid.org/0000-0002-4339-4471 Profesor adscrito al Departamento de Ciencias Básicas del Tecnológico Nacional de México Instituto Tecnológico de Toluca México
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RESUMEN
Como profesores adscritos al departamento de ciencias básicas y basado en la experiencia docente en las áreas de ingeniería, se describe en esta publicación, una propuesta práctica para profesores y estudiantes de primer año de estudios en cualquiera de las ingenierías impartidas por el Tecnológico Nacional de México, cuya intención es incrementar la competencia del razonamiento aritmético en los estudiantes. Se propone que los estudiantes, durante la clase teórica y durante el examen, dejen a un lado la calculadora en materias de matemáticas, sin pretender mantenerlos alejados de las tecnologías; en las materias de matemáticas o ciencias básicas se estudian cinco temas durante un semestre, y en cada tema se deben realizar una o dos prácticas utilizando software de orden matemático, por ejemplo, GeoGebra. En esta propuesta se muestran cuatro ejemplos de aproximación de la raíz cuadrada, cada uno resuelto de cuatro formas diferentes, numeradas L1 y L2, aproximación lineal, D1, aproximación usando diferenciales, y VE, valor exacto de la calculadora, éste último solamente para efectos de comparar la precisión de las aproximaciones. Al final se muestra una justificación de la pertinencia de la aproximación lineal.
Palabras clave: aproximación, raíz, cuadrada, ingenierías
Linear Approximation to the Square Root of an Integer Number for Students at first Year of Engineering
ABSTRACT
As professors assigned to the department of basic sciences and based on teaching experience in the areas of engineering, this publication describes a practical proposal for professors and first-year students of studies in any of the engineering courses taught by the Tecnológico Nacional de México whose intention is to increase students' arithmetic reasoning competence. It is proposed that students, during the theoretical class and during the exam, put aside the calculator in mathematics subjects, without trying to keep them away from technologies; In mathematics or basic science subjects, five topics are studied during a semester, and in each topic one or two practices must be carried out using mathematical software, for example, GeoGebra. This proposal shows four examples of approximation of the square root, each one solved in four different ways, numbered L1 and L2, linear approximation, D1, approximation using differentials, and VE, exact value of the calculator, the latter only for purposes to compare the precision of the approximations. At the end a justification of the relevance of the linear approximation is shown.
Keywords: approximation, root, square, engineering
Artículo recibido 20 febrero 2024
Aceptado para publicación: 20 marzo 2024
INTRODUCCIÓN
El proceso enseñanza aprendizaje en el ámbito de las ingenierías debe ser robusto y basto en el área de las matemáticas. Esto implica el uso de métodos didácticos que lleven de la mano al estudiante para el alcance de las competencias y logre deducir el uso que se le dará a esta área del conocimiento en su vida profesional en un futuro no muy lejano al tiempo en que las está cursando.
Artigue (2011) menciona que el uso de herramientas como las calculadoras, los programas computacionales de geometría dinámica, las hojas de cálculo plantean siempre problemas a nuestros sistemas educativos, aun cuando la evolución tecnológica ofrece perspectivas radicalmente nuevas, en particular nuevas formas de interacciones sociales y didácticas, además de la cosificación de objetos matemáticos en formas directamente manipulables, de la visualización y simulación de fenómenos.
De ahí que el área de las matemáticas en la actualidad no solo se queda en los libros o fundamentos teóricos aprendidos, sino en el uso de herramientas tecnológicas, casos prácticos, aprendizaje basado en proyectos o problemas y la experiencia del docente para expresar sus conocimientos en el salón de clase, demostrando que la teoría y la práctica se pueden relacionar perfectamente al complementarse con técnicas didácticas comprobables Swain, C., & Pearson, T. (2002).
En este caso se desarrollarán problemas utilizados en exámenes utilizando un método o técnica de aproximación que permite demostrar su aplicación real y precisa. Sin desmerecer ni por supuesto, eliminar el uso tecnológico de la calculadora en otros sentidos.
Para detectar algunas áreas de oportunidad en estudiantes de ingeniería, diseñamos un examen para que fuera contestado sin necesidad de usar calculadora, de tal manera que todas las operaciones las pudieran realizar con lápiz y papel. Derivado de que, en respuestas de los exámenes de estudiantes de ingeniería en semestres anteriores, en materias como cálculo integral y cálculo vectorial, nos encontramos casos como
Los cuales no tenían la respuesta final simplificada como debería ser: 1, 3, 1 y 4. Nos dimos cuenta de que los alumnos necesitan un mayor acercamiento aritmético al concepto de fracciones, de la raíz cuadrada y, podríamos agregar, de las funciones seno y coseno.
Con frecuencia se hace mención, desde la primaria hasta bachillerato, de que “la matemática es considerada la base de procesos complejos de conocimiento, donde es necesario el pensamiento crítico, reflexivo y analítico” (Vergel, et al, (2015) p. 18, citado en Gómez (2021)) Adicionalmente, estamos explorando la posibilidad, ventajas y conveniencia de no usar la calculadora durante las clases ni en los exámenes en las materias de Cálculo. En el tránsito del pensamiento aritmético al pensamiento algebraico y de ahí al pensamiento de cálculo infinitesimal, consideramos importante el reforzamiento de la primera etapa. “¿Por qué es esto importante? Si los estudiantes no aprenden la aritmética básica, será muy difícil, o tal vez imposible, que aprendan los conceptos abstractos de nivel superior en matemáticas”. Sheets (2007, pág. 5).
Revisando publicaciones relacionadas encontramos, por ejemplo, Carneiro (1999), Trejos y Muñoz (2002). Sin embargo, el método de aproximación para la raíz cuadrada que utilizan requiere el uso intensivo de la calculadora, contrario a nuestro objetivo.
Consideramos que hacer a un lado la calculadora durante las clases de Cálculo será de gran ayuda para desarrollar las competencias genéricas de capacidad de abstracción, análisis y síntesis de acuerdo con el temario de las asignaturas cálculo diferencial, integral, vectorial y álgebra lineal (TecNM, 2016, pág. 6): “Competencias genéricas de las asignaturas de matemáticas en Ingeniería: Capacidad de abstracción, análisis y síntesis. Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas. Capacidad de aprender y actualizarse permanentemente. Capacidad de trabajo en equipo”.
“Para Vygotsky la función de la educación debe ser la creación de Zonas de Desarrollo Próximo (ZDP)”, Rodríguez Arocho, (2001, pág. 264). Nosotros agregaríamos, además de la creación de ZDP, el mantenimiento y el fortalecimiento de las ZDP. Por ejemplo, el álgebra la situamos en la ZDP de la aritmética, por eso insistimos en practicar manualmente los procesos aritméticos; el cálculo lo situamos en la ZDP del álgebra. “La ZDP es un proceso construido conjuntamente entre profesor y alumno a través del diálogo y la mediación. La metáfora utilizada por Bruner para designar este proceso ha sido andamiaje”, Padilla Partida (2006, pág. 12).
Seleccionamos un método que fuera simple, como el de aproximación lineal, llamado polinomio de interpolación de Lagrange de grado uno, Burden (1985, pág. 99). Una aproximación lineal es una aproximación de cualquier función derivable a otra función que se supone más sencilla que la anterior (Edwin Herman & Gilbert Strang, 2024).
METODOLOGÍA
Experimentación o desarrollo teórico
Aproximación lineal de la raíz cuadrada
Ejemplo 1. El algoritmo se puede encontrar en Wikipedia (2016) y en Black, (2019), donde se explican los 7 pasos para calcular la raíz precisa de cualquier número, cada paso está explicado en 4 o 6 renglones (3 cuartillas aproximadamente), es un poco extenso, por eso proponemos un método aproximado más simple. A continuación, se expone un ejemplo.
a) Algoritmo para calcular la raíz cuadrada.
b) Aproximación lineal (L1), también llamado “aproximaciones sucesivas” en SEP (2022): se busca un número entero menor y uno mayor al número del cual se desea aproximar la raíz cuadrada, de preferencia los números enteros más cercanos.
Por
ejemplo, aproximar la raíz de .
c) Aproximación lineal (L2) el procedimiento es el mismo que en L1, pero ahora usamos números que no son los más cercanos, por ejemplo,
d) Valor
exacto (VE).
RESULTADOS
Tabla 1. Resumen de aproximaciones y valor absoluto de los errores.
CONCLUSIONES
De la tabla 1 podemos observar que la aproximación lineal es una “buena” aproximación, desde el momento que seleccionamos dos números enteros cercanos al número del cual deseamos aproximar la raíz cuadrada. Otra cosa que podemos observar es que la aproximación mediante diferenciales solo es buena cuando el incremento de x es pequeño, es decir, cuando el número del cual queremos aproximar la raíz cuadrada está cercano a uno que tiene raíz cuadrada exacta, mientras que para la aproximación lineal no es necesaria esta condición.
Además, se puede concluir que el uso de las técnicas didácticas empleadas por el profesor siempre debe aportar al aprendizaje del estudiante, además deben ayudar a comprender los objetos matemáticos que se utilizan. Aun cuando haya al mismo tiempo la resistencia en las propuestas por algunos profesores, acerca de los debates recurrentes sobre la utilización de calculadoras las ciencias básicas y aprovechar toda esa experiencia en nuevas propuestas, se podría señalar que hay una brecha muy estrecha entre la enseñanza tradicional de las técnicas y una nueva visión de la integración de las matemáticas.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Artigue Michéle (2011) Tecnología y enseñanza de las matemáticas: desarrollo y aportes de la aproximación instrumental. Cuadernos, 8, pp. 13-33. Université Paris Diderot - Paris 7, Laboratoire de Didactique André Revuz. Francia
Black, Paul. (2019). National Institute of Standard and Technology. Square Root.
https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/squareRoot.html
Burden, Richard L. Burden, J. Douglas Faires y Annette M. Burden. Cengage, Análisis Numérico. 3a Ed.
Carneiro, José Paulo Q. (1999). Raíz cuadrada a través de medias... Educación Matemática, Vol. 11 Núm. 1, abril 1999, pp. 135-142.
https://www.revista-educacion-matematica.org.mx/descargas/Vol11/1/11Carneiro.pdf.
Edwin Herman & Gilbert Strang. OpenStax (2024). Aproximaciones lineales y diferenciales. Recuperado de
Gómez Gutiérrez, Héctor Manuel, (2021). Impacto académico de las estrategias empleadas en la enseñanza y evaluación de las matemáticas en los primeros semestres de educación superior. https://ciencialatina.org/index.php/cienciala/article/view/1472 https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v5i4.683 p 70
Granville, William A.. (1998). Cálculo Diferencial e Integral 1ª Edición. Limusa-Noriega Editores.
Leithold, Louis. (1982). El Cálculo con Geometría Analítica 4ª Edición. Ed. Harla.
Libros de texto de secundaria, 2º grado, SEP (2022). https://www.conaliteg.sep.gob.mx/ . https://nuevaescuelamexicana.sep.gob.mx/detalle-ficha/6107/
Padilla Partida, S., (2006). Gestión de ambientes de aprendizaje constructivistas apoyados en la zona dedesarrollo próximo. Apertura, 6(5), 8-21. Gestión de ambientes de aprendizaje constructivistas apoyados en la zona de desarrollo próximo (redalyc.org)
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Rodríguez Arocho, W., (2001). La valoración de las funciones cognoscitivas en la zona de desarrollo próximo. Educere, 5(15), 261-269. La valoración de las funciones cognoscitivas en la zona de desarrollo próximo (redalyc.org)
Sheets, Christina L. (2007). Calculators in the Classroom: Help or Hindrance? University of Nebraska-Lincoln. https://digitalcommons.unl.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1060&context=mathmidactionresearch
Swain, C., & Pearson, T. (2002). Educators and technology standards: Influencing the digital divide. Journal of Research on Technology in Education, 34(3), 326-335.
https://doi.org/10.1080/15391523.2002.10782353
Temario de Álgebra Lineal del Instituto Tecnológico de Toluca, Tecnológico Nacional de México (TecNM). (2016).
https://www.tolucatecnm.mx/downloads/programa/6/ac003-algebra-lineal.1645164613.pdf
Temario de Cálculo Vectorial del Instituto Tecnológico de Toluca, Tecnológico Nacional de México. (2016).https://www.tolucatecnm.mx/downloads/programa/6/ac004-calculo-vectorial.1645164618.pdf
Temario de Cálculo Integral del Instituto Tecnológico de Toluca, Tecnológico Nacional de México. (2016).https://www.tolucatecnm.mx/downloads/programa/6/ac002-calculo-integral.1645164608.pdf
Temario de Cálculo Diferencial del Instituto Tecnológico de Toluca, Tecnológico Nacional de México. (2016).https://www.tolucatecnm.mx/downloads/programa/6/ac001-calculo-diferencial.1645164604.pdf
Trejos Buriticá, Omar Iván, Muñoz Guerrero, Luis Eduardo, (2002). Cálculo de aproximación a la raíz cuadrada con el método babilónico usando tres paradigmas de programación.
https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=8704875.
Wikipedia. (2016). Algoritmo para el cálculo exacto de la raíz cuadrada. Cálculo de la raíz cuadrada - Wikipedia, la enciclopedia libre