Uso de Elementos Finitos para Resolver un Problema Unidimensional de Tipo Elíptico

Resumen

El presente estudio demuestra la existencia y la unicidad de la solución de ecuaciones diferenciales parciales de tipo elíptico unidimensional mediante el método de elementos finitos. Se considera el problema de Poisson con condiciones de frontera mixtas de tipo Dirichlet y Neumann. Para la solución se empleó el Método de Elementos Finitos, debido a que proporciona un procedimiento además de sistemático porque construye funciones base en la aproximación de Ritz-Galerkin de problemas con valores de frontera, es decir, consiste en definir las funciones base polinomiales por tramos, sobre subregiones del dominio. En esta investigación hacemos la construcción del elemento finito más simple para resolver problemas unidimensionales, mediante funciones polinomiales no lineales por tramos (Elementos de Lagrange de primer orden). El Método de Elementos Finitos es un procedimiento numérico que permite obtener soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y/o parciales por medio de aproximaciones discretas, aplicadas a problemas con alto grado de dificultad en ingeniería, este método es apenas una de las tantas formas numéricas que se han procedido desarrollando y empleando de manera exitosa en la solución de diversos problemas en diferentes áreas de las ciencias e ingenierías. Aun cuando estos diferentes métodos conforman una poderosa herramienta matemática, no dejan de ser métodos aproximados, por lo cual se debe tener un especial cuidado en su utilización. Su desarrollo y éxito se expanden con el creciente desempeño de las computadoras digitales.